高一数学函数的性质
高一数学考点： 函数的性质
高一数学考点：函数的性质函数是高中数学课程内容的四条主线之一，贯穿整个高中数学的学习，是发展学生数学核心素养的重要载体．而函数的性质作为函数内容的重点和难点，成为高考考查的热点．纵观近几年的高考真题，对函数性质的考查主要集中在选择题和填空题．下面结合近几年的高考真题，就函数性质的常见考点和题型进行归类分析．一㊁函数单调性的判断与应用函数的单调性是反映函数变化趋势的重要性质，是高考的热门考点．判断函数单调性的常用方法有定义法㊁图像法和导数法．除此之外，了解函数单调性的常用结论，如 若ｋ＞０，则ｋｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）单调性相同；若ｋ＜０，则ｋｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）单调性相反 复合函数单调性同增异减法则 等，可以帮助我们更快解题．例１．（１）（２０２１年高考天津㊃第５题）设ａ＝ｌｏｇ２０.３，ｂ＝ｌｏｇ０.４，ｃ＝０.４０.３，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．ｃ＜ａ＜ｂＣ．ｂ＜ｃ＜ａＤ．ａ＜ｃ＜ｂ解析：ȵｌｏｇ２０.３＜ｌｏｇ２１＝０，ʑａ＜０．ȵｌｏｇ０.４＝－ｌｏｇ２０.４＝ｌｏｇ２５２＞ｌｏｇ２２＝１，ʑｂ＞１．ȵ０＜０.４０.３＜０.４０＝１，ʑ０＜ｃ＜１，ʑａ＜ｃ＜ｂ．故选：Ｄ．评注：本题考查利用函数的单调性和中间量去比较大小，０和１是常用的中间量．本题需要先把常数０和１转化成与ａ，ｂ，ｃ同底的对数或指数，再利用相应函数的单调性即可比较出这三个数和０㊁１的大小关系，进而得到ａ，ｂ，ｃ的大小．当然，比较ａ和ｂ的大小也可以直接转化为以２为底的对数，再用单调性去比较．熟悉常见函数的单调性㊁对数和指数的运算性质是关键，属于容易题．（２）设函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则ａ的取值范围是（㊀㊀）Ａ．（－ɕ，－２］Ｂ．［－２，０）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，＋ɕ）解析：函数ｙ＝２ｘ在Ｒ上单调递增，而函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则有函数ｙ＝ｘ（ｘ－ａ）＝ｘ－ａ２()２－ａ２４在区间（０，１）上单调递减，因此ａ２ȡ１，解得ａȡ２，所以ａ的取值范围是［２，＋ɕ）．故选：Ｄ．评注：本题考查复合函数的单调性，已知函数的单调区间求参数的取值范围，考查常见函数的单调性，考查逻辑推理能力．本题解题的关键在于识别出内外层函数，利用复合函数单调性 同增异减 的法则，推断出内层函数在已知区间上的单调性，利用二次函数的对称轴与已知区间的相对位置关系来求解参数范围，难度不大．（３）设ａ＝０.１ｅ０.１，ｂ＝１９，ｃ＝－ｌｎ０.９，则（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｃ＜ｂ＜ａＣ．ｃ＜ａ＜ｂＤ．ａ＜ｃ＜ｂ解析：设ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ（ｘ＞－１），因为ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ－１＝－ｘ１＋ｘ，当ｘɪ（－１，０）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，当ｘɪ（０，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，所以函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ在（０，＋ɕ）单调递减，在（－１，０）上单调递增，所以ｆ１９()＜ｆ（０）＝０，所以ｌｎ１０９－１９＜０，故１９＞ｌｎ１０９＝－ｌｎ０.９，即ｂ＞ｃ，所以ｆ－１１０()＜ｆ（０）＝０，所以ｌｎ９１０＋１１０＜０，故９１０＜ｅ－，所以１１０ｅ＜１９，故ａ＜ｂ．设ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｌｎ（１－ｘ）（０＜ｘ＜１），则ｇᶄ（ｘ）＝（ｘ＋１）ｅｘ＋１ｘ－１＝（ｘ２－１）ｅｘ＋１ｘ－１．令ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１，ｈᶄ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２＋２ｘ－１），当０＜ｘ＜２－１时，ｈᶄ（ｘ）＜０，函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１单调递减，2㊀当２－１＜ｘ＜１时，ｈᶄ（ｘ）＞０，函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１单调递增．又ｈ（０）＝０，所以当０＜ｘ＜２－１时，ｈ（ｘ）＜０，所以当０＜ｘ＜２－１时，ｇᶄ（ｘ）＞０，函数ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｌｎ（１－ｘ）单调递增，所以ｇ（０.１）＞ｇ（０）＝０，即０.１ｅ０.１＞－ｌｎ０.９，所以ａ＞ｃ．故选：Ｃ．评注：本题考查利用函数的单调性来比较大小，借助导数来判断函数的单调性，考查分析推理和计算能力，属于较难题．本题难点在于无法直接利用常见函数的单调性来比大小，需要先对各个数据进行代数变形，观察数据的结构去构造新的函数，再结合新函数的单调性以及特殊的函数值来比大小．利用指数函数和对数函数去构造新函数是常见的构造技巧．变式１．（１）设ａɪ（０，１），若函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋（１＋ａ）ｘ在（０，＋ɕ）上单调递增，则ａ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．