高一数学正弦函数、余弦函数的性质1
正弦函数、余弦函数的性质(三课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
上的函数
f
(x) 满足
f
x
f
x 2
，且
f
1 2
1 ，则
f
10.5
（
）
A．-1
B．-0.5
C．0.5
D．1
3．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) f (x) ，且当 x (0,1] 时 f (x) x(x 1) .
则当 x (2, 1] ， f (x) 的最小值是（ ）
（
）
A． 7
B．1
C． 0
D． 1
6．已知奇函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x)，且当 x 0,1 时，
f
x
log2
x
，则
f
7 2
的值为_______
常见函数性质隐藏了周期性
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),
(2)若f(x+a)= 1 ,.
变式2：求函数y sin( 1 x )的单调增区间
23
练习：（1）y cos(2x ) （2）y cos(-3x )
3
6
类型四：周期、奇偶性
1.下列函数中周期是 ，且为偶函数的是（）
2
A.y sin 4x
B.y cos 1 x 4
C.y sin(4x )
2
D.y cos(1 x )
）
A．
x
π 6
B． x 0
C．
x
π 6
D．
x
π 2
2．设函数
y
sin( x
π 6
)(0
5)
图像的一条对称轴方程为
x
1.4.2正弦函数余弦函数的性质
讲授新课
例1. 求下列三角函数的周期：
练习1. 求下列三角函数的周期：
讲授新课 一般结论:
讲授新课
三个函数的周期是什么?
讲授新课 一般结论:
讲授新课 正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形， 说出函数图象有怎样的对称性？其特点 是什么？
y＝sinx
y＝cosx
讲授新课 正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
讲授新课
例4.不通过求值，指出下列各式大于 0还是小于0.
例5、求函数y=sin(
1 2
x
3
),
x
2
,
2
的单调递增区间。
课堂小结
1. 正弦函数、余弦函数的周期性； 2.正弦函数、余弦函数的奇偶性； 3. 正弦函数、余弦函数的单调性.
补充作业：
1.已知sin(x ) 1 ,求sin(5 x) sin2 ( x)的值.
前提：定义域关于原点对称
讲授新课
例2.判断下列函数的奇偶性
讲授新课 正弦、余弦函数的性质3——单调性
增函数
减函数
讲授新课 正弦、余弦函数的性质3——单调性
增函数 减函数
对称轴 y=sinx的对称轴为
y=cosx的思考. 教材P.46习题1.4第11题.
讲授新课
例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果 有，请写出取最大值、最小值时的自变 量x的集合，并说出最大值、最小值分别 是什么.
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
讲授新课
周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个 值时，都有：f (x＋T)＝f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做 这个函数的周期.
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案 新人教A版必修4-新人
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一 函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案 不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理 函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案 由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一 三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟 解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解 因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四 函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析 由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |， 所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }， 由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数 答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析 要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数， 则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于 对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析 当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )， ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解 函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。
5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质(第1课时)课件高一上学期数学
π
的图象向右平移 个单位长度,得到
2
g(x)的图象.
3.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是( B )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解析 当 x=0 时,y=1;当
当
3π
x= 时,y=2;当
2
π
x=2 时,y=0;当
x=π 时,y=1;
x=2π 时,y=1.结合选项中的图象可知 B 正确.故选 B.
π
3
2
2π
0
1
1
2
3
规律方法
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]
上的简图的步骤.
(1)列表:
x
0
sin x(或cos x) 0(或1)
y
π
2
1(或0)
b(或A+b) A+b(或b)
π
3π
2
2π
0(或-1)
-1(或0)
0(或1)
b(或-A+b)
解 将 y= 1-cos 2 化为 y=|sin x|,
即 y=
sin(2π ≤ ≤ π + 2π,∈Z),
-sin(π + 2π < < 2π + 2π,∈Z).
