几何之基本模型二
初中几何48个模型及题型讲解
初中几何48个模型及题型讲解一、直线和角1. 平行线和垂直线的性质平行线的性质包括对应角相等、内错角相等、同旁内角相等，垂直线的性质包括互补角相等、邻补角相等等等。
2. 直线的夹角与邻角两条直线之间的夹角等于它的补角，夹角的补角叫相邻角。
3. 同位角与对顶角同位角相等、对顶角相等。
4. 角的大小关系锐角、直角、钝角的大小关系。
5. 角和角度角的性质包括平分角等。
6. 角的运算法则相等角相加还是相等角；补角与角补加为90°。
7. 顶角和底角的性质同位角相等、顶底角相等。
二、等腰三角形、等边三角形1. 等腰三角形的性质两底角相等，两底边相等等。
2. 等边三角形的性质三边相等、三角也相等等等三、全等三角形1. 全等三角形的基本判定条件AAA、SAS、SSS、ASA四种判定条件。
2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边和对应角相等等等。
四、相似三角形1. 相似三角形的基本判定条件AA、SAS、SSS、AAS四种判定条件。
2. 相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等等等。
五、直角三角形1. 直角三角形的性质勾股定理、边角关系、三边关系等。
2. 解直角三角形的基本方法利用三角函数解决实际问题等。
六、三角形的面积1. 三角形的面积计算公式面积公式S=1/2×底×高等。
2. 多边形的面积计算公式正多边形、梯形、平行四边形、菱形等多边形的面积公式。
七、四边形1. 平行四边形的性质对角线互相平分等。
2. 矩形的性质对角相等、对边相等等。
3. 菱形的性质对角相等、对边相等、对角平分等。
4. 正方形的性质矩形和菱形的结合。
五、圆1. 圆的基本概念圆心、圆周、半径、直径等。
2. 圆的周长和面积周长C=2πr，面积S=πr^2等。
3. 圆中角和弧的关系圆心角、圆周角、同弧对应角等。
4. 切线与切点切线与圆相切于一个点等。
六、坐标系1. 直角坐标系和平面直角坐标系横坐标和纵坐标等。
小学几何五大模型
小学几何五大模型小学几何是学习数学的一个重要部分，它使学生能够理解和应用基本的几何知识，包括角、边、形状和体积等。
随着技术进步，几何理论发展变得越来越复杂，但有五个基本的模型，也被称为小学几何五大模型，它们是：平面几何、立体几何、变换几何、旋转几何和解析几何，这五个模型是学习小学几何的基本支柱。
首先是平面几何，它包括两个基本的概念：一是直线，也叫直角线；二是点，也叫几何点。
在平面几何中，可以使用直线、点和一些基本图形（如三角形、正方形和圆形）来绘制不同的形状。
此外，还学习一些和平面几何相关的概念，如角度、直线段、圆心角、图形的边缘等。
其次是立体几何，它是一种对于空间的数学分析，涉及到空间中的形状、结构和位置等定义。
在立体几何中，学习者将学习平面几何中的知识，如点、线和面，以及更具体的概念，如直线段、夹角、平面和曲线等。
第三个模型是变换几何，它是一种应用几何的新兴领域，主要研究图像如何在不同的空间变换中变形变化。
在此，学习者可以学习基本的几何变换，如平移、缩放、旋转和变换等，并使用数学表达式和图形来研究这些变换。
接下来是旋转几何，它也是研究图像变换的一个重要部分，它研究的是图像如何在空间变换中旋转。
这里，学习者可以学习三维旋转的基本概念，如空间旋转的描述和矩阵运算等，以及旋转图形在空间变换中的影响等。
最后是解析几何，这是最抽象的一个模型，它涉及将几何图形抽象化，并使用数学表达式和规则来研究图形的形状和变形。
解析几何主要讨论几何点、直线段、空间形状、几何等概念，并使用特殊数学表达式来讨论图形的变形和空间变换。
总之，小学几何五大模型是学习小学几何的基础，它包括平面几何、立体几何、变换几何、旋转几何和解析几何五个模型，它们涉及几何图形的定义和形状变形，也涉及到旋转和变换等定义，这些定义和概念是学习小学几何的基石，也是学习数学的重要组成部分。
中考数学复习：专题9-8 中考数学基本几何模型探究
中考数学基本几何模型探究【专题综述】许多中考试题都是以教材的例题、习题为背景，经过命题专家巧妙构思编拟而成.中考试题的权威性和导向性是由命题专家独具匠心精心打造的，其思路和方法常具有类比迁移和拓广探索性.因此，教师在教学中若能引导学生提炼出基本几何模型，用基本几何模型解决问题，则能提高学习效率，提升创新创造能力.【方法解读】一、中考试题呈现和探源题目 如图1，正方形ABCD 的边长为3cm, ,P Q 分别从,B A 出发沿,BC AD 方向运动，P 点的运动速度是1cm/秒，Q 点的运动速度是2 cm/秒.连结AP 并过点Q 作QE AP ⊥，垂足为E . (1)求证:ABP QEA ;(2)当运动时间t 为何值时，ABP QEA ≅?(3)设QEA 的面积为y ，用运动时间t 表示QEA 的面积y .(不要求考虑t 的取值范围) (提示:解答(2)(3)时可不分先后)此题动静分明，梯度清晰，较好考察了学生全等、相似、函数的有关知识.仔细观察，不难看出此题由课本题变化而来.课本原题为:如图2，四边形ABCD 是正方形，点G 是边BC 的中点，,//DE AG BF DE ⊥交AG 于点F ，求证: AF BF EF -=.(人教版义务教育教科书八年级数学2013年10月第一版P62页第15题) 将此题的条件“//BF DE 交AG 于点F ”去掉，即可变为上述中考题. 二、探寻基本图形和基本模型由课本习题和中考题不难找出它们蕴含的基本图形和几何模型:如图3，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,BC CD 上，,AE BF 交于点O .性质1 若AE BF ⊥，则AE BF = (或BE CF =). 性质2 若AE BF = (或BE CF =)，则AE BF ⊥.性质3 若点O 是中心对称图形的对称中心，且AE BF ⊥，则,AE BF 把该图形的面积四等分. 若将线段,AE BF 分别平移到,GH EF 处(如图4)，结论EF GH =仍成立.由于以上主要利用直角和互余的性质，不难猜想到若由正方形变为矩形，会有三角形相似和对应线段成比例.如图5，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB AD 上，且DE CF ⊥，则DE ADCF CD=. 若将线段,DE CF 分别平移到,NM HQ 处(如图6)，结论MN ADQH CD=仍成立.由以上图形可提炼出如下模型:模型1 正方形+线段垂直(或线段相等)=线段相等(或线段垂直)模型2 中心对称图形+线段垂直(或面积四等分)=面积四等分(或线段垂直) 模型3 矩形+线段垂直(或线段成比例)=线段成比例(或线段垂直) 三、模型解题提升能力 1、用模型1解决问题例1 已知:如图7，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ BE ⊥于点,Q DP AQ ⊥于点P . (1)求证: AP BQ =;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.分析 由模型1易得AQ DP =，得本题证明思路是证全等形，进而得AP BQ =，由全等形可得AQ BQ PQ -=或PD AP PQ -=.例2 如图8，正方形ABCD 的面积为3cm 2, E 为BC 边上一点，30BAE ∠=︒,F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与,AB DC 相交于点,M N ，若MN AE =，则AM 的长等于 cm.分析 由模型2可得MN AE ⊥，用勾股定理和30BAE ∠=︒，求得AE =2，则AF =1，所以3AM =2、用模型2解决问题 例3 问题探究(在图9中作出两条直线，使它们将圆的面积四等分.(2)如图10, M 是正方形ABCD 内一定点，在图9中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M )，使正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.问题解决(3)如图11，在四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD BC +=，点P 是AD 的中点.如果,AB a CD b ==，且b a >，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在的直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在，求出PQ 的长;若不存在，说明理由.分析 (1)据模型2，只要作两条过圆心且互相垂直的直线即可，如图9所示.(2)据模型2，过点M 和正方形ABCD 对角线的交点O 作直线OM ，分别交,AD BC 于,P Q 两点，再过点O 作OM 的垂线，交,AB CD 于,E F 两点，则直线,OM EF 将正方形ABCD 的面积四等分，如图10所示.(3)如图11，延长BA 至点E ，使AE b =,延长CD 至F 点，使DF a =，连结EF .由//,BC CF BC BE CF a b ===+，易证四边形BCEF 是菱形，连结BF 交AD 于点M ，则MAB MDF ≅，得AM DM =，所以点M 与P 重合，点P 是菱形对角线的交点.在BC 上截取BQ CD b ==，则CQ AB a ==.设点P 到菱形一边的距离为d ，则1()2ABP QBP S S AB BQ ∆∆+=+1()2CQ CD d =+ CPQ CPD S S ∆∆=+.所以，当BQ b =时，直线PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分. 3、用模型3解题 例3 探究证明(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图12，矩形ABCD 中，,EF GH EF ⊥分别交,AB CD 于点,,E F GH 分别交,AD BC 于点,G H .