a3-1
uL
• •
•
L
U U I= = jωL j2πfL 220∠0° = = 70∠− 90° j3.14
0
IL
A
•
UL
jωL ω
iL (t) = 70 2 sin( 314t − 90 ) A;
uc (t) = 220 2 sin( 314t + 0 ) V;
0
iC
uC C
iC (t) = 2.2 2 sin( 314t + 90 ) A;
& I
R
& UR
& U
L C
& UL
& UC
假设R 已定， 假设 、L、C已定， 已定 电路性质能否确定？ 电路性质能否确定？ 阻性？感性？容性？） （阻性？感性？容性？）
不能！ 不能！
1 XL = ωL、XC = ωC
∴ ∴ ∴ ∴
答案对不对？ 答案对不对？
+
•
3 4
V1 6V V2 8V
+
•
♣ ♣
i
波形图
ωt
瞬时值表达式 相量
i = sin (1000t + 30°)
必须 小写
♣
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
2. 复数的表达式
1) 代数形式： 代数形式：
+j b
F
|F|
F=a+jb
2）三角形式： ）三角形式：
θ
(j = − 1 为虚数单位 )
0
i =Imsin（ωt+ ϕi） （
_
t
相位差ϕ 3. 相位差ϕ
u ＝ Umsin（ωt＋ϕu）
两个同频 正弦量的初相之差。比较“步调”先后顺序。 个 正弦量的初相之差。比较“步调”先后顺序。 i ϕ ＝ ϕu － ）， i ＝ Imsin（ωt＋ϕϕi i 相位差ϕ 相位差ϕ与计时起点无关 ϕi
I jXL
•
i
•
− jXC
+
u
•
L
C
R
U
R UR
−
已知端口特性： 已知端口特性：
•
U = U R +U L +U C
• •
•
•
•
•
I
•
•
jXL
− jXC
+
& = [R + j( X L − XC )] I
电阻 感抗 电抗 容抗
•
= R I + jXL I − jXC I
U
R UR
−
• •
•
U =ZI
0
C =?
解：画出电路的相量模型
U = 220∠0° V
•
I = 2.2∠90° A
•
•
•
IC
UC
1 jωC ω
1 U 220 XC = = = Ω ωC I 2.2 2.2 = 31.85 µF C= 220×314
§ 3.3 阻抗和导纳
要求：透彻理解阻抗、导纳的概念，熟练掌握正弦电路方 程和电路定理的相量形式。 1. 阻抗 Z （Ω） 画出电路的相量模型
3 4
V1 6V V2 8V
•
•
U
-
U
-
U1
•
•
I
U
U=14V U=14V
U2
•
U
•
UL
•
80V
15V
UR = 80V
UR I
•
100V
UL = 80 − 20 = 60V
UL = 80 + 20 =100V
U = 15 + (100 −80)
2
2
+i C u -
L
R
i =12 2 sin 2t A; R = 3Ω; 1 C = F; L = 4H; u(t) = ? 8
1) ϕ ＞0： 电压超前电流 ϕ 角。 2) ϕ ＜0：电压滞后电流 ϕ 角。 3) ϕ ＝0：电压与电流同相。 4) ϕ =π/2：电压与电流正交。 5) ϕ ＝π：电压与电流反相。 0
t
ϕu
周期性电压、 4. 周期性电压、电流有效值 1）有效值定义
I= 1 T 2 ∫0 i (t)dt T
热效应相当
•
uR (t )
R
U∠ϕu = R⋅ I∠ϕi
U=RI
UR
•
•
IR
•
ϕu = ϕi
IR
ψ u = ψi
UR
R
电压和电流同相
相量模型
• 电感元件
iL
di uL = L dt
→
uL
•
L
XL =ωL （Ω） 感抗（与ω成正比） 感抗（ 成正比） ω
U∠ϕu = ωL⋅ I∠(ϕi + 90 )
0
IL
•
有效值关系 相位关系
正弦量的一阶导数对应相应的相量乘 jω。
o
4) 正弦量的积分
•
∫ idt
相量法意义： 相量法意义：
→
I jω
正弦量的积分对应相应的相量除 jω。
将时域形式的微积分运算转化为相量的代数运算。 将时域形式的微积分运算转化为相量的代数运算。
u(t) = 2 40sin(10t + 30°) V
di 20i + 3 = 2 40sin(10t + 30°) dt • • • • U = 40∠ ° V 30 20 I + j30 I = U
I&
100
π /6
−π /3
220
U&
7. 电路定律的相量形式
1) KCL、KVL形式 、 形式
∑i = 0 ∑u = 0
→ →
∑I = 0
=0 ∑U = 0
•
•
∑I =0
∑U =0
2) 元件特性的相量形式
• 电阻元件
iR (t )
•
uR = i ⋅ R
大小关系 相位关系
→
U R = I⋅ R
•
ϕ Z = tg
−1
•
Z=
U
•
=| Z | ∠φZ = R + jX
阻抗三角形
|Z| ϕz R X
是复数，不是相量； 1) Z 是复数，不是相量；
I
与电路参数、 频率有关 有关； 2) Z 与电路参数、与频率有关； ϕ Z ＝ ϕ u －ϕ i ＞0 ＝0 ＜0 4) U ≠ UR＋UC＋UL 总电压有效值 ≠ 分电压有效值之和 感性 阻性 容性
U I= = 20 + j30
•
•
40 ∠30° 20 + 30 ∠tg
2 2 −1
=1.1∠− 26.3° A 30
20
i(t) = 2 1.1sin (10t − 26.3°)
6. 相量图
在复平面上表示各相量之间的相互关系的几何图形。 在复平面上表示各相量之间的相互关系的几何图形。 作相量图时， 方向。 作相量图时，可根据方便任选一相量放在水平 x 方向。
u R= i
R=
U
•
I
3) 正弦量的微分
i = 2 I sin ωt
di dt dn (i) n dt
jω I ( jω) I
n •
•
I = I∠0o
•
di d( 2I si ωt) n = dt dt
= ω 2I cosωt = 2ωI sin( ωt + 90o )
o
→ωI∠90 = jωI∠0
•
= (R + jX ) I
电阻
Z=
U
•
=ZI
阻抗
•
I
复数形式的 欧姆定律
已知元件特性： 已知元件特性：
1 Z = R + j(ωL − ) ωC = R+ jX 2 2 −1 X = R + X ∠tg R
•
+
Z
I jXL
•
− jXC
+
U
−
•
R UR
−
•
•
= Z∠ z ϕ
阻抗值 阻抗角
IHale Waihona Puke UZ无源的RLC网络：正弦激励下 网络： 无源的 网络
+ -
& I
无源 线性
•
& I
+
& U
& U
-
Z
复 抗 Z= 阻
U
•
=| Z | ∠φZ = R + jX
I Z和总电流、总电压的关系 和总电流、
U Z = z = ( 大小关系） I ϕ Z = ϕ u − ϕ i （相位关系）
Z和元件特性的关系
Z =z= R 2 + X 2 (大小） X （相位） R
瞬时值
t
1) Im：振幅，反映正弦量的大小； 振幅，反映正弦量的大小； 2) ω：角频率（rad /s），每秒变化的弧度数。反 角频率（ ），每秒变化的弧度数 ），每秒变化的弧度数。 映正弦量变化快慢； 映正弦量变化快慢；
2π ω= = 2πf T
•电网频率： 电网频率： 电网频率
i =Imsin（ωt+ ϕi） （
相位角 i, u
0
中国、 中国、欧洲 50 Hz (210-230V） ） Hz(110美国 、日本 60 Hz(110-130V) * 有线通讯频率：300 - 5000 Hz 有线通讯频率： * 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz 无线通讯频率： × Hz t
