数学高一到高二知识点大全
高一数学必修一必修二各章知识点总结
数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合（一）集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性3.集合的表示：（1）常用数集及其记法（2）列举法（3）描述法4、集合的分类：有限集、无限集、空集5.1.子集、真子集、空集；2.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集；3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（一）函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.2.常用的函数表示法及各自的优点：○1解析法：必须注明函数的定义域；○2图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○3列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．优点：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值. 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：(以下两点必须同时具备)(1)表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；(2)定义域一致.求函数值域方法 :（先考虑其定义域）（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3)求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等.2. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据.(2) 画法:描点法;图象变换法常用变换方法有三种:平移变换;对称变换；*伸缩变换.3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象集）→B（象集）”对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2)各部分的自变量的取值情况；(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．（二）函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.定义的变形应用：如果对任意的12,x x D∈，且21xx≠有0)()(1212>--xxxfxf或者2121(()())()0f x f xxx -->，则函数)(x f 在区间D 上是增函数；如果对任意的12,x x D ∈，且21x x ≠有2121()()0f x f x x x -<-或者2121(()())()0f x f xxx --<，则函数)(x f 在区间D 上是减函数. 注意：函数的单调性是函数的局部性质. （2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .3.函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法； 待定系数法；换元法；消参法.如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f [g (x )]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 4．函数最大（小）值（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； （2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n .当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aa n m nm nm ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r s r s a a a +⋅=(0,,)a r s R >∈；（2）()r s r s a a =),,0(R s r a ∈>；（3）()r r ra b ab =(0,)a r R >∈． （二）指数函数及其性质1．指数函数的概念： 一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [（a>1）或 )]a (f ),b (f [(0<a<1)； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =.二、对数函数（一）对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x=⇔=log . 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数b a ＝ N ⇔log a N ＝ b底数指数 对数 （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N Malog M a log －N a log ； ○3 na M log n =M a log)(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式可得下面的结论：（1）b m nb a nam log log =； （2）a b balog 1log =． （三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：xy 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0a >，且1a ≠． 2、对数函数的图象和性质：a>1 0<a<132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567811定义域：(0,)+∞定义域：(0,)+∞值域为R值域为R 在R 上递增在R 上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）三、幂函数1．幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2．