典型信号的合成和分解
实验四 信号的分解与合成
实验四信号的分解与合成实验目的：1.了解信号的分解与合成原理；2.掌握连续时间信号的傅里叶级数分解公式及其应用；3.掌握离散时间信号的傅里叶变换公式及其应用。
实验原理：1.信号的分解任何信号都可以分解成若干谐波的叠加。
这是因为任何周期信号都可以表示为若干谐波的叠加。
傅里叶级数分解公式：$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_ne^{jn\omega_0t}$$其中，$C_n$为信号的各级谐波系数，$\omega_0$为信号的基波频率。
当信号为实信号时，其傅里叶级数中只有实系数，且对称性可利用，因此实际计算中可以只计算正频率系数，即$$x(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} A_n\cos(n\omega_0t+\phi_n)$$其中，$A_n$为信号各级谐波幅度，$\phi_n$为各级谐波相位。
若信号不是周期信号，则可以采用傅里叶变换进行分解。
2.信号的合成对于任意信号$y(t)$，都可以表示为其傅里叶系数与基波频率$\omega_0$的乘积的叠加，即$$y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_ne^{jn\omega_0t}$$若$y(t)$为实信号，则其傅里叶系数中只有正频率系数，即$$y(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_n\cos(n\omega_0t+\phi_n)$$实验步骤：一、连续时间信号的傅里叶级数分解1.打开Matlab软件，使用line或scatter等函数绘制出函数$f(x)=x(0<x<2\pi)$的图像。
2.使用Matlab的fft函数对f(x)进行逆傅里叶变换得到其傅里叶级数分解。
3.将得到的傅里叶级数分解与原函数的图像进行比较，分析级数中谐波幅度的变化规律。
二、离散时间信号的傅里叶变换1.使用Matlab生成一个为$sin(\pi k/4),0\le k\le 15$的离散时间信号。
信号的分解与合成
实验十三 信号分解及合成一、 实验目的1、 了解和熟悉波形分解与合成原理。
2、 了解和掌握用傅里叶级数进行谐波分析的方法。
二、 实验仪器1、 双踪示波器2、 数字万用表3、 信号源及频率计模块S24、 数字信号处理模块S4三、 实验原理（一）信号的频谱与测量信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。
对于一个时域的周期信号()f t ,只要满足狄利克菜(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。
例如，对于一个周期为T 的时域周期信号()f t ,可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间11(,)t t T +内表示为()01()cos sin 41,3,5,7,n n n f t a a n t b n t Ak Tk ω∞==+Ω+Ω=⋅⋅⋅∑()01()cos sin n n n f t a a n t b n t ∞==+Ω+Ω∑即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。
图1ωca信号的时域特性和频域特性信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图13-1来形象地表示。
其中图(a)是信号在幅度—时间—频率三维坐标系统中的图形;图(b)是信号在幅度一时间坐标系统中的图形即波形图：把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。
反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。
图(c)是信号在幅度—频率坐标系统中的图形即振幅频谱图。
反映各分量相位的频谱称为相位频谱。
在本实验中只研究信号振幅频谱。
周期信号的振幅频谱有三个性质：离散性、谐波性、收敛性。