解析：由函数的解析式可得ｆᶄ（ｘ）＝ａｘｌｎａ＋（１＋ａ）ｘｌｎ（１＋ａ）ȡ０在区间（０，＋ɕ）上恒成立，则（１＋ａ）ｘｌｎ（１＋ａ）ȡ－ａｘｌｎａ，即１＋ａａ()ｘȡ－ｌｎａｌｎ（１＋ａ）在区间（０，＋ɕ）上恒成立，故１＋ａａ()０＝１ȡ－ｌｎａｌｎ（１＋ａ），而ａ＋１ɪ（１，２），故ｌｎ（１＋ａ）＞０，故ｌｎ（ａ＋１）ȡ－ｌｎａ，０＜ａ＜１，{即ａ（ａ＋１）ȡ１，０＜ａ＜１，{故５－１２ɤａ＜１，结合题意可得实数ａ的取值范围是５－１２，１[■■|．故答案为：５－１２，１[■■|．（２）（２０２２高考北京卷㊃第１４题）设函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１，ｘ＜ａ（ｘ－２）２，ｘȡａ{，若ｆ（ｘ）存在最小值，则ａ的一个取值为㊀㊀㊀㊀㊀；ａ的最大值为㊀㊀㊀㊀㊀．解析：若ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝１，ｘ＜０（ｘ－２）２，ｘȡ０{ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０；若ａ＜０时，当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１单调递增，当ｘң－ɕ时，ｆ（ｘ）ң－ɕ，故ｆ（ｘ）没有最小值，不符合题目要求；若ａ＞０时，当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１单调递减，ｆ（ｘ）＞ｆ（ａ）＝－ａ２＋１，当ｘ＞ａ时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０，０＜ａ＜２（ａ－２）２，ａȡ２{ʑ－ａ２＋１ȡ０或－ａ２＋１ȡ（ａ－２）２，解得０＜ａɤ１，综上可得０ɤａɤ１；故答案为：０（答案不唯一），１．（３）设ａ＝２ｌｎ１.０１，ｂ＝ｌｎ１.０２，ｃ＝１.０４－１．则（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｂ＜ｃ＜ａＣ．ｂ＜ａ＜ｃＤ．ｃ＜ａ＜ｂ解析：ａ＝２ｌｎ１.０１＝ｌｎ１.０１２＝ｌｎ（１＋０.０１）２＝ｌｎ（１＋２ˑ０.０１＋０.０１２）＞ｌｎ１.０２＝ｂ，所以ｂ＜ａ；下面比较ｃ与ａ，ｂ的大小关系．记ｆ（ｘ）＝２ｌｎ（１＋ｘ）－１＋４ｘ＋１，则ｆ（０）＝０，ｆᶄ（ｘ）＝２１＋ｘ－２１＋４ｘ＝２（１＋４ｘ－１－ｘ）（１＋ｘ）１＋４ｘ，由于１＋４ｘ－（１＋ｘ）２＝２ｘ－ｘ２＝ｘ（２－ｘ），所以当０＜ｘ＜２时，１＋４ｘ－（１＋ｘ）２＞０，即１＋４ｘ＞（１＋ｘ），ｆᶄ（ｘ）＞０，所以ｆ（ｘ）在［０，２］上单调递增，所以ｆ（０.０１）＞ｆ（０）＝０，即２ｌｎ１.０１＞１.０４－１，即ａ＞ｃ；令ｇ（ｘ）＝ｌｎ（１＋２ｘ）－１＋４ｘ＋１，则ｇ（０）＝０，ｇᶄ（ｘ）＝２１＋２ｘ－２１＋４ｘ＝２（１＋４ｘ－１－２ｘ）（１＋ｘ）１＋４ｘ，由于１＋４ｘ－（１＋２ｘ）２＝－４ｘ２，在ｘ＞０时，１＋４ｘ－（１＋２ｘ）２＜０，所以ｇᶄ（ｘ）＜０，即函数ｇ（ｘ）在［０，＋ɕ）上单调递减，所以ｇ（０.０１）＜ｇ（０）＝０，即ｌｎ１.０２＜１.０４－１，即ｂ＜ｃ；综上，ｂ＜ｃ＜ａ，故选：Ｂ．二㊁函数奇偶性的判断与应用判断函数奇偶性的常用方法是定义法和图像法，对于小题来说，还可以通过赋特殊值的方法来作初步判断．函数的奇偶性反映了其图像的对称性，对于一些具有奇偶性的复合函数，其原函数蕴含了对称性，如 若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｂ）是定义在Ｒ上的奇函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于点（ｂ，０）中心对称 ， 若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）是定义在Ｒ上的偶函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝ａ对称 等，我们要学会从中看出函数的隐含性质．函数的奇偶性蕴含了函数在对称区间上的单调性关系，所以经常会把奇偶性和单调性结合在一起考查．例２．（１）函数ｙ＝（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ在区间－π２，π２[]的图像大致为（㊀㊀）Ａ．㊀㊀Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：令ｆ（ｘ）＝（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ，ｘɪ－π２，π２[]，则ｆ（－ｘ）＝（３－ｘ－３ｘ）ｃｏｓ（－ｘ）＝－（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ＝－ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为奇函数，排除ＢＤ；3㊀又当ｘɪ（０，π２）时，３ｘ－３－ｘ＞０，ｃｏｓｘ＞０，所以ｆ（ｘ）＞０，排除Ｃ．故选：Ａ．评注：本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的奇偶性㊁值域等性质来判断函数的大致图像，考查推理分析能力．首先判断函数的奇偶性，得到函数图像的对称性，可以排除选项Ｂ㊁Ｄ．对比选项Ａ㊁Ｃ，再结合特殊函数值的正负㊁或在某区间上函数值的正负㊁或函数的单调区间等性质可以排除Ｃ，得出正确选项．像这种由解析式判断函数图像㊁或者由图像判断解析式的题目，可以尝试优先考虑函数的定义域和奇偶性，再结合函数的值域㊁单调性㊁特殊值等做进一步的判断．（２）若ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１为偶函数，则ａ＝（㊀㊀）Ａ．－１Ｂ．０Ｃ．１２Ｄ．１解析：因为ｆ（ｘ）为偶函数，则ｆ（１）＝ｆ（－１），ʑ（１＋ａ）ｌｎ１３＝（－１＋ａ）ｌｎ３，解得ａ＝０，当ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１，（２ｘ－１）（２ｘ＋１）＞０，解得ｘ＞１２或ｘ＜－１２，则定义域为ｘｘ＞１２或ｘ＜－１２{}，关于原点对称．又因为ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）ｌｎ２（－ｘ）－１２（－ｘ）＋１＝（－ｘ）ｌｎ２ｘ＋１２ｘ－１＝（－ｘ）ｌｎ（２ｘ－１２ｘ＋１）－１＝ｘｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１＝ｆ（ｘ），故此时ｆ（ｘ）为偶函数．