2016-2017学年高中数学第1章计数原理1.5.1二项式定理学案北师大版选修2-3讲义
5.1 二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．(难点)2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P23～P24“例1”以上部分，完成下列问题．1．二项式定理：(a＋b)n＝_________________________________________.【答案】C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n2．二项式系数：__________________________________________________.【答案】C r n(r＝0,1,2，…，n)3．二项式通项：______，即二项展开式的第______项．【答案】C r n a n－r b r r＋14．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝________________________.【答案】1＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋x n判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第k＋1项C k n a n－k b k和(b＋a)n的展开式的第k＋1项C k n bn －k a k是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．(3)× 因为C k n a n －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项．(4)√ 因为(a －b )n与(a ＋b )n的二项式展开式的二项式系数都是C rn . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)用二项式定理展开⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式；(2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn .【解】 (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x＋1x2.法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋1 4x 2 ＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.(1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r6(2x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r6·26－r·，∴T 6＝－12·.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x9－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C rn (r ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C rn .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.[再练一题]2．(1)(2015·安徽高考)⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案)(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 6的展开式中的常数项为________． 【解析】 (1)T r ＋1＝C r 7·(x 3)7－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，C 47＝35. 故展开式中x 5的系数为35. (2)T r ＋1＝C r6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r ， 令6－2r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3C 36＝－20. 【答案】 (1)35 (2)－20[探究共研型]探究1 如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x 4展开式中的常数项．【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x4－r·1xr ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．探究3 如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x.已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【精彩点拨】 写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 → 1 求出n 值→修正通项公式→ 2 求x 2项的系数 →考察x 指数为整数→分析求出k 值 → 3 写出有理项 【自主解答】 通项公式为：T r ＋1＝C r n(－3)r＝C r n (－3)r.(1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2， －61 236,295 245x －2.1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1；(2)求含x k的项(或x p y q的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207. (2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)4[构建·体系]1．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410【解析】 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6. 【答案】 D2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．－28B ．－7C ．7D ．28【解析】 T k ＋1＝C k8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x k ＝(－1)k ·C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k ·，当8－43k ＝0，即k ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7. 【答案】 C3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】 －160x 34．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.【导学号：62690021】【解析】 T k ＋1＝C k9·(x 2)9－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212. 【答案】 84 －2125．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】 T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k5(x 3)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．(x －1)3B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3. 【答案】 C2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17 B ．－17C ．7D ．－7【解析】 T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17.【答案】 B3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6. 【答案】 B4．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r＝2，n ＝5时成立．【答案】 B 5．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01510的展开式中，含x 2项的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45D ．120【解析】 因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1＋x ＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝⎛⎭⎪⎫1x 2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C.【答案】 C 二、填空题6．(2015·北京高考)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________．(用数字作答) 【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 525－r x r，令r ＝3，则x 3的系数为C 35×22＝10×4＝40.【答案】 40 7．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r(－a )r ＝C r 6(－a )r·，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.【答案】 28．9192被100除所得的余数为________. 【导学号：62690022】【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292.前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81 三、解答题9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn (n ∈N ＋)．