骨科学a3型题1
骨科学(A3型题1)一、A3型题：以下提供若干个案例，每个案例下设若干道考题。
请根据答案所提供的信息，在每一道考题下面的A、B、C、D、E五个备选答案中选择一个最佳答案。
（1～3题共用题干）男性，67岁，主诉行走后左下肢疼痛2年，加重月余。
查体：腰椎生理弧度可，屈曲活动正常，脊柱过伸试验阳性，左小腿外侧皮肤感觉减退，左坶长伸肌肌力Ⅳ级。
X线片示腰4～5间隙轻度狭窄，左侧直腿抬高40°，阳性，加强试验阳性。
既往有10余年类风湿性关节炎史，一直在服用强的松片。
1．下列哪种疾病最为可能A．急性腰扭伤B．腰椎管狭窄C．腰椎弓根峡部裂D．腰4～5椎间盘突出E．闭塞性脉管炎2．下列检查中哪一项不必要A．MRIB．CTC．诱发电位D．血常规E．核素扫描3．如拟手术治疗，术中及术后不应A．停用皮质激素B．使用抗生素C．使用镇静药D．继续使用皮质激素E．使用止痛药正确答案:1．B；2．E；3．A[解题思路] 1．行走后左下肢疼痛，屈曲活动正常，脊柱过伸试验阳性均支持腰椎管狭窄的诊断，不支持腰4～5椎间盘突出的诊断。
2．在不考虑肿瘤、炎症等疾病时，一般不考虑作核素扫描。
3．长期服用皮质激素的患者术中、术后不应停用，因这样的患者肾上腺皮质功能长期受抑制，应激能力差。
（4～7题共用题干）女性，30岁，以往有肺结核史，近1个月来腰背痛，伴低热，盗汗，体格检查：胸11～12棘突明显压痛。
4．问该患者可能的诊断考虑是A．椎体肿瘤B．强直性脊柱炎C．化脓性脊椎炎D．脊柱结核E．胸椎间盘脱出5．对该患者最简便有效的诊断方法为A．血常规及血沉B．摄胸腰段X线片C．CTD．结核菌素试验E．核素骨扫描6．有助于诊断的试验是A．Dugas征B．直腿抬高试验C．Trendelenburg征D．拾物试验E．Thomas征7．早期诊断确立后，下列哪项治疗措施不妥A．正规抗结核治疗B．卧硬板床休息C．立即手术，病灶清除D．全身支持疗法E．注意检查全身其他部位有无结核正确答案:4．D；5．B；6．D；7．C[解题思路] 1．有结核病史并伴有结核感染活动期全身中毒症状，椎体持续疼痛应该首先考虑脊柱结核。
专题5.4 数列求和及数列的综合应用-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
第五篇 数列及其应用专题5.04 数列求和及数列的综合应用【考试要求】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.【知识梳理】1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d . (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.3.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.【微点提醒】1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2. 2.12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6. 3.裂项求和常用的三种变形(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( )【教材衍化】2.(必修5P47B4改编)数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 0192 020，则项数n 为( ) A.2 018B.2 019C.2 020D.2 0213.(必修5P56例1改编)等比数列{a n }中，若a 1＝27，a 9＝1243，q >0，S n 是其前n 项和，则S 6＝________.【真题体验】4.(2018·东北三省四校二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )A.9B.15C.18D.305.(2019·北京朝阳区质检)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________________.6.(2019·河北“五个一”名校质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________.【考点聚焦】考点一 分组转化法求和【例1】 (2019·济南质检)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2＋2n 的大小.【规律方法】 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【训练1】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .考点二 裂项相消法求和【例2】 (2019·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝a n ＋12－n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3n a n a n ＋1的前n 项和T n .【规律方法】1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练2】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和T n .考点三 错位相减法求和【例3】 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .【规律方法】 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n－qS n”的表达式.【训练3】已知等差数列{a n}满足：a n＋1>a n(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a n＋2log2b n＝－1.(1)分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.考点四数列的综合应用【例4】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？【规律方法】数列的综合应用常考查以下几个方面：(1)数列在实际问题中的应用；(2)数列与不等式的综合应用；(3)数列与函数的综合应用.解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题.【训练4】已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝3a n a n＋1，试求数列{b n}的前n项和T n.【反思与感悟】1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.【易错防范】1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3.解等差数列、等比数列应用题时，审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A.－24B.－3C.3D.82.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－4003.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n 等于( )A.9B.99C.10D.1004.