故选：Ｂ．评注：本题考查了函数的奇偶性：已知函数的奇偶性，求参数的值，常规题型．如果直接利用偶函数的定义ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）来求解，计算量比较大．采用特殊值代入先求出参数值ａ，再回代ａ，用定义去验证函数ｆ（ｘ）为偶函数，这样的处理技巧可以大大减少计算量．变式２．（１）函数ｆ（ｘ）图像如下图所示，则ｆ（ｘ）的解析式可能为（㊀㊀）Ａ．５（ｅｘ－ｅ－ｘ）ｘ２＋２Ｂ．５ｓｉｎｘｘ２＋１Ｃ．５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２Ｄ．５ｃｏｓｘｘ２＋１解析：由图知：函数图像关于ｙ轴对称，其为偶函数，而Ａ㊁Ｂ中函数为奇函数，排除；当ｘ＞０时，５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２＞０，即５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２中（０，＋ɕ）上函数值为正，排除Ｃ；故选：Ｄ（２）若ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｓｉｎｘ＋π２()为偶函数，则ａ＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：因为ｙ＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｓｉｎｘ＋π２()＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｃｏｓｘ为偶函数，定义域为Ｒ，所以ｆ－π２()＝ｆπ２()，即－π２－１()２－π２ａ＋ｃｏｓ－π２()＝π２－１()２＋π２ａ＋ｃｏｓπ２，则πａ＝π２＋１()２－π２－１()２＝２π，故ａ＝２，此时ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋２ｘ＋ｃｏｓｘ＝ｘ２＋１＋ｃｏｓｘ，所以ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）２＋１＋ｃｏｓ（－ｘ）＝ｘ２＋１＋ｃｏｓｘ＝ｆ（ｘ），又因为定义域为Ｒ，故ｆ（ｘ）为偶函数，所以ａ＝２．故答案为：２．三㊁函数对称性的判断与应用判断函数对称性的常用方法是定义法，其代数表达形式有多种类型，我们要理解其本质，对于题目给出的关系式，有时候需要通过代数变形才能识别出其对称轴或对称中心．若函数具有两种对称性，则该函数是周期函数，如 对于任意的实数ｘ，函数ｆ（ｘ）同时满足ｆ（ａ－ｘ）＝ｆ（ａ＋ｘ），ｆ（２ａ－ｘ）＝ｆ（２ａ＋ｘ），则函数ｆ（ｘ）是以Ｔ＝２ａ为周期的周期函数，且是偶函数 ，所以对称性和周期性也会经常结合在一起考查．例３．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，且ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７．若ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，ｇ（２）＝４，则ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝（㊀㊀）Ａ．－２１Ｂ．－２２Ｃ．－２３Ｄ．－２４解析：因为ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，所以ｇ（２－ｘ）＝ｇ（ｘ＋２），因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７，所以ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ－２）＝７，即ｇ（ｘ＋２）＝７＋ｆ（ｘ－２），因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，所以ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ＋２）＝５，代入得ｆ（ｘ）＋［７＋ｆ（ｘ－２）］＝５，即ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ－２）＝－２，所以ｆ（３）＋ｆ（５）＋ ＋ｆ（２１）＝（－２）ˑ５＝－１０，ｆ（４）＋ｆ（６）＋ ＋ｆ（２２）＝（－２）ˑ５＝－１０．因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，所以ｆ（０）＋ｇ（２）＝５，即ｆ（０）＝１，所以ｆ（２）＝－２－ｆ（０）＝－３．因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７，所以ｇ（ｘ＋４）－ｆ（ｘ）＝７，又因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，联立得ｇ（２－ｘ）＋ｇ（ｘ＋４）＝１２，所以ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关4㊀于点（３，６）中心对称，因为函数ｇ（ｘ）的定义域为Ｒ，所以ｇ（３）＝６．因为ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ＋２）＝５，所以ｆ（１）＝５－ｇ（３）＝－１．所以ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＋［ｆ（３）＋ｆ（５）＋ ＋ｆ（２１）］＋［ｆ（４）＋ｆ（６）＋ ＋ｆ（２２）］＝－１－３－１０－１０＝－２４．故选Ｄ．评注：本题主要考查了抽象函数的对称性，需要充分理解并掌握对称性的定义和性质，对函数关系式多次变形转化，难度较大．本题难点在于对条件 ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７ 的灵活应用．