【解】 将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－2)n C nn ＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.∴S ＝(－1)n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时. 10．(2016·淄博高二检测)在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.[能力提升]1．(2016·吉林高二期末)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n＝(1＋x )n－1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r n ，由题意知n2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】 C3．(2016·成都高二检测)在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．【解析】 T r ＋1＝C r 20x20－r (43y )r ＝C r 20 x 20－r y r ，其系数为C r 20. 要使C r 20为有理数，r4∈Z ，又0≤r ≤20， 则r ＝0,4,8,12,16,20，因此，系数为有理数的项共有6项．【答案】 6 4．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项． 【解】 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510· 2 532＝6322.。
【精品】高中数学第一章计数原理习题课二项式定理学案北师大版选修2
习题课 二项式定理学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．1．二项式定理及其相关概念2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：________________. (2)性质：C rn ＋1＝________＋________.(3)二项式系数的最大值：_____________________________________________________ ____________________.(4)二项式系数之和C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C nn ＝________，所用方法是__________．类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题例1 (1)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.(2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．跟踪训练1 (x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40命题角度2 三项展开式问题例2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________．反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．命题角度3 整除和余数问题例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 跟踪训练3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 015＋a 能被13整除，则a ＝________.类型二 二项式系数的综合应用 例4 已知(12＋2x )n.(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．跟踪训练4 已知⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x n展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x .1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．102.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23的展开式中常数项为( )A ．－8B ．－12C ．－20D ．203．当n 为正奇数时，7n＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．84．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6D ．－65．若(x －m )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，其中a 5＝56，则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了．4．求二项展开式中各项系数的和差的方法是赋值代入．5．确定二项展开式中的最大或最小项的方法是利用二项式系数的性质．答案精析知识梳理 1．C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n C r n (r ＝0,1，…，n ) C r n an －r b r(k ＝0,1，…n ) 2．(1)C m n ＝C n －mn (2)C r －1n C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即2C n n最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即12C n n -＝12Cn n+最大．(4)2n赋值法 题型探究例1 (1)120 (2)－1解析 (1)f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5. ∴x 2的系数为C 25＋a C 15， 则10＋5a ＝5，解得a ＝－1. 跟踪训练1 D 例26322跟踪训练 2 解 (x 2＋3x －4)4＝[(x 2＋3x )－4]4＝C 04(x 2＋3x )4－C 14(x 2＋3x )3·4＋C 24(x 2＋3x )2·42－C 34(x 2＋3x )·43＋C 44·44，显然，上式中只有第四项中含x 的项，所以展开式中含x 的项的系数是－C 34·3·43＝－768. 例3 A 跟踪训练3 1例4 解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 即n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项， ∵T 4＝C 37(12)4(2x )3＝352x 3，T 5＝C 47(12)3(2x )4＝70x 4，∴第四项的系数是352，第五项的系数是70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C 714(12)7×27＝3 432.(2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0.。
高中数学 第1章 5二项式定理 北师大版选修2-3
1.二项式定理：公式(a＋b)n＝_C_0na__n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rbr ＋__…__＋__C__nnb_n_(n∈N＋)叫作二项式定理．
2．二项展开式的通项与二项式系数：(1)(a＋b)n的二项展 开式共有__n_＋__1__项，式中的__C_rn_a_n_－_rb_r__叫作二项展开式的通 项，记作Tr＋1＝___C_rn_a_n_－_rb_r__(其中0≤r≤n，r ∈N，n∈N＋)，通 项为展开式的第r＋1项；
(3)Tr＋1＝Cr10x102－r·(－31x)r＝Cr10x102－r·(－13)r·x－r ＝Cr10·(－13)r·x10－2 3r. 若是正整数指数幂，则有10－2 3r为正整数，∴r 可以取 0,2， ∴项数有 2 个． (4)由题意 Tr＋1＝Cr7(x3)7－r(1x)r＝Cr7x21－4r，令 21－4r＝5，得 r ＝4，则 x5 的系数是 C47＝35. [答案] (1)15 (2)40 (3)B (4)35
5．二项展开式的应用 (1)利用通项公式 Crnan－rbr(0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)求指定 项、特征项(常数项，有理项等)或特征项的系数． (2)近似计算，当|a|与 1 相比较很小且 n 不大时，常用近似 公式(1±a)n≈1±na，使用公式时要注意 a 的条件以及对计算精 确度的要求． (3)整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形， 把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式 的因式或只有一、二项不能整除．
②(1＋x)n＝1＋C1nx1＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn(n∈N＋)． (6)要注意逆用二项式定理来分析解决问题．
2．在应用通项公式时要注意以下几点： (1)Crnan－rbr 是展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项； (2)通项公式表示的是二项展开式中的某一项，只要 n 与 r 确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展 开式中的各项依赖于 r； (3)公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒；
高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理学案 北师大版选修23
