一元二次方程解法逼近法(整理)
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
方程总结归纳
方程总结归纳方程是数学中重要的概念和工具之一，广泛应用于各个学科领域。
它用于描述未知数之间的关系，并通过构建等式来求解未知数的取值。
本文将对方程的基本概念、分类以及解方程的方法进行总结归纳。
一、方程的基本概念方程是用等号将含有一个或多个未知数的代数式连接起来的数学式子。
其中，等号表明了等式两边的值是相等的。
方程中的未知数表示我们尚未知晓的数值，需要通过求解方程来确定。
方程的一般形式为：A(x) = B(x)，其中A(x)和B(x)是多项式函数，x表示未知数。
例如，线性方程ax + b = 0表示一次函数，二次方程ax^2 + bx + c = 0表示二次函数，三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0表示三次函数，以此类推。
二、方程的分类根据方程中未知数的次数，我们可将方程分为以下几类：1. 一次方程：一次方程是未知数的最高次数为1的方程，具体形式为ax + b = 0。
一次方程常见于日常生活中的线性关系问题。
2. 二次方程：二次方程是未知数的最高次数为2的方程，具体形式为ax^2 + bx + c = 0。
二次方程在数学物理等领域具有广泛的应用。
3. 三次方程：三次方程是未知数的最高次数为3的方程，具体形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。
三次方程的求解方法较为复杂，但在实际问题中也有一定应用。
4. 高次方程：高次方程是未知数次数大于3的方程，例如四次方程、五次方程等。
高次方程的求解相对困难，通常需要借助数值计算方法或近似解法。
三、解方程的方法解方程是求解方程中未知数的取值，常用的解方程方法包括：1. 直接计算法：对于一次方程或二次方程等简单形式的方程，可通过直接计算得到解。
例如，对于一次方程3x + 5 = 0，将常数项移到等号右边，可得3x= -5，再除以3即可得到解x = -5/3。
2. 因式分解法：对于二次方程或一些特殊形式的方程，可使用因式分解法进行求解。
解一元二次方程的方法
解一元二次方程的方法
一元二次方程是高中数学中的重要内容，解一元二次方程是我
们学习数学时需要掌握的基本技能。
本文将介绍两种解一元二次方
程的方法，因式分解法和求根公式法。
首先，我们来看因式分解法。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以先利用因式分解的方法将其分解为两个一次因式相乘的形式，即(ax+m)(x+n)=0，然后令ax+m=0和x+n=0，分别求出x的值，即可得到方程的解。
举个例子，对于方程x^2+5x+6=0，我们可以将其分解为
(x+2)(x+3)=0，然后令x+2=0和x+3=0，解得x=-2和x=-3，即方程
的解为x=-2和x=-3。
其次，我们来看求根公式法。
一元二次方程ax^2+bx+c=0的根
可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。
其中，b^2-
4ac被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，
方程没有实根，但有两个共轭复根。
举个例子，对于方程x^2-4x+4=0，我们可以利用求根公式x=(-(-4)±√((-4)^2-414))/(21)，化简后得到x=2，即方程的解为x=2。
综上所述，解一元二次方程的方法包括因式分解法和求根公式法。
通过掌握这两种方法，我们可以轻松解决一元二次方程的问题，提高数学解题的效率和准确性。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
根的求法公式范文
根的求法公式范文求根公式是一种用来计算方程的根的方法。
根据方程的类型，我们有不同的公式来求解根。
下面将介绍一些常见方程的求根公式。
一元一次方程求根公式：一元一次方程的一般形式为 ax + b = 0，其中a和b为已知数。
解这个方程可以使用一元一次方程的求根公式：x=-b/a一元二次方程求根公式：一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数。
求解这个方程可以使用一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)如果 b^2 - 4ac < 0，方程没有实数根。
这种情况下，方程的解为复数，可以表示为：x = (-b ± √(4ac - b^2)i) / (2a)其中i为虚数单位。
一元三次方程求根公式：一元三次方程的一般形式为 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知数。
求解这个方程的根比一元二次方程复杂得多，没有通用的公式。
但是，可以使用数值方法（如牛顿法或二分法）来逼近方程的根。
一元四次方程求根公式：一元四次方程的一般形式为 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a、b、c、d和e为已知数。
与一元三次方程一样，一元四次方程也没有通用的公式来求解。
在一些特殊情况下，可以使用其他数值方法来逼近方程的根。
高阶多项式方程求根公式：对于高于四次阶的多项式方程，一般没有通用的公式来求解。
在这种情况下，可以使用数值方法或者图形方法（如牛顿迭代法、二分法或者图形分析等）来逼近或计算方程的根。
总结：求解方程的根是数学中的重要问题。
根据方程的类型，我们有不同的公式来求解根。
对于一元一次方程，可以使用一元一次方程的公式求解。
对于一元二次方程，可以使用一元二次方程的公式求解。
对于高于二次阶的方程，一般没有通用的公式，可以使用数值或者图形方法来逼近或计算根。
中考数学复习：一元二次方程题型
第1页共30页模块一、一元二次方程根的判别中考数学复习：一元二次方程题型式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆一元二次方程根的判别式（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则ac b 42-≥0.模块二、一元二次方程的根与系数的关系的应用第2页共30页为根的一元二次方程是模块三、有理数根问题第3页共30页第4页共30页模块四、整数根问题整数解问题先保证跟为有理数根，∆一定为平方数处理思想从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△=k 2),通过穷举,逼近求解从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解处理方法从判别式入手，∆为平方数，设根的判别式为2t （t 为整数），然后利用整数×整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k 的值，然后再利用整数根进一步验证筛选整数×整数=整数利用的知识有：①若a 、b 为整数，a b ⋅为整数k ，如果1122k m n m n === ，那么11a m b n =⎧⎨=⎩或11a n b m =⎧⎨=⎩或22a m b n =⎧⎨=⎩或22a n b m =⎧⎨=⎩ （1m 、2m 、1n 、2n 为整数）②两个整数的和、差、积仍为整数，也就是说，若a 、b 为整数，则a b +、a b -、ab 都为整数．③两个整数的和与这两个整数的差奇偶性相同，也就是说，若a 、b 为整数，则a b +与a b -同奇同偶．要点一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。