一是对ｘ进行赋值，根据需要进行合理的赋值才能得到想要的结果；二是对ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）关系的转化，根据ｇ（ｘ）的性质进行赋值后消去ｇ（ｘ）得到只有ｆ（ｘ）的关系式，从而得到ｆ（ｘ）的性质，再次赋值消去ｆ（ｘ）得到只有ｇ（ｘ）的关系式，从而得到ｇ（ｘ）的性质．变式３．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德㊃黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在［０，１］上，其解析式如下：Ｒ（ｘ）＝１ｐ，ｘ＝ｑｐ（ｐ，ｑ互质，ｐ＞ｑ）０，ｘ＝０㊁１或［０，１］上的无理数{，定义在实数集上的函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆ（－ｘ）＝５－ｇ（２＋ｘ），ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４），且函数ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，ｇ（２）＝２，当ｘɪ（０，１）时，ｆ（ｘ）＝Ｒ（ｘ），则ｆ（２０２２）＋ｆ－２０２３６()＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：因为函数ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，所以ｇ（２＋ｘ）＝ｇ（２－ｘ）由ｆ（－ｘ）＝５－ｇ（２＋ｘ）得ｆ（ｘ）＝５－ｇ（２－ｘ），所以ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为偶函数，由ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４）得：ｇ（２－ｘ）＝９＋ｆ（－ｘ－２）＝９＋ｆ（ｘ＋２），代入ｆ（ｘ）＝５－ｇ（２－ｘ），得ｆ（ｘ）＝－４－ｆ（ｘ＋２），所以ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋２）＝－４，所以ｆ（ｘ＋２）＋ｆ（ｘ＋４）＝－４，所以ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋４），所以ｆ（ｘ）是以４为周期的函数，由ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４）得ｇ（２）＝９＋ｆ（－２）＝２，所以ｆ（－２）＝－７，即ｆ（２）＝－７，由ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋２）＝－４得ｆ－７６()＋ｆ－７６＋２()＝－４，所以ｆ－７６()＋ｆ５６()＝－４，即ｆ－７６()＋Ｒ５６()＝－４，所以ｆ－７６()＋１６＝－４，所以ｆ－７６()＝－４－１６，ｆ（２０２２）＋ｆ－２０２３６()＝ｆ（４ˑ５０５＋２）＋ｆ－４ˑ８４－７６()＝ｆ（２）＋ｆ－７６()＝－７－４－１６＝－６７６，故答案为：－６７６．四㊁函数周期性的判断与应用判断函数周期性的常用方法是定义法，即 若函数满足ｆ（ｘʃＴ）＝ｆ（ｘ）（Ｔʂ０），则ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为Ｔ，ＫＴ（ｋɪＺ）也是函数周期 ．还有一些常见的周期性的表达式，也需要我们熟悉，如 ｆ（ｘ＋ａ）＝－ｆ（ｘ）⇔ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为Ｔ＝２ａ ．周期性的表达式和对称性的表达式很相似，特别是综合考查对称性和周期性的题目，要加以区分．例４．函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）（ｘɪＲ），且在区间（－２，２］上，ｆ（ｘ）＝ｃｏｓπｘ２，０＜ｘɤ１ｘ＋１２，－２＜ｘɤ０■■■|||则ｆ（ｆ（１５））的值为㊀㊀㊀㊀㊀．解析：由ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）得函数ｆ（ｘ）的周期为４，所以ｆ（１５）＝ｆ（１６－１）＝ｆ（－１）＝－１＋１２＝１２，因此ｆ（ｆ（１５））＝ｆ１２()＝ｃｏｓπ４＝２２．评注：本题主要考查了函数的周期性以及分段函数的求值问题，利用周期性把未知函数关系式区间上的函数值转化为已知关系式的区间上求解．本题还涉及到两层函数复合的求值问题，要从里往外层层求解，难度不大，但计算要细心．变式４．（１）已知函数ｆ（ｘ）周期为１，且当０＜ｘɤ１，ｆ（ｘ）＝－ｌｏｇ２ｘ，则ｆ３２()＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：ｆ３２()＝ｆ１２()＝－ｌｏｇ２１２＝１．（２）（２０２２年新高考全国Ⅱ卷㊃第８题）已知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ），ｆ（１）＝１，则ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝（㊀㊀）Ａ．－３Ｂ．－２Ｃ．０Ｄ．１解析：令ｙ＝１得ｆ（ｘ＋１）＋ｆ（ｘ－１）＝ｆ（ｘ）㊃ｆ（１）＝ｆ（ｘ）⇒ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－１），故ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ＋１）－ｆ（ｘ），ｆ（ｘ＋３）＝ｆ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ＋１），消去ｆ（ｘ＋２）和ｆ（ｘ＋１）得：ｆ（ｘ＋３）＝－ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）周期为６；令ｘ＝１，ｙ＝０得ｆ（１）＋ｆ（１）＝ｆ（１）㊃ｆ（０）⇒ｆ（０）＝２，ｆ（２）＝ｆ（１）－ｆ（０）＝１－２＝－１，ｆ（３）＝ｆ（２）－ｆ（１）＝－１－１＝－２，ｆ（４）＝ｆ（３）－ｆ（２）＝－２－（－１）＝－１，ｆ（５）＝ｆ（４）－ｆ（３）＝－１－（－２）＝１，ｆ（６）＝ｆ（５）－ｆ（４）＝１－（－１）＝２，故ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝３［ｆ（１）＋ｆ（２）＋ ＋ｆ（６）］＋ｆ（１９）＋ｆ（２０）＋ｆ（２１）＋ｆ（２２）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＝１＋（－１）＋（－２）＋（－１）＝－３，即ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝－３．