a3-1

•
uL
• •
•
L
U U I= = jωL j2πfL 220∠0° = = 70∠− 90° j3.14
0
IL
A
•
UL
jωL ω
iL (t) = 70 2 sin( 314t − 90 ) A;
uc (t) = 220 2 sin( 314t + 0 ) V;
0
iC
uC C
iC (t) = 2.2 2 sin( 314t + 90 ) A;
& I
R
& UR
& U
L C
& UL
& UC
假设R 已定， 假设 、L、C已定， 已定 电路性质能否确定？ 电路性质能否确定？ 阻性？感性？容性？） （阻性？感性？容性？）
不能！ 不能！
1 XL = ωL、XC = ωC
∴ ∴ ∴ ∴
答案对不对？ 答案对不对？
+
•
3 4
V1 6V V2 8V
+
•
♣ ♣
i
波形图
ωt
瞬时值表达式 相量
i = sin (1000t + 30°)
必须 小写
♣
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
2. 复数的表达式
1) 代数形式： 代数形式：
+j b
F
|F|
F=a+jb
2）三角形式： ）三角形式：
θ
(j = − 1 为虚数单位 )
0
i =Imsin（ωt+ ϕi） （
_
t
相位差ϕ 3. 相位差ϕ
u ＝ Umsin（ωt＋ϕu）
两个同频 正弦量的初相之差。比较“步调”先后顺序。 个 正弦量的初相之差。比较“步调”先后顺序。 i ϕ ＝ ϕu － ）， i ＝ Imsin（ωt＋ϕϕi i 相位差ϕ 相位差ϕ与计时起点无关 ϕi
I jXL
•
i
•
− jXC
+
u
•
L
C
R
U
R UR
−
已知端口特性： 已知端口特性：
•
U = U R +U L +U C
• •
•
•
•
•
I
•
•
jXL
− jXC
+
& = [R + j( X L − XC )] I
电阻 感抗 电抗 容抗
•
= R I + jXL I − jXC I
U
R UR
−
• •
•
U =ZI
0
C =?
解：画出电路的相量模型
U = 220∠0° V
•
I = 2.2∠90° A
•
•
•
IC
UC
1 jωC ω
1 U 220 XC = = = Ω ωC I 2.2 2.2 = 31.85 µF C= 220×314
§ 3.3 阻抗和导纳
要求：透彻理解阻抗、导纳的概念，熟练掌握正弦电路方 程和电路定理的相量形式。 1. 阻抗 Z （Ω） 画出电路的相量模型
3 4
V1 6V V2 8V
•
•
U
-
U
-
U1
•
•
I
U
U=14V U=14V
U2
•
U
•
UL
•
80V
15V
UR = 80V
UR I
•
100V
UL = 80 − 20 = 60V
UL = 80 + 20 =100V
U = 15 + (100 −80)
2
2
+i C u -
L
R
i =12 2 sin 2t A; R = 3Ω; 1 C = F; L = 4H; u(t) = ? 8
1) ϕ ＞0： 电压超前电流 ϕ 角。 2) ϕ ＜0：电压滞后电流 ϕ 角。 3) ϕ ＝0：电压与电流同相。 4) ϕ =π/2：电压与电流正交。 5) ϕ ＝π：电压与电流反相。 0
t
ϕu
周期性电压、 4. 周期性电压、电流有效值 1）有效值定义
I= 1 T 2 ∫0 i (t)dt T
热效应相当
•
uR (t )
R
U∠ϕu = R⋅ I∠ϕi
U=RI
UR
•
•
IR
•
ϕu = ϕi
IR
ψ u = ψi
UR
R
电压和电流同相
相量模型
• 电感元件
iL
di uL = L dt
→
uL
•
L
XL =ωL （Ω） 感抗（与ω成正比） 感抗（ 成正比） ω
U∠ϕu = ωL⋅ I∠(ϕi + 90 )
0
IL
•
有效值关系 相位关系
