2013清北学堂寒假数学竞赛 集训一几何导学
2013年五一数学精品班集训七几何导学

模拟真题:
题 1:例 1、在△ABC 中,O 为外心,I 为内心,AB<AC,AB<BC,D 和 E 分别是 边 AC、BC 上的点,且满足 AD=AB=BE,求证:IO⊥DE。 分析一: 连结 OD、 OE、 ID 和 IE, 要证 IO ⊥ DE , 只需证 ID 2 − IE 2 = OD 2 − OE 2 。 证明一:设 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC 的外接圆半径为 R,则 CD=b-c,CE=a-c。 在△OAC 和△OBC 中,由斯德瓦特定量,得
A O F H B M
证明: (1)∵A、C、D、F 四点共圆, ∴ ∠BDF = ∠BAC , 1 又∵ ∠OBC = (180° − ∠BOC ) = 90° − ∠BAC , 2
2
E C D N
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于是得 ID 2 − IE 2 = OD 2 − OE 2 ,故 IO ⊥ DE 评述:在任意四边形 ABCD 中,若对边平方和相等,则对角线互相垂直。此 题正是应用这个结论而得证的,IDOE 构成一个凹四边形,对角线为 IO 和 DE。 分析二:由于 AB=AD 可得 AI⊥BD,延长 AI 交外 A 接圆于 M,连结 OM,则 OM⊥BC,故可发现△IOM 和△ DEB 的对应边互相垂直。 故只需证这两个三角形相似 即可。 I O 证明二: 连结 AI 并延长交△ABC 的外接圆于点 M, D 连结 OM、BD。 则有 OM⊥BC,IM⊥BD B E C ∴∠AMO=∠DBC MI BD 要证△ MIO ∽△ BDE ,则需证 = M MO BE 又 由 内 心 的 性 质 得 MI = MB , 故 只 需 证 MB BD = MO BA 故只需证△ BAD ∽△ MOB 。 OB AD 因为 = = 1 , ∠BAD = ∠BOM ,故△ BAD ∽△ MOB 得证。 MO BA ∴△ MIO ∽△ BDE ∴ IO ⊥ DE :评述:如果两相似三角形有两组对边互相垂直,则第三组对边也垂直。当 两线段无公共点时,我们常用此法来证两线段垂直。 题 2:如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N,求证: (1)OB⊥DF,OC⊥DE; (2)OH⊥MN (2001 年全国高中数学联赛加试题一)
清北学堂信息学竞赛辅导班测试题及答案1

清北学堂信息学竞赛辅导班测试题及答案1清北学堂信息学竞赛辅导班测试题时间:3⼩时2004年7⽉学校:______ 姓名:______注意:最⼤公约数⽤(a,b)表⽰,a除以b的余数⽤a mod b表⽰,计算题要算出最后结果。
⼀、(8分) 编码在书写以下语句时,要注意可能出现哪些错误?如果不会出错,写“⽆”1.1整数加法:______1.2整数减法:______1.3整数乘法:______1.4整数除法:______1.5实数⽐较:______1.6数组元素访问:______1.7指针所指内容访问:______1.8递归调⽤:______⼆、(8分) 算法分析分析以下程序段的时间复杂度。
其中n为输⼊规模,为正整数。
上限应该尽量紧2.1下述代码段时间复杂度:O(__)a := n * n; a = n*n;2.2下述代码段时间复杂度:O(__)for i:=1 to n do j := j + n; for(i=1;i<=n;i++)j+=n;2.3下述代码段时间复杂度:O(__)for i:=n downto 1 do for(i=n;i>=1;i--)for j:=1 to n do for(j=1;j<=n;j++)k := i * j; k=i*j;2.4下述代码段时间复杂度:O(__)for i:=1 to n do for(i=1;i<=n;i++)for j:=i to n do for(j=i;j<=n;j++)k := 1; k=1;2.5下述代码段时间复杂度:O(__)i := n; i=n;while i>0 do i := i div 2; while(i>0)i/=2;2.6调⽤test(1)的时间复杂度为:O(__)function test(a:integer):integer; int test(int a){ if (a>n) return test(a+1)+test(a+1); } beginif(aend;2.7调⽤test(n)的时间复杂度为:O(__)function test(a:integer):integer; int test(int a){var i:integer; for(int i=1;i<=a;i++)c++;begin if (a>1) return test(a+1)+test(a+1); }for i:=1 to a do c := c + 1;if(a>1) test:=test(a div 2)+test(a div 2);end;2.8下述代码段时间复杂度为:O(__)j:=1; j=1;for i:=1 to n do for(i=1;i<=n;i++){ while(j<=n&&a[j]while (j<=n) and (a[j]j++;end;三、(6分) 调试与测试测试某⼀段程序A3.1 经测试,n扩⼤10倍,运⾏时间扩⼤约100倍,则算法的时间复杂度最有可能是____a. O(n)b. O(n2)c. O(nlogn)3.2 这个程序通常可以⽀持n<=____的规模a. 3000b. 10c. 100,0003.3 对于同样的规模,另⼀个程序B⽐它快2秒,能说明A⽐B的渐进时间复杂度⾼吗?a. 