§5 二项式定理学习目标 重点难点1.能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关问题．3．会用二项式定理找等量关系.重点：二项式定理．难点：二项式定理的应用.1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a ＋b )n 的二项展开式．(a ＋b )n 的二项展开式共有n ＋1项，其中各项的系数C rn (r＝0,1,2，…，n )称为二项式系数，C r n a n －r b r称为二项展开式的第r ＋1项，又称为二项式通项．在二项式定理中，如果设a ＝1，b ＝x ，则得到公式：(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n xr＋…＋x n.预习交流1如何记忆二项式定理？提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，T r ＋1＝C r n a n －r b r，其中T r ＋1为二项展开式的第r ＋1项，a ，b 的指数和为n .2．二项式系数的性质 C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n ；C m n ＝C n －m n ；C 0n ＋C 1n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n . 预习交流2如何证明C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n ＋1C nn ＝0.提示：令二项展开式中的a ＝1，b ＝－1，即可得到要证明的结论．1．二项式定理求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理，注意每一项都符合二项展开式的通项公式，也可先将原式变形后再展开．解：方法1：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44(3x )0·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.方法2：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.求二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 10的展开式中的常数项．解：设第r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r10·5202rx-·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r(r ＝0,1,2，…，10)， 令20－52r ＝0，得r ＝8，所以第9项为常数项，常数项为C 810×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝45256.利用二项展开式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是一类典型的问题，通常的解法就是确定通项公式中的r 的值或取值范围．但需注意二项式系数与项的系数及项的区别与联系．2．二项式系数的性质 如果(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7的值等于( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2思路分析：比较展开式与a 1＋a 2＋…＋a 7的结构，会发现当x ＝1时，含有a 1＋a 2＋…＋a 7，即(1－2)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1.从而只要求出a 0＝1即可．答案：A解析：令x ＝0，得(1－2×0)7＝a 0，∴a 0＝1.再令x ＝1，则有(1－2×1)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7， ∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－1－a 0＝－1－1＝－2.设(1－2x )2 010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 010x 2 010(x ∈R )． (1)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 009的值．(2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 010|的值．解：(1)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 010＝32 010.①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 010＝(－1)2 010＝1.②由①②，得2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 009)＝1－32 010，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 009＝1－32 0102.(2)∵T r ＋1＝C r 2 010·12 010－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 010·(2x )r，∴a 2k －1＜0(k ∈N ＋)，a 2k ＞0(k ∈N ＋)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 010|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 010＝32 010.求展开式的系数和，关键是字母赋值，赋值的选择需根据所求的展开式系数和特征来定．一般地，多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n的各项系数和为f (1)，奇次项系数和为f 1－f －12，偶次项系数和为f 1＋f －12.1.⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n(n ∈N ＋)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值为( )． A ．3B ．5C ．8D ．10答案：B解析：T r ＋1＝C rn (2x 3)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n ·x 3n －5r . 令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r ，n ∈Z ，∴n 的最小值为5. 2．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( )． A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4答案：C解析：(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x )(1－3x )5，故(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中含x 的项为1×C 35(－3x )3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x .∴x 的系数为2.3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5(x ∈R )展开式中x 2的系数为10，则实数a 等于( )． A ．－1B ．12C ．1D ．2答案：D 解析：C r 5x r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 5－r ＝C r 5a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4.由C 45·a ＝10，得a ＝2.4．在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有__________项．答案：4解析：T r ＋1＝C r20(32x )20－r⎝⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r ·C r 20·x 20－r.∵系数为有理数，∴(2)r与220－r3均为有理数． ∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除． ∴r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20.5．m ，n ∈N ＋，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19.求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解：由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝17，…⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝1.x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171.∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.。
高中数学 第1章 计数原理 1_5_1 二项式定理学案 北师大版选修2-3