正弦量的一阶导数对应相应的相量乘 jω。
o
4) 正弦量的积分
•
∫ idt
相量法意义： 相量法意义：
→
I jω
正弦量的积分对应相应的相量除 jω。
将时域形式的微积分运算转化为相量的代数运算。 将时域形式的微积分运算转化为相量的代数运算。
u(t) = 2 40sin(10t + 30°) V
di 20i + 3 = 2 40sin(10t + 30°) dt • • • • U = 40∠ ° V 30 20 I + j30 I = U
I&
100
π /6
−π /3
220
U&
7. 电路定律的相量形式
1) KCL、KVL形式 、 形式
∑i = 0 ∑u = 0
→ →
∑I = 0
=0 ∑U = 0
•
•
∑I =0
∑U =0
2) 元件特性的相量形式
• 电阻元件
iR (t )
•
uR = i ⋅ R
大小关系 相位关系
→
U R = I⋅ R
•
ϕ Z = tg
−1
•
Z=
U
•
=| Z | ∠φZ = R + jX
阻抗三角形
|Z| ϕz R X
是复数，不是相量； 1) Z 是复数，不是相量；
I
与电路参数、 频率有关 有关； 2) Z 与电路参数、与频率有关； ϕ Z ＝ ϕ u －ϕ i ＞0 ＝0 ＜0 4) U ≠ UR＋UC＋UL 总电压有效值 ≠ 分电压有效值之和 感性 阻性 容性
U I= = 20 + j30
•
•
40 ∠30° 20 + 30 ∠tg
2 2 −1
=1.1∠− 26.3° A 30
20
i(t) = 2 1.1sin (10t − 26.3°)
6. 相量图
在复平面上表示各相量之间的相互关系的几何图形。 在复平面上表示各相量之间的相互关系的几何图形。 作相量图时， 方向。 作相量图时，可根据方便任选一相量放在水平 x 方向。
u R= i
R=
U
•
I
3) 正弦量的微分
i = 2 I sin ωt
di dt dn (i) n dt
jω I ( jω) I
n •
•
I = I∠0o
•
di d( 2I si ωt) n = dt dt
= ω 2I cosωt = 2ωI sin( ωt + 90o )
o
→ωI∠90 = jωI∠0
•
= (R + jX ) I
电阻
Z=
U
•
=ZI
阻抗
•
I
复数形式的 欧姆定律
已知元件特性： 已知元件特性：
1 Z = R + j(ωL − ) ωC = R+ jX 2 2 −1 X = R + X ∠tg R
•
+
Z
I jXL
•
− jXC
+
U
−
•
R UR
−
•
•
= Z∠ z ϕ
阻抗值 阻抗角
IHale Waihona Puke UZ无源的RLC网络：正弦激励下 网络： 无源的 网络
+ -
& I
无源 线性
•
& I
+
& U
& U
-
Z
复 抗 Z= 阻
U
•
=| Z | ∠φZ = R + jX
I Z和总电流、总电压的关系 和总电流、
U Z = z = ( 大小关系） I ϕ Z = ϕ u − ϕ i （相位关系）
Z和元件特性的关系
Z =z= R 2 + X 2 (大小） X （相位） R
瞬时值
t
1) Im：振幅，反映正弦量的大小； 振幅，反映正弦量的大小； 2) ω：角频率（rad /s），每秒变化的弧度数。反 角频率（ ），每秒变化的弧度数 ），每秒变化的弧度数。 映正弦量变化快慢； 映正弦量变化快慢；
2π ω= = 2πf T
•电网频率： 电网频率： 电网频率
i =Imsin（ωt+ ϕi） （
相位角 i, u
0
中国、 中国、欧洲 50 Hz (210-230V） ） Hz(110美国 、日本 60 Hz(110-130V) * 有线通讯频率：300 - 5000 Hz 有线通讯频率： * 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz 无线通讯频率： × Hz t