可以b. 不可以3.4 程序中有这样⼀条语句:if ok(a) and ok(b) and ok(c) then funA(b) else funB(c);⽤⽩箱测试法让它覆盖完所有条件,需要⾄少取⼏组a,b,c?a. 2组b. 8组c. 6组3.5 跟踪调试发现,语句a[i]:=2; 执⾏完后b[3]突然变成2了,问题的原因是______;a. 算术运算溢出b. I/O错误c. 下标越界3.6 接上题,如果要让Pascal编译器通知此事,应打开编译开关______。
2013 暑期数学特训课程组合导学-特殊排列 解题方法等

组合导学一、 基础知识点(1)几种特殊的排列1. 圆排列:从n 个不同元素中不重复地取出m (1≤m ≤n )个元素在一个圆周上,叫做这n 个不同元素的圆排列。
如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列,则认为这两个圆排列相同。
2. 可重复排列:从n 个不同元素中取出m 个元素(同一个元素允许重复取出),按照一定的顺序排成一列,叫做n 个不同元素的一个m-可重排列。
定理:n 个不同元素的m-可重复排列数为m n 。
3. 多组组合:将n 个不同元素分成k 组的组合称为n 个不同元素的k-组合 定理:对于n 个不同元素的k ‐组合,若第i 组有i n 个元素,则不同的分组方法有12!!!...!k n n n n 种。
4. 全错位排列:将编号为1,2,…,n 的n 个元素放入编号为1,2,…,n 的n个容器中,要求编号为k 的元素不放入编号为k 的容器中(k=1,2,…,n).定理:对于n 个元素的全错位排列,总共有1111!(1...(1)1!2!3!!n n n −+−++−种排列方式。
(2)分类计数与分步计数原理(3)求解组合问题的递推方法(4)求解组合问题的母函数法(5)求解组合计数问题的子集类法(6)组合恒等式)1(2321021011111=−++−+−=++++⋅==+==−−−−+++−n n n n n n n nn n n n n m r mn m n m n r n r n r n r n r nr n r n nr n C C C C C C C C C C C C C C r n C C C C C C ……证明组合恒等式的方法有: ①等变形,变换求和指标; ②建立递推关系; ③数学归纳法; ④考虑组合意义; ⑤母函数.(7)抽屉原理、极端原理、容斥原理抽屉原理:如果把n+1个元素分成n 个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素。
极端原理:直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法称为极端性原理。
几何特训一导学

北京清北学堂数学竞赛导学材料几何特训一导学一、几个重要定理:1、梅涅劳斯定理:设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','C B A 三点共线,则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA '''AC CB BA,C AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BCBP-BP•PC. 6、欧拉定理、欧拉公式:ΔABC 的外心O ,垂心H ,重心G 三点共线,且.21GH OG =设三角形的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,外心与内心的距离为d ,则d 2=R 2-2Rr . 二、三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 1. 重心:三角形的三条中线交于一点。
(1)设G 为△ABC 的重心,连结AG 并延长交BC 于D ,则D 为BC 的中点,且:2:1AG GD =;(2)重心坐标公式:设G 为△ABC 的重心,则(,)33A B C A B Cx x x y y y G ++++(3)设G 为△ABC 的重心,则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31; (4)设G 为△ABC 的重心,过G 作DE ∥BC 交AB 于D ,交AC 于E ,过G 作PF ∥AC 交AB 于P ,交BC 于F ,过G 作HK ∥AB 交AC 于K ,交BC 于H ,则(2)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍; (3)垂心H 关于△ABC 的三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上;(4)△ABC 的垂心为H ,则△ABC ,△ABH ,△BCH ,△ACH 的外接圆是等圆; (5)设O ,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,.(6)由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利. (7)垂线定理:2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥.高线长:C b B c A abcc p b p a p p ah a sin sin sin ))()((2===---=. 3. 内心:三角形的三条角分线的交点—内切圆圆心。