求证:EF ADGH AB=.结论应用(2)如图13，在满足(1)的条件下，又AM BN ⊥，点,M N 分别在边,BC CD 上，若1115EF GH =,则BNAM的值为 . 联系拓展(3)如图14，四边形ABCD 中，90,10,5,ABC AB AD BC CD AM DN ∠=︒====⊥,点,M N 分别在边,BC AB 上，求DNAM的值.分析 (1)由模型3，过点A 作//AP EF ,交CD 于P ，过点B 作//BQ GH ，交AD 于Q ，如图15，易证,,AP EF GH BQ PDA QAB ==∆∆，然后运用相似三角形的性质就可解决问题.(2)只需运用(1)中的结论,可得到EF AD BNGH AB AM==，就可解决问题.(3)过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 平行于BC 的直线于点R ，交BC 的延长线于点S ，如图16，易证四边形ABSR 是矩形，由模型3可得DN ARAM AB=. 设,SC x DS y ==，则5,10AR BS x RD y ==+=-，在Rt CSD 中，根据勾股定理，可得2225x y+=. ①在Rt ARD中，根据勾股定理，可得22(5)(10)100x y++-=.②解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决.【强化训练】1. （2017四川省广元市）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=2；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④2．（2017四川省泸州市）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE 的值是（）A．24B．14C．13D．233. （2017湖北省十堰市）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=43NF；③38BMMG=；④12CGNF ANGDS S=．其中正确的结论的序号是．4. （2017四川省广安市）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：A F=BE．5. （2017浙江省宁波市）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3B．23C．13D．46. （2017丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADn AE．（1）求证：A E=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．7. （2017江苏省南通市）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．8. （2016内蒙古赤峰市）如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE 的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于cm．9. （2016内蒙古包头市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．10. （2016广西贺州市）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=3，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）。
数学几何48模型
数学几何48模型数学几何是数学的一个分支，它研究的是空间中的形状、大小、位置等问题。
在数学几何中，有许多重要的模型，其中最为著名的就是数学几何48模型。
一、欧氏几何模型欧氏几何模型是最为基础的数学几何模型之一，它是由古希腊数学家欧几里得所创立的。
欧氏几何模型研究的是平面和空间中的图形和变换，它的基本假设是平行公设。
二、非欧几何模型非欧几何模型是相对于欧氏几何模型而言的，它是在欧氏几何模型的基础上发展起来的。
非欧几何模型研究的是曲面和空间中的图形和变换，它的基本假设是平行公设不成立。
三、球面几何模型球面几何模型是一种特殊的非欧几何模型，它研究的是球面上的图形和变换。
球面几何模型的基本假设是平行公设不成立，且曲率为正。
四、双曲几何模型双曲几何模型是另一种非欧几何模型，它研究的是双曲面上的图形和变换。
双曲几何模型的基本假设是平行公设不成立，且曲率为负。
五、仿射几何模型仿射几何模型是一种介于欧氏几何模型和非欧几何模型之间的模型，它研究的是平面和空间中的图形和变换，但不考虑距离的大小和比例。
六、射影几何模型射影几何模型是一种特殊的仿射几何模型，它研究的是射影空间中的图形和变换。
射影几何模型的基本假设是平行公设不成立，但是不存在无穷远点。
七、向量几何模型向量几何模型是一种基于向量的几何模型，它研究的是向量空间中的图形和变换。
向量几何模型的基本假设是向量的加法和数乘运算满足一定的规律。
总之，数学几何48模型是数学几何中最为重要的模型之一，它们在数学研究和实际应用中都有着广泛的应用。
通过对这些模型的深入研究，我们可以更好地理解空间中的形状、大小、位置等问题，为我们的生活和工作带来更多的便利和启示。
初中数学几何经典模型—基本模型法
初中数学常见几何模型—基本模型法前言个人对数学基本模型法的定义是，从一些复杂的图形中，找出部分简单常见图形的过程，所以后面总结的模型，不一定是题目中完整的图，只是题中部分图形而已。
部分模型的一般情况，在这份讲义没有做练习的整理，另外还有最短路径模型、二倍角模型、补全法等部分模型没有整理，如果全部放在一起内容太多，另外因为部分模型应用较广，可能涉及到初二下和初三的内容，如果是在初二上期中复习用的话，请老师们自行筛选。
一、双垂直模型（角相等）如图：则有：∠ACD=∠B 则有：∠2=∠3练习1、如图所示，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（）练习2、已知：AB⊥BC于B，EF⊥AC于G, DF⊥BC于D,BC=DF,AC等于EF吗？，说明理由。
二、三垂直模型（弦图模型、一线三等角特殊情况）练习：1、在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、3、3.5，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（）A．7.5 B．6.5 C．4.5 D．4 2．如图，△ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A，∠D=∠E=90°，则下列结论正确的个数有（）①CD=AE；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④AD=BE．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图所示，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（）A．4cm B．8cm C．9cm D．10cm 4、如图①所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．(1)求证：MN=AM＋BN．(2)如图②.若过点C直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥M N于N，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由.图①图②5、如图,已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.（1）求证：AM平分∠DAB（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。
小学数学几何五大模型教师版
几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。
例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。
例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。
2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。
2022年中考数学几何模型之全等三角形的五种模型(讲+练)(解析版)
专题06 全等三角形的五种模型全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不再重复。