5.1 二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．(难点)2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P23～P24“例1”以上部分，完成下列问题．1．二项式定理：(a＋b)n＝_________________________________________.【答案】C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n2．二项式系数：__________________________________________________.【答案】C r n(r＝0,1,2，…，n)3．二项式通项：______，即二项展开式的第______项．【答案】C r n a n－r b r r＋14．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝________________________.【答案】1＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋x n判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第k＋1项C k n a n－k b k和(b＋a)n的展开式的第k＋1项C k n b n－k a k是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×因为C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C r n.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 25；(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n(x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k (－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x 4的展开式；(2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n .【解】 (1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x ＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n .二项式系数与项的系数问题(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·，∴T 6＝－12·.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12.(2)T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x9－2r ， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C r n (r ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.[再练一题]2．(1)(2015·安徽高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案)(2)二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 6的展开式中的常数项为________．【解析】 (1)T r ＋1＝C r 7·(x 3)7－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 7x21－4r ， 令21－4r ＝5，得r ＝4，C 47＝35. 故展开式中x 5的系数为35. (2)T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r ， 令6－2r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3C 36＝－20. 【答案】 (1)35 (2)－20[探究共研型]探究1 如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 4展开式中的常数项．【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x 4－r ·1x r＝C r 4x4－2r 求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．探究3 如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x·C 13(2x )2＝x ＋12x＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .已知在⎝⎛⎭⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 【精彩点拨】 写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零→1求出n 值→修正通项公式→2求x 2项的系数→考察x 指数为整数→分析求出k 值 →3写出有理项【自主解答】 通项公式为：T r ＋1＝C r n (－3)r ＝C r n (－3)r .(1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2， －61 236,295 245x －2.1．求二项展开式的特定项的常见题型a n－k＋1b k－1；(1)求第k项，T k＝C k－1n(2)求含x k的项(或x p y q的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________．(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________． 【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)4[构建·体系]1．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( )A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410【解析】 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6.【答案】 D2．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．－28B ．－7C ．7D ．28【解析】 T k ＋1＝C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x k ＝(－1)k ·C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k ·，当8－43k ＝0，即k＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7. 【答案】 C3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】 －160x 34．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 【导学号：62690021】【解析】 T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212. 【答案】 84 －2125．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．(x －1)3 B ．(x －2)3 C ．x 3D ．(x ＋1)3【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3. 【答案】 C2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17 B ．－17C ．7D ．－7【解析】T 4＝C 37x4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17.【答案】 B3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6. 【答案】 B4．使⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x x r ＝C r n3n －r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，含x 2项的系数为( )A ．10B ．30C ．45D ．120【解析】 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋x ＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C.【答案】 C 二、填空题6．(2015·北京高考)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________．(用数字作答)【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 525－r x r ，令r ＝3，则x 3的系数为C 35×22＝10×4＝40. 【答案】 407．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r ＝C r 6(－a )r ·，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.【答案】 28．9192被100除所得的余数为________. 【导学号：62690022】【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292. 前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81三、解答题9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N ＋)．【解】 将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(－1)n .∴S ＝(－1)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时. 10．(2016·淄博高二检测)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ， 所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.[能力提升]1．(2016·吉林高二期末)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n nx n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( ) A ．－19B ．19C ．20D ．－20【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r n ，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】 C3．(2016·成都高二检测)在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．【解析】 T r ＋1＝C r 20x 20－r (43y )r ＝C r 20 x 20－r y r ，其系数为C r 20. 要使C r 20为有理数，r 4∈Z ，又0≤r ≤20， 则r ＝0,4,8,12,16,20，因此，系数为有理数的项共有6项．【答案】 64．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项． 【解】 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·2532＝6322.。