因此首先作出函数y=sin x的图象,然后将图象在x轴下方的部分翻折到上
方即可得到函数y=|sin x|的图象,其图象如图所示.
x的取值集合为
解析 当
π
2
,m),则m=
2π
4π
{x∣ 3 +2kπ<x< 3 +2kπ,k∈Z}
正弦、余弦函数的性质(一)
3
) 的最小正周期为 T,且 T 1,3 ，则正整数 的最大值为
【课堂小结】结合学习目标，总结我的收获！
1、知识方面： 2、方法方面：
【课下作业】
预习正弦、余弦函数的奇偶性、单调性。
【课后反思】 1、思想方面 2、方法方面
4
3
)
2） y cos 2 x
3） y 3 sin
x 2 5
（2）若 0 ，如：① y 3cos( x) ； ② y sin(2 x) ； ③ y 2sin(
x R ．则这三个函数的周期又是什么？
①
1 x )， 2 6
②
③
一般结论：函数 y A sin( x ) 及函数 y A cos( x ) ， x R 的周期为 探究三：求函数的周期： y sin x
6
2 2 ) sin ，能若函数 f ( x) 的周期为 T ，则 kT ， k Z 也是 f ( x) 的周期吗？为什么？
【合作探究】
探究一：求下列三角函数的周期： ①y
思想火花
② y cos 4 x （3） y sin( x
2
3 2
2
0
2
3 2
2
sin x
y – 1
5
2
2
O 1 –
2
2
5
x
规律： 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； 2规律是：每隔 2重复出现一次（或者说每隔 2k,kZ 重复出现） 3这个规律由诱导公式 sin(2k+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当 x 增加 2k （ k Z ）时，总有 ___________________________________________________. 3.余弦函数是否也具有同样的性质？请用符号语言叙述。
高中数学必修4三角函数常考题型：正弦函数、余弦函数的性质(一)
正弦函数、余弦函数的性质(一)【知识梳理】1．函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )都是周期函数，2k π(k ∈Z ，且k ≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.3．正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．【常考题型】题型一、函数的周期【例1】 求下列三角函数的周期：(1)y ＝3sin x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R ；(4)y ＝|cos x |，x ∈R .[解] (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π.(2)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(3)因为sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋2π－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π.(4)y ＝|cos x |的图像如图(实线部分)所示，由图像可知，y ＝|cos x |的周期为π.【类题通法】求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；(2)图像法，利用变换的方法或作出函数的图像，通过观察得到最小正周期．【对点训练】求下列函数的最小正周期：(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.解：(1)由T ＝2ππ2＝4，可得函数的最小正周期为4. (2)由于函数y ＝cos x 为偶函数，所以y ＝cos|x |＝cos x ，从而函数y ＝cos|x |与y ＝cos x 的图像一样，因此最小正周期相同，为2π.题型二、三角函数的奇偶性【例2】 (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的奇偶性．(1)[解析] ∵f (x )的定义域是R .且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，∴函数为奇函数．[答案] A(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2为偶函数．【类题通法】与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；(2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．【对点训练】若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( )A ．0B.π4C.π2 D ．π解析：选C 法一：由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，而y ＝cos x 是R 上的偶函数，所以φ＝π2. 法二：因为y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin(x ＋φ)的图像的对称轴应满足x ＋φ＝π2＋k π.又y ＝sin(x ＋φ)是偶函数，所以x ＝0是函数图像的一条对称轴，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π2. 题型三、三角函数的奇偶性与周期性的应用【例3】 若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－17π6的值． [解] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－17π6＝f ⎝⎛⎭⎫－3π＋π6＝f ⎝⎛⎭⎫－6×π2＋π6 ＝f ⎝⎛⎭⎫π6.而f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π2－π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫－17π6＝1. 【类题通法】解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z )的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．【对点训练】若f (x )是奇函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，求f ⎝⎛⎭⎫92的值．解：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)．∴f (x ＋2)＝f (x )，即T ＝2.∴f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12.又∵f (x )为奇函数，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0，故f ⎝⎛⎭⎫92＝0. 【练习反馈】1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析：选B 由于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝2cos x ，其最小正周期为2π，且为偶函数．3．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 答案：奇4．函数y ＝cos (1－x )π2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4. 答案：45．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值． 解：∵当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，且最小正周期为π， ∴f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3＝ －sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32.。
5.4.2正弦余弦函数的性质课件(1)高一上学期数学人教A版
6
变式训练：求下列函数的最小正周期:
+
(1)y=sin
(x∈R);
+
(2)y=3cos -
(x∈R);
(3)y=|cos x|(x∈R).