测量时利用了这些性质。
从振幅频谱图上，可以直观地看出各频率分量所占的比重。
测量方法有同时分析法和顺序分析法。
同时分析法的基本工作原理是利用多个滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上。
当被测信号同时加到所有滤波器上,中心频率与信号所包含的某次谐波分景频率-致的滤波器便有输出。
信号的产生、分解与合成
信号的产生、分解与合成东南大学电工电子实验中心实验报告课程名称：电子电路实践第四次实验实验名称：信号的产生、分解与合成院（系）：吴健雄学院专业：电类强化姓名：周晓慧学号：61010212实验室: 实验组别：同组人员：唐伟佳(61010201)实验时间：2012年5月11日评定成绩：审阅教师：实验四信号的产生、分解与合成一、实验内容及要求设计并安装一个电路使之能够产生方波，并从方波中分离出主要谐波，再将这些谐波合成为原始信号或其他周期信号。
1.基本要求（注：方波产生与最后合成为唐伟佳设计，滤波和移相我设计）（1）设计一个方波发生器，要求其频率为1kHz，幅度为5V；（2）设计合适的滤波器，从方波中提取出基波和3次谐波；（3）设计一个加法器电路，将基波和3次谐波信号按一定规律相加，将合成后的信号与原始信号比较，分析它们的区别及原因。
2.提高要求设计5次谐波滤波器或设计移相电路，调整各次谐波的幅度和相位，将合成后的信号与原始信号比较，并与基本要求部分作对比，分析它们的区别及原因。
3. 创新要求用类似方式合成其他周期信号，如三角波、锯齿波等。
分析项目的功能与性能指标：说明：这次实验我负责的是基波和3次谐波信号滤波器及其移相电路的设计，其余部分是唐伟佳设计，同时我还参与了全过程的调试。
功能：此次实验主要功能是实现信号的产生，并让我们在对信号的分解过程中体会傅里叶级数对周期信号的展开，以及滤波器的设计（该实验主要使用带通和全通滤波器（即移相器）），最后通过将分解出的谐波分量合成。
性能指标：1、对于方波而言：频率要为1kHz，幅度为5V （即峰峰值为10V），方波关键顶部尽可能是直线，而不是斜线。
2、滤出的基波：a、波形要为正弦波，频率为1kHz，幅度理论值为6.37V（注：其实滤除的基波幅度只要不太离谱即可，因为后面的加法器电路可以调整增益，可以调到6.37V，后面的3次谐波、5次谐波也一样）故最主要的是波形和频率。
信号的分解与合成原理
信号的分解与合成原理
信号的分解与合成原理是对信号进行分离和组合的过程，在信号处理中起着重要的作用。
通过分解和合成信号，我们可以分析信号的特征和性质，从而实现对信号的处理、修改、重构等操作。
信号的分解是将一个复杂的信号分解为若干个简单的基本信号的过程。
这些基本信号可以是正弦信号、余弦信号、方波信号等。
通过分解信号，我们可以了解信号中各个频率分量的强弱、相位关系等信息。
信号的合成是将若干个基本信号按一定的权重和相位关系组合成一个复杂的信号的过程。
通过合成信号，我们可以得到一个具有特定频率成分和振幅的信号。
这种合成信号在通信、音频处理等领域中具有广泛的应用。
在信号的分解与合成过程中，我们通常使用傅里叶分析和傅里叶合成的方法。
傅里叶分析是将一个信号分解为一系列正弦和余弦函数的和的过程，它通过傅里叶变换来实现。
傅里叶合成则是将一系列正弦和余弦函数按一定的权重和相位关系组合成一个信号的过程，它通过傅里叶逆变换来实现。
信号的分解与合成原理基于信号的频域表示，即将信号从时域表示转换为频域表示。
通过频域表示，我们可以获得信号的频谱信息，了解信号中各个频率分量的特性。
在分解与合成过程中，我们可以选择不同的基函数、权重和相位关系，从而实现对信号的不同处理效果。
总之，信号的分解与合成原理是一种重要的信号处理方法，它可以帮助我们分析和处理信号，从而实现信号的修改、重构等操作。
通过合理选择基函数、权重和相位关系，我们可以实现对信号的高效处理与优化。
《信号的分解与合成》课件
离散余弦变换的应用实例
图像压缩
音频编码
JPEG标准使用DCT作为其核心的图像压缩 算法。通过量化DCT系数，可以去除高频 分量，从而实现高效的图像压缩。
某些音频编码格式，如AAC，也利用了 DCT来压缩音频数据。
离散余弦变换的数学表达