高中数学第一章计数原理5第二课时二项式系数的性质教学案北师大版选修28
学 习 资 料 专 题第二课时 二项式系数的性质[对应学生用书P17]n 依次取1,2,3，…时，(a ＋b )n 展开式的二项式系数如图所示：观察此表，思考下列问题．问题1：同一行中，系数有什么规律？提示：两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等， 即C rn ＝C n －rn .问题2：相邻两行，系数有什么规律？提示：在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn .“杨辉三角”及其规律 (1)杨辉三角(2)“杨辉三角”蕴含的规律①在同一行中，每行两端都是1.②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数满足组合数的性质C r n＋1＝C r－1n＋C r n.③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性．C r n＝C n－rn.1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质：(1)C r n＝C n－rn；(2)C r n＋1＝C r－1n＋C r n.2．从表中可以看出(a＋b)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数和等于2n，而C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.[对应学生用书P18][例1] 如图所示，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为S n，求S19的值．[思路点拨] 观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和．[精解详析] 由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211)＝＋2＋C312＝54＋220＝274.[一点通] 解决与杨辉三角有关问题的一般思路：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．解析：观察规律可知：第n 行的首尾两个数均为2n －1. 答案：2n －12．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知，第1行中的数是C 01，C 11；第2行中的数是C 02，C 12，C 22；第3行中的数是C 03，C 13，C 23，C 33；…；第n 行中的数是C 0n ，C 1n ，C 2n ，…，C nn .设第n 行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C 13n ∶C 14n ＝2∶3，解之得n ＝34.答案：34[例2] (10012 2 013(1)求a 0的值；(2)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013的值； (3)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 20 13的值．[思路点拨] 可在已知的等式中分别取x ＝0,1，－1，得各系数和、差的关系，进而求解．[精解详析] (1)在等式(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x2 013中，令x ＝0，得1＝a 0.∴a0＝1.分)(2)在等式中，令x ＝1，得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 013，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 013＝－2.分)(3)令x ＝－1，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧32 013＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012－a 2 013，－1＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＋a 2 013，相减，得－1－32 013＝2(a1＋a 3＋…＋a 2 013)．分)∴a1＋a 3＋…＋a 2 013＝－12(1＋22 013)．分)[一点通] (1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数的和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．3．(1－2x )15的展开式中的各项系数和是( ) A ．1 B ．－1 C ．215D ．315解析：令x ＝1时(－1)15＝－1. 答案：B4．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|. 解：(1)令x ＝0，则a 0＝－1.令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 7＝27＝128，① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋…＋a 6－a 7＝(－4)7，② 由①－②得，2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8256. (3)∵T r ＋1＝C r7(3x )7－r(－1)r，∴a 2k －1>0(k ∈N ＋)，a 2k <0(k ∈N ＋)． ∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7| ＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－…－a 6＋a 7 ＝47＝16 384.解决与杨辉三角有关的问题的注意事项：(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．(2)注意二项式系数性质C m n ＝C n －m n ，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 的应用．[对应课时跟踪训练八1．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．－1 024D ．1 024解析：令f (x )＝(x －1)11，偶次项系数之和是f＋f －2＝－112＝－1 024.答案：C2．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5解析：由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n＝(1＋x )n－1分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有x ＝5，n ＝4适合．答案：C3．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：由2n＝64，得n ＝6，∴T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 6x6－2k(0≤k ≤6，k ∈N )．由6－2k ＝0，得k ＝3.∴T 4＝C 36＝20. 答案：B4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 4的展开式中各项系数之和是16.则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．－1或3解析：由题意可得(a －1)4＝16，a －1＝±2，解得a ＝－1或a ＝3. 答案：D5．若(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．解析：令x ＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.答案：－26．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)·(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝(2－3)4，于是(2＋3)4·(2－3)4＝1.答案：17．已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121， ∴1＋n ＋n n －2＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x )15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项． 且T 8＝C 715(3x )7＝C 71537x 7，T 9＝C 815(3x )8＝C 81538x 8.8．对二项式(1－x )10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和．(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和． 解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5.(2)C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010 ＝210＝1 024.(3)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0. 令x＝0，得a0＝1.∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.。
高中数学 第一章《计数原理》二项式定理(一)
教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。 三、教学方法：探析归纳，讨论交流 四、教学过程
2
复 习：
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
思考:(a+b)4的展开式是什么?