故选：Ａ．五㊁函数性质的综合应用高考中也会把函数的各种性质综合在一起考查，我们要掌握各种性质之间的联系和区别，才能明确解题的方向和思路．例５．（１）设ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的偶函数，且在（０，5㊀＋ɕ）单调递减，则（㊀㊀）Ａ．ｆ（ｌｏｇ３１４）＞ｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）Ｂ．ｆ（ｌｏｇ３１４）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（２－３２）Ｃ．ｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（ｌｏｇ３１４）Ｄ．ｆ（２－２３）＞ｆ（２－３２）＞ｆ（ｌｏｇ３１４）解析：ȵｆ（ｘ）是Ｒ上的偶函数，ʑｆ（ｌｏｇ３１４）＝ｆ（－ｌｏｇ３４）＝ｆ（ｌｏｇ３４）．ʑｌｏｇ３４＞１＝２０＞２－２３＞２－３２＞０，又ｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递减，ｆ（ｌｏｇ３４）＜ｆ（２－２３）＜ｆ（２－３２），ʑｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（ｌｏｇ３１４），故选Ｃ．评注：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小．首先根据函数的奇偶性，把所有函数值的自变量转化到同一单调区间上，再结合区间的单调性来比较函数值的大小．利用函数的奇偶性和单调性去比较大小㊁解函数不等式是常见题型．（２）（２０１８年高考数学课标Ⅱ卷（理）㊃第１１题）已知ｆ（ｘ）是定义域为（－ɕ，＋ɕ）的奇函数，满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ）．若ｆ（１）＝２，则ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝（㊀㊀）Ａ．－５０Ｂ．０Ｃ．２Ｄ．５０解析：因为ｆ（ｘ）是定义域为（－ɕ，＋ɕ）的奇函数，且满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ），所以ｆ（１－（ｘ＋１））＝ｆ（１＋（ｘ＋１）），即ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），所以ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ＋２），ｆ（ｘ＋４）＝－ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ），因此ｆ（ｘ）是周期函数且Ｔ＝４．又ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝１２［ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）］＋ｆ（１）＋ｆ（２），且ｆ（２）＝ｆ（１＋１）＝ｆ（１－１）＝ｆ（０）＝０，ｆ（３）＝ｆ（－１）＝－ｆ（１）＝－２，ｆ（４）＝ｆ（０）＝０，所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＝０，所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＝２，故选Ｃ．评注：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和周期性．根据题目条件知函数ｆ（ｘ）为奇函数且关于点（１，０）对称．具有两种对称性的函数可推出周期性，对于小题，可用二级结论 一轴一心差４倍 推出周期为４ˑ｜０－１｜＝４，把求和ð５０ｋ＝１ｆ（１）转化为求一个周期内的函数值的和，简便计算．对于综合考查对称性㊁奇偶性和周期性的题目，熟悉一些常用的二级结论，可提高解题效率．变式５．（１）（２０１７年高考数学新课标Ⅰ卷理科㊃第５题）函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，且为奇函数．若ｆ（１）＝－１，则满足－１ɤｆ（ｘ－２）ɤ１的ｘ的取值范围是（㊀㊀）Ａ．［－２，２］Ｂ．［－１，１］Ｃ．［０，４］Ｄ．［１，３］解析：因为ｆ（ｘ）为奇函数且在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，要使－１ɤｆ（ｘ）ɤ１成立，则ｘ满足－１ɤｘɤ１，所以由－１ɤｘ－２ɤ１得１ɤｘɤ３，故选：Ｄ．（２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且满足ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），当ｘɪ（－１，１］时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋１，则正确的是（㊀㊀）Ａ．ｆ（２０２２）＝１Ｂ．当ｘɪ［４，６］时，ｆ（ｘ）的取值范围为［－１，０］Ｃ．ｙ＝ｆ（ｘ＋３）为奇函数Ｄ．