(2019·德州调研)已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为() A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 0235.(2019·厦门质检)已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ＝2，则其前100项和为( )A.250B.200C.150D.100二、填空题6.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7.(2019·武汉质检)设数列{(n 2＋n )a n }是等比数列，且a 1＝16，a 2＝154，则数列{3n a n }的前15项和为________.8.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为________.三、解答题9.求和S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2(x ≠0).10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2＋S n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋log 2(a n )2，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n <16.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·广州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ≥2(n ∈N *)，且S n 为{a n }的前n 项和，则() A.a n ≥2n ＋1 B.S n ≥n 2C.a n ≥2n －1D.S n ≥2n －112.某厂2019年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润ω与总投资N 的大小关系是( )A.ω>NB.ω<NC.ω＝ND.不确定13.已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.14.(2019·潍坊调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋n .(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列； (2)令b n ＝2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【新高考创新预测】15.(多填题)已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝1，且a2，a5，a14成等比数列，{a n}的前n项和为S n，b n＝(－1)n S n，则a n＝________，数列{b n}的前n项和T n＝________.。
高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.3.1 第2课时 等比数列的性质 Word版含解析
第2课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{a n }的公比为q ，则 a n ＝a 1·q n -1 ① ＝a m ·q n -m ② ＝a 1q·q n ③其中当②中m ＝1时，即化为①.当③中q ＞0且q ≠1时，y ＝a 1q ·q x为指数型函数．知识点二 等比数列常见性质(1)对称性：a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…＝a m ·a n -m +1(n >m 且n ，m ∈N ＋)； (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n ； (3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(4)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列；(5)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q，q 2.(6)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq.1．a n ＝a m q n -m (n ，m ∈N ＋)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n -1.( √ ) 2．等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列．( √ ) 3．若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( × )4．若数列{a n }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{a n }是等比数列．( × )题型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 已知等比数列{a n }中． (1)若a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 解 (1)∵a 7a 4＝q 7-4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34，∴225444333422(2)2n n n n n a a q----=⋅=⋅=⋅= (n ∈N ＋)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10-5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n -1＝2n (n ∈N ＋)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练1 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21， 解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.题型二等比数列的性质及其应用例2已知{a n}为等比数列．(1)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25，∵a n>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2设各项均为正数的等比数列{a n}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于() A．38B．39C．9 D．7答案 C解析∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log339＝9.题型三由等比数列衍生的新数列例3已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A．4 2 B．6 C．7 D．5 2答案 D解析∵{a n}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{a n}各项均为正数，∴a4a5a6＝5 2.