$$X(k) = sum_{n=0}^{N-1} x(n) cosleft(frac{pi k(2n+1)}{2N}right)$$
二维DCT公式：对于图像信号，通常使用二维DCT进 行变换。二维DCT可以通过对图像的每个8x8块应用
一维DCT得到。
一维DCT公式：DCT-I（一维离散余弦变换） 的基本公式如下
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目 录
• 信号分解的基本概念 • 信号的傅里叶分解 • 信号的离散余弦变换 • 信号的分解与合成 • 信号分解与合成的应用
01
信号分解的基本概念
信号的定义与性质
信号的定义
信号是传递信息的一种方式，通 常以某种物理量（如电压、电流 、声音等）的形式存在。
信号的性质
信号具有时间性和空间性，可以 随时间或空间变化。信号的幅度 、频率和相位是描述信号的三个 基本物理量。
信号的分解与合成在通信、音频处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
05
信号分解与合成的应用
在通信系统中的应用
信号传输
信号的分解与合成在通信系统中用于将复杂信号拆分为简单的正 弦波信号，便于传输和接收。
频谱分析
通过信号的分解，可以分析信号的频谱特性，了解信号中包含的频 率成分，用于调制解调、频分复用等技术。
信号的分解与合成
f (t) a0 An cos(n1t ) n1
而非周期信号包含了从零到无穷大的所有频率成份，每一频率成份的幅度均
趋向无限小，但其相对大小是不同的。
将基波和各次谐波按一定的幅度比和一定的相位叠加起来就可以合成一个 周期信号。所选取的谐波越多，则合成的波形越接近原来的周期信号。
1 32
sin(31t )
1 52
sin(51t )
调整五路信号的幅度：A1=1，A2=0，A3=
1 , A4=0， A5= 1 。加入合成信号，观察输出信号波形的变化。
9
25
三、资讯
（一）信号分解与合成的基本知识
任何信号都是由各种不同频率、幅度和初相的正弦波叠加而成的。周期信号 如果满足一定的条件，可以用傅里叶级数表示，表示成：
f (t) a0 a1 cos(1t) a2 cos(21t) a3 cos(31t) ...... b1 sin(1t) b2 sin(21t) b3 sin(31t) ......
或可以写成：
f (t) a0 [an cos(n1t) bn sin(n1t)] n1
四、实施
方波信号的合成
按
f
(t)
sin(1t )
1 3
sin(31t )
1 5
sin(51t
)
调整五路信号的
幅度：A1=1，A2=0, A3=1/3, A4=0, A5=1/5，加入合成信号，观察输出信号波形的变
化。
教师示范，学生跟做 教师讲解为什么会产生这样的结果，理论依据 讲解方波信号的分解结果？和实验结果对比，有什么不同？
四、实施
《信号的分解与合成》课件
信号分解与合成 的优缺点
信号分解的优点和缺点
优点：可以分离出 信号中的不同频率 成分，便于分析和 处理
缺点：可能会引 入噪声，影响信 号的质量
优点：可以减少 信号的传输带宽， 提高传输效率
缺点：可能会丢失 信号中的某些信息， 影响信号的完整性
信号合成的优点和缺点
优点：可以方便地实现信号的传输 和接收
信号分解与合成 的应用
在通信系统中的应用
信号分解与合成在通信系统中的应用广泛，如数字信号处理、无线通信、卫星通信等。 在数字信号处理中，信号分解与合成可以用于信号的滤波、调制、解调等操作。
在无线通信中，信号分解与合成可以用于信号的编码、解码、传输等操作。 在卫星通信中，信号分解与合成可以用于信号的调制、解调、传输等操作。
在音频处理中的应用
信号分解：将音频信号分解为多个频率成分，便于处理和分析 信号合成：将多个频率成分合成为音频信号，实现音频的生成和编辑 滤波器设计：设计合适的滤波器，实现音频信号的滤波和降噪 音频压缩：通过信号分解与合成，实现音频数据的压缩和存储
在图像处理中的应用
图像分解：将图像分解为不同频率的波形，便于处理和分析 图像合成：将分解后的波形重新组合成图像，实现图像的恢复和增强
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目录
