复旦大学经济博弈论课件--经济博弈论(6)

0， 2
3， 3
1， 3
1， 1
2021/3/11
博弈方2采用纯策略L时，博弈方1 采用混合策略(1/2,1/2,0)的得益
u1e
1 2
3
1 2
0
0
1
3 2
博弈方2采用纯策略R时，博弈方1 采用混合策略(1/2,1/2,0)的得益
u1e
1 2
0
1 2
3 01
3 2
31
2.4.4 混合策略反应函数
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1
本章分六节
2.1基本分析思路和方法 2.2纳什均衡 2.3无限策略博弈分析和反应函数 2.4混合策略和混合策略纳什均衡 2.5纳什均衡的存在性 2.6纳什均衡的选择和分析方法扩展
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2
2.1 基本分析思路和方法
2.1.1 上策均衡 2.1.2 严格下策反复消去法 2.1.3 划线法 2.1.4 箭头法
11 q1 R1(q2 , q3 ) 48 2 q2 2 q3
q2
R2 (q1, q3 )
48
1 2
q1
1 2
q3
q3
R3 (q1, q2 )
48
1 2
q1
1 2
q2
q* 1
q2*
q3*
24
u1* u2* u3* 576
Q* 72
u* 1728
合作：总体利益最大化
u Q(100 Q) 4Q 96 Q
中 1，3
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5
2.1.3 划线法
1， 0 0， 4
1， 3 0， 2
0， 1 2， 0
囚 徒
-5， -5
0， -8
夫 妻
困
-8， 0
境
-1， -1
之
争
猜
-1， 1
硬
币
1， -1
1， -1 -1， 1
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2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
6
2.1.4 箭头法
1， 0 0， 4
混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合，构成纳什 均衡。
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三、一个例子
该博弈无纯策略纳什均衡，可用混合策略纳什均衡分析
博弈方1的混合策略
博 弈A 方B 1
博弈方2
C
D
2， 3 5， 2
3， 1 1， 5
pA 3 pB 1 pA 2 pB 5
博弈方2的混合策略
pC 2 pD 5 pC 3 pD 1
上策均衡不是普遍存在的
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4
2.1.2 严格下策反复消去法
严格下策：不管其它博弈方的策略如何变化， 给一个博弈方带来的收益总是比另一种策略 给他带来的收益小的策略
严格下策反复消去：
左中
右
上 1，0 1，3 0，1
下 0，4 0，2 2，0
左 1，0 0，4
中 1，3 0，2
左 1，0
9
2.2.2 纳什均衡的一致预测性质
一致预测：如果所有博弈方都预测一个特定博弈 结果会出现，所有博弈方都不会利用该预测或者 这种预测能力选择与预测结果不一致的策略，即 没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因 此预测结果会成为博弈的最终结果
只有纳什均衡才具有一致预测的性质 一致预测性是纳什均衡的本质属性 一致预测并不意味着一定能准确预测，因为有 多重均衡，预测不一致的可能
max q1
u1
max(6q1
q1q2
q12
)
q1
R1(q2 )
1 2
(6
q2 )
q2
R2 (q1)
1 2
(6
q1 )
q2
(0,6) (0,3)
R1(q2 )
理性局
限和古 诺调整
R2 (q1)
(3,0) (6,0)
q1
古诺模型的反应函数图示
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2.3.3 伯特兰德寡头模型
价格竞争寡头的博弈模型 产品无差别，消费者对价格不十分敏感
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夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡
策略
得益
博弈方1 （0.75，0.25） 0.67
博弈方2 （1/3，2/3） 0.75
28
二、制式问题
厂A 商 1B
厂商2
A
B
1， 3 0， 0
0， 0 2， 2
制式问题
制式问题混合策略纳什均衡
A
B
得益
厂商1： 0.4 0.6 0.664
厂商2： 0.67 0.33 1.296
第二章 完全信息静态博弈
本章介绍完全信息静态博弈。完全信息静 态博弈即各博弈方同时决策，且所有博弈方对 各方得益都了解的博弈。囚徒的困境、齐威王 田忌赛马、猜硬币、石头剪子布、古诺产量决 策都属于这种博弈。完全信息静态博弈属于非 合作博弈最基本的类型。本章介绍完全信息静 态博弈的一般分析方法、纳什均衡概念、各种 经典模型及其应用等。
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3
2.1.1 上策均衡
上策：不管其它博弈方选择什么策略，一博弈方 的某个策略给他带来的得益始终高于其它的策 略，至少不低于其他策略的策略
囚徒的困境中的“坦白”；双寡头削价中“低 价”。