模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF 上截取BM=DF ，易证△BMC△△DFC （SAS ），则MC=FC=FG ，△BCM=△DCF ， 可得△MCF 为等腰直角三角形，又可证△CFE=45°，△CFG=90°，△CFG=△MCF ，FG△CM ，可得四边形CGFM 为平行四边形，则CG=MF ，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC 至N ，使CN=DF ，易证△CDF△△BCN （SAS ）， 可得CF=FG=BN ，△DFC=△BNC=135°，又知△FGC=45°，可证BN△FG ，于是四边形BFGN 为平行四边形，得BF=NG ， 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.例1.如图，△ABC 中，△B =2△A ，△ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】.B 【详解】解：如图，在CA 上截取,CN CB = 连接,DN CD 平分,ACB ∠ ,BCD NCD ∴∠=∠,CD CD = (),CBD CND SAS ∴≌ ,,,BD ND B CND CB CN ∴=∠=∠=9,16,BC AC == 9,7,CN AN AC CN ∴==-=,CND NDA A ∠=∠+∠ ,B NDA A ∴∠=∠+∠2,B A ∠=∠ ,A NDA ∴∠=∠,ND NA ∴= 7.BD AN ∴== 故选：.B【变式训练1】如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝60°，线段AC 与AD 关于直线AP 对称，E 是线段BD 与直线AP 的交点．（1）若△DAE ＝15°，求证：△ABD 是等腰直角三角形；（2）连CE ，求证：BE ＝AE +CE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：（1）△在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝60°，△△ABC 是等边三角形， △AC ＝AB ＝BC ，△BAC ＝△ABC ＝△ACB ＝60°，△线段AC 与AD 关于直线AP 对称，△△CAE ＝△DAE ＝15°，AD ＝AC ，△△BAE ＝△BAC +△CAE ＝75°，△△BAD ＝90°，△AB ＝AC ＝AD ，△△ABD 是等腰直角三角形； （2）在BE 上取点F ，使BF ＝CE ，连接AF ，△线段AC 与AD 关于直线AP 对称，△△ACE ＝△ADE ，AD ＝AC ，△AD ＝AC ＝AB ，△△ADB ＝△ABD=∠ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABF △△ACE （SAS ），△AF ＝AE ，△AD ＝AB ，△△D ＝△ABD ，又△CAE ＝△DAE ， △()()111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-∠=︒， △在△AFE 中，AF ＝AE ，△AEF ＝60°，△△AFE 是等边三角形，△AF ＝FE ，△BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【变式训练2】如图，在△ABC 中，△ACB=△ABC=40o ，BD 是△ABC 的角平分线，延长BD 至点E ，使得DE=DA ，则△ECA=________．【答案】40°【详解】解：在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，△ACB=△ABC=40°，BD 是△ABC 的角平分线，∴△A=100°，△ABD=△DBC=20°，∴△ADB=60°，△BDC=120°，BD=BD ，∴△ABD△△FBD ，DE=DA ，∴ DF=AD=DE ，△BDF=△FDC=△EDC=60°，△A=△DFB=100°，DC=DC ，∴△DEC△△DFC ，∴1006040DCB DCE DFC FDC ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为40°．【变式训练3】已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB ADABG ADN BG DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，△45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN 与AMG 中，AM AMGAM NAM AN AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又△BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，△GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，△90GAN BAD ∠=∠=︒， 又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又△BM BG GM -=，BG DN =，△BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠，△MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，△90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，△6CN =，8MC =，△1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-，△DC BC =，△48x x +=-，解得：2x =，△6AB BC CD CN ====，△//AB CD ，△BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP NCP AAS ∴△≌△，132CP BP BC ∴===，△CP 的长为3．模型二、平移全等模型例.如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB // DE ，AB = DE ，△A = △D ．（1）求证：ABC DEF ≌；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）BE =3．【详解】（1）证明：△AB△DE ，△△ABC ＝△DEF ，在△ABC 和△DEF 中A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△ABC△△DEF （ASA ）； （2）解：△△ABC△△DEF ，△BC ＝EF ，△BC －EC ＝EF －EC ，即BE ＝CF ，△BF ＝11，EC ＝5，△BF －EC ＝6．△BE ＋CF ＝6．△BE ＝3．【变式训练1】如图，AB//CD ，AB=CD 点E 、F 在BC 上，且BF=CE ．（1）求证：△ABE△△DCF （2）求证:AE//DF ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【详解】证明：（1）△AB △CD ，△B C ∠=∠，△BF =CE ，△CF EF BE EF +=+，△BE CF =，△AB =CD ，△ABE DCF △≌△（SAS ）；（2）由（1）可得：ABE DCF △≌△，△DFC AEB ∠=∠，△180,180DFC EFD AEF AEB ∠+∠=︒∠+∠=︒，△EFD AEF ∠=∠，△//AE DF ．【变式训练2】如图，已知点C 是AB 的中点，CD △BE ，且CD BE =．（1）求证：△ACD△△CBE ．（2）若87,32A D ∠=︒∠=︒，求△B 的度数．【答案】（1）见解析；（2）61【分析】（1）根据SAS 证明△ACD△△CBE ；（2）根据三角形内角和定理求得△ACD ，再根据三角形全等的性质得到△B=△ACD ．【详解】（1）△C 是AB 的中点，△AC ＝CB ，△CD//BE ，△ACD CBE ∠=∠，在△ACD 和△CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ACD CBE ∆≅∆；（2）△8732A D ︒︒∠=∠=，，△180180873261ACD A D ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，又△ACD CBE ∆≅∆，△61B ACD ︒∠=∠=．模型三、对称全等模型例.如图，已知△C ＝△F ＝90°，AC ＝DF ，AE ＝DB ，BC 与EF 交于点O ，（1）求证：Rt△ABC△Rt△DEF ；（2）若△A ＝51°，求△BOF 的度数．【答案】（1）见解析；（2）78°【详解】（1）证明：△AE ＝DB ，△AE ＋EB ＝DB ＋EB ，即AB ＝DE ．又△△C＝△F＝90°，AC＝DF，△Rt△ABC△Rt△DEF．（2）△△C＝90°，△A＝51°，△△ABC＝△C－△A＝90°－51°＝39°．由（1）知Rt△ABC△Rt△DEF，△△ABC＝△DEF．△△DEF＝39°．△△BOF＝△ABC＋△BEF＝39°＋39°＝78°．【变式训练1】如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90º，∠B ＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】B【解析】∵∠E＝∠F＝90º，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，∵∠BAE＝∠CAF，∠BAE－∠BAC＝∠CAF－∠BAC，∴∠1＝∠2，∴△ABE≌△ACF，∴∠B＝∠C，AB＝AC，又∵∠BAC＝∠CAB，∴△ACN≌△ABM，④CD＝DN不能证明成立，∴共有3个结论正确．【变式训练2】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③【解答】D【解析】∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACF（第一个正确），∴AE＝AF，∴BF＝CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（第二个正确），∴DF＝DE，连接AD，∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD ＝∠EAD ，即点D 在∠BAC 的平分线上（第三个正确）.