解:(1)令 y=f(x)=sin
+ +
因为 sin
所以 sin ( + ) +
+
,
=sin
+
,
=sin
+
,
即 f(x+π)=f(x).
所以函数 f(x)=sin
问题提出
问题二：图象具有周期性，函数的横、纵坐标有何特点？
2
2
32
2
A1
·
·
1 B
1
y
y
x
O
1
由正弦函数的诱导公式：
2
sin(x+2kπ) = sinx
可得：sin(2π+x)=sinx
2
·
·
B2
பைடு நூலகம்
3
2
A2
2x+2π5
2
5
sin sin
sin(2 )
=-f -
=-sin -
=sin =
.
• 反思感悟
•
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的
方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的
函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
目标检测
1.(多选题)下列是定义在R上的四个函数图象的
一部分,其中是周期函数的是(
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
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1 2
O
y
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
余弦函数在每一个闭区间 [ 2 k 2 k
上都是增函数； 在每一个闭区间 [2 k 2 k 上都是减函数.
2
2
2 2
上都是增函数；
正弦曲线关于点（kπ ，0）对称.
p 正弦曲线关于直线 x = k p + (k ? Z ) 对称. 2
新知探究
根据余弦函数的图象，你能说出它们具有 哪些性质？
2
2
2 2
1 2
O
y
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
探求新知
余弦函数的定义域为R.
余弦函数的值域为 [-1 ， 1].
当且仅当
x 2 k , k Z
ymax 1
当且仅当 x 2 k , k Z ymin 1
余弦函数是偶函数. 余弦函数是周期函数.
2
2
2 2
正弦函数是奇函数.
复习巩固
一般地，函数y = A sin( wx + j )
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?
T
2
探究新知
在每一个闭区间 [ 2k 2k 2
上都是减函数
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k 2k 2
世上还是好人多，我的阿爹阿妈收养了我，供我吃穿供我上学，教育我怎么做人。虽然日子过得很清苦，但是我毕竟有 了一个温暖的家，阿爹的疼阿妈的爱滋润着我的心田„„你们知道吗？我家姊妹多，在那样的年代，只靠阿爹阿妈两个 人地里来地里去是养不活全家的，所以大狙二狙还有年仅十五岁的三狙相继缀学去了深山的煤矿拉煤„„曾记得阿爹生 病的时候，为了给阿爹治病，我偷偷地跟五妮子和六丫头去了煤矿。只干了几个小时的活，手上就磨起了泡，满脸乌黑， 我这才知道一个女孩子家拉煤是什么滋味„„后来被阿爹知道了，狠狠地把五妮子和六丫头训了一顿儿，说我和他们不 同，细皮嫩肉的不能去干那粗活儿，他让我安心地读书，长大了去大的城市生活„„我拉着阿爹的手哭了，你们知道我 的阿爹是多么的疼我多么的爱我吗？！„„ 阿爹走了，我的眼泪哭干了。我真后悔阿爹临终前告诉了我的身世„„我对你们的态度彻底改变了。 六叔，试问你能与我的阿爹能相比吗？痛定思痛，无论我的亲生父母是谁，以前如何待我，我毕竟是吃过六婶儿的奶， 我是不会忘记的。 往事难追，这里毕竟有养育了我的阿妈和我的兄弟狙妹，我已离不开这片土地和这群爱我的孩子们了。 六叔六婶儿，我已经长大了，至于我究竟姓什么对我来说已经不重要了„„因为这儿的天是蓝的土是黄的，这儿有我的 事业，我要把青春献给那些失去母爱的孩子们„„ 远方的女儿：荷花执笔于中秋之夜。 “荷花不记恨我们，她原谅我们了„„她终于承认她是我们的女儿了„„”妻子 流着泪兴奋地叫了起来。 列车在缓缓行驶，透过车窗回首瞭望，太阳升起来了，温暖的阳光洒满了远处的千山万壑。 我仿佛听到荷花的声音：爸——爸——我的眼睛湿润了„„我忘不了，在这群山之间有一座朴实的爱心小学。 祝福你，我的女儿荷花„„有一天，村里来了个放大照片的人，说是专门为老年人上门服务。我的母亲把这人领到家中， 拿出侄儿的全家福把它放大了，用相框装好挂在显眼的地方，静静地看上几眼。 若是来了客人，母亲就向他们炫耀着说：“这是我的娘家侄儿，我的重侄女长得多俊俏，就像我家的小荷„„” 没有外人时，时常念叨着：“多好的一家人啊，我的孙女真有福气„„唉！苦就苦了我家的荷花„„” 听了母亲的话，我终于说出了我的心愿：“爹„„娘„„我想去趟山西„„把荷花领回家„„”
与横轴的交点是对称中心
理论迁移
例 1. 求下列函数的最大值和最小值， 并写出取最大值、最小值时自变量x的集 合；再求其对称轴与对称中心. （1） y=cosx＋1，x∈R；
（2）y=－3sin2x，x∈R.
写出函数的单调区间
例2 比较下列各组数的大小: 化 化 (1) sin( )与 sin( ); 入 同 18 10 同 名 23 17 (2) cos( )与 cos( ). 一 5 单 （3） cos 与 sin 调 10 10 区 间
理论迁移
例3 求下列函数的单调递增区间. 1 (1) y sin( x ) 2 3 2 (2) y 2 sin( 3 x) 3 例4
x∈[－2π ，2π ]的单调递增区间.
1 x ) ) ， 求函数 y sin( x 2 3 23
理论迁移
例1 求下列函数的周期： 例5. 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为
周期函数？
ห้องสมุดไป่ตู้
例6. 已知定义在R上的函数f(x)满 足f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2] 时，f(x)=x－2，求f(10)的值. 几个周期函数定义的等价式：
f ( x a) f ( x), f ( x a) f ( x a)，a 0 1 1 f ( x a) , f ( x a) T 2a f ( x) f ( x)
1 2
O
y
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
余弦曲线关于点
p (k p + , 0) 2
对称.
余弦曲线关于直线x=kπ 对称.
函数
sinx
cosx
对称轴 x k 2
对称中心
(k , 0)
( k , 0) 2
x k
波峰、波谷处为对称轴
课后作业
1.《学海》第9课时
课后作业
作业2:P46：A组3、4 补充：求下列函数的最大值和最小值，
及相应的自变量x的集合；再求其对称轴
与对称中心.最后求出其单调区间.
1 1 (1) y 1 cos x;(2) y 2sin( x ) 2 3 2 3
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拓展延伸
例7. 定义在R上的函数f(x)既是 偶函数,又是周期函数,若f(x) 的最小正周期为 , 当x [0, 5 f(x)=sinx,求f( )的值. 3
2
]时,
拓展延伸
例8. 求下列函数的值域.
(1) y cos x 2 sin x 2;
2
2 cos x (2) y . 2 cos x
高一数学必修4第一章
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
(第三课时）
复习巩固
正弦函数的性质:1
-6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O
π
2
3 2
3π 2π 4π
5π 6π
x
正弦函数的定义域为R. 正弦函数的值域为 [-1 ， 1].
复习巩固
当且仅当 x 2 k , k Z ymax 1 , k Z ymin 1 当且仅当x 2 k