幂函数性质归纳：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）当0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1．函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点. 2．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标. 即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 3．函数零点的求法： ○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． 二、函数的应用解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.数学必修2各章知识点总结第一章 空间几何体1、柱、锥、台、球的结构特征（要补充直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台、平行六面体的定义）结 构 特 征 性质 图例 棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （2）侧棱平行且相等. 圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形； （2）各侧面有一个公圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲共顶点.面所围成的几何体.棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分. 圆台 （1）两底面相互平行； （2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.2、空间几何体的三视图三视图定义：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度. 3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行，长度为原来的一半.4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）柱体、锥体、台体的表面积（几何体的表面积为几何体各个面的面积的和）表面积相关公式 表面积相关公式棱柱 2S S S =+侧全底 圆柱 222S r r h ππ=+全（r ：底面半径，h ：高） 棱锥 S S S =+侧全底圆锥 2S r r l ππ=+全（r ：底面半径，l ：母线长） 棱台S S S S =++侧全上底下底圆台22('')S r r r l r l π=+++全（r ：下底半径，r ’：上底半径，l ：母线长）（2）柱体、锥体、台体的体积公式体积公式体积公式 棱柱 V S h =底高圆柱 2V r h π=棱锥 13V S h =底高圆锥 213V r h π=棱台1('')3V S SS Sh =++圆台221('')3V r rr r hπ=++ （3）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系1、空间点、直线、平面之间的位置关系 （1）平面① 平面的概念： 平面是无限伸展的.② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.点与直线的关系：点A 在直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l.直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α.（2）平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,ABC ABC α⇒不共线确定平面,l P P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩公理2的三条推论：推论1： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2： 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3： 经过两条平行直线，有且只有一个平面.（3）空间直线与直线之间的位置关系公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行①空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. ②异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线③异面直线所成角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.④等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补. （4）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a α⊂； a ∩α＝A ；a ∥α . （5）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点，记作α∥β.相交——有一条公共直线，记作α∩β＝b.2、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.(线线平行⇒线面平行) 符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行⇒线线平行符号表示为：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行→面面平行），用符号表示为：,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭. *（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行），*（3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理β aαb（1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）用符号表示为：α∥β，a ⊂β//a α⇒（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行） 用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a ,β∩γ＝b //a b ⇒ 3、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直. ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直. （2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.（线线垂直→线面垂直）用符号表示为：l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α⇒l ⊥α性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 用符号表示为：a ⊥α，b ⊥α⇒ //a b②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直→面面垂直）用符号表示为：a ⊂α，α⊥β⇒α⊥β.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直→线面垂直）用符号表示为：αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥⇒a β⊥. 4、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 0.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角. ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角. （2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0.②平面的垂线与平面所成的角：规定为90.③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”. （3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角.*垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角第三章 直线与方程1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示.即ta n k α=.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当[)时，0≥k ；当()180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在. ②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=③设1122(,),A x y B xy ，（），则线段AB 中点坐标公式为1212(,)22x x y y ++ 2、直线的方程注意：各式的适用范围; ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）.（2）直线系方程（即具有某一共同性质的直线）①平行直线系：平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系方程为：000=++C y B x A （C 为参数） ②垂直直线系：垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系方程为：000=+-C y A x B （C 为参数） ③过定点的直线系:（ⅰ）斜率为k 的直线系方程为()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；*（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中.3、两直线平行与垂直已知111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，则212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否. 4、两条直线的交点0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 相交，交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解.方程组无解21//l l ⇔； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合5、距离公式：(1)平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离为|P 1P 2|＝222121()()x x y y -+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||P P x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||P P y y =-； (2)平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离为d ＝|Ax0＋By0＋C|\r(A2＋B2).(3)两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(其中A ，B 不同时为0，且C 1≠C 2)间的距离为d＝|C1－C2|\r(A2＋B2).第三章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2、圆的方程（1）标准方程()()222rb y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需要求出a ，b ，r ；若利用一般方程， 需要求出D ，E ，F.另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 3、直线与圆的位置关系：位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d<r △>0 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0（利用圆被截得弦的性质（垂径定理）：弦长222||d r AB -=（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】；(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定.