方程ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）仅有５个不同实数解解析：因为ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），所以函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称；则ｆ（－ｘ）＝ｆ（２＋ｘ），又ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），所以ｆ（２＋ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），则ｆ（４＋ｘ）＝－ｆ（ｘ），则ｆ（ｘ＋８）＝－ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ），则函数ｆ（ｘ）的周期为８，因为ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），令ｘ＝０，则ｆ（２）＝ｆ（０），因为当ｘɪ（－１，１］时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋１，则ｆ（０）＝１，ｆ（２０２２）＝ｆ（２５２ˑ８＋６）＝ｆ（６）＝－ｆ（２）＝－１，故Ａ错误；当４ɤｘɤ５时，０ɤｘ－４ɤ１，有０ɤｆ（ｘ－４）ɤ１，则ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ－４）ɪ［－１，０］，当５ɤｘɤ６时，－４ɤ２－ｘɤ－３，０ɤ（２－ｘ）＋４ɤ１，有０ɤｆ［（２－ｘ）＋４］ɤ１，ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ）＝－ｆ［（２－ｘ）＋４］ɪ［－１，０］，当ｘɪ［４，６］时，ｆ（ｘ）的取值范围为［－１，０］，故Ｂ正确；ｆ（－ｘ＋３）＝－ｆ（－ｘ－１）＝－ｆ（２－（－ｘ－１））＝－ｆ（ｘ＋３），所以ｙ＝ｆ（ｘ＋３）为奇函数，故Ｃ正确．由函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称以及关于（－１，０）对称，且周期为８，画出函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像，在同一坐标平面内也作出函数ｙ＝ｌｇ（ｘ＋１）的图像如下：因为ｌｇ（８＋１）＜１，ｌｇ（１０＋１）＞１，可以看出两个函数的图像有５个交点，所以方程ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）仅有５个不同实数解，故Ｄ正确．故选：ＢＣＤ．高考主要以二次函数㊁指数函数㊁对数函数㊁幂函数以及三角函数等基本初等函数作为载体来考查函数的性质，主要有比较大小㊁求值㊁判断函数图像㊁解不等式㊁求参数等问题类型，题目以选择题和填空题为主，难度以偏易㊁中等为主．熟悉函数的常见性质，以及一些二级结论，可以提高解题的效率．。
高一数学函数的基本性质
函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
人教版高一数学必修一1.3函数的基本性质(单调性)(共25张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他பைடு நூலகம்脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
高一数学函数知识点
高一数学函数知识点一、一次函数定义与定义式：自变量某和因变量y有如下关系：y=k某+b则此时称y是某的一次函数。
特别地，当b=0时，y是某的正比例函数。
即：y=k某(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的某的变化值成正比例，比值为k即：y=k某+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当某=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与某轴和y 轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(某，y)，都满足等式：y=k某+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与某轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随某的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随某的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A(某1，y1);B(某2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=k某+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(某，y)，都满足等式y=k某+b。
所以可以列出2个方程：y1=k某1+b……①和y2=k某2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离是速度v的一次函数。
=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
高一数学的函数知识点归纳
高一数学的函数知识点归纳在高一的数学学习中，函数是一个非常重要的知识点。
函数的概念在数学中具有广泛的应用，并且在之后的学习中也会经常用到。
因此，熟练掌握函数的相关知识对于学习数学是非常重要的。
一、函数的定义和表示方式函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数可以用多种不同的方式来表示，包括文字描述、图像、表格和公式等。
函数的定义通常形式为“y=f(x)”，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的定义域和值域之间的关系。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是函数输出的所有可能值的集合。
2. 单调性：函数的单调性指函数在自变量增大的过程中是否单调递增或单调递减。
如果函数在整个定义域上都是单调递增，则称为严格递增函数；如果函数在整个定义域上都是单调递减，则称为严格递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性指函数图像是否对称于y轴。
如果对于任意x∈定义域，f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意x∈定义域，f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
