第八讲 数列规律
数列的基本概念和规律
数列的基本概念和规律数列是数学中常见的概念之一，是一种按照一定规律排列的数的集合。
它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍数列的基本概念和规律，并举例说明其在不同领域的具体应用。
一、数列的定义和表示方式数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。
一般地，数列可以用下标表示，如a₁、a₂、a₃，也可以用公式表示，如an=n²。
其中，a₁、a₂、a₃是数列的前三项，an是数列的第n项。
二、数列的分类根据数列的规律性质不同，我们可以将数列分为等差数列、等比数列和斐波那契数列三种常见类型。
1. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值相等的数列。
其通项公式一般为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如计算机科学中的循环语句、物理学中的匀速直线运动等。
2. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值相等的数列。
其通项公式一般为an=a₁*q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比。
等比数列在金融和经济学中有着重要的应用，比如复利计算、人口增长预测等。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和的数列。
其通项公式一般为an=an-1+an-2，其中a₁=a₂=1。
斐波那契数列在自然界中随处可见，比如植物叶子的排列、螺旋线的形成等。
三、数列的求和公式在某些情况下，我们需要求解数列的前n项和。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式快速计算出结果。
1. 等差数列的求和公式对于公差为d的等差数列，其前n项和公式为Sn=(n/2)(a₁+an)。
2. 等比数列的求和公式对于公比为q且q≠1的等比数列，其前n项和公式为Sn=a₁*(1-q^n)/(1-q)。
四、数列的应用举例数列在不同领域都有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子。
1. 自然科学领域数列在物理、化学和生物学等自然科学领域中有着重要的应用。
比如在物理学中，等差数列可以用来描述匀速直线运动中物体的位移随时间的变化；等比数列可以用来描述指数增长或衰减的过程。
数列的规律
数列的规律数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
它们在数学和现实生活中的应用非常广泛。
下面我们将探讨一些常见的数列规律及其应用。
等差数列是最基本也是最常见的数列之一。
在等差数列中，每个数字与它前面的数字之差都是相等的。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
等差数列的应用非常广泛，例如在数学中用于求和、平均数等计算，也可以用来解决实际问题，例如计算物体的运动速度等。
等比数列是另一种常见的数列。
在等比数列中，每个数字与它前面的数字之比都是相等的。
例如，2，4，8，16，32就是一个等比数列，公比为2。
等比数列在数学中有许多重要的应用，例如在几何学中用于计算比例、百分比等。
斐波那契数列是一种非常特殊的数列。
在斐波那契数列中，每个数字都是前两个数字之和。
例如，1，1，2，3，5，8，13就是一个斐波那契数列。
斐波那契数列在自然界和生活中有很多应用，例如在植物的叶子排列、兔子繁殖等方面。
素数数列是由素数（只能被1和自身整除的数）组成的数列。
素数数列在数学中有重要的应用，例如在密码学中的素数因子分解等方面。
等差数列、等比数列、斐波那契数列和素数数列只是数列中的一小部分。
数列的规律非常多样化，每个数列都有其独特的规律和应用。
数列不仅在数学中有重要的作用，也广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
数列的规律研究不仅有助于我们理解数学的本质，还可以帮助我们解决实际问题和提升解决问题的能力。
通过观察和分析数列的规律，我们可以发现其中的模式和规律，并将其应用于解决其他类似的问题。
总结起来，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
等差数列、等比数列、斐波那契数列和素数数列是数列中常见的几种规律。
数列的规律研究有助于我们理解数学的本质，提升解决问题的能力，并在各个领域中应用。