数学奥赛培训北大教授代数 数论 几何 组合的解题技巧

f
md
m
m Hale Waihona Puke 1
1
m
,
m
1,
2,
3,
f m,2 m m 1 m , m 1, 2,3,
记x=1,y=1 1 ,则x,y为无理数且 1 1 =1。则
xy
xm | m=1,2,3, ,ym | m=1,2,3, 合起来恰好组成正整数列,
由于 pn pn 1 1 = pn
pq pq pq pq
pn 1
p
q
pn pq
pn pq
m 1
pn 1
p
q
1
pn pq
pn 1
p
q
an
b1=1。
p
任取正整数s,则bs=
j=1
a sj
p
,bs+1=
j=1
a
s+1
j
。设a
s=m
k,a
s+1=n
。
l
由1的定义可知mk和nl之间不存在M中的数,即不存在正整数q和
j{1,2, ,p}使得
mk q j nl
即
,p}使得a
n=m
。显然
k
n=#sl | sl mk , s 1, 2, , l {1,2, ,p},
其中# 表示集合 中元素的个数。由于
数学竞赛教案讲义(12)——立体几何

数学竞赛教案讲义(12)——立体几何第十二章立体几何一、基础知识公理1一条直线。
上如果有两个不同的点在平面。
内.则这条直线在这个平面内,记作:aa.公理2两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若P∈α∩β,则存在唯一的直线m,使得α∩β=m,且P∈m。
公理3过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。
即不共线的三点确定一个平面.推论l直线与直线外一点确定一个平面.推论2两条相交直线确定一个平面.推论3两条平行直线确定一个平面.公理4在空间内,平行于同一直线的两条直线平行.定义1异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过900的角叫做两条异面直线成角.与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离.定义2直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外.定义3直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直,则直线与这个平面垂直.定理1如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直.定理2两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.定理3若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直.定理4平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平行,则直线上每一点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离.定义5一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线.由斜线上每一点向平面引垂线,垂足叫这个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平面内的射影.斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角.结论1斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角.定理4(三垂线定理)若d为平面。
2013 高中数学竞赛 集训一 初等数论 导学

=
p 1979 m(m N *). q 两端同乘以 1319! 得 1319! 此式说明 1979|1319! × p. 由于 1979 为质数,
且 1979 1319! ,故 1979| p.
7 7 7
题 2: 求一对整数 a, b , 满足: (1)ab(a b) 不能被 7 整除; (2)(a b) a b 能被 77 整除. 25 届 IMO 试题美国普特南数学竞赛试题)
i 1
paii )
展开后的各
项之和,所以
(a) (1 pi pi )
i
n
i 1
i 1
i p1 1 pi 1
例如,25200=24·32·52·7,所以 d (25200) (4 1)(2 1)(2 1)(1 1) 90 ,
i 均为非负整
数) ,则 a 的约数的个数为
d (a) ( i 1)
i 1
n
n
.所有的约数和为:
(a)
i 1
n
n
pi i 1 1 pi 1 .
i
事实上,由算术基本定理的推论知
n
d (a) ( i 1)
i 1
,而各约数的和就是
(1 p
ww w
3/3
.q b
xt .
