求下列函数的拉氏变换
拉普拉斯变换、复频域分析习题课
拉普拉斯变换、复频域分析习题课1. 求下列函数的拉氏变换。
（1）1at e-- （2）sin 2cos t t + （3）2t te - （4）sin(2)t e t -（5）(12)t t e -+ （11）1()t t e e αββα---- （13）(2)(1)t te u t --- （15）()ta t e f a-，设已知[()]()L f t F s = 解：（1）11[1]()at a L e s s a s s a --=-=++ （2）2221221[sin 2cos ]111s s L t t s s s ++=+=+++ （3）221[](2)t L te s -=+ （4）22[sin(2)](1)4t L e t s -=++ （5）23[(12)](1)ts L t e s -++=+ （11）11111[()]()()()t t L e e s s s s αββαβααβαβ---=+=--++++ （13）由于(2)(1)(1)(1)[(1)](1)t t t teu t e t e e u t -------=-+- （15）[()](1)ta t L e f aF as a-=+2求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。
（1）()(2)tf t e u t -=- （2）(2)()(2)t f t e u t --=- （3）(2)()()t f t e u t --= （4）()sin(2)(1)f t t u t =-（5）()(1)[(1)(2)]f t t u t u t =----解：（1）因为(2)2()(2)t f t ee u t ---=-，所以 222(1)11[()]11s s L f t e e e s s ---+==++ （2）21[()]1s L f t e s -=+ （3）因为2()()t f t e e u t -=，所以2[()]1e Lf t s =+ （4） ()sin[2(1)2](1) {sin[2(1)]cos 2cos[2(1)]sin 2}(1)f t t u t t t u t =-+-=-+-- 2222cos 2sin 22cos 2sin 2[()]()444s s s s L f t e e s s s --+=+=+++ （5）()(1)(1)(2)(2)(2)f t t u t t u t u t =-------222221111[()][1(1)]s s s s s L f t e e e s e e s s s s-----=--=-+ 3求下列函数的拉普拉斯逆变换。
第二章习题解题过程和参考答案
第二章习题解题过程和参考答案第二章习题解题过程和参考答案2-1 试建立题2-1图所示各系统的微分方程 [其中外力)(t f ，位移)(t x 和电压)(t u r为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c为输出量；k （弹性系数），μ（阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数]。
解：2-1(a) 取质量m 为受力对象，如图，取向下为力和位移的正方向。
作用在质量块m 上的力有外力f(t)，重力mg ，这两个力向下，为正。
有弹簧恢复力[]0)(y t y k +和阻尼力()dy t dtμ，这两个力向上，为负。
其中，0y 为0)(=t f 、物体处于静平衡位置时弹簧的预伸长量。
根据牛顿第二定理F ma ∑=，有[]22()()()()dy t d y t f t mg k y t y m dt dtμ+-+-= 其中：0ky mg =代入上式得22)()()()(dt t y d mdt t dy t ky t f =--μ整理成标准式：22()()()()d y t dy t m ky t f t dt dtμ++=μμ()f t[()k y t +()dy t dt或也可写成：22()()1()()d y t dy t k y t f t dt m dt m mμ++=它是一个二阶线性定常微分方程。
2-1(b) 如图，取A 点为辅助质点，设该点位移为()Ax t ，方向如图。
再取B 点也为辅助质点，则该点位移即为输出量()y t ，方向如图A 点力平衡方程：1()()[()()][]AAdx t dy t k x t x t dt dtμ-=- ① B 点力平衡方程：2()()()[]Adx t dy t k y t dt dtμ=- ②由①和②:12[()()]()A k x t x t k y t -= 得：21()()()Akx t x t y t k=-二边微分：21()()()Adx t k dx t dy t dt dt k dt=-③将③代入②：221()()()()[]k dx t dy t dy t k y t dt k dt dtμ=--整理成标准式：1221()()()k k k dy t dx t y t k dt dtμ++=或也可写成：()A t AB1211212()()()()k k k dy t dx t y t dt k k k k dtμ+=++它是一个一阶线性定常微分方程。
控制工程基础_课后答案
控制工程基础习题解答第一章1-5．图1-10为张力控制系统。
当送料速度在短时间内突然变化时，试说明该控制系统的作用情况。