项的系数为 二项式系数与数字系数的积
11
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有： (1 + x)n = 1 + C1nx + Cn2x2 + + Crnxr + + Cnnxn 在上式中，令 x = 1，则有：
2n = Cn0 + C1n + Cn2 + + Crn + + Cnn
12
例1、展开 (1 1 )4
2、展开 (2
x x
1 )6
x
3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。
4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系
数。
(2)求(x－ 1 )9的展开式中x3的系数。
x
13
例2(1)求 ( x 3 )9的展开式常数项； 3x
(2)求 ( x 3 )9的展开式的中间两项.
新疆 王新敞
奎屯
3x
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝
C40
a4
＋C41
a3b
＋C42
a2b2
＋C43
ab3
Hale Waihona Puke ＋C44b4 7(a+b)n的展开式是：
高中数学第一章计数原理5二项式定理导学案北师大版选修2_320171130327
§5 二项式定理自主整理1.(a+b)n=_______________________________________________________________.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a+b)n 的二项展开式，（a+b)n的二项展开式有_______________项，其中各项的系数_______________称为二项式系数，_______________称为二项展开式的第_______________项，又称为二项式通项. 2.在二项式定理中，如果设a=1,b=x ，则得到公式：(1+x)n=____________________________________________________________.3.当n 依次取1,2,3,…时，(a+b)n展开式的二项式系数如下图所示：图中所示的表叫作二项式系数表，它有这样的规律：①表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数字的_______________，即_______________；②与首末两端“等距离”的两个二项式系数_______________，即_______________. 高手笔记1.二项展开式的项数为n+1项.2.各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n.3.字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.4.二项式的系数从C 0n ,C 1n ,一直到C 1-n n ,C nn .5.T r+1=C r n a n-r b r,可以表示（a+b)n的二项展开式中的任意一项，只要r 确定.6.T r+1是（a+b)n的二项展开式的第r+1项，而不是第r 项.7.二项式系数与项的系数是不同的，如(a+bx)n(a 、b∈C )的展开式中，第r+1项的二项式系数是C r n ，而第r+1项的系数为C .rr n r n b a- 名师解惑1.如何应用二项式的通项公式解题？剖析：通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数.（1）运用通项公式T r+1=C rr n r nb a -解题，一般都需先转化为方程（组）求出n 、r ，然后代入通项公式求解.（2）求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系. 2.二项展开式的性质剖析：（1）如果n 是偶数，则中间一项（第2n+1项）的二项式系数最大；如果n 为奇数，则中间两项（第n+21项与21+n +1项）的二项式系数相等并且最大. （2）所有二项式系数的和等于2n，即C 0n +C 1n +…+C nn =2n.(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等.即C 0n +2n C +…=C 1n +C 3n +…=2n-1.3.运用二项式定理解题时有哪些常用的方法？ 剖析：（1）赋值法.在(a+b)n展开式中令a=b=1，得C 0n +C 1n +…+C n n =2n;令a=1,b=-1得C 0n -C 1n +C 2n -C 3n + 0∴C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2n-1.这种由一般到特殊的方法是“赋值法”.（2）利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧. 讲练互动【例1】写出(x-y)11的展开式中：（1）通项T r+1;(2)二项式系数最大的项；（3）项的系数绝对值最大的项；（4）项的系数最大的项；（5）项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和. 