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01
信号分解
02
信号合成
03
信号分解与合成的应 用
04
信号分解与合成的优 缺点
05
信号分解与合成的未 来发展
06Βιβλιοθήκη 添加章节标题信号分解
信号的定义和性质
信号：一种物理量随时间变化的过程 连续信号：时间上连续变化的信号 离散信号：时间上不连续变化的信号 信号的性质：包括幅度、频率、相位等
第1章_信号与系统的基本概念_1.5信号的分解与合成
∞ ∞
将信号分解为正交函数分量的研究 方法， 方法，在信号与系统理论中占有重 要的地位，是本课程的重要内容， 要的地位，是本课程的重要内容， 在第2章和第 章讨论。 章和第3章讨论 在第 章和第 章讨论。
信号的分解与合成： 信号的分解与合成： （1）直流分量与交流分量： x(t ) = x D + x A (t t ) = x e (t ) + x o (t ) ）偶分量与奇分量： （3）脉冲分量：x(t ) = ∫−∞ x(τ )δ (t − τ )dτ = x(t ) ∗ δ (t ) ）脉冲分量： （4）阶跃分量：x(t ) = ∫−∞ x' (τ )u (t − τ )dτ = x' (t ) ∗ u (t ) ）阶跃分量： （5）正交函数分量： x(t ) = ∑ a nϕ n (t ) ）正交函数分量：
第1章 信号的基本概念与运算
1.5 信号的分解与合成
信号的分解与合成： 信号的分解与合成： 为了便于研究信号传输和信号处理的问题， 为了便于研究信号传输和信号处理的问题， 往往将信号分解为比较简单（或基本的） 往往将信号分解为比较简单（或基本的）的 信号分量之和。 信号分量之和。 这种分析方法， 这种分析方法，类似于力学问题中的和力与 分力的概念。 分力的概念。 信号可以从不同的角度进行分解。 信号可以从不同的角度进行分解。
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实验指导书实验项目名称：典型信号的合成和分解实验项目性质：普 通所属课程名称：工程测试技术实验计划学时：2一．实验目的通过本实验熟悉信号的合成、分解原理，了解信号频谱的含义和特点。
二．实验内容和要求1．周期信号的合成和分解在有限区间内，凡满足狄里赫利条件的周期信号x(t)都可以展开傅里叶三角函数级数。
001001()(cos sin )2 cos()(1,2,3,)2n n n n n n n a x t a n t b n t a A n t n ωωωϕ∞=∞==++=+-=∑∑ 式中 0a ——常值分量00/20/202()T T a x t dt T -=⎰n a ——余弦分量的幅值00/20/202()cos T n T a x t n tdt T ω-=⎰n b ——正弦分量的幅值00/20/202()sin T n T b x t n tdt T ω-=⎰n A ——n 次谐波的振幅，是n 的偶函数22n n n A a b =+n ϕ——n 次谐波的相角，是n 的奇函数arctan n n na b ϕ= 可见，周期信号是由周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。
也就是说，复杂周期信号是由几个乃至无穷多个简单的周期信号组成的，这些组成的周期信号的频率具有公约数，周期具有公共的周期。
因此，周期信号可以分解成多个乃至无穷多个谐波信号。
反过来说，我们可以用一组谐波信号来合成任意形状的周期信号。
例如对于如右图所示的方波，其时域描述表达式为000()()02()02x t x t nT T A t x t T A t =+⎧⎪⎧⎪<<⎪⎨=⎨⎪⎪--<<⎪⎩⎩其傅立叶三角函数展开式为010004()sin (21)411 sin sin 3sin 535n A x t n t n A t t t ωπωωωπ∞=⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭∑ 其中，基频002T πω=。
可见，该周期方波是由一系列频率成分成谐波关系，幅值成一定比例，相位角为0的正弦波叠加而成的。
以圆频率为横坐标，以各次谐波的幅值n A 或相角n ϕ为纵坐标，则可分别得其幅频谱和相频谱。