分别能被
2 2 2 p12 , p 2 pk , pk 1
整除,即 m k 1 时命题成立.故题对一切正整数 m 均成立.
cn
2 2 2 2 t 0 p12 p 2 pk n 1, t 0 p12 p 2 pk n
清北学堂物理竞赛模拟题参考答案

(1.2)由抛物线的光学性质可知,以F F 为两焦点的双曲线,取其 中任一点 P,过 P 作双曲线的法线 MPN,则由F 到 P 的入射光线必 经过F 点,作过 P 点的切线 SPT,则∠F PF 的角平分线.若F F 均匀 带电,则 P 点场强 方向必沿 SPT 方向,即为该双曲线.据上述讨论 可知,Oxy 坐标面上的电场线即为以F F 为两焦点的双曲线(簇), 其方程为
(1.3)由椭圆光学性质可知,同(1.2)理,椭圆即为等势线,其方程为
(2)由(1.3)可得到下述结论 以 A 为长半轴,B 为短半轴,绕长轴旋转而成的椭圆球面内,若
令两焦点连线段上均匀带电,则此椭球面必为该线电荷电场的一个等 势面.
设要讨论的椭球导体,由题解图 4 所示 Oxy 平面上长半轴为 A, 短半轴为 B 焦点为F F 的椭圆绕 x 轴旋转成.为计算电容 ,设椭球 导体带电量为 未知,但静电平衡后椭球面电视 为已知量.采用 静电镜像法,设镜像电荷总量为 均匀分布在点F F 连线上.根据前 面给出的“推论”可知,旋转椭球面确定为此镜像电荷电场的等势面.
Δt =5.6(K)
题五、题目较长,但有效信息并不多,算出溢出气体物质的量,再由 气体分压原理和理想气体状态方程即可求解,较为简单,设被释放气 体总分子数为ΔN,由此而引起真空管中气体分子数密度的变化为Δn, 所引起气体压强的变化为Δp.由于Δp=ΔnkTΔp=ΔnkT,Δn=ΔNV, ΔN=2πrLS0,故Δp=0.59Pa
Δp<0 可见水中压强减小,减小量为
Δp= (1- )
T=2πm/qB =1/f R=mv/qB
联立解得粒子输出时的速率 v= 2πfR
设粒子输出时,单位时间飞出回旋加速器的粒子数为 N,则电流强度 I=Nq
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4 sin 2 4 sin cos 1
3 2 2 sin 2 . 4
因为 2 2 2 2 sin 2 当
2 2 ,所以 2 1 | OD | 2 1. 4
3 7 时, |OD|max = 2 +1;当 时, |OD|min = 8 8
xt .
(3)两条直线的位置关系
cn
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★(5)直线������1 到������2 的角,直线������1 与������2 的夹角 设直线������1 ,������2 的斜率存在,分别为 k1,k2,且������1 到������2 不垂直 若直线������1 ,������2 的角为������ ,则tan������ = 若������1 与������2 的夹角为������ ,则tan������ =
1 / 25
ww w
.q b
①两条不重合的直线������1 ,������2 均有斜率,斜率分别为������1 ,������2 ,则������1 ∥������2 ⟺ ������1 = ������2 . ②两条直线������1 ,������2 均有斜率,斜率分别为������1 ,������2 ,������1 与������2 相交则⟺ ������1 ≠ ������2 . ③两条直线������1 ,������2 均有斜率,斜率分别为������1 ,������2 ,������1 ⊥ ������2 ⟺ ������1 ������2 = −1. 由此可得:������1 :������1 ������ + ������1 ������ + ������1 = 0,������2 :������2 ������ + ������2 y + ������2 = 0 ������2 ,������2 ,������2 ≠ 0 ,
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2013 寒假集训一几何导学,内容中标有★的部分,是中学数学竞赛大纲中提出要求的内容,需要引起 同学们注意,希望能提前做好预习和学习准备. 一、直线与圆 知识点 解析几何的实质是通过坐标系把方程与曲线相对应, 使曲线的几何关系在其方程的性质中表现出来. 将 几何问题转化为代数问题来解决,这是解析几何的一个功能;把这种方法用于代数,即通过解析几何将代 数问题转化为几何问题来解决,这是解析几何的另一个功能. 1、直线 (1)直线的斜率 k 与直线的倾斜角 ������ = tan������ ������ ≠ 90° ,直线的倾斜角的取值范围是 0° ≤������<180° 经过两点������1 ������1 ,������1 、������2 ������2 ,������2 的直线的斜率为������ = (2)直线方程的几种形式及其局限性 ①点斜式:������ − ������0 = ������ ������ − ������0 (斜率 k 存在) ; ②斜截式:������ = ������������ + ������(斜率������存在) ; ③两点式:
==Leabharlann ,������ 1 ������ 2
≠
������1 ������2
,
