2003年清北学堂国庆数学班讲义精选集

i, j=1
3
i =1
i
2
n ∑ x ∑ x A = 4n(
2 − 1) n (
3
i =1
2
n
i −2A
i =1
+n
i
2)
n
∑ xi
n
∑ x − n 取A= i=1 x ∑ x ∑ x π
则
i
i, j=1
2 4n( 2 − 1) n
j≤
(
3
i =1
i
2
−
1 n
n i =1
2
i)
函数方法
例4 设xi > 0,i = 1, 2, , n x1 + x 2 + + x n ≥ 1,求证
− n−1
2
n−1
>
π 4
(1) '
s ss s ss s ss s ss (2)
⇔
−
1
1+
0 2
1
+
1
2
+
−
1 2
2
+
+
−
k
+ k −1
2
1+ k
+
−
n
1+
n−1 2
<
π 2
n
(2) '
−
s s s s k s s s s 1+
k −1 2
<
arctg
k
− arctg
k
k −1
<
1
k
+
− k
k −1 2
−
k
k +1)
x1+ x2 + + xn = a1
x+ 2
+ xn = a2
x a a a = n
−
n
n+1 =
n
n
∑
a
k
2
=
1
⇔
∑
k
x
k
2
+
2
∑
jx jxk
k =1
i≤ j<k≤n
n
σ =∑
k
x
要证σ
kHale Waihona Puke ≥1k =1σ σ ∑ x ∑ x x 由于
n
2= k
k2+2
jk
⇒ 2≥1
jk
k =1
1≤ j≤k ≤n
=
a1 x2 + q1
+
x2 − 2 ( x2 + q1)2
q1 = x3 + x4 + + x2002 + 1 + 1
a1 x2 + q1
+
x2 − 2 ( x2 + q1)2
=
a1 + 1 x2 + q1
−
q1 + 2 ( x2 + q1)2
注：本题解答不全
8. 已知a1, a2, , an都是非负实数，且满足 a1 + a2 + + an = 1
i =1
i =1
i =1
i=0
n
n
∴
∑
a
bi i
=
∑
s
b(
ii
−
b) i +1
+
S
bn n
i =1
i =1
证明排序不等式可用阿贝尔求和方法。排序 ⇒ 均值 ⇒ 柯西
∑ 例2
n
求证：
k =1
1 k
Sinkx
<
2
π
不妨设 0 < x < π
S ∑ 令
k
=
k
Sinmx
m=1
=
Cos x − Cos(k + 1)x
x1
+
1
x2
+
2
x1
+
1
+
(
x3 x1+
x
2)2
+
+
1+
(
x1+
xn +
x n −1) 2
>
π 4
(1)
1
x1
+
2
x1
+
1
+
(
x2 x1+
x
2)2
+
+
xn
1+ (x1+
+ xn)2
<
π 2
(2)
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A1
=
1 x1 + q
−
q +1
( x1 + q)2
=
−
(
q
+
1)
⎡ ⎢ ⎣
x1
1 +
q
−
1 ⎤2
2
(
q1
+
1)
⎥ ⎦
+
1
4
(q + 1)2
1
∴
A1
≤
(q
4
+ 1)2
当
1 x1 +
q
=
1 时，等号成立。
2 (q1 + 1)
a1
(q +1)
+
x2 − 2
(q + 1)2
k =1 k
2 1 23 2
+( 1 − 1) n −1 n
n−1
+
1 n
≤π nx
同理可证：设a1 > a 2 > > a na1 > 0 ∗ 阿贝尔求和方法 a1 ⋅ Sinmx + a 2 ⋅ Sin(m + 1)x +
+ a n ⋅ Sin(m + n
− 1) x
<
a
.
1
π x
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+
3ai
)
+
(1
+
3
⋅
1 n
)
2
=
n+3
∑n
∴
i =1
1 + 3ai ≤
n+3 =
1
+
3
⋅
1 n
n(n + 3)
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n
(2)再证：n + 1 ≤ ∑ 1 + 3ai i =1 n ∑ 1 + 3ai > (n − 1) 1 + 3(a1 + a2 + i =1 ∴原命题得证
解：中值：令x = y = z = 3 , f = 3 3
3
4
边值：令z = 0 f = x + y x, y ≥ 0
x2 + y2 = 1
1 ≤ f ≤ 2,由于1 < 3 3 < 2 4
问题化为证明：1 ≤ f ≤ 2
猜测
fmax = 2
fmin = 1
首先证明：f ≥ 1(三项不易计算可局部计算)
猜想：n + 1 ≤ ∑ 1 + 3ai ≤ n(n + 3) i =1
n
（1）先证：∑ 1 + 3ai ≤ n(n + 3) i =1
1 + 3ai ⋅
1+ 3⋅
1 n
≤
(1
+
3ai
)
+
(1
+
3
⋅
1 n
（) 两项要照顾取等号条件）
2
∑ ∑ n
∴
1+
3⋅
1 n
⋅
i =1
1 + 3ai
≤
n i =1
(1
考虑到
a1 + a2 +
+ an = 1，∴当a1 = a2 =
=
an
=
1时 n
此时
n
∑ 1 + 3ai = n
1
+
3
⋅
1 n
=
n(n + 3)
i =1
n
∑ 当a1 = a2 = = an−1 = 0，an = 1时， 1 + 3ai = n + 1 i =1
明显 n(n + 3) > n + 1
n
b−a
1+a2
θ
−
ϕ
<
arctg
b−a
1+a2
即
arctgb
−
arctga
<
arctg
b−a
1+a2
又sin（θ − ϕ）<θ − ϕ
只须证 sin（θ
−
ϕ）>
b−a
1+ b2
由命题(1) '(2) '得证
n
∑ 例5.设xi > 0,i = 1, 2, , n且 xi = 1, x0 = 0, i =1
n
若m ≤ ∑ 1 + 3ai ≤ M 恒成立，求m的最大值与M的最小值 i =1 n