上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策 略都是各个博弈方各自的上策，必然是该博弈 比较稳定的结果
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12
2.3.1 古诺的寡头模型
寡头产量竞争——以两厂商产量竞争为例
Q q1 q2 P P(Q) 8 Q
c1 c2 2
u1 q1P(Q) c1q1 q1[8 (q1 q2)] 2q1 6q1 q1q2 q12
u2 q2P(Q) c2q2 q2[8 (q1 q2)] 2q2 6q2 q1q2 q22
q1 q1(P1, P2 ) a1 b1P1 d1P2 q2 q2 (P1, P2 ) a2 b2P2 d2P1
u1 u1(P1, P2 ) P1q1 c1q1 (P1 c1)q1 (P1 c1)(a1 b1P1 d1P2 )
u2 u2 (P1, P2 ) P2q2 c2q2 (P2 c2 )q2 (P2 c2)(a2 b2P2 d2P1)
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2.4 混合策略和混合策略纳什均衡
2.4.1 严格竞争博弈和混合策略的引进 2.4.2 多重均衡博弈和混合策略 2.4.3 混合策略和严格下策反复消去法 2.4.4 混合策略反应函数
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20
么么么么方面
Sds绝对是假的
2.4.1 严格竞争博弈和混合策略的引进
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10
2.2.3 纳什均衡与严格下策反复消去法
上策均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是上策均衡
命题2.1：在n个博弈方的博弈 G {S1,S中n;u，1,如u果n} 严格下
策反复消去法排除了除
之(si*外,的s所n* )有策略组合，那么
一定是该博(弈si*的,唯s一n* )的纳什均衡
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策略 得益 博弈方1 （0.8，0.2） 2.6 博弈方2 （0.8，0.2） 2.6
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四、齐威王田忌赛马
田忌
上
上
上
上
中
中
中
中
下
下
下
下
上
上
中
中
下
下
上中下 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1
齐 上中下 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 威 上中下 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 王 上中下 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1
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两寡头间的囚徒困境博弈
厂 不突破 商 1 突破
厂商2
不突破
突破
4.5，4.5
3.75，5
5，3.75
4，4
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以自身最大利益为目标：各生产 2单位产量，各自得益为4
以两厂商总体利益最大：各生产 1.5单位产量，各自得益为4.5
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2.3.2 反应函数
古诺模型的反应函数
上中下 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1
上中下 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3
得益矩阵
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五、小偷和守卫的博弈
守卫 得益((睡)
守卫
S
睡 不睡
小 偷 V，-D -P，0
0
偷不偷 0，S 0，0
Pt 小偷
1 偷的概率
-D
- D’
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Q 48 3 24 72 u 2304 3576 1728
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2.3.5 反应函数的问题和局限性
在许多博弈中，博弈方的策略是有限且非连 续时，其得益函数不是连续可导函数，无法 求得反应函数，从而不能通过解方程组的方 法求得纳什均衡。
即使得益函数可以求导，也可能各博弈方的 得益函数比较复杂，因此各自的反应函数也 比较复杂，并不总能保证各博弈方的反应函 数有交点，特别不能保证有唯一的交点。
1， 3 0， 2
0， 1 2， 0
囚 徒
-5， -5
0， -8
夫 妻
困
-8， 0
-1， -1
之
境
争
猜
-1， 1
硬
币
1， -1
1， -1 -1， 1
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2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