画出该控制系统的框图。
由图可知，通过张紧轮将张力转为角位移，通过测量角位移即可获得当前张力的大小。
当送料速度发生变化时，使系统张力发生改变，角位移相应变化，通过测量元件获得当前实际的角位移，和标准张力时角位移的给定值进行比较，得到它们的偏差。
根据偏差的大小调节电动机的转速，使偏差减小达到张力控制的目的。
框图如图所示。
1-8．图1-13为自动防空火力随动控制系统示意图及原理图。
试说明该控制系统的作用情况。
题1-5 框图电动机给定值角位移误差张力-转速位移张紧轮滚轮输送带转速测量轮测量元件角位移角位移（电压等）放大电压测量 元件>电动机角位移给定值电动机图1-10 题1-5图该系统由两个自动控制系统串联而成：跟踪控制系统和瞄准控制系统，由跟踪控制系统获得目标的方位角和仰角，经过计算机进行弹道计算后给出火炮瞄准命令作为瞄准系统的给定值，瞄准系统控制火炮的水平旋转和垂直旋转实现瞄准。
跟踪控制系统根据敏感元件的输出获得对目标的跟踪误差，由此调整视线方向，保持敏感元件的最大输出，使视线始终对准目标，实现自动跟踪的功能。
瞄准系统分别由仰角伺服控制系统和方向角伺服控制系统并联组成，根据计算机给出的火炮瞄准命令，和仰角测量装置或水平方向角测量装置获得的火炮实际方位角比较，获得瞄准误差，通过定位伺服机构调整火炮瞄准的角度，实现火炮自动瞄准的功能。
控制工程基础习题解答第二章2-2．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。
(3). ()t et f t10cos 5.0-=解：()[][]()1005.05.010cos 25.0+++==-s s t e L t f L t(5). ()⎪⎭⎫⎝⎛+=35sin πt t f 图1-13 题1-8图敏感 元件定位伺服机构 （方位和仰角）计算机指挥仪目标 方向跟踪环路跟踪 误差瞄准环路火炮方向火炮瞄准命令--视线瞄准 误差伺服机构（控制绕垂直轴转动）伺服机构（控制仰角）视线敏感元件计算机指挥仪解：()[]()252355cos 235sin 2135sin 2++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=s s t t L t L t f L π2-6．试求下列函数的拉氏反变换。
信号与系统题库(完整版)
信号与系统题目部分，(卷面共有200题,0.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(7小题,共0.0分)[1]题图中，若h '（0）=1，且该系统为稳定的因果系统，则该系统的冲激响应()h t 为。
A 、231()(3)()5tt h t e e t ε-=+- B 、32()()()tt h t e e t ε--=+C 、3232()()55tt e t e t εε--+D 、3232()()55tt e t e t εε--+-[2]已知信号x[n]如下图所示，则x[n]的偶分量[]e x n 是。
[3]波形如图示，通过一截止角频率为50rad sπ，通带内传输值为1，相移为零的理想低通滤波器，则输出的频率分量为（） A 、012cos 20cos 40C C t C t ππ++ B 、012sin 20sin 40C C t C t ππ++ C 、01cos 20C C t π+ D 、01sin 20C C t π+[4]已知周期性冲激序列()()T k t t kT δδ+∞=-∞=-∑的傅里叶变换为()δωΩΩ，其中2TπΩ=；又知111()2(),()()2T T f t t f t f t f t δ⎛⎫==++⎪⎝⎭；则()f t 的傅里叶变换为________。
A 、2()δωΩΩ B 、24()δωΩΩ C 、2()δωΩΩ D 、22()δωΩΩ[5]某线性时不变离散时间系统的单位函数响应为()3(1)2()kkh k k k εε-=--+，则该系统是________系统。
A 、因果稳定B 、因果不稳定C 、非因果稳定D 、非因果不稳定 [6]一线性系统的零输入响应为（23kk --+）u(k), 零状态响应为(1)2()k k u k -+,则该系统的阶数A 、肯定是二阶B 、肯定是三阶C 、至少是二阶D 、至少是三阶 [7]已知某系统的冲激响应如图所示则当系统的阶跃响应为。
拉氏变换习题集1 (1)(1)
因此r1Leabharlann t2 3et
1 3
e3t
u
t
r2
t
1 3
et
1 3
e3t
u
t
拉普拉斯变换应用
12.已知
r"(t) 5r' (t) 6r(t) 2e' (t) 8e(t)，(t) etu(t)，r(0 ) 3，r '(0 ) 2
dt
s2 1
s2 1
t d costu(t) d ( s2 ) 2s
dt
ds s2 1 (s2 1)2
5
拉普拉斯变换
4. 求函数 sin tu(t ) 的拉氏变换
解：
sin tu(t ) sin(t )u(t )
sin tu(t ) 1 es
s2 1
6
拉普拉斯变换
a. 解：
t cos t
t cos cost t sin sin t
s cos s2 2
'
s2
sin 2
'
s2 2 cos 2s sin
s2 2 2
4
拉普拉斯变换
3. 求函数 t d cos tu(t) 的拉氏变换 dt
解：
cos tu(t)
s s2 1
d costu(t) s s f (0 ) s2
2r1 (t )
r2
(t )