反思感悟借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．跟踪训练3等比数列{a n}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为()A ．32B ．64C ．128D ．256 答案 B解析 由等比数列的性质可知，a 12，a 18，a 24，a 30，a 36成等比数列，且a 18a 12＝2，故a 36＝4×24＝64.等比数列的实际应用典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n (n ∈N ＋)年后这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解 (1)n 年后车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 由题意，得a 1＝13.5(1－10%)，a 2＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列， ∴n 年后车的价值为a n ＝13.5×(0.9)n 万元． (2)由(1)得a 4＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 由a 5＝a 2q 3，得q 3＝8，所以q ＝2.2．等比数列{a n }中，若a 2a 6＋a 24＝π，则a 3a 5等于( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.4π3 答案 C解析 a 2a 6＝a 24＝a 3a 5，∴a 3a 5＝π2.3．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A.32 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2，故选C.4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2. 插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7 ＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5) ＝(a 1a 8)3＝23＝8.5．已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？ 解 不是等比数列．∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35， ∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1．在等比数列{a n }中，若a 2 019＝8a 2 016，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 ∵a 2 019＝8a 2 016＝a 2 016·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106，∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.3．(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1等于( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2 答案 B解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为单调递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12(舍负)，a 1＝a 2q ＝4.4．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6.则a 8等于( ) A ．64 B ．128 C ．256 D ．512 答案 B解析 a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3， ∴a 1＝1.∴a 8＝27＝128.5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13 D ．±3 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6，∴m ＝10，故选C.7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n -3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C. 二、填空题8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 9．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 答案 8解析 由等比数列的性质，得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.11．在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 答案 1 024解析 设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024. 三、解答题12．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值． 解 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝⎛⎭⎫142＝1. 13．在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小． (1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1＞1， 所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2·(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1， 所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N ＋)．(3)解 由(2)知，a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0，所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4， 所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ； 当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N ＋时，a n ＞S n .14．已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 b n ＝a m (n －1)＋1·(1＋q ＋q 2＋…＋q m -1)，由q ≠－1易知b n ≠0，b n ＋1b n ＝a mn ＋1a m (n －1)＋1＝q m ，故数列{b n }为等比数列，公比为q m ，选项A ，B 均错误； c n ＝a m m (n －1)＋1·q 1＋2＋…＋(m -1)，c n ＋1c n ＝a m mn ＋1a m m (n －1)＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a mn ＋1a m (n －1)＋1m ＝(q m )m ＝2m q ，故数列{c n }为等比数列，公比为2m q ，D 错误．故选C.15．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项公式．解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…成等比数列， ∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3dd＝3，∴n k a ＝a 1·3n +1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n +1(n ∈N ＋)．。