设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当r R d -<时，两圆内含； 当0=d时，为同心圆.注意：已知两圆相切，两圆心与切点共线，圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点. 5.空间直角坐标系（1）定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O -xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.（2）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)Mxyz （x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标）（3）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=。
高一至高二数学知识点公式
高一至高二数学知识点公式一、代数与函数1. 平方差公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^22. 平方和公式：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^23. 一次三项式因式分解：ax^2 + bx + c = a(x - m)(x - n)，其中m和n是方程的根。
4. 二次根与系数关系公式：若ax^2 + bx + c = 0有根x_1和x_2，则x_1 + x_2 = -b/a，x_1 * x_2 = c/a。
5. 二次函数顶点坐标公式：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为(-b/2a, -D/4a)，其中D = b^2 - 4ac。
6. 等差数列通项公式：第n项a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1是首项，d是公差。
7. 等差数列求和公式：前n项和S_n = (n/2)(a_1 + a_n) = (n/2)(2a_1 + (n - 1)d)。
8. 等比数列通项公式：第n项a_n = a_1 * r^(n - 1)，其中a_1是首项，r是公比。
9. 等比数列求和公式：前n项和S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
10. 二项式定理：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1) + C(n, n)b^n，其中C(n, k)表示组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
二、几何与三角函数1. 两点间距离公式：若平面上有点A(x_1, y_1)和B(x_2, y_2)，则AB的距离d = √[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2]。
2. 旋转的三角函数关系：sin(π + θ) = -sinθ，cos(π + θ) = -cosθ，tan(π + θ) = tanθ。
高一高二高三数学知识点
高一高二高三数学知识点一、高一数学知识点1.集合与数的关系- 自然数、整数、有理数等数的概念- 集合的定义、表示方法及基本运算- 元素与集合的关系2.代数- 一元一次方程与一元一次不等式- 二次根式及其运算- 平方差公式、二次方程与二次不等式- 指数与对数的基本概念与运算3.函数- 函数的基本概念与性质- 一次函数与二次函数的图象与性质- 反比例函数的图象与性质- 指数函数与对数函数的基本性质4.三角函数- 角度与弧度的转换- 同界角的三角函数值- 正弦定理、余弦定理及其应用 - 三角函数的和差化积公式5.解析几何- 直线与圆的基本性质- 直线的方程与位置关系- 圆的方程与位置关系- 向量的定义、运算及其应用二、高二数学知识点1.数列与数列的极限- 数列的概念与表示方法- 等差数列与等比数列的性质 - 数列的极限定义、性质及计算2.函数与导数- 导数的定义与计算- 导数的几何意义与应用- 导数的运算法则与基本应用3.三角函数与导数- 三角函数的导数与单调性- 反三角函数的导数与应用- 图像的平移与伸缩变换4.不等式与极值- 一元二次不等式的求解与应用 - 函数的最值与最值问题- 约束条件下的极值问题5.平面向量- 平面向量的加减与数量积- 平面向量的数量积的性质与应用 - 平面向量的叉积与混合积三、高三数学知识点1.概率与统计- 随机事件与概率的基本概念- 条件概率与事件的独立性- 一维随机变量及其分布函数2.数列与数列的极限（进阶）- 数列极限的性质与计算- 数列极限与函数极限的关系- 渐近线与函数的极限3.函数与导数（进阶）- 高阶导数与泰勒展开式- 极值与最值问题的高级应用- 曲线的凸凹性与拐点4.不等式与极值（进阶）- 不等式组的求解与应用- 凸函数与切线法求极值- 不等式极值问题的进阶应用5.平面向量（进阶）- 空间向量的表示与运算- 空间向量的数量积与叉积的计算- 空间中的直线与平面的方程这些是高一到高三数学课程中的主要知识点概述，希望能帮助你对数学学科的整体了解。
高中数学高一至高三知识点汇总3篇
高中数学高一至高三知识点汇总高中数学高一知识点汇总一、函数1. 函数的概念和符号表示2. 函数的定义域、值域和图像3. 奇偶性函数的判定4. 复合函数的求法5. 反函数的概念和求法二、数列1. 数列的概念和符号表示2. 等差数列和等比数列的通项公式3. 数列的前n项和公式4. 数列的求和公式5. 等比数列的无穷和公式三、三角函数1. 弧度制和角度制的转换2. 正弦、余弦和正切函数的概念和符号表示3. 三角函数的基本性质和变形4. 三角函数的图像和周期性5. 三角函数的诱导公式和倍角公式四、平面几何1. 点、线、面的概念和符号表示2. 线段、角和三角形的概念和基本性质3. 等腰三角形、直角三角形和等边三角形的性质4. 正方形、矩形、平行四边形和菱形的性质5. 圆的概念和基本性质五、解析几何1. 平面直角坐标系和空间直角坐标系的概念和坐标表示2. 点、线、面的坐标表示和方程求法3. 直线的截距式和一般式方程4. 平面图形对称的判定和坐标表示5. 圆的一般式方程和标准式方程六、导数1. 导数的概念和符号表示2. 函数的导数和导函数3. 导数的基本公式和求导法则4. 高阶导数和隐函数求导法5. 