������1 ⊥ ������2 ⟺ ������1 ������2 + ������1 ������2 = 0(无须������2 ,������2 ≠ 0这一条件) . ★(4)直线系方程 设 两 相 交 直 线 ������1 :������1 ������ + ������1 ������ + ������1 = 0 , ������2 :������2 ������ + ������2 ������ + ������2 = 0 交 于 P , 则 方 程 ������1 ������ + ������1 ������ + ������1 + ������ ������2 ������ + ������2 ������ + ������2 = 0表示过 P 的直线系方程(不包含������2 ) . 由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为(A1x+B1y+C1) (A2x+B2y+C2)=0;与 l1 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0 ( C C1 )
y −������1 ������2 −������1 ������ ������ ������ ������2 −������1 ������ 2 −������ 1
������1 ≠ ������2 .
=
������−������ 1 ������ 2 −������ 1
������1 ≠ ������2 ,������1 ≠ ������2 ;
(2)圆的切线方程 过圆������ 2 + ������ 2 = ������ 2 上的点������ ������0 ,������0 的切线方程为������0 ������ + ������0 ������ = ������ 2 ;过圆 ������ − ������ 2 + ������ − ������ 2 = ������ 2 上的点 ������ ������0 ,������0 的切线方程为 ������0 − ������ ������ − ������ + ������0 − ������ ������ − ������ = ������ 2 . (3)直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种,判断方法有两种:一种是联立直线与圆的方程,根据解的个数判断;另 一种是利用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断. 相交 相切 相离 两个交点⟺ ������ < ������,此时被截得的弦长为2 ������ 2 − ������ 2 . 一个交点⟺ ������ = ������. 无交点⟺ ������ > ������.
.
2、简单的线性规划 线性规划问题是一类条件最值问题,即在一组线性约束条件下,求一个线性目标函数的最大值与最小值. 3、圆 (1)圆的方程 标准方程 ������ − ������ 2 + ������ − ������ 2 = ������ 2 ; 一般方程������ 2 + ������ 2 + ������������ + ������������ + ������ = 0 ������2 + ������ 2 − 4������ > 0 ; 参数方程 ������ = ������ + ������������������������ ������, ������ = ������ + ������������������������ ������, ������为参数 .
������������ 0 +������������ 0 +������ ������2 +������ 2
.
������1 −������2 ������2 +������ 2
由此得到平行直线 l:������������ + ������������ + ������1 = 0,������2 :������������ + ������������ + ������2 = 0的距离������ =
������ 2 −������ 1 1+������ 2 ������ 1
;
������ 2 −������ 1 1+������ 2 ������ 1
; .
(6)两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|= ( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 点������ ������0 ,y0 到直线������������ + ������������ + C = 0的距离������ =
2 1.
例 2: 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上,并求这一系列 圆的公切线的方程. 【证明】 由
a 2m 1, 消去 m 得 a-2b+1=0. b m 1
故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上. 设公切线方程为 y = kx+b ,则由相切有 2|m|=
ww w
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.q b
xt .
cn
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典型例题: 例 1: 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、最小值. 【解】 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系, 设点 A,B 的坐标分别为 A(cos ,sin ),B(cos ,-sin ) , 由题设|AD|=|AB|= 2sin ,这里不妨设 A 在 x 轴上方,则 α∈(0,π). 由对称性可设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称即可) , 从而点 D 坐标为( cos +2sin ,sin ) , 所以|OD|= (cos 2 sin ) 2 sin 2 = 2(sin 2 cos 2 ) 3
则 ������1 ∥ ������2 ⟺
������ 1 ������ 2
=
������ 1 ������ 2
������1 ������2