1-3型压电复合材料设计分析
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塾 皇 塑 鱼
第一章--基础护理知识和技能(A3A4型题1)
第一章基础护理知识和技能（A3A4型题1）1.患者，男，46岁，诊断为“肝癌”，护理此患者时，护士应具备的形象哪项不妥A.反应敏捷B.始终微笑C.乐观开朗D.关怀体贴E.善良可亲答案:B2.患者，女，65岁，白内障超声乳化术后1天，护士在与其交谈时表达关怀之情的非语言行为应是A.倾听B.微笑C.点头D.抚摸E.沉默答案:D3.患者，女，42岁，胃癌晚期。
患者情绪忧郁，哭泣。
以下采取的沟通技巧哪项是错误的A.允许患者独处B.鼓励患者及时发泄自己的情绪C.耐心听取患者倾诉D.幽默E.适当沉默答案:D4.患者，男，25岁，“急性肠胃炎”需补液。
不属于静脉输液前需解释的事项是A.静脉输液的目的B.患者的准备工作C.讲解简要的方法D.作出必要的承诺E.感谢患者的配合答案:E5.患者，女，35岁。
右侧卵巢切除术后22小时，肛门已排气。
护士在为其做晨间护理时，患者询问：“护士，我可以吃东西了吗？”以下护士的反应，最恰当的是A.“我不清楚，去问你的主管医生。
”B.“我现在正忙，待会再说吧。
”C.“您现在可以进食清淡的半流质饮食。
”D.“您现在可以吃些清淡的、带汤的食物，比如稀饭、面条。
”E.“您现在可以吃东西了。
”答案:D6.患者，女，39岁，因体检时发现乳房肿块而入院手术，患者整天闷闷不乐，护士主动与患者交流，表达真诚关怀，使患者获得希望和依靠。
护士所用的日常护理用语属于A.招呼用语B.介绍用语C.电话用语D.安慰用语E.迎送用语答案:D7.患者，女，25岁，胃部不适来门诊，护士对此患者首先应进行A.健康教育B.卫生指导C.预检分诊D.查阅病案E.心理安慰答案:C8.患者，男，39岁，因“破伤风”入院，神志清楚，全身肌肉阵发性痉挛、抽搐。
下列病室环境条件中，哪项不符合病情要求A.护理人员在工作中做到“四轻”B.门、窗、桌、椅脚钉上橡皮垫C.保持病室空气清新、光线充足D.保持室温至18～20℃E.维持相对湿度50%～60%答案:C9.患者，女，28岁。
2022版新高考数学人教版一轮练习：(36) 高考大题规范解答系列(三)——数列 (含解析)
[练案36]高考大题规范解答系列(三)——数列1．(2020·课标Ⅲ，17)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m .[解析] (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8.解得a 1＝1，q ＝3. 所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知log 3a n ＝n －1.故S n ＝n （n －1）2. 由S m ＋S m ＋1＝S m ＋3得m (m －1)＋(m ＋1)m ＝(m ＋3)(m ＋2)．即m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1(舍去)或m ＝6.2．(2021·新高考八省联考)已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式． [解析] (1)∵a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，∴a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )．又∵a n >0，∴a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3， ∴数列{a n ＋1＋a n }为等比数列．(2)由(1)得，a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)×3n －1＝2×3n －1① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2×3n②②－①得a n ＋2－a n ＝4×3n －1当n 为奇数时，a 3－a 1＝4×30a 5－a 3＝4×32a 7－a 5＝4×34……a n －a n －2＝4×3n －3相加得a n －a 1＝4×(30＋32＋34＋…＋3n －3)＝4×30－3n －3×321－32＝3n －1－12， ∴a n ＝12×3n －1. 当n 为偶数时由a n ＋a n ＋1＝2×3n －1得a n ＝2×3n －1－a n ＋1＝2×3n －1－12×3n ＝12×3n －1. 综上所述a n ＝12×3n －1. 3．(2020·课标Ⅲ，17)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .[解析] (1)a 2＝5，a 3＝7.猜想a n ＝2n ＋1.由已知可得a n ＋1－(2n ＋3)＝ 3[a n －(2n ＋1)]，a n －(2n ＋1)＝3[a n －1－(2n －1)]，……a 2－5＝3(a 1－3)．因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1.(2)由(1)得2n a n ＝(2n ＋1)2n ，所以S n ＝ 3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n .① 从而2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n ＋1)×2n ＋1.②①－②得－S n ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)×2n ＋1.所以S n ＝(2n －1)2n ＋1＋2.4．(2021·湖北武汉部分重点中学联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }中，b n ＝2a n ＋1，且其前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性．