数列规律的研究是数学的重要分支，也是解决实际问题的有力工具。
数列的规律与求和
数列的规律与求和数列作为数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，它是由一组按照一定规律排列的数字组成。
研究数列的规律和求和方法，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还能在解决实际问题时提供便利。
本文将从数列的基本概念、规律探索和求和方法三个方面，详细介绍数列的规律与求和。
一、数列的基本概念数列是由一串数字按照一定规律排列组成的序列，通常用字母和下标表示。
一个数列可以是有限个数或者无穷多个数。
我们以数列{1, 2, 3, 4, 5, ...}为例，这个数列是从1开始，每次加1得到下一个数。
数列中的每个数称为项，用an表示，其中n为项的位置。
二、数列的规律探索在数列中，有些规律是显而易见的，而有些规律则需要通过观察和推导来发现。
例如，斐波那契数列就是一个经典的数列，它的规律是每个数等于它前两个数的和，即an = an-1 + an-2。
通过不断将前两项相加，我们可以得到斐波那契数列：{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}。
除了递推关系，数列的规律还可以通过一些特殊的运算得到。
例如，等差数列的规律是每个数与前一个数的差等于一个常数，即an - an-1 = d。
通过这个特点，我们可以轻松地构造等差数列。
同样地，等比数列的规律是每个数与前一个数的比值等于一个常数，即an / an-1 = q。
通过这个规律，我们可以得到等比数列。
三、数列的求和方法对于数列的求和问题，我们常常会遇到等差数列和等比数列两种情况。
下面将介绍这两种数列的求和公式。
对于等差数列，求和的公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
例如，对于等差数列{2, 4, 6, 8, 10}，首项a1=2，末项an=10，项数n=5，则前5项和Sn = (2 + 10) * 5 / 2 = 30。
对于等比数列，求和的公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1为首项，q为公比，n为项数。
数列规律总结技巧
数列规律总结技巧数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照特定规律排列的数字组成。
在学习数学的过程中，掌握数列的规律总结技巧对于解决问题和提高数学能力非常重要。
本文将分享一些数列规律总结的技巧和方法。
首先，我们来讨论一些常见的数列类型及其规律。
等差数列是最简单的一种数列，它的规律是每个数与它前面的数之差都相等。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
要总结等差数列的规律，我们可以观察数列中相邻两个数的差值是否相等，如果相等，那么这个数列就是等差数列。
接下来是等比数列，它的规律是每个数与它前面的数之比都相等。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
总结等比数列的规律时，我们可以观察数列中相邻两个数的比值是否相等，如果相等，那么这个数列就是等比数列。
除了等差数列和等比数列，还有一些其他常见的数列类型，如斐波那契数列、阶乘数列等。
对于这些数列，我们可以通过观察数列中数字之间的关系来总结它们的规律。
例如，斐波那契数列的规律是每个数等于前两个数之和，阶乘数列的规律是每个数等于前一个数乘以当前的数。
在总结数列规律时，我们可以利用数学公式和数学运算的性质。
例如，对于等差数列，我们可以利用等差数列的通项公式来计算任意位置的数值。
对于等比数列，我们可以利用等比数列的通项公式来计算任意位置的数值。
通过运用这些公式，我们可以更快地找到数列的规律。
此外，我们还可以利用数列的性质和特点来总结规律。
例如，对于一些特殊的数列，如回文数列和对称数列，它们具有特殊的对称性质，我们可以通过观察数列中数字的排列顺序和位置来总结它们的规律。
总结数列规律的技巧还包括数列的递推关系和递归关系。
数列的递推关系是指通过前面的数推导出后面的数的关系式。
例如，斐波那契数列的递推关系是F(n) =F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
数列的递归关系是指通过后面的数推导出前面的数的关系式。
通过研究数列的递推关系和递归关系，我们可以总结出数列的规律。
数列的概念和性质
数列的概念和性质数学中，数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列在代数学中有着广泛的应用，被用来描述各种数量之间的关系和规律。