模型四、旋转全等模型例.如图，△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，△BAC =△DAE ，且点B ，D ，E 在同一条直线上，若△CAE +△ACE +△ADE =130°，则△ADE 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B【详解】BAC DAE ∠=∠BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠BAD CAE ∴∠=∠,AB AC AD AE == ∴在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD ≌CAE （ SAS ） ABD ACE ∴∠=∠130CAE ACE ADE ∠+∠+∠=︒130ABD BAD ADE ∴∠+∠+∠=︒ADE ABD BAD ∠=∠+∠2130ADE ∴∠=︒65ADE ∴∠=︒故选：B ．【变式训练1】如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转60°得到正方形AB ′C ′D ′，线段CD ，B ′C ′交于点E ，若DE ＝1，则正方形的边长等于_____．【答案】2+【详解】解：连接AC 、AE ，延长C ′B ′交AC 于点F ，过点F 作GF △DC 于G ， 由题意得，AD =AB ′,△D =△AB ′E ，△B ′AB =60°,△CAB =△GCB ′=45°，△△DAB ′=30°，△CAB ′=15°在RT △ADE 与RT △AB ′E 中AD AB AE AE ='⎧⎨=⎩，△RT △ADE △RT △AB ′E （HL ）， △△DAE =△B′AE =12△DAB ′=15°，DE=EB ′=1，△△B′AE=△CAB ′在△AB′E 和△AB′F 中==B AE CAB AB AB EB A FB A ∠'=∠'⎧⎪''⎨⎪∠'∠'⎩ ，△△AB′E △△AB′F （ASA ），△EB′=BF=1 △△DEB ′=360°-△D -△EB A '-∠DAB′=150°，△△GEF =30°在RT △EGF 中，EG =EF ×cos △GEFDF =EF ×sin △GEF =2×12=1 在△CGF 中，△GCF =45°，△CG=GF =1，△DC =DE+EG+GC所以正方形的边长为【变式训练1】如图，,,,AC BC DC EC AC BC DC EC ⊥⊥==， 求证：（1）ACE BCD ∆≅∆；（2）AE BD ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：()1AC BC ⊥，DC EC ⊥，90ACB DCE ∴∠=∠=︒， ACB ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，∴∠=∠DCB ECA ，在DCB ∆和ECA ∆中，AC BC DCB ECA CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCB ECA SAS ∴∆≅∆；()2如图，设AC 交BD 于N ，AE 交BD 于O ，∆≅∆DCB ECA ，A B ∴∠=∠，∠=∠AND BNC ，90∠+∠=︒B BNC ， 90∴∠+∠=︒A AND ，90∴∠=︒AON ，AE BD ∴⊥．【变式训练2】如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD α∠=∠=．（1）求证：AEC ADB ≅△△；（2）若90α=︒，试判断BD 与CE的数量及位置关系并证明；（3）若CAB EAD α∠=∠=，求CFA ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）BD=CE ，BD△CE ；（3）902α︒-【详解】（1）△△CAB=△EAD△△CAB+△BAE=△EAD+△BAE ，△ △CAE=△BAD ，△AB=AC ，AE=AD 在△AEC 和△ADB 中AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪⎨⎪⎩∠=∠=△ △AEC△△ADB （SAS ） （2）CE=BD 且CE△BD ，证明如下：将直线CE 与AB 的交点记为点O ，由（1）可知△AEC△△ADB ，△ CE=BD ， △ACE=△ABD ，△△BOF=△AOC ，△α=90°，△ △BFO=△CAB=△α=90°，△ CE△BD ．（3）过A 分别做AM△CE ，AN△BD 由（1）知△AEC△△ADB ，△两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD△AM=AN△AF 平分△DFC由（2）可知△BFC=△BAC=α△△DFC=180°-α△△CFA=12△DFC=902α︒- 【变式训练3】如图①，在△ABC 中，△A ＝90°，AB ＝AC1，BC ＝2D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ＝1，DE．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②，连接CE 、BD 、CD ．（1）如图②，求证：CE ＝BD ；（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE 所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由； （3）在旋转的过程中，当△BCD 的面积最大时，α＝ °．（直接写出答案即可）【答案】（1）证明见解析；（2）能，α=90°；（3）135α=︒．【详解】（1）证明：如图2中，根据题意：AB AC =，AD AE =，90CAB EAD ∠=∠=︒， 90CAE BAE BAD BAE ∠+∠=∠+∠=︒，CAE BAD ∴∠=∠，在ACE ∆和ABD ∆中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE ABD SAS ∴∆≅∆，CE BD ∴=；（2）能，若CE 所在直线垂直平分BD ，则CD =BC ，△AB ＝AC＋1，BC ＝2，AD ＝AE ＝1，DE△1122AC AD CD BC +=+=== △AC +AD =CD ，即A 、C 、D 在同一条直线上，此时α=90°，如下图，CE 的延长线与BD 交于F ，与（1）同理可得()ACE ABD SAS ∆≅∆，ACE ABD ∴∠=∠，90ACE AEC ∠+∠=︒，且AEC FEB ∠=∠，90ABD FEB ∴∠+∠=︒，90EFB ∴∠=︒，CF BD ∴⊥，BC CD =，CF ∴是线段BD 的垂直平分线；（3）解：BCD ∆中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时BCD ∆的面积有最大值， ∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD ∆的面积取得最大值，如图中：1AB AC ==，1AD AE ==，90CAB EAD ∠=∠=︒，DG BC ⊥于G ，12AG BC ∴==45GAB ∠=︒，1DG AG AD ∴=+==，18045135DAB ∠=︒-︒=︒， BCD ∴∆的面积的最大值为：1122BC DG ⋅==135α=︒． 模型五、手拉手全等模型例.如图，B ，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立C E ABC ∆DCE ∆BD AC M AE CDN AE BD =DCE ∆C吗？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析．【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD ，（2）成立；理由如下：如图2中，、均为等边三角形， ，，，，即，在和中，，，．【变式训练1】如图，△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，△AOB ＝△COD ＝90°，AC 、BD 交于点M ．(1) 如图1，求证：AC=BD ，判断AC 与BD 的位置关系并说明理由；(2) 如图2，△AOB ＝△COD ＝60°时，△AMD 的度数为___________.【答案】(1)答案见解析；（2）120.ABC ∆DCE∆AC BC ∴=CD CE =60ACB DCE ∠=∠=︒180ACB ACD DCE ∠+∠+∠=60ACD ∴∠=︒ACB ACD ACD DCE ∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠BCD ∆ACE ∆BC AC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCD ACE ∴∆≅∆BD AE ∴=AE BD =ABC ∆DCE ∆BC AC ∴=CD CE =60BCA DCE ∠=∠=︒BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠ACE ∆BCD ∆AC BC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACE BCD SAS ∴∆≅∆AE BD ∴=【详解】()190AOB COD ∠∠＝＝，.AOB AOD COD AOD ∠+∠∠+∠＝ 即：.BOD AOC ∠∠＝,,OA OB OC OD ＝＝易证.BOD AOC ≌.OBD OAC ∴∠=∠ AC=BD△,AMD ABM BAM ∠=∠+∠.BAM BAO OAC ∠=∠+∠△.AMD ABM BAO OBD OBA BAO ∠=∠+∠+∠=∠+∠△90.AOB ∠= △90.OBA BAO ∠+∠=90.AMD ∴∠= △AC△BD（2）同理可得. .AMD OBA BAO ∠=∠+∠60.AOB ∠= 120.OBA BAO ∠+∠= 120.AMD ∴∠= 故答案为： 120.