4. 周期性：函数的周期性指函数图像是否在某个区间内重复出现。
如果存在一个正数T，对于任意正整数n，有f(x+Tn)=f(x)，则函数具有周期T。
三、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是函数图像为一条直线的函数，表示为f(x)=kx+b，其中k和b为常数。
线性函数的图像是直线，且斜率为k，截距为b。
2. 幂函数：幂函数是形如f(x)=x^a的函数，其中a为常数。
幂函数的图像形状与a的正负和大小有关，当a为正数时，图像从左上方逼近x轴，当a为负数时，图像从右上方逼近x轴。
3. 指数函数：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正常数且不等于1。
指数函数的图像具有一定的特点，包括过点(0,1)、严格递增或递减等。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，表示为f(x)=loga(x)，其中a为正常数且不等于1。
高一数学《函数的性质》知识点总览
高一数学《函数的性质》知识点总览一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系，并具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的自变量的取值范围，而值域是函数在定义域上所有可能输出的取值范围。
2. 单调性：函数在定义域上的单调性分为增函数和减函数，根据函数的导数或几何意义可以判断函数的单调性。
3. 奇偶性：函数的奇偶性由函数的对称性决定，若函数满足f(-x) =f(x)，则函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
4. 周期性：函数如果存在正数T，对于定义域上的每个x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期性，T称为函数的周期。
二、函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系中的几何表示。
通过对函数图像的观察，可以获得以下性质：1. 零点：函数的零点是函数与x轴的交点，即满足f(x) = 0的x值。
2. 最值：函数的最大值和最小值分别是函数曲线上最高点和最低点的纵坐标值。
3. 对称轴：函数图像的对称轴是与函数曲线关于该轴对称的一条直线。
4. 渐近线：函数图像的渐近线是与函数曲线无限靠近而没有交点的直线。
三、函数的运算函数之间可以进行加、减、乘、除等运算，并且还可以进行复合运算。
常见的函数运算有：1. 两个函数的和差：设有函数f(x)和g(x)，则它们的和函数为h(x) = f(x) + g(x)，差函数为k(x) = f(x) - g(x)。
2. 函数与常数的乘积：设有函数f(x)和常数a，则它们的乘积函数为p(x) = a · f(x)。
3. 函数的乘积：设有函数f(x)和g(x)，则它们的乘积函数为q(x) = f(x) · g(x)。
4. 函数的商：设有函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则它们的商函数为r(x) = f(x) / g(x)。
高一数学函数知识点归纳总结
高一数学函数知识点归纳总结一、函数的基本概念函数的定义：对于两个非空数集A和B，如果存在某种对应关系f，使得A中的每一个元素x都能在B中找到唯一的元素y与之对应，则称f是从A到B的函数，记作y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
函数的定义域：函数y=f(x)中，自变量x的取值范围称为函数的定义域。
函数的值域：函数y=f(x)在定义域内所有函数值的集合称为函数的值域。
二、函数的性质单调性：如果对于定义域内的任意两个数x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在定义域内单调递增或单调递减。
奇偶性：如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于定义域内的任意x（且x≠0），都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)具有周期性，T为函数的周期。
三、基本初等函数幂函数：形如y=x^a（a为实数）的函数称为幂函数。
指数函数：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
对数函数：如果a^x=N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_aN。
函数y=log_ax（a>0，且a≠1）叫做对数函数。
三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们与角度和弧度有关。
四、函数的应用函数模型的应用：通过建立函数模型来解决实际问题，如最优化问题、增长率问题等。
函数图像的应用：通过观察和分析函数的图像来理解函数的性质和行为，从而解决相关问题。
以上是高一数学函数的主要知识点总结。
在学习过程中，应注重理解和掌握这些基本概念和性质，并通过练习和应用来加深对知识点的理解和记忆。
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高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质
高一数学函数知识点归纳
1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写
作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数
的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合
B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。
2、函数定义域的解题思路：
⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。