理解数列的概念和性质对于数学学习的基础非常重要。
本文将详细介绍数列的概念、常见的数列类型以及数列的性质。
一、数列的概念数列（Sequence）是指按照一定规律排列的一系列数。
数列中的每个数称为该数列的项，其中第一个数称为首项，最后一个数称为尾项。
数列常用符号表示，例如：a₁，a₂，a₃，...，aₙ，其中“a”表示数列的项，“n”表示项数。
数列的规律可以通过给定的公式或通过对前一项进行变换来确定。
数列的规律包含了一个或多个参数，这些参数决定了数列项之间的关系和变化规律。
二、常见的数列类型1.等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么我们就称它为等差数列。
等差数列常用的符号表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中“a”表示首项，“d”表示公差。
等差数列的通项公式为：aₙ = a + (n-1)d，其中“aₙ”表示第n项，“a”表示首项，“d”表示公差。
2.等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么我们就称它为等比数列。
等比数列常用的符号表示为：a，ar，ar²，ar³，...，其中“a”表示首项，“r”表示公比。
等比数列的通项公式为：aₙ = a × r^(n-1)，其中“aₙ”表示第n项，“a”表示首项，“r”表示公比。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列的常用表示为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...，其中第一项和第二项为0和1，后面的项依次为前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为：fₙ = fₙ₋₂ + fₙ₋₁，其中“fₙ”表示第n项。
三、数列的性质1.有界性数列的有界性指的是数列中的所有项都在一个范围内取值。
数列规律探索技巧总结
数列规律探索技巧总结数列规律探索是数学中非常重要的一个领域，它涉及到许多基本概念和方法，例如递推公式、等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。
在许多数学竞赛和应用问题中，数列规律探索都是一个必须掌握的技巧和策略，它可以让我们更快地解决这些问题，并且有助于我们更好地理解数学中的基本概念。
本文将从以下几个方面总结数列规律探索的技巧和策略。
一、了解基本的数列类型在进行数列规律探索之前，我们需要先了解一些基本的数列类型。
这些数列类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。
对于每种数列类型，我们需要了解它的基本性质、递推公式等等。
例如，对于等差数列来说，它的通项公式是a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(1)为首项，d为公差。
了解这些基本的数列类型和公式，可以帮助我们更快地找到数列规律。
二、观察数列中的规律在研究一个数列的规律时，最重要的是观察数列中的数之间的关系。
我们可以从以下几个方面来观察数列中的规律：1.数列中相邻两项的差是否是相同的，如果是，那么这是一个等差数列。
4.数列中某一项与前几项之间的关系是否是相同的，例如a(n)=a(n-1)+2(n-1)，其中2(n-1)是前几项之和。
观察数列中的规律是数列规律探索中最重要的步骤，只有通过观察才能找到数列中隐含的规律。
三、构造递推公式当我们观察了数列中的规律后，接下来就要构造数列的递推公式。
递推公式是用来求出数列中任意一项的公式，它通常由前一项或前几项推出下一项。
例如斐波那契数列的递推公式是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(n-1)和f(n-2)是前两项。
构造递推公式需要一定的技巧和经验，需要不断地观察数列中的规律和性质，才能找到适当的递推公式。
四、求出通项公式通项公式是用来求出任意一项的公式，它对于计算数列中大量的项非常有用。
在求通项公式时，我们需要先找到数列的递推公式，然后通过数学推导来求出通项公式。
例如对于等差数列来说，它的通项公式是a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(1)为首项，d为公差。
数列的特征与规律
数列的特征与规律数列是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
数列的特征与规律是数学研究中的一个重要方向。