【变式训练2】如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD 和△AOB 如图①摆放，连结AC ，BD ．（1）如图①，猜想线段AC 与BD 存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD 绕点O 顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD 绕点O 逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在怎样的关系？请直接写出结论．【答案】（1）AC=BD ，AC△BD ，证明见解析；（2）存在，AC=BD ，AC△BD ，证明见解析；（3）AC=BD ，AC△BD【详解】（1）AC=BD ，AC△BD ， 证明：延长BD 交AC 于点E ．△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△COA=△BOD=90º，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△△OAC=△OBD ，△△ADE=△BDO ，△△AED=△BOD=90º，△AC△BD ；（2）存在，证明：延长BD 交AC 于点F ，交AO 于点G ．△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△DOC=BOA=90º，△△AOC=△DOC －△DOA ，△BOD=△BOA －△DOA ，△△AOC=△BOD ，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△OAC=△OBD ，△△AGF=△BGO ，△△AFG=△BOG=90º，△AC△BD ；（3）AC=BD ，AC△BD ．证明：BD 交AC 于点H ，AO 于M ，△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△DOC=BOA=90º，△△AOC=△DOC+△DOA ，△BOD=△BOA+△DOA ，△△AOC=△BOD ，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△OAC=△OBD ，△△AMH=△BMO ，△△AHM=△BOH=90º，△AC△BD ．【变式训练3】已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACE =62°；（3）△CBA =6°．【详解】解：（1）△△CAE =△DAB ，△△CAE +△CAD =△DAB +△CAD ，即△CAB =△EAD ，在△ABC 和△ADE 中，△△ABC△△ADE （AAS ），ABC ∆ADE ∆C E ∠=∠CAE DAB ∠=∠BC DE =ABC ADE ∆∆≌CE BD DE AD BC M N 56DMB ∠=︒ACE ∠CN EM =CBA∠C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（2）△△ABC△△ADE ，△△CBA=△EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，△△EDA +△MND+△DMB =，△CBA +△ANB +△DAB =，又△ △MND=△ANB ，△ △DAB=△DMB=，△△CAE =△DAB=，△AC=AE ，△△ACE =△AEC=，△△ACE =， （3）△CBA=，如图所示，连接AM ，,CN=EM,CA=EA,(SAS), AM=AN,,=即,由(2)可得：,=, △CAE =△DAB==-= .课后训练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ △ABC △△ADE （SAS ）△△BAC =△DAE 180︒180︒56︒56︒1(18056)622︒︒︒-=62︒6︒NCA MEA ∠=∠∴NCA MEA ≅∴EAM CAN ∠=∠∴EAM CAM ∠-∠CAN CAM ∠-∠EAC MAN ∠=∠=56EAC MAN ︒∠=∠∴ANM ∠1(18056)622︒︒︒-=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠62︒56︒6︒△△EAB =△BAC +△DAE +△CAD =120°△△BAC =△DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ △△BAF =△BAC +△CAD =65°△在△AFB 中，△AFB =180°-△B -△BAF =90°△△GFD =90°在△FGD 中，△EGF =△D +△GFD =115°故选：C2.如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF△AB 于F ，△B ＝△1+△2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．【详解】在FA 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ． △EB =ET ，△△B =△ETB ，△△ETB =△1+△AET ，△B =△1+△2，△△AET =△2，△AE =CD ，ET =CK ，△△AET △△DCK (SAS )，△DK =AT ，△ATE =△DKC ，△△ETB =△DKB ，△△B =△DKB ，△DB =DK ，△BD =AT ，△AD =BT ，△BT =2BF =83，△AD =83，故答案为：83．3.如图，2A C ，BD 平分ABC ∠，10BC =，6AB =，则AD =_____．【答案】4【详解】解：（1）在BC 上截取BE ＝BA ，如图，△BD 平分△ABC ，△△ABD ＝△EBD ，在△ABD 和△BED 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△EBD （SAS ），△DE ＝AD ，△BED ＝△A ，又△△A ＝2△C ，△△BED ＝△C +△EDC ＝2△C ，△△EDC ＝△C ，△ED ＝EC ，△EC ＝AD ，△BC ＝BE +EC ＝AB +AD ，△BC ＝10，AB ＝6，△AD ＝10﹣6＝4；故答案为：4．4.如图，正方形ABCD ，将边CD 绕点D 顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE ，连接AE ，CE ，过点A 作AF △CE 交线段CE 的延长线于点F ，连接BF ．（1）当AE ＝AB 时，求α的度数；（2）求证：△AEF ＝45°；（3）求证：AE △FB ．【答案】（1）α＝30°；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【详解】解：(1) 在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝DC ，由旋转可知，DC ＝DE ，△AE ＝AB △AE ＝AD ＝DE△△AED 是等边三角形，△∠ADE ＝60°，△△ADC ＝90°，△α＝△ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°．（2）证明：在△CDE 中，DC ＝DE ，△△DCE ＝△DEC ＝180=9022αα－－， 在△ADE 中，AD ＝ED ，△ADE ＝90°－α，△△DAE ＝△DEA ＝()18090=4522αα－－＋ △△AEC ＝△DEC ＋△DEA ＝90+45+22αα－＝135°．△△AEF ＝45°，（3）证明：过点B 作BG //CF 与AF 的延长线交于点G ，过点B 作BH //GF 与CF 交于点H ， 则四边形BGFH 是平行四边形，△AF △CE ，△平行四边形BGFH 是矩形，△△AFP ＝△ABC ＝90°，△APF ＝△BPC ，△△GAB ＝BCP ，在△ABG 和△CBH 中，GAB HCB BGA BHC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG △△CBH (AAS )，△BG ＝BH ，△矩形BGFH 是正方形，△△HFB ＝45°，由（2）可知：△AEF ＝45°，△△HFB ＝△AEF ＝45°，△AE△F B ．5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝65º，求∠BDC的度数．【答案】（1）见解析；（2）50º【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，即∠BAE ＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD；（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD＋∠BAC，∠BOC＝∠ACD ＋∠BDC，∴∠ABD＋∠BAC＝∠ACD＋∠BDC，∵∠ABD＝∠ACD，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ACB＝65º，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65º ，∴∠BAC＝180º－∠ABC－∠ACB＝180º－65º－65º＝50º ，∴∠BDC＝∠BAC＝50º．