解方程计算题
解方程计算题在数学中，解方程是一种常见的计算方法，用于确定一个或多个未知数的值，使得方程两边等式成立。
解方程题目要求我们通过一系列步骤，计算出未知数的具体值。
下面，我将通过几个实例来演示解方程计算题的解法过程。
一、一元一次方程一元一次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为一的方程。
我们以解一元一次方程为例来介绍解方程的基本步骤。
例 1：解方程 3x + 5 = 141. 首先，将方程转化为等价的形式，使得未知数的系数为1。
将方程两边都减去5，得到 3x = 9。
2. 然后，通过除法的逆运算，将未知数系数化为1。
将方程两边都除以3，得到 x = 3。
解析：通过以上步骤，我们得到方程的解为 x = 3，即未知数的值为3。
二、一元二次方程一元二次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为二的方程。
我们以解一元二次方程为例，展示解方程的解法过程。
例 2：解方程 x^2 - 5x + 6 = 01. 首先，观察方程的形式，确定是否可以通过因式分解解得。
我们可以将方程中的三项进行因式分解，得到 (x - 2)(x - 3) = 0。
2. 然后，应用零乘法，将方程转化为两个因式相乘等于0的形式。
可得 (x - 2) = 0 或 (x - 3) = 0。
3. 接下来，由每个因式单独等于0，分别解得 x - 2 = 0 或 x - 3 = 0。
可以得到 x = 2 或 x = 3。
解析：通过上述步骤，我们得到方程的两个解为 x = 2 或 x = 3，即未知数的值分别为2和3。
三、一元高次方程一元高次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的次数高于二的方程。
解一元高次方程相对复杂，需要借助代数方法来解答。
例 3：解方程 x^3 - 2x^2 + x - 2 = 01. 首先，观察方程的形式，如果可以进行因式分解，我们将其进行因式分解。
但是在这个例子中，方程不可进行因式分解。
2. 接下来，我们可以使用数值逼近法来解方程。
一元二次方程总复习
适应于任何一个一元二次方程 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，
右边是0的方程
一元二次方程的应用
注意：一元二次方程的
一、一元二次方程的概念 引例：判断下列方程是不是一元二次方程
三个要素
（1）4x- 1 x²+
2
3 =0
是
（3）ax²+ｂx+c=0 不一定 巩固提高：
通过复习，掌握一元二次方程的概念， 并能够熟练的解一元二次方程，并且利用 一元二次方程解决实际问题
把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程
一元二次方程的定义
一
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
元 二
直接开平方法：适应于形如（x-k）²=h（h>0）型
次 方 程
一元二次方程的解法 配方法： 公式法：
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星，异常耀眼，它像天空的眼睛，注视着大地，带给深沉无助的黑夜，一方光亮
第三章逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.11、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
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一元二次方程的解法
试验探索之逼近法
做一做
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生活中的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学
如图，一个直角三角形的三边都是整数，它的斜边长 是11cm，两条直角边的差为7cm，求两直角边的长
X＋7 x2＋(x＋7)2＝112
你能化简这个方程吗?
做一做
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解
估算一元二次方程的解
即x2+7x = 36 你能求出x吗?怎么去估计x呢？
你能猜得出x取值的大致范围吗? x取值的大致范围是:3<x<5.
做一做
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估算一元二次方程的解
x2+7x = 36 x取值的大致范围是:3<x<5. 在实数3-5之间取一个中间值，x=4计算：
你能猜得出x取值的大致范围吗? x取值的大致范围是:3<x<4.
做一做
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估算一元二次方程的解
x2+7x = 36 x取值的大致范围是:3<x<4. 在实数3-4之间取一个中间值，x=3.5计算：
x2＋(x＋7)2＝112
你能猜得出x取值的大致范围吗?
代入法尝试.
做一做
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估算一元二次方程的解
x2+7x = 36
在实数中取任意值计算：比如
你能猜得出x取值的大致范围吗? x取值的大致范围是:0<x<5.
做一做
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估算一元二次方程的解
x2+7x = 36 x取值的大致范围是:0<x<5. 在实数0-5之间取一个中间值，x=3计算：
你能猜得出x取值的大致范围吗? x取值的大致范围是:3<x<3.5. 一直做下去…..x取的值就可以试验出来 你能求出x的另一个负根吗?怎么去估计呢？
小结
拓展
回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识呢？ • 学习了估算一元二次方程ax２＋bx＋c＝０（a ，b，c为常数，a≠０）近似解的方法； • 知道了估算步骤: 先确定大致范围; 再取值计算,逐步逼近. • 想一想,有没有便捷的方法去求方程中的未知 数呢?