本文将通过介绍数列的定义、常见数列的特征和规律以及数列的应用，来探讨数列的特征与规律。
一、数列的定义数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
一般用字母a1，a2，a3，…，an表示数列中的第1个数，第2个数，第3个数，…，第n个数。
数列的通项公式可以表示为an=f(n)。
数列可以分为有限数列和无限数列。
有限数列是指数列中的元素个数有限，如{1, 2, 3, 4, 5}；无限数列是指数列中的元素个数无限，如{1, 2, 3, 4, …}。
二、常见数列的特征和规律1. 等差数列：等差数列是指数列中的相邻两项之差相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d。
等差数列的特征在于，每一项与它的前一项之间的差值恒定，称为公差。
2. 等比数列：等比数列是指数列中的相邻两项之比相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r，则其通项公式为an=a1*r^(n-1)。
等比数列的特征在于，每一项与它的前一项之间的比值恒定，称为公比。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都等于它的前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为an=an-1+an-2，其中a1=1，a2=1。
斐波那契数列的特征在于，每一项都等于它的前两项之和。
4. 几何数列：几何数列是指数列中的相邻两项之比恒定的数列。
设几何数列的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
几何数列的特征在于，每一项与它的前一项之间的比值恒定，称为公比。
三、数列的应用数列在数学中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 数学题中的数列应用：数列出现在各种数学题中，如等差数列和等比数列的求和问题、求解递推数列的通项公式等。
2. 物理学中的数列应用：在物理学中，数列的运算和特征常常用于描述运动、波动等变化过程。
解读数列的规律与性质
解读数列的规律与性质数列是数学中一个重要的概念，它指的是按照一定规律排列的一系列数字。
数列的规律与性质是数学中研究的一个重要领域，它关注着数列中数字的变化规律，以及这些规律所具备的性质。
本文将解读数列的规律与性质，通过分析不同类型的数列，探索数列中蕴含的数学奥秘。
一、等差数列的规律与性质等差数列是最简单、最常见的数列之一。
它的规律是每一项与它的前一项之差都相等。
我们以公差为d的等差数列为例，首项为a₁，通项公式为an=a₁+(n-1)d。
等差数列的性质有以下几个方面。
1. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过求首项和末项之和乘以项数的一半来计算，即Sn=(a₁+an)n/2。
这个公式简化了计算等差数列的和的过程，提高了计算效率。
2. 等差数列的性质等差数列具有数列项数无限性、数列和的无限性、相邻两项和的无限性和相邻三项和的无限性等性质。
这些性质为解题提供了便利。
二、等比数列的规律与性质等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
我们以公比为q的等比数列为例，首项为a₁，通项公式为an=a₁*q^(n-1)。
等比数列的规律与性质有以下几个方面。
1. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过首项乘以一个比值来计算，即Sn=a₁(1-q^n)/(1-q)，其中q≠1。
此公式用于计算等比数列的和，便于解决相关问题。
2. 等比数列的性质等比数列具有项数无限性、和数的有限性、相邻两项的比值的无限性、相邻三项的比值的有限性等性质。
了解这些性质有助于理解等比数列的特点和应用。
三、斐波那契数列的规律与性质斐波那契数列是指满足每一项都是前两项之和的数列。
我们以首项为a₁，第二项为a₂的斐波那契数列为例，通项公式为an=aₙ₋₁+aₙ₋₂。
斐波那契数列的规律与性质如下。
1. 斐波那契数列的特点斐波那契数列具有递推性，即每一项都是前两项之和。
它的规律非常有趣，数列中的数字逐渐增大，并且相邻两项的比值逼近黄金比例。