[解析] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，不满足上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2（n ＝1），2n －1（n ≥2），于是b n ＝⎩⎨⎧23（n ＝1），1n （n ≥2）. (2)由题意得c n ＝T 2n ＋1－T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， 所以c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）<0， 即c n ＋1<c n ，所以数列{c n }为递减数列．5．(2020·新高考Ⅰ，Ⅱ，18)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)(新高考Ⅰ)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.(新高考Ⅱ)求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.[解析] (1)设{a n }的公比为q .由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8.解得q 1＝12(舍去)，q 2 ＝2.由题设得a 1＝2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)(新高考Ⅰ)由题设及(1)知b 1＝0，且当2n ≤m <2n ＋1时，b m ＝n .所以S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.(新高考Ⅱ)a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－（－22）n ]1－（－2）2＝85－(－1)n 22n ＋35. 6．(2021·辽宁鞍山一中模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由S n ＝2n 2＋n ，可得当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋n )－[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1.当n ＝1时，a 1＝3符合上式，所以a n ＝4n －1，由a n ＝4log 2b n ＋3可得4n －1＝4log 2b n ＋3，解得b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)a n b n ＝(4n －1)·2n －1∴T n ＝3＋7·21＋11·22＋15·23＋…＋(4n －1)·2n －1① ∴2T n ＝3·21＋7·22＋11·23＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n②①－②可得－T n ＝3＋4[21＋22＋23＋24＋…＋2n －1]－(4n －1)·2n＝3＋4×2（1－2n －1）1－2－(4n －1)·2n ＝－5＋(5－4n )·2n ，∴T n ＝5＋(4n －5)·2n ，n ∈N *.7．(2021·北京西城区期中)已知等比数列{a n }满足a 3－a 2＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3－a 2＝a 1q 2－a 1q ＝10①，a 1a 2a 3＝(a 1q )3＝125②，由①②得q ＝3，a 1＝53. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝53×3n －1＝5×3n －2. (2)假设存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1. 由(1)知a n ＝5×3n －2，∴1a n ＝15×⎝⎛⎭⎫13n －2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝35⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910⎝⎛⎭⎫1－13m ≥1， ∴32－m ≤－1，显然不成立，因此不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1. 8．(2021·山东全真模拟)在①b 1＋b 3＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列， ，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在k ，使得S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解析] 选条件①，设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2＝－27，即q ＝－3，所以b n ＝－(－3)n －1.从而a 5＝b 1＝－1，a 2＝b 1＋b 3＝－10，由于{a n }是等差数列，所以a n ＝3n －16. S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2等价于a k ＋1<0且a k ＋2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧3（k ＋1）－16<0，3（k ＋2）－16>0，得103<k <133，又k ∈N *，所以k ＝4. 所以满足题意的k 存在．选条件②.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2＝－27，即q ＝－3， 所以b n ＝－(－3)n －1.从而a 5＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝27，所以{a n }的公差d ＝－28. 因为S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2等价于a k ＋1<0且a k ＋2>0，此时d ＝a k ＋2－a k ＋1>0，与d ＝－28矛盾，所以满足题意的k 不存在．选条件③.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2＝－27，即q ＝－3， 所以b n ＝－(－3)n －1.从而a 5＝b 1＝－1，由{a n }是等差数列得S 5＝5（a 1＋a 5）2， 由S 5＝－25得a 1＝－9.所以a n ＝2n －11.S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2等价于a k ＋1<0且a k ＋2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧2（k ＋1）－11<0，2（k ＋2）－11>0，得72<k <92，又k ∈N *，所以k ＝4. 所以满足题意的k 存在．。
12.4 整式的除法(第1课时)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(华东师大版)
八年级 上册
第12章 整式的乘除
12.4 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式
学习目标
1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、
准确地进行计算；
2.通过总结法则，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.