6.如图①，在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC 的外部作△CED，使△CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：EF=AE；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF、AE的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）AF=，见解析．【详解】解：（1）如图，四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，AB=AC，∴AC=DF，DE=EC∴AE=EF；（2）AF=，证明：连接EF，设DF交BC于K，四边形ABFD是平行四边形，∴AB//DF∴△DKE=△ABC=45°，∴△EKF=180°-△DKE=135°△ADE=180°-△EDC=180°-45°=135°，∴△EKF=△ADE，△DKC=△C，∴DK=DC ，DF=AB=AC，∴KF=AD在△EKF和△EDA中，EK DKEKF ADEKF AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKF△△EDA（SAS）∴EF=EA, △KEF=△AED，∴△FEA=△BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，AF=．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB ＝CP＋CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA＋∠ACG＝∠CAG＋45°＝∠CBE＋45°，∠PGC＝∠GCB＋∠CBE＝∠CBE＋45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG＋PG，BG＝CF，∴PB＝CF＋CP；（3）如图，过E作EM⊥AG，交AG于M，＝AG•EM，∵S由（2）得△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x＋x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM，∴M是AG的中点，∴AE＝EG，∴BE＝BG＋EG＝6＋，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝，∴AC＝AE＋EC．8.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE ＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．【解答】（1（2）见解析；（3【解析】（1）如图，过点C作CG⊥AB于G，∵AC＝CD，∴AG＝DG，设DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝DE，∴BG＝BD＋DG＋a，在Rt△BGC中，∠BCG＝90°－∠ABC＝30°，∴BC＝2BG，CG＝BG＝6＋a，在Rt△DGC中，CD＝AC＝3，根据勾股定理得，CG2＋DG2＝CD2，∴（6＋a）2＋a2＝90，∴（舍），∴BC＝EC＋BE＝EC＋BD，∴EC＋BD＝2（BD＋DG），∴EC＝BD＋2DG；（2）如图在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP，∵△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，BE＝DE，∴∠DEC＝120°，BE＝PM，∵AE＝AM，∴∠AEM＝∠AME，∴∠AEB＝∠AMP，∴△ABE≌△APM（SAS），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，如图，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°－∠BDE－∠ADC＝180°－60°－∠DAC＝120°－∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠DAC＝120°－∠DAC＝∠CDE，∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，∴CM＝MP＋CP＝2DE；（3）如图，在MC上取一点P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，由（2）知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE＋PE＋CP＝DE＋PE＋DE＝2DE＋AD＝MC＋AD，过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，在Rt△ABH，在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°－∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH，∵MC＋AD＝BC＝BH＋CH＝，∴MC＋AD＝AC．。
经典几何问题之隐圆模型
经典几何问题之隐圆模型——“圆”来如此简单一、名称由来在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来。
二.模型建立【模型一：多个点（定点或动点）到同一个点的距离相等，则这多个点在同一个圆上】【模型二：定边对定角，点在弧上跑】若三角形的一边固定，这边的对角顶点为动点，但角度为定值，则对角的顶点在一定在圆弧上运动。
（1）直角三角形的斜边固定，直角顶点是动点，则直角顶点的运动轨迹是是以斜边为直径的圆（斜边的两个端点除外）；（2）三角形的一边固定，对角的顶点是动点，角度为α（α是定值锐角），则对角顶点的运动轨迹是以定边为弦，弦所对圆周角为α的两条优弧（不含端点）；（3）三角形的一边固定，对角的是动点，角度为β（β是定值钝角），则对角顶点的运动轨迹是以定边为弦，弦所对圆周角为β的两条劣弧（不含端点）。
三．模型基本类型图形解读【模型一：动点到定点定长】【模型二（1）：定边对直角】【模型二（2）：定边对定角】四．“隐圆”题型知识储备【点圆距离与穿心线】（1）点P是半径为r的⊙O内一定点，OP=d，OP的延长线交⊙O于A，点A是圆上离P最近的点，PA=r-d，PO的延长线交⊙O于B，点B是圆上离P最远的点，PB=r+d；圆上其它点到点P的距离介于r-d与r+d之间。
（2）点P是半径为r的⊙O外一定点，OP=d，连接OP交⊙O于A，点A是圆上离P最近的点，PA=d-r；PO的延长线交⊙O于B，则圆上各点中，点B是圆上离P最远的点，PB=d+r；圆上其它点到点P的距离介于d-r与d+r之间。
（3）在以上两种情况，直线OP叫做穿心线。
【线圆距离与穿心距】（1）直线l与半径为r的⊙O相离，作OP⊥l于P，设OP=d，OP交⊙O于A，点A是圆上离直线l最近的点，PA=d-r；PO的延长线交⊙O于B，点B是圆上离直线l最远的点，PB=d+r，圆上其它点到直线l的距离介于d-r与d+r之间。
2022年中考数学几何模型之单中点与双中点模型(讲+练)(解析版)
专题02 单中点与双中点模型有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。
模型一、双中点-中位线模型如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，例.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD△AB，垂足为D，点E为BC的中，则AE的长为（）点，AE与CD交于点F，若DF3A B．C D．【答案】C【详解】解：连接DE，如图所示：在Rt△ABC 中，△ACB =90°，AC=BC ， △CD △AB ，△AD=BD ，即点D 为AB 的中点．△E 为BC 的中点，△DE 是△ABC 的中位线，△DE △AC ，DE =12AC ，△△DEF △△CAF ，△DF ：CF=DE ：AC =1：2，△DF=13，△AC=BC ，△AC 2+BC 2=2AC 2=AB 2=8．△AC=BC=2．△CE=1．在直角△ACE 中，由勾股定理知：AE故选：C ．【变式训练1】如图，在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ．求证：MQ ＝QN ．【答案】见解析【详解】证明：连接BG 和CE 交于O ，∵四边形ABDE 和四边形ACFG 是正方形，∴AB ＝AE ，AC ＝AG ，∠EAB ＝∠GAC ， ∴∠EAB +∠EAG ＝∠GAC +∠EAG ，∴∠GAB ＝∠EAC ， 在△BAG 和△EAC 中，，∴△BAG ≌△EAC （SAS ），∴BG ＝CE ．∵BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ，∴MQ ＝CE ，QN ＝BG ， ∵BG ＝CE ，∴QN ＝MQ ．