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注：观察数列规律时，要逐渐培养分析、归纳的能力。 如上题 1，3，6，10，15，21，28 …… 要求写出第 100 项，怎么办？ 解析：根据之前的规律，第 2 项是前一项+2，第 3 项是前一项+3，那么第 100 项应该是第 99 项+100，可是第 99 项不知道呀？那就找找这个数列的规律是不是还有别的表示方法。发 现第一项是 1，第二项是 1+2，第三项是 1+2+3，第四项是 1+2+3+4……，原来第 n 项就是从 1 一直加到 n，那么第 100 项就是 1+2+3+……+100=5050
②相邻两个数之间的差相等。 例： 1， 5， 9， 13， 17……
+4 +4 +4 +4
100， 88， 76， 64， 52，……
-12 -12 -12 -12
2、差是等差数列 观察要点 ①数列同向变化；
②相邻两个数之间的差依次增加或减少同一个数。 例：
1， 3， 6， 10， 15， 21， 28……
1， 1， 1， 3， 5， 9， 17， 31…… 发现从第 4 项开始，每一项都是它的前 3 项之和
1， 2， 6， 16， 44， 120， 328 1+2=3，2+6=8，6+16=22，发现前两项之和是它们后一项的一半！那找到规律， （1+2）×2=6，（2+6）×2=16……，从第 3 项开始，每一项都是前两项之和的 2 倍。
6、立方数列
1， 8， 27， 64， 125， 216， 343， 512， 729， 1000……
1×1×1 2×2×2 33 43
53
63
73
83
93
103
注： 4×4×4，3 个 4 相乘，可以写为 43，读作 4 的 3 次方，3 次方也称为立方
5×5×5×5，可以写成 54，读作 5 的 4 次方
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三、典型例题解析 例 根据规律，在括号中填上合适的数
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三年级秋季班总结
程雪
4+2，5+8，6+14，7+20，（ ）…… 解析：每一项都是一个加法算式，前一个加数构成数列 4，5，6，7……，是等差数列，后 一个加数构成数列 2，8，14，20……也是一个等差数列。很容易填出括号里应该是 8+26。 拓展，第 100 项是？——第一个加数是 4+99=103，第二个加数是 2+99×6=596
1989÷3=663（组） 说明该数是在第 663 组的最后一个数，是属于 1989 依次减 1 的等差数列中的。那它又是这 个等差数列的第几个呢？
663×2=1326（个） 或 1989-663=1326（个）…即去掉每组中的 1，共去掉 663 个 1 从 1989，1988，1987，1986……这个数列中能看出，第 2 项是 1989-1，第 3 项是 1989-2， 第 4 项是 1989-3，那么第 1326 项应该是 1989-1325，所以
行 2 个数，……除开两边的 1，每个数都是其
121
1 3 31 14 6 41
“左右肩”之后。
（2） 根据规律，第 6 行的数应该是 1，5，10，10，5，1；第 7 行的数是 1，6，15，20，
15，6，1。
（3） 要推断第 10 行的数字之和，先看看前几行各自的和是否有规律
第一行：1
第二行：2
7、兔子数列（斐波那契数列）
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13……
1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8=13 兔子数列规律：第一项和第二项均是 1，从第三项开始，每一项是它的前两项的和。 该规律拓展运用： 例：
2， 1， 3， 4， 7， 11， 18， 29……
2+1=3 1+3=4 3+4=7 4+7=11 7+11=18 11+18=29
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程雪
第八讲：数列规律
一、基本概念（理解即可，不用死记硬背） 1、数列：按一定顺序排列的数。 2、无穷数列：“穷”即尽头，就是没有“尽头”的数。 3、有穷数列：就是有“尽头”的数。 4、项：数列中的第一个数就叫“第一项”，第二个数就叫“第二项”……
二、常见数列规律 1、等差数列 观察要点 ①数列同向变化；
观察要点 ①数列同向变化，但变化速度更快；
②相邻两个数之间的商是一个等差数列
例： 1， 2， 6， 24， 120， 720，
5040……
×2 ×3 ×4 ×5 ×6 ×7
5、平方数列 1， 4， 9， 16， 25， 36， 49， 64， 81， 100……
1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 6×6 7×7 8×8 9×9 10×10