7
2.2 纳什均衡
2.2.1 纳什均衡的定义 2.2.2 纳什均衡的一致预测性质 2.2.3 纳什均衡与严格下策反复消去法
命题2.2：在n个博弈方的博弈中 G {S1,Sn中;u1，,如un果}
是(s的i*, 一个sn*纳) 什G 均衡，那么严格下策反复消去法一定不会
将它消去
上述两个命题保证在进行纳什均衡分析之前先通过严格 下策反复消去法简化博弈是可行的
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11
2.3 无限策略分析和反应函数
2.3.1 古诺的寡头模型 2.3.2 反应函数 2.3.3 伯特兰德寡头模型 2.3.4 公共资源问题 2.3.5 反应函数的问题和局限性
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8
2.2.1 纳什均衡的定义
策 博略弈空方间i的：S第1,j个S策n 略：si j Si 博弈方 i的得益：u i
博弈：G {S1,Sn;u1,un}
纳什均衡：在博弈G {S1,Sn;u1中,，un}如果由各个博弈方的各i
一个策略组成的某个策略组合 (s中i*,，s任n* ) 一博弈方 的策略，
P1*
1 2b1
来自百度文库
(a1 b1c1 d1P2* )
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P2*
1 2b2
(a2
b2c2
d 2 P1* )
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2.3.4 公共资源问题
公共草地养羊问题
Q q1 qn V V (Q)
ui qiV (Q) qic
以三农户为例 n=3，c=4
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竞争：个体利益最大化
都是对其余博弈方策略的组合
(si* , si*1, si*1,...sn* )
的最佳对策，也即ui (si*,si*1, si*, si*1,...sn*) ui (si*,s对i*1,任sij意, si*1,...sn*)
都成立，si j则称Si
为 的一(s个i*, 纳什sn*均) 衡G
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加重对首位的处罚：短期中的效果是使守卫真正尽职 在长期中并不能使守卫更尽职，但会降低盗窃发生的概略
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小偷 偷不偷
守卫 睡 不睡 V，-D -P，0 0，S 0，0
小偷 得益(偷)
0 -P
V
Pg 守卫
1 睡的概略
- P’
加重对小偷的处罚：短期内能抑制盗窃发生率 长期并不能降低盗窃发生率，但会是的守卫更多的偷懒
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2.4.2 多重均衡博弈和混合策略
一、夫妻之争的混合策略纳什均衡
妻 时装 子
足球
丈夫 时装 足球 2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
夫妻之争
妻子的混合策略
pw(C)1 pw(F) 0 pw(C) 0 pw(F)3
丈夫的混合策略
ph (C) 2 ph (F) 0 ph (C) 0 ph (F)1
为
Si {，si1则,博sik弈} 方 以概率分i 布
pi 随 (机pi1在,其pik 个)
可选策略中k 选择的“策略”，称为一个“混合策略”，其中
对 0 p都ij 成 1立，j且 1,, k
pi1 pik 1
混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概率
分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博弈的“混合策略 扩展博弈）。
一、猜硬币博弈
盖 正面 硬 币 反面 方
猜硬币方
正面
反面
-1， 1
1， -1
1， -1
-1， 1
（1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合 （2）关键是不能让对方猜到自己策略
这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念
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二、混合策略、混合策略博弈 和混合策略纳什均衡
混合策略：在博弈 G {S1,Sn;u中1,，u博n}弈方 的策略i 空间
猜硬币博弈
r
1
r R1(q)
1/2
q R2(r)
盖
硬 正面
币 方
反面
猜硬币方
正面
反面
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
猜硬币博弈
1/2
1
q
(r,1-r)：盖硬币方选择正反面的混合策略概率分布
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三、市场机会博弈
厂商2
进
不进
厂 进 -50，-50 100，0 商 1 不进 0，100 0，0
市场机会
进 不进 得益
厂商1： 2/3 1/3
0
厂商2： 2/3 1/3
0
2021/3/11
30
2.4.3 混合策略和严格下策反复消去法
博U
弈 方
M
1D
博弈方2
L
R
3， 1
0， 2