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，OAB 的顶点B 在x 轴正半轴上，顶点A 和边AB 的中点C 均在函数()20=>y x x的图象上，则OAB 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B【详解】如图，过点A 、点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，则//AD CE ，∴CE BE BCAD BD BA==，△C 是AB 边的中点，∴12CE BE BC AD BD BA ===， 设CE x =，则2AD x =，△顶点A 和边AB 的中点C 均在函数()20=>y x x 的图象上，C ∴的横坐标为2x，A 的横坐标为1x， 1OD x∴=，2OE x =，1DE OE OD x ∴=-=，1BE DE x ∴==，3OB OE BE x ∴=+=，1132322OAB S OB AD x x∆∴==⨯⨯=．故选：B ．【变式训练3】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，AC ＝1，D 是AB 的中点，E 是BC 上一点，若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长为 .【答案】【详解】如图，过点A 作AM ∥DE 交BC 的延长线于点M ，过点C 作CN ⊥AM ，垂足为N .∵D 是AB 的中点，∴E 为BM 的中点，即BE ＝EM ，又∵DE 平分△ABC 的周长，∴AC +CE ＝BE ，∴MC +CE ＝AC +CE ，∴MC ＝AC ， ∵CN ⊥AM ，∠ACB ＝60°，∴∠CAN ＝60°，在Rt △CAN 中，AN ＝AC ·sin60º＝，∴AM ＝2AN＝，∴DE＝.模型二、 单中点-倍长中线模型例.如图，CE 、CB 分别是ABC 与ADC 的中线，且∠=∠ACB ABC ，AC AB =．求证：2CD CE =．【答案】见解析【详解】证明：如图，过点B 作//BF AC 交CE 的延长线于点F ．△CE 是ABC 的中线，//BF AC ，△AE BE =，A ABF ∠=∠，ACE F ∠=∠， 在ACE 和BFE △中，△,,,A ABF ACE F AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACE BFE ≌（AAS ），△CE EF =，AC BF =，△2CF CE =，又△AC AB =，CB 是ADC 的中线，△AC AB BD BF ===，△DBC A ACB ABF ABC ∠=∠+∠=∠+∠，△∠=∠ACB ABC ，△DBC FBC ∠=∠，在DBC △和FBC 中，△,,,DB FB DBC FBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△DBC FBC ≌（SAS ）， △2DC CF CE ==．【变式训练1】已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______； ②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析 【详解】（1）①△90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒，△EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠ △90EAC BAE ∠+∠=︒，△ACD BAE ∠=∠又△AEC B BAE ∠=∠+∠，△EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠ △45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒，故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，△点D 为AB 的中点，△BD AD =，又△ADG BDE ∠=∠，△ADG △BDE ，△DGA DEB ∠=∠，△//AG BC ，△GAE AEC ∠=∠， 又△2AE DE =，△AE EG =，△DGA GAE ∠=∠，△DEB AEC ∠=∠． （2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，△AD BD =，ADF BDH ∠=∠，△HDB △FDA △，△BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒， △BF AC =．△Rt HBF △△Rt FAC △，△2CF HF DF ==．【变式训练2】如图①，点O 为线段MN 的中点，PQ 与MN 相交于点O ，且PM ∥NQ ，可证△PMO ≌△QNO ．根据上述结论完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE ＝∠EAF ，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．【答案】见解析【详解】（1）AB＝AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G点，根据图①得△ABE≌△GCE，∴AB＝CG，又AB∥DC，∴∠BAE＝∠G而∠BAE＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴AF＝GF，∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF；（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，根据CF∥AB得△ABE∽△GCE，∴AB：CG＝BE：CE，而BE：EC＝1：2，AB＝4，∴CG＝8，又AB∥FC，∴∠BAE＝∠G，而∠BAE＝∠EDF，∴∠G＝∠EDF，∴DF＝GF，而CF＝2，∴DF＝CG﹣CF＝8﹣2＝6．【变式训练3】如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．【答案】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝3，∴DE＝，故答案为．模型二、单中点-“三线合一”模型如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.例.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF ⊥FD.【答案】见解析【解析】如图，连接CF.∵AC ＝CE ，F 为AE 的中点，∴CF ⊥AE ，∴∠AFD ＋∠DFC ＝90º， ∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ，AB ⊥CE ，∠ABC ＝∠BAD ＝90º， 在Rt △ABE 中，∵F 为AE 的中点，∴BF ＝AF ，∴∠FBA ＝∠FAB ， ∴∠FAB ＋∠BAD ＝∠FBA ＋∠ABC ，即∠FBC ＝∠FAD ， 又∵AD ＝BC ，FA ＝FB ，∴△FBC ≌△FAD ，∴∠AFD ＝∠BFC ， ∴∠BFD ＝∠BFC ＋∠DFC ＝∠AFD ＋∠DFC ＝90º，∴BF ⊥FD .【变式训练1】如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ） A .B .C .D .【答案】C【解析】如图，连接AM .∵AB ＝AC ，M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ， ∵AC ＝5，CM ＝BC ＝3，∴AM ＝4，∴在Rt △AMC 中，AM CM ＝AC MN ，即4×3＝5MN ，解得MN .【变式训练2】半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB 折叠，使折叠后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，求图中阴影部分面积？【答案】【解析】如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB.由题意可得OM⊥AB，且OC＝MC＝，在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，，∴∠AOC＝60º，AB＝2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120º，则，.课后训练1. 如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故选：B．2.的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（）A. B. 5C. D.【答案】D【解析】如图，连接OA、OC，OC交AB于点D.∵点C是的中点，∴OC⊥AB且平分AB，即AD＝AB，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，在Rt△AOD中，，∴AD＝AO·＝，∴AB＝2AD.3.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．【答案】【解答】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．∴在Rt △PHG 中，PG ＝＝＝．故答案是：． 4．如图，已知△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE 交BC 于点G ，若DG=GE ，说明：△ABC 为等腰三角形．【答案】见解析．【详解】解：如图，过D 作DF△AC 交BC 于F ，△DF△AC ，△△DFC=△FCE ，△△DGF=△CGE ，DG=GE ，△△DFG△△ECG （AAS ），△DF=CE ，△BD=CE ，△BD=DF ，△△B=△DFB ，△DF△AC ，△△DFB=△ACB ，△△B=△ACB ，△AB=AC ，△△ABC 为等腰三角形．