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（2）87 在上起第几行，左起第几列？
1
2
5 10 17 …
4
3
6 11 18 …
9
8
7 12 19 …
16 15 14 13 20 …
25 24 23 22 21 …
………………
解析：首先找规律，根据自然数自小到大的顺序，很容易看出，数字是“一圈一圈”扩散 的（如图上红线所示），每一圈上都是从上到下再往左拐弯。第 2 圈竖着数 2 个数，横着数 也 2 个数，有一个数重复。那么第 n 圈就应该竖着数 n 个数，横着数 n 个数，共有 2n-1 个 数。同时，第一列的数是每一圈的最后一个数，是一个平方数列，即第 1 圈最后一个数是 1 ×1，第 2 圈最后一个数是 2×2，第 n 行第一个数是 n×n，也是第 n 圈的最后一个数。 （1） 第 10 行的第 7 个数在第 10 圈上（第 10 圈横着应该有 10 个数），第 10 行的第一个
……21
第三行：4 2×2
……22
第四行：8 2×2×2
……23
第五行：16 2×2×2×2
……24
第六行：32 2×2×2×2×2
……25
发现是一个等比数列，第 10 行应该是 9 个 2 相乘，即 29，算出结果是 512。
例 自然数如下表规律排列 （1）求上起第 10 行，左起第 7 个数是几？
3、等比数列 观察要点 ①数列同向变化，但变化速度很快；
②相邻两个数之间的倍数关系相同（即相邻两数之间的商相等） 例：
1， 2， 4， 8， 16， 32……
×2 ×2 ×2 ×2 ×2
1， 3， 9， 27， 81， 243……
×3 ×3 ×3 ×3 ×3
4、商是等差数列
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8、双重数列 方法：隔着看（即分成奇数项和偶数项两组） 例： 100， 1， 95， 4， 90， 9， 85， 16， 80， 25， 75， 36……
拓展：分组看 2， 4， 5， 10， 11， 22， 23， 46， 47 …… 2 个数为一组，每组第二个数是第一个数的 2 倍，每组的第一个数是它前一个数+1。
1989-1326+1=664 第 1989 个数是 664。
例 下面的算式是按规律排列的： 1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，……，那么其中第多少个算式的结 果是 2008？ 解析：先找出规律：每一项都是一个 2 个加数的加法算式，第一个加数是 1，2，3，4 周期 循环的，第二个加数是 1 开始的连续单数（也是一个等差数列）。 结果是 2008，先用枚举法把可能的式子列举出来 1+2007，2+2006，3+2005，4+2004。其中， 2+2006 与 4+2004 不符合第二个加数为单数，排除掉。 2007 应该是（1+2007）÷2=1004 项，而 1 始终在单数项，所以不符合。应该是算式 3+2005， 验算一下： 2005 是（2005+1）÷2=1003 项，说明 2005 在第 1003 个式子中，该式子的第一个加数为 1003 ÷4=250（组）……3（个），第一个加数是 3，符合。
例 有一列数 1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，……从第三个数起，每一 个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么第 1989 个数是多少？ 解析：先找出这个数列的规律，每 3 个数为一组，每组中的第一个数都是 1，后两个是从 1989 依次减 1 的等差数列。那所求的第 1989 个数到底是 1，还是从 1989 依次减 1 得到的一个数 呢？需要看看这个数在它所在组的位置。
程雪
1
a
17 20
10
16
15
b
30
20
40
例 先观察下面各算式，再按规律填数23×9＋4 = 1111 12345×9＋6 = 1234567×9＋ = 解析：本类题孩子们发现规律都不难，但特别容易马虎。比如孩子会发现算式的结果从上到 下是 2 个 1，3 个 1，4 个 1，所以第一个空格填写 5 个 1，就错了。注意这些都是算式，那 么结果一定跟自身的算式有关，所以在竖向找规律的同时，一定要结合这个式子，即还有 “横向”看。 本题的规律：结果都是由若干个 1 组成的；1 的个数恰好等于式子后面的加数；而后面的加 数比前面乘数的尾数大 1。所以 12345×9＋6 = 111111，1234567×9＋8=11111111
数是 10×10=100，从 100 倒着数的第 7 个数是 100-7+1=94 （2） 与 87 最相近的一个平方数是 81，81 是 9×9，是第 9 圈的最后一个，那么 87 应该