由于n 为整数，相邻的谱线的频率间隔为基频0ω，因此周期信号的频谱是离散的。
2．准周期信号准周期信号是由两种以上的信号的周期信号合成的，但其组成分量间无法找到公共周期，因此无法按某一时间间隔周而复始重复出现。
例如()5sin106sin 207sin x t t t =++该信号由3个周期信号组成，但由于3个周期信号的圆频率10、20、 准周期信号的频谱是离散的。
三．实验主要仪器设备和材料1. 计算机 n 台2. matlab 软件1套四．实验步骤1.启动matlab软件，点击菜单File/new/M-File,打开一个空的m文件。
2.理解并输入附录中的程序代码；然后点击菜单File/save进行保存，保存的文件名不能以数字开头或含有汉字。
3.点击菜单Debug/Run，运行程序。
4.程序的运行结果是生成一个*.fig图形文件，文件中有4个图。
第1个图为周期信号的时域图形和0~n次谐波叠加后的时域图形；第2个图为0~n次谐波及其叠加后的时域图形；第3个图为周期信号0~n次谐波的幅值与频率的关系曲线，即幅频谱图；第4个图为周期信号0~n次谐波的幅值与频率的关系曲线，即相频谱图。
5.点击*.fig图形文件的菜单Edit/Figure Properties,在弹出的对话框的style/color下拉选项中，选择“white”。
改变图形文件的背景色为白色。
6.将图形文件抓频保存为BMP文件或保存为fig文件。
为避免混淆，建议图形文件名中包含波形名称和n的次数，如fangbon7.bmp或fangbon7.fig，表示该图形为方波的，n=7。
建议将此时的m程序文件另存为fangbon7.m,与图形文件同名。
7.改变程序中第4行中n的取值2次，重复步骤1~6。
每个人n的取值：n1=学号的最后2位+7，n2=n1*3，n3=n1*10;8.修改程序，重复步骤1~7，实现教材表1-2中的三角波的合成，画出其频谱图。
9.修改程序，重复步骤1~7，实现教材表1-2中的锯齿角波的合成，画出其频谱图。
10.实现准周期信号x(t)的合成，画出其频谱图。
=++()5sin106sin207sinx t t t11.用优盘拷贝自己保存的图形文件和程序，课后进行实验数据处理和分析。
五．实验报告要求实验报告采用学校新颁布的统一实验报告纸，要求手工完成实验报告。
书写工整、认真，按照要求严格地完成实验报告。
1．实验报告写作大纲(1) 实验的目的和要求(2) 实验的内容和结果整理实验得到的图形，并进行分析。
分析周期信号及准周期信号的组成和频谱特点(3) 结论(4) 问题和讨论对思考题的回答。
(5) 对本试验的体会和建议2. 实验报告中可以附上实验的源程序。
3. 图形要求打印，纸张大小需剪裁到与实验报告纸尺寸一致。
六、思考题1．复杂周期信号的各组成成分之间的频率有什么关系？2．具有离散频谱的一定是周期信号吗？3．由多个简单周期信号叠加而成的信号一定是周期信号吗？附：合成典型方波信号的matlab程序%x(t)=A (0<=t<T0/2);x(t)=-A (T0/2<=t<T0)clear all;%清除所有变量clc;%清屏n=7;% n为叠加的谐波数目T0=2;A=2;;%T0为方波的周期;A为方波的幅值;NofT0=2;%所画的时域波形的周期数%周期信号时域描述tn_i=1;for tn=0:0.01:NofT0*T0if(mod(tn,T0)<=T0/2)y_t(tn_i)=A; %信号前半周期的表达式elsey_t(tn_i)=-A; %信号后半周期的表达式end;t_t(tn_i)=tn;tn_i=tn_i+1;end;%周期信号的频域描述t=0:0.01:NofT0*T0;%时域波形的长度x=0;%合成的信号值，初始化为0pi=3.1415926;w0=2*pi/T0;%基波的频率for