函数图像的分析和最值问题高中数学高二知识点汇总一、不等式1. 不等式的概念和符号表示2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式及其解法4. 绝对值不等式的解法5. 不等式组的解法二、函数1. 常用初等函数的性质和图像2. 反比例函数的概念、性质和图像3. 对数函数和指数函数的概念、性质和图像4. 三角函数的和角、差角、半角和共轭角公式5. 三角函数的逆函数和反三角函数三、二次函数1. 二次函数的标准式和一般式方程2. 二次函数的图像和性质3. 二次函数的因式分解和求根公式4. 二次函数的最值和单调性5. 二次函数与其他函数的联立解法四、三角函数1. 三角函数的和角、差角、半角和共轭角公式2. 三角函数的诱导公式和倍角公式3. 三角函数的反函数和反三角函数4. 三角函数与二次函数的联立解法5. 三角函数的简单变形和应用五、平面几何1. 直线与两条平行线和两条垂直线的性质2. 三角形的外心、内心、垂心和重心3. 圆的切线和切圆问题4. 长度、面积和体积的计算5. 相似三角形和勾股定理的应用六、不定积分1. 不定积分的概念和定义2. 基本积分和常见积分公式3. 积分的特殊方法和分部积分法4. 有理函数的积分和三角函数的积分5. 积分常数和变限积分高中数学高三知识点汇总一、函数1. 常用初等函数的性质和图像2. 反比例函数的概念、性质和图像3. 对数函数和指数函数的概念、性质和图像4. 指数函数与对数函数的关系5. 常微分方程和初值问题的解法二、数列和级数1. 数列的极限和收敛性2. 数列极限存在的判定方法3. 数列极限的四则运算和夹逼定理4. 级数的概念和基本性质5. 收敛级数的判定方法三、立体几何1. 立体图形的基本概念和性质2. 球台、棱台和圆锥的性质和计算公式3. 球、圆柱和圆锥的体积和表面积4. 立方体、正四面体和正八面体的性质和计算公式5. 空间向量的基本概念和运算四、导数1. 导数的概念和符号表示2. 函数的导数和导函数3. 导数的基本公式和求导法则4. 高阶导数和隐函数求导法5. 函数图像的分析和最值问题五、定积分1. 定积分的概念和定义2. 定积分的性质和计算方法3. 牛顿-莱布尼茨公式和变量代换法4. 定积分在几何学中的应用5. 定积分在物理学中的应用六、概率统计1. 随机事件和概率的概念和符号表示2. 条件概率和乘法公式3. 全概率公式和贝叶斯公式4. 随机变量和概率分布函数5. 样本方差和总体方差的计算方法。
高一到高三的数学知识点大全
高一到高三的数学知识点大全高一到高三数学知识点（人教版）一、高一数学知识点。
（一）集合。
1. 集合的概念。
- 集合是由确定的元素组成的总体。
例如，全体自然数组成一个集合。
- 元素与集合的关系：属于（∈）和不属于（∉）。
2. 集合的表示方法。
- 列举法：如A = {1,2,3}。
- 描述法：如B={xx^2 - 1 = 0}。
3. 集合间的基本关系。
- 子集：如果集合A的元素都是集合B的元素，则A⊆ B。
- 真子集：A⊂neqq B表示A是B的真子集，即A⊆ B且A≠ B。
- 相等：A = B当且仅当A⊆ B且B⊆ A。
4. 集合的基本运算。
- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。
- 补集：设U为全集，A⊆ U，则∁_U A={xx∈ U且x∉ A}。
（二）函数。
- 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈ A。
2. 函数的表示法。
- 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y = x^2+1。
- 图象法：用图象表示函数关系，如二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是抛物线。
- 列表法：列出表格来表示两个变量之间的函数关系，如三角函数中的特殊值表。
3. 函数的性质。
- 单调性。
- 增函数：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1时，都有f(x_1)，那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数。
- 减函数：当x_1时，有f(x_1)>f(x_2)，则函数y = f(x)在区间D上是减函数。
- 奇偶性。
- 奇函数：对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，那么函数y = f(x)是奇函数，其图象关于原点对称。
高一高二数学知识点归纳
高一高二数学知识点归纳一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数的定义、定义域和值域、奇函数与偶函数、周期函数、反函数等。
2. 一次函数与二次函数一次函数的图像、斜率与截距、函数关系、线性规划等；二次函数的图像、顶点、轴、对称性质、判别式、二次函数图像的平移等。
3. 高次函数与分式函数高次函数的性质、幂函数与指数函数、对数函数等；分式函数的图像、长除法、解分式方程等。
4. 三角函数基本三角函数的定义、单位圆上的三角函数图像、三角函数的性质、解三角方程等。
二、几何与向量1. 几何运算与几何图形直线与平面的方程、向量的加法与数量积、几何图形的平移、旋转、镜像等。
2. 二维几何图形与三维几何图形二维几何图形的性质与计算、三角形与四边形的性质、圆的性质等；三维几何图形的表面积与体积、曲线与曲面的切线与法线等。
3. 空间向量与立体几何三角函数在空间中的应用、向量的混合积、平面与直线的位置关系等。
三、数列与数学归纳法1. 通项公式与递推公式等差数列与等比数列的性质、通项公式的推导、递推公式的应用等。
2. 等差数列与等差数列的求和等差数列与等差数列的求和公式、算术平均数、等差中项等。
3. 数列极限与数学归纳法数列的极限与性质、数学归纳法的应用等。
四、概率与统计1. 事件与概率事件的概念与关系、样本空间与概率、事件的运算、条件概率与独立性等。
2. 随机变量与分布随机变量的概念、离散随机变量与连续随机变量、分布函数与密度函数、期望与方差等。
3. 统计与抽样数据的收集与整理、频率分布表与直方图、数据的描述与分析等。
五、数学思想方法与证明1. 数学思想方法抽象思维与逻辑思维、归纳与演绎、分类与比较等。
2. 数学证明直接证明、间接证明、归纳证明、反证法等。
综上所述，高一高二数学知识点的归纳包括了函数与方程、几何与向量、数列与数学归纳法、概率与统计以及数学思想方法与证明等内容。
掌握这些知识点可以帮助同学们在学习数学过程中更加全面和系统地理解和运用相关的概念与方法，提高数学思维和解决问题的能力。