e(t )
r1 (t )
dr2 (t) dt
2r2 (t)
0
解：对方程组两边应用单边拉式变换得
sR1 s r1(0 ) 2R1 s R2 s 1 s
R1
s
sR2
s
r2
(0
拉氏变换详解
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
Hale Waihona Puke 令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
9
0
(8)卷积定理
两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函
(s
bl 1 p1)l1
s
b1 p1
cl1 cn
s pl1
s pn
式中bl
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
]s p1
bl 1
d ds
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
] s p1
19
, bli
1{d i [M (s) i! ds D(s)
0
0
10
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
[
f (t 1
)1(t
) f ( )d ]e st dt 2
00
f 2 ( )d
f (t 1
)1(t
)e st dt
0
0
令t , 则
t
L[
f (t 1
s0
s0
7
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
注：若 t 时f(t)极限 lim f (t) 不存在， t 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。
拉氏变换习题解答
习题一
］．求下列函数的拉氏变换，并用查表的方法来验证结果 .
f f .l m6 t t ss nn = . ,
, i, ! 、
t-2
(2)/ (t) =e-21; (6) f(t) =cosh kt; i1
(3)/(t)=t气
(4) f ( t) = sin tcost; (10) f(t) =cos2 t
2) 利用＆ ［勹卫勹及位移性质
sz si
& [f(t)] = &
[分］ ＝ 吕
a a
1 s 2. 若& [f(t)] = F(s), a 为正实数，证明 （ 相似性质） & [/(at)]= - F(一） 。
证
& [急f(at)] =厂f(at)e-s'dt =丿厂f(at)e一； m d(at) o a o
&加）] = &[t cos at] = 一 五& [cos at] = - c
2 : a2
l
= (:22: : 22
(6) & [r(t)]=& [5sin2t - 3 cos2t]=5& [sin2t]- 3& [cos2t] =
(7)
IO 3s I0 - 3s = s2+4 s2+4 s2+ 4
-
(s .l )
(S +
3 3 =- - e S S
+
1 e s 2 $
(
) .1
e
($
“ +L 2
、）
· 1
g 工户
十
工
工
子
孚
2
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B2.1 求下列函数的拉氏变换：
B2.2 求下列函数的拉氏反变换：
B2.3 求下列矩阵的逆矩阵：
B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电压u2(t)或u C2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。
图B2.4 电路原理图
B2.5 图B2.5是一种地震仪的原理图，其壳体1固定在地基2上，重锤3的质量为m，由装在壳体上的弹簧和阻尼器支承。
图中x为壳体相对于惯性空间的位移，z为质量m相对于惯性空间的位移，y=x-z为质量m相对于壳体的位移，可由指针4指示出来。
当地震时壳体随地基上下震动，但由于惯性的作用使得重锤的运动幅度很小，故它与壳体之间的相对运动幅度y就近似等于地震的幅度。
设重锤的质量为m(kg),弹簧的刚性系数为k(N/m)，阻尼器的粘性摩擦系数为f(N·s/m)，试列写以指针位移y为输出量时系统的微分方程。
(注：z为静平衡时质量m的位移，重力使弹簧产生的变形已经加以考虑了。
)
图B2.5 地震仪原理图
图B2.6 机械系统原理图
B2.6 设机械系统如图B2.6所示，图中z i为输入位移，z o为输出位移。
试分别列写各系统的微分方程。
B2.7 例A1.2所讨论的液位控制系统(如图1.29所示)，设液箱的横截面积为S，希望的液位高度为h 0,若液位高度的变化率与液体流量差(Q1-Q2)成正比，试列写以液位高度为输出量时系统的微分方程。
B2.8 设系统的微分方程为
试用拉氏变换法进行求解。
B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为
式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t)为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。
试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含有哪些典型环节?