i=1:nfw(i)=(2*i-1)*w0;%第i次谐波的频率a(i)=(4*A/(pi*((2*i-1)))); %第i次谐波的幅值fai(i)=0;%第i次谐波的相位y(i,:)=a(i)*sin(fw(i)*t);%第i次谐波的值x=x+y(i,:);%0-i次谐波之和end;%subplot将画图区分成2行2列的四个小画图区subplot(2,2,1);%选择第1个画图区plot(t_t,[y_t;x]);%画信号的时域及合成后的图形subplot(2,2,2);%选择第2个画图区plot(t,[x; y]);%画0-n次谐波及合成后的图subplot(2,2,3);%选择第3个画图区stem(fw,a); %画0-n次谐波的幅值——频率图subplot(2,2,4);%选择第4个画图区stem(fw,fai);%画0-n次谐波的相位——频率图----------------------------------------------------------------合成典型三角波信号的matlab程序%三角波clear all;%清除所有变量clc;%清屏n=10;% n为叠加的谐波数目T0=2;A=2;;%T0为方波的周期;A为方波的幅值;NofT0=2;%所画的时域波形的周期数%周期信号时域描述tn_i=1;for tn=0:0.01:NofT0*T0if (mod(tn,T0)<=T0/4)y_t(tn_i)=4*A*mod(tn,T0)/T0; %信号前1/4周期的表达式elseif (T0/4<=mod(tn,T0)) & (mod(tn,T0)<=3*T0/4)y_t(tn_i)=-4*A*(mod(tn,T0)-T0/2)/T0; %信号中间部分的表达式elseif (3*T0/4<=mod(tn,T0)<=T0)y_t(tn_i)=4*A*(mod(tn,T0)-T0)/T0; %信号后1/4周期的表达式end;t_t(tn_i)=tn;tn_i=tn_i+1;end;%周期信号的频域描述t=0:0.01:NofT0*T0;%时域波形的长度x=0;%合成的信号值，初始化为0pi=3.1415926;w0=2*pi/T0;%基波的频率for i=1:nfw(i)=(2*i-1)*w0;%第i次谐波的频率a(i)=-(8*A/(pi^2))*((-1)^(i))*(1/i^2); %第i次谐波的幅值fai(i)=0;%第i次谐波的相位y(i,:)=a(i)*sin(fw(i)*t);%第i次谐波的值x=x+y(i,:);%0-i次谐波之和end;%subplot将画图区分成2行2列的四个小画图区subplot(2,2,1);%选择第1个画图区plot(t_t,[y_t;x]);%画信号的时域及合成后的图形subplot(2,2,2);%选择第2个画图区plot(t,[x; y]);%画0-n次谐波及合成后的图subplot(2,2,3);%选择第3个画图区stem(fw,a); %画0-n次谐波的幅值——频率图subplot(2,2,4);%选择第4个画图区stem(fw,fai);%画0-n次谐波的相位——频率图附：合成典型锯齿波信号的matlab程序%锯齿波clear all;%清除所有变量clc;%清屏n=7;% n为叠加的谐波数目T0=2;A=2;;%T0为方波的周期;A为方波的幅值;NofT0=2;%所画的时域波形的周期数%周期信号时域描述tn_i=1;for tn=0:0.01:NofT0*T0y_t(tn_i)=A*mod(tn,T0)/T0; %信号周期的表达式t_t(tn_i)=tn;tn_i=tn_i+1;end;plot(t_t,y_t);%周期信号的频域描述t=0:0.01:NofT0*T0;%时域波形的长度x=A/2;%合成的信号值，初始为直流分量pi=3.1415926;w0=2*pi/T0;%基波的频率for i=1:nfw(i)=i*w0;%第i次谐波的频率a(i)=-A/(pi*i); %第i次谐波的幅值fai(i)=0;%第i次谐波的相位y(i,:)=a(i)*sin(fw(i)*t);%第i次谐波的值x=x+y(i,:);%0-i次谐波之和end;%subplot将画图区分成2行2列的四个小画图区subplot(2,2,1);%选择第1个画图区plot(t_t,[y_t;x]);%画信号的时域及合成后的图形subplot(2,2,2);%选择第2个画图区plot(t,[x; y]);%画0-n次谐波及合成后的图subplot(2,2,3);%选择第3个画图区stem(fw,a); %画0-n次谐波的幅值——频率图subplot(2,2,4);%选择第4个画图区stem(fw,fai);%画0-n次谐波的相位——频率图。