分析：本题的最大特点是展开式的二项式系数与项的系数有的相同，有的仅差一负号.因此，系数最大和最小的项可直接利用二项式系数最大和最小的项来解决.二项式系数的和可利用和为2n这一性质求解；各项系数的和可利用二项式定理或赋值法求解.解：（1）T r+1=(-1)r·C r11x11-r y r.(2)展开式中二项式系数最大的项为中间两项T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(3)由于本题中系数绝对值最大的项就是二项式系数最大的项，因此，系数绝对值最大的项也是中间两项T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(4)由（3）知，项的系数最大的项是T 7=C 611x 5y 6. (5)由（3）知，项的系数最小的项是T 6=-C 511x 6y 5.(6)展开式中，二项式系数的和为C 011+C 211111C ++…+C 1111=211.(7)展开式中，各项系数的和为C 311211111011C C C -+-+…+(-1)11C 1111=(1-1)11=011=0.绿色通道:本题是关于二项式系数性质应用的典型示例.此题起点较低，却包含了各种题型，在学习中应予以重视. 变式训练1.求（x 2-x 21)9展开式中的①第6项;②第3项的系数;③含x 9的项;④常数项. 解：①T 6=C 59(x 2)4(x 21-)5=1663-x 3.②T 3=C 29 (x 2)7(x21-)2=9x 12,∴第3项系数为9. ③首先利用通项公式去求含x 9的项是第几项，再求这一项，即知系数.设第r+1项，含x 9，则T r+1=C r9(x 2)9-r(x21-)r， x 的幂指数为2(9-r)-r=9,∴r=3.∴含x 9项为第4项，T 4=C 39（x 2)6(x 21-)3=x21-x 9. ④设常数项为第r+1项，T r+1=C r9(x 2)9-r ·(x21-)r ,则x 的幂指数为18-3r=0,即r=6,∴第7项为常数项，T 7=C 69（x 2)9-6(x 21-)6=1621.【例2】求(x 2+3x+2)5的展开式中含x 的项.分析：由x 2+3x+2=(x+1)(x+2),利用二项展开式求解.也可以利用组合数及乘法原理.解法一：（x 2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,含x 的项是(x+1)5展开式中的一次项与（x+2)5展开式中的常数项之积和(x+1)5展开式中的常数项与(x+2)5展开式中的一次项之积的代数和.∴含x 的项为C 45x·C 55·25+C 55·1·C 45x·24=240x.解法二：（x 2+3x+2)5展开式中的一次项是5个括号中有1个括号内取3x ，其他4个括号内取常数项2相乘得到的.即C 15·3x·C 44·24=240x.绿色通道:对于二项式的展开式问题有两种思路：一是转化为二项式（可因式分解）；二是利用组合及乘法原理（不能因式分解）.通常第二种思路更简捷. 变式训练2.求（1+x)6(1-x)5展开式中含x 3项的系数.解：（1+x)6(1-x)5=(1+x)(1-x 2)5. 在（1-x 2)5展开式中含x 2的项是C 15·15-1(-x 2)1,故(1+x)6(1-x)5的展开式中含x 3项的系数为C 15（-1）=-5.【例3】设(3x-1)8=a 8x 8+a 7x 7+…+a 1x+a 0.求： （1）a 8+a 7+…+a 1; (2)a 8+a 6+a 4+a 2+a 0.分析：有关求系数和的问题，一般采用“赋值法”，令二项式中的项取一个或几个值，得到一个或几个等式，然后再根据需要求得结果. 解：令x=0,得a 0=1.(1)令x=1，得(3-1)8=a 8+a 7+…+a 1+a 0①∴a 8+a 7+…+a 2+a 1=28-a 0=256-1=255. （2）令x=-1，得(-3-1)8=a 8-a 7+a 6…-a 1+a 0，②∴①+②得28+48=2(a 8+a 6+a 4+a 2+a 0), ∴a 8+a 6+a 4+a 2+a 0=21 (28+48)=32 896.绿色通道:“赋值法”的模式揭示了人们由“一般认识到特殊认识”的重要思维理念，揭示了“特殊存在于一般之中”的辩证关系. 变式训练3.求（1+2x+x 2)10(1-x)5展开式中各项系数的和. 解：（1+2x+x 2)10(1-x)5=(1+x)20(1-x)5=(C20+C 120x+C 220x 2+…+C2020x 20)［C 05+C 15(-x)+C 25(-x)2+…+C 55(-x)5］=A 0+A 1x+A 2x 2+…+A 25x 25.对于x 取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x=1，则0=A 0+A 1+A 2+…+A 25.∴展开式中各项系数和为0.【例4】求（1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10展开式中x 2项的系数.