5．如图所示，已知在ABC 中，D 是AB 的中点，DC AC ⊥，4cos 5DCB ∠=，求sin A ．【详解】如图所示，作//DE AC 交B C 于点E ，得90CDE ACD ∠=∠=︒，△ 4cos 5CD DCB CE =∠=，设4CD x =，则5CE x =，△3DE x =，由中位线定理得AC ＝6x ，在Rt ACD △中，AD =，△sinCD A AD ===； 6.如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 的形状.【答案】四边形PQMN 为菱形【解析】如图，连接AC 、BD .∵△ADE 和△BCE 都是等边三角形，∴∠AEC ＝120º，∠BED ＝120º，∴∠AEC ＝∠BED ， 又∵EA ＝ED ，EC ＝EB ，∴△AEC ≌△DEB ，∴AC ＝BD ，又∵P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴PNBD ，QM BD ，∴PN QM ，∴四边形PQMN 是平行四边形，又∵PN ＝，MN AC ，∴MN ＝PN ，∴四边形PQMN 是菱形.7.如图，在△ABC 中，BC ＝22，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别是BC 、DE 的中点，若ED ＝10，求FG 的长.【解析】如图，连接EH 、DH .由题意可得EH 、DH 分别为Rt △BEC 、Rt △BDC 斜边上的中线，∴DH ＝EH ＝BC ＝11，∵点G 为ED 的中点，∴DG ＝EG ＝5，又∵HG ⊥DE ，∴在Rt △HGD 中，HG . 8．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【详解】（1）①△90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒△EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠△90EAC BAE ∠+∠=︒，△ACD BAE ∠=∠又△AEC B BAE ∠=∠+∠，△EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠△45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，△点D 为AB 的中点，△BD AD =，又△ADG BDE ∠=∠，△ADG △BDE ，△DGA DEB ∠=∠，△//AG BC ，△GAE AEC ∠=∠，又△2AE DE =，△AE EG =，△DGA GAE ∠=∠，△DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，△AD BD =，ADF BDH ∠=∠，△HDB △FDA △， △BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒， △BF AC =．△Rt HBF △△Rt FAC △， △2CF HF DF ==．。
中考数学几何专题——手拉手模型(二)
手拉手模型（一）模型基本结论探究1、如图所示，若△ABC、△ADE都是正三角形，试比较线段BD与线段CE的大小.2、如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？3、已知：如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，DE交BG延长线于点H，请说明BG 和DE的关系.4、如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，猜想线段AC、BD的关系，并说明理由.5、问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为直线AB上的一动点（点D不与点A，B重合）连接CD，以点C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接BE，试探索线段AB，BD，BE之间的数量关系．小组展示：“希望”小组展示如下：解：线段AB，BD，BE之间的数量关系是AB=BE+BD．证明：如图①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∵CE是由CD旋转得到，∴CE=CD，则在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（依据1），∴AD=BE（依据2），∵AB=AD+BD，∴AB=BE+BD反思与交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：依据2：（2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论：①如图②，当点D在线段AB的延长线上时，三条点段AB，BD，BE之间的数量关系是_________________________．②如图③，当点D在线段BA的延长线上时，三条线段AB，BD，BE之间的数量关系是_________________________．拓展应用：（3）如图④，当点D在线段BA的延长线上时，若CD=4，线段DE的中点为F，连接FB，求FB的长度．6、如图1，在D ABC和D AEF中，ÐBAC=ÐEAF=a，AB=AC, AE=AF，点D是BC的中点，点M是EF的中点，连接CE，点N是CE的中点，连接DN，MN.（1）如图2，将△AEF绕点A旋转，使点E，F分别在边BA，CA的延长线上．①试探究线段DN与MN的数量关系，并证明你的结论；②此时，∠DNM与α之间存在等量关系，这个等量关系为______（不必说明理由）．（2）将△AEF绕点A旋转，使点E落在△ABC内部，如图3，此时，你在（1）中得到的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．7、在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D。
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几何之基本模型二：含角平分线的对角互补的四边形问题研究
1.如图，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，则给出下列条件○1DA 平分∠BAC ○2∠ABD+∠ACD=180°○3DB=DC ○4AC-AB=2CF;AB+AC=2AF 。
请证明知二推二。
2.已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC ；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，D 为AC 中点，∠EDF=90°, （1）求证：DE=DF.
（2）那么当∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度后，上述结论还成立吗？请画出示意图，并说明理由。
4.如图，在平面直角坐标系中，Rt △PQR 的直角顶点P 的坐标为（3,3），两直角边与坐标轴交于点A 和点B ． （1）求OA+OB 的值
（2）如图（2）将直角三角形绕点P 逆时针旋转,两直角边与坐标轴交于点A 和点B,求OA-OB 的值.
Q
5.如图，AD是△ABC的角平分线，点F,E分别在边AC,AB上，且BD=FD.
（1）求证：∠B+∠AFD=180°；
（2）如果∠B+2∠DEA=180°，试探究线段AE,AF,FD之间有何数量关系，并证明你的结论。
6. 如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S 四边形AOCP，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4
7.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个
8.（1）如图（1），在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE=DF，A E=AF；
（2）如图（2），在（1）的条件下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其他条件不变，那么AN、AF的数量关系是，并加以证明；
（3）如图（3），在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，∠MDN=120°，ND ∥AB，求四边形AMDN的周长.
9.如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N
①证明：DM=DN
②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
10. 己知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD 于点F，连接FC．
（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．
①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论：
（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的同侧时，利用图2画出图形探究线段FE，FA，FD 之间的数量关系，并直接写出你的结论．。