温故知新
1.用字母表示幂的运算性质：
(1)a a a
8.8×105
讲授新课
知识点一 单项式除以单项式
试 一 试
计算：
12a5c2÷3a2
把12a5c2和3a2分别看成是一个整体，相当于
(12a5c2)÷(3a2)
(4a3c2) ×3a2=12a5c2
12a5c2÷3a2=4a3c2
怎样计பைடு நூலகம்出来
的呢？
讲授新课
知识要点
单项式除以单项式的法则
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除
=(24÷3)a2-1b3-1
=3a；
=8ab2；
（3）-21a2b3c÷3ab
=(-21÷3)a2-1b3-1c
= -7ab2c.
讲授新课
例2 若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，
∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，
2
1
2
2
4 ÷ 2 = 8，则D选项正确，
2
故选：D．
）
× 8 = 42 2 ，所以
当堂检测
8．若x2m+nyn÷()2 = 5 ，则m，n的值分别为( )
A．3，2
B．2，2
(上海市新版)施工铭牌
施工铭牌
工程名称：
工程1
工程类别：
开工日期：
年月日
竣工日期：
建设单位名称：
监理单位名称：
项目经理： 文明施工负责 人： 工程监督单位：
设计单位名称： 施工总承包单 位： 联系电话：
联系电话：
投诉电话：
施工铭牌外径高1.2米、宽1.8米，离地0.7米，白色红字，横向距离门墩1米。
年-2012《文明施工规范》 7.施工铭牌设置 7.0.1 铭牌的内容应注明：工程名称、工程类别、开工日期、竣工日期、建设单位名称、设计、监理、 施工总承包、项目经理及联系电话、文明施工负责人及联系电话、工程监督单位名称、监督单位投诉电 话。所以在项目部大门口应按文明施工标准要求设置施工铭牌。
视觉识别规范手册手册上
Corporation Identify for China Communications Construction 中国交通建设股份有限公司 视觉识别规范手册
公司标志图形的演变
Corporation Identify for China Communications Construction 中国交通建设股份有限公司 视觉识别规范手册
先进的企业文化是公司发展的基石，公司始终致力于将优秀文化融 入公司管理体系之中。公司以“为人们的往来、货物的通达提供优质产 品和服务”为己任，秉承“诚信服务、优质回报、不断超越”的企业 宗旨，坚持“科技创新、精细管理、合作共赢”的公司管理理念，立志 于“成为交通建设的世界领先企业”。
视觉形象识别系统是企业形象外在表现形式是文化建设的重要内 容。通过对公司既有文化的继承、融合和创新，确立了中国古代甲骨文 中的“ ”字为核心视觉元素的公司形象标志，并在此基础上推导出了 适合公司应用的视觉识别规范手册。该手册旨在借助公司标志、建筑外 观、工作环境等视觉传播媒介，将对公司理念的认识和理解，转换为内 部员工和社会公众可以识别记忆的具体符号，从而实现传达和强化公司 理念的作用。
公司名称
母 公 司 法 定 名 称 中国交通建设股份有限公司 母 公 司 英 文 全 称 Ｃｈｉｎａ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ Ｃｏｍｐａｎｙ Ｌｉｍｉｔｅｄ 公司中文品牌名称 中国交通建设 公司英文品牌名称 Ｃｈｉｎａ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ
Corporation Identify for China Communications Construction 中国交通建设股份有限公司 视觉识别规范手册
A3 专用色彩系统