高一到高二数学知识点目录
高一到高二数学知识点目录一、实数与函数1. 实数的分类与性质2. 数列与数列的性质3. 集合与映射4. 函数的概念与性质5. 函数图像与性质二、平面几何1. 直线与平面2. 角的概念与性质3. 相交线与平行线4. 三角形与四边形：性质与判定5. 圆与圆的性质6. 平面向量与向量运算7. 平面解析几何三、空间几何1. 空间直线与平面2. 点、线、面的位置关系3. 空间几何体的性质与计算4. 空间向量与向量运算5. 空间解析几何四、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本概念与性质2. 三角函数的图像与性质3. 三角方程与三角恒等式4. 三角函数的应用5. 解三角形的基本原理与方法五、数列与数项1. 等差数列与等差中项2. 等比数列与等比中项3. 数列的通项与部分和4. 数学归纳法与数列证明5. 数列的极限与无穷级数六、函数与方程1. 函数的单调性与极值2. 一元二次函数与二次函数的图像与性质3. 一元二次方程与二次方程的问题解决4. 一元多项式函数与多项式函数的图像与性质5. 一元多项式方程与多项式方程的解与应用七、导数与微积分1. 导数的概念与性质2. 常用函数的导数3. 高阶导数与导数的应用4. 微分中值定理与导数的计算5. 积分的概念与性质6. 直线与曲线的面积计算与应用八、概率与统计1. 随机事件与事件的运算2. 概率的基本概念与计算3. 条件概率与独立性4. 随机变量与离散型随机变量5. 随机变量的分布定律与统计九、数学建模与应用1. 建模的基本概念与流程2. 常见数学模型解法与应用3. 数学建模的实例分析4. 数学建模的评价与推广以上是高一到高二数学知识点的目录，涵盖了实数与函数、平面几何、空间几何、三角函数与解三角形、数列与数项、函数与方程、导数与微积分、概率与统计以及数学建模与应用等内容。
高一到高三所有数学知识点
高一到高三所有数学知识点高中阶段，数学是一门必修科目，涵盖了广泛的数学知识点和概念。
以下是高一到高三的所有数学知识点的综述。
一、高一数学知识点1. 函数与方程- 定义域、值域与奇偶性- 一次函数与一元一次方程- 二次函数与一元二次方程- 指数函数与对数函数- 复合函数与反函数2. 直线与圆- 直线的斜率与方程- 圆的方程与性质- 直线与圆的交点与切线3. 三角函数- 基本概念与关系- 三角函数的图像与性质- 三角函数的应用4. 数列与数学归纳法- 等差数列与等比数列的性质- 数列的通项公式与求和公式- 数学归纳法的基本原理与应用5. 平面向量- 平面向量的定义与基本运算- 向量的数量积与向量的夹角- 向量的坐标表示与平面几何应用二、高二数学知识点1. 平面解析几何- 平面方程与直线方程- 平面的位置关系与距离公式- 直线与平面的位置关系2. 函数的导数与微分- 导数的定义与性质- 基本导数公式与求导法则- 函数的极值与最值- 微分的概念与应用3. 不等式与不等式组- 不等式的性质与解法- 一元不等式组与二元不等式组的解法 - 线性规划问题4. 概率与统计- 随机事件与概率的基本概念- 事件的独立性与条件概率- 离散型随机变量与概率分布- 统计与抽样调查5. 三角恒等式与解三角形- 三角函数的和差化积公式- 三角方程的解法与应用- 三角形的面积与相似关系三、高三数学知识点1. 数列与数学归纳法的推广- 等差数列与等比数列的推广- 数列极限的概念与性质- 数学归纳法的扩展应用2. 函数与导数的进一步研究- 高阶导数与高阶导数的求法- 函数的单调性、凹凸性与极值 - 函数的图像与曲线的绘制3. 三角函数的进一步研究- 三角函数的定义域、值域与周期 - 三角方程的解法与应用- 角度制与弧度制的相互转化4. 平面解析几何的进一步研究- 高次曲线的方程与性质- 平面曲线的切线与法线方程- 曲线在直角坐标系中的方程5. 矩阵与向量的进一步研究- 矩阵的基本操作与运算规则- 线性方程组的矩阵表示与解法- 向量空间与线性相关性以上是高一到高三所有数学知识点的综述，这些知识点构成了高中数学的核心内容。
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数学高一到高二知识点大全高一到高二数学知识点大全
数学是一门基础科学，对于高中生而言，数学的学习是十分重要的。
在高一到高二的学习过程中，同学们将接触到许多数学知识点，这些知识点将为日后的学习和应用打下牢固的基础。
本文将对高一到高二的数学知识点进行全面总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
1. 数与式的基本概念和运算法则
(1) 整数和有理数的概念与运算法则
(2) 实数的概念与运算法则
(3) 指数和对数的概念与运算法则
2. 二次函数与一次函数
(1) 一次函数的性质、图像及应用
(2) 二次函数的性质、图像及应用
(3) 一次函数与二次函数的关系与比较
3. 函数与方程
(1) 一元一次方程与一元一次不等式
(2) 一元二次方程与一元二次不等式
(3) 一次函数方程与二次函数方程的解法
(4) 无理方程与绝对值方程
(5) 函数方程与参数方程的解法
4. 平面向量
(1) 平面向量的基本概念、性质与运算法则
(2) 平面向量的共线与垂直判定
(3) 平面向量的数量积与夹角运算
(4) 平面向量的坐标表示与应用
5. 三角函数
(1) 弧度制与角度制的相互转换
(2) 三角函数的基本关系式与诱导公式
(3) 三角函数的图像性质与变换
(4) 三角函数的应用：解三角形和航空、航海等问题
6. 解析几何
(1) 直线的方程及其性质
(2) 圆的方程及其性质
(3) 二次曲线的方程及其性质
(4) 解析几何与函数的关系与应用
7. 数列与数列的极限
(1) 数列的概念、性质与分类
(2) 数列的通项公式与递推公式
(3) 等差数列与等比数列的性质与应用
(4) 数列的极限及其性质
8. 概率与统计
(1) 随机事件与概率的基本概念
(2) 概率的性质与计算
(3) 排列与组合的基本概念与应用
(4) 统计学的基本概念与分析方法
9. 导数与微分
(1) 导数的概念与计算
(2) 常用函数的导数与微分
(3) 导数的几何应用与函数的性质分析
(4) 高阶导数与隐函数求导
10. 不等式与极值问题
(1) 一元不等式的性质与求解
(2) 二元不等式的性质与求解
(3) 不等式与绝对值的关系与应用
(4) 函数的最值与最值问题的求解
综上所述，高一到高二的数学知识点涉及了数与式的基本概念和运算，函数与方程，平面向量，三角函数，解析几何，数列与
极限，概率与统计，导数与微分，不等式与极值等多个方面。
这些知识点的掌握将为同学们的高中学习和将来的升学提供强有力的支持。
希望同学们能够认真学习，扎实掌握这些知识，为未来的发展打下坚实的基础。