B2.10 求题B2.4～B2.7各系统的传递函数。
B2.11 设控制系统的结构图如图B2.11所示，图中G1(s)和G2(s)所对应环节的微分方程分别为0.125u•+u=e•+3e和0.5y¨+y•=2u，试求该系统的传递函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s)。
图B2.11 控制系统方块图
B2.12 已知控制系统在零初始条件下，由单位阶跃输入信号所产生的输出响应为 y(t)=1+e-t-2e－2t试求该系统的传递函数，和零极点的分布并画出在S平面上的分布图。
B2.13 求图B2.13所示无源网络的传递函数U o(s)/U i(s)。
图B2.13 无源网络原理图
B2.14 求图B2.14所示运算放大器的传递函数U o(s)/U i(s)。
图B2.14 有源网络原理图
B2.15 已知控制系统的结构图如图B2.15所示，试应用结构图等效变换法求各系统的传递函数。
图B2.15 控制系统结构图
B2.16 已知控制系统的信号流图如图B2.16所示，试分别应用信号流图化简规则和梅森公式求各系统的传递函数。
图B2.16 控制系统信号流图
B2.17 求图B2.17所示闭环控制系统的传递函数Φ(s)=Y(s)/R(s)和Φe(s)=E(s)/R(s)。
图B2.17 闭环控制系统信号流图(简记Ｇi=G i(s)，H i=H i(s)，R=R(s)，E=E(s)，Y=Y(s)) B2.18 已知控制系统的结构图，如图B2.18所示。
要求：(1)分别应用结构图等效变换法和梅森公式求各闭环系统的传递函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s)；(2)欲使图B2.18(a)系统的输出Y(s)不受扰动D(s)的影响，试问其条件是什么?
图B2.18 控制系统结构图
B2.19 已知多变量控制系统的结构图或信号流图，如图B2.19所示。
试求：(1)各系统的输入输出传递函数阵；(2)列写图(c)所示系统的受控对象、控制器和反馈通道的传递函数阵G(s)、G c(s)和H(s)；(3)用两种方法写出图(c)所示系统的闭环传递函数阵Φ(s)。
B2.20 将下列微分方程组写成向量矩阵形式的状态空间表达式：
u2为网络的输出电压。
图B2.21 电路系统原理图
B2.22 图B2.22所示为一个质量-弹簧系统，设两个物体的质量分别为m1和m2，两个弹簧的刚性系数分别为k1和k2，不计摩擦的作用，该机械系统的输入量为外作用力F(t)，输出量为质量m2的位移y(t)。
试求：(1)系统的状态空间表达式；(2)系统的结构图及其输入输出传递函数。
图B2.22 质量 弹簧系统原理图
B2.23 已知控制系统的状态变量图，如图B2.23所示。
要求：(1)确定状态变量并列写系统的状态空间表达式；(2)求系统的闭环传递函数。
图B2.23 控制系统状态变量图
B2.24 已知系统的状态空间表达式如下所示，试求各系统的传递函数(阵)：
B2.25 已知系统的状态方程如下所列，试求该系统的输入输出微分方程：
B2.26 设系统的传递函数为
试用时域法求系统的状态空间表达式：(1)选取状态变量 x1=y,x2=y•，列写系统的状态方程；
(2)选取状态变量，列写系统的状态方程，并确定上述两种形式状态方程之间的线性变换阵P。
B2.27 已知控制系统的传递函数如下所示，试用直接分解法求系统的状态空间表达式：
B2.28 分别用串联分解法和并联分解法，列写下列系统的状态方程：
B2.29 已知控制系统的结构图如图B2.29所示，试用结构图分解法求系统的状态空间表达式。
图B2.29 控制系统结构图
B2.30 试求图B2.30所示机械系统的传递函数，并根据相似性原理画出其模拟电路图。
图B2.30 机械系统原理图
B2.31 试用MATLAB 求题B2.20所示系统的传递函数和零极点的分布。
B2.32 在图B2.32所示的反馈控制系统结构图中，各个环节的传递函数如下所列。
试用MATLAB 求系统的状态空间表达式和传递函数以及零极点的分布。
(1)G c (s)=(169.6s+400)/[s(s+4)]
G(s)=(211.87s+317.64)/[(s+20)(s+94.34)(s+0.1684)]
H(s)=1/(0.01s+1)
(2)G c (s)=1/s
G(s)=(35786.7s+108444)/[(s+4)(s+20)(s+74.04)]
H(s)=1/(0.01s+1)
图B2.32 反馈控制系统结构图
B2.33 已知控制系统的状态空间表达式为
[]x
y u x x 011101100
03
0013=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=• 试用MATLAB 求：(1)系统的传递函数；(2)系统零极点、传递函数零极点以及系统的解耦零点。