⑵偶次方根的被开方数不小于0。
⑶对数式的真数必须大于0。
⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。
⑸指数为0时，底数不得为0。
⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。
⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
3、相同函数
⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。
⑵定义域一致，对应法则一致。
4、函数值域的求法
⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。
⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。
⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。
⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。
5、函数图像的变换
⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。
⑵伸缩变换：在x前加上系数。
⑶对称变换：高中阶段不作要求。
6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的
y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。
⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。
⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。
⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
7、分段函数
⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。
⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。
⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。
8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x)(x∈A),则，
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)，称为f、g的复合函数。
高一数学函数的性质
1、函数的局部性质——单调性
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D 内的任意两个变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。
⑴函数区间单调性的判断思路
ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1<x2。
ⅱ做差值f(x1)-f(x2)，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。
ⅲ判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号，指出单调性。
⑵复合函数的单调性
复合函数y=f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律为“同增异减”;多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减”。
⑶注意事项
函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集，如果函数在区间A和B上都递增，则表示
为f(x)的单调递增区间为A和B，不能表示为A∪B。
2、函数的整体性质——奇偶性
对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)，则f(x)就为偶函数;
对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=-f(x)，则f(x)就为奇函数。
⑴奇函数和偶函数的性质
ⅰ无论函数是奇函数还是偶函数，只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称。
ⅱ奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
⑵函数奇偶性判断思路
ⅰ先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。
ⅱ确定f(x)和f(-x)的关系：
若f(x)-f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=1，则函数为偶函数;
若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=-1，则函数为奇函数。
3、函数的最值问题
⑴对于二次函数，利用配方法，将函数化为y=(x-a)2+b的形式，得出函数的最大值或最小值。
⑵对于易于画出函数图像的函数，画出图像，从图像中观察最值。
⑶关于二次函数在闭区间的最值问题
ⅰ判断二次函数的顶点是否在所求区间内，若在区间内，则接ⅱ，若不在区间内，则接ⅲ。
ⅱ若二次函数的顶点在所求区间内，则在二次函数y=ax2+bx+c 中，a>0时，顶点为最小值，a<0时顶点为最大值;后判断区间的两
端点距离顶点的远近，离顶点远的端点的函数值，即为a>0时的最
大值或a<0时的最小值。
ⅲ若二次函数的顶点不在所求区间内，则判断函数在该区间的单调性
若函数在[a，b]上递增，则最小值为f(a)，最大值为f(b);
若函数在[a，b]上递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)。