分析：把(1+x)n (2≤n≤10且n∈N )展开，找全x 2项进行系数合并再进行处理. 解：∵（1+x)2=1+C 12x+C 22x 2，∴x 2的系数为C 22，(1+x)3=1+13C x+C 23x 2+C 33x 3.∴x 2的系数为C 23.同理：（1+x)4展开式中x 2项系数为C 24…(1+x)10展开式中x 2项系数为C 210.∴x 2项的系数为C 22+C 23+C 24+…+C 210=C 311=165.∴展开式中x 2项系数为165.绿色通道:综合运用二项式定理问题，灵活运用展开式的通项公式进行求解. 变式训练4.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6展开式中，x 2项的系数是______________.（用数字作答）解：C 22+C 23+…+C 26=C 33+C 23+…+C 26=C 37=35.【例5】用二项式定理证明： 32n+2-8n-9是64的倍数（n∈N ).分析：①变为二项式形式；②与64联系上. 证明：32n+2-8n-9=9n+1-8(n+1)-1=(8+1)n+1-8(n+1)-1=8n+1+C 11+n 8n+C 21+n 8n-1+…+C 11-+n n 82+n n +nn 1+8+C 12++n n -8(n+1)-1=82(8n-1+C 11+n +18n-2+…+C 11-+n n ).∵括号内每一项都是自然数，和为自然数，∴上式是64的倍数，即32n+2-8n-9是64的倍数.绿色通道:利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. 变式训练5.9192除以100的余数是多少？解法一：9192=(100-9)92=10092-C 192·10091·9+C 292·10090·92-…-C 9192·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.∵992=(10-1)92=1092-C192·1091+C292·1090-…+C9092·102-C9192·10+(-1)92=1092-C192·1091+C292·1090-…+C9092·102-920+1=(1092-C192·C9192+C292·1090-…+C9092·102-1 000)+81，∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.解法二：∵9192=(90+1)92=C092·9092+C192·9091+…+C9092·902+C9192·90+1，由于前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C9192·90+1=8 281=8 200+81，∴被100除余81.。
高中数学第一章计数原理5二项式定理1教案北师大版选修2_32017092734
二项式定理一、教学目标：1、知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。
2、过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题。
3、情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二、教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。
教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。
三、教学方法：探析归纳，讨论交流四、教学过程(一)新课引入：(提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？在初中，我们已经学过了222()2a b a ab b +=++ 33223()33a b a a b ab b +=+++(提问)：对于4()a b +，5()a b + 如何展开?(利用多项式乘法)(再提问)：100()a b +又怎么办？ ()n a b +(n ∈N+)呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
这节课，我们就来研究()n a b +的二项展开式的规律性(二)新课探析：(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。
规律：1()a b +=a+b 2()a b +=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=222a ab b ++ 3()a b + =2()a b + (a+b)=22(2)a ab b ++(a+b)=322333a a b ab b +++ 4()a b +=3()a b + (a+b)=3223(33)a a b ab b +++(a+b)=432234464a a b a b ab b ++++ 根据以上的归纳，可以想到()na b +的展开式的各项是齐次的，它们分别为 122,,,,n n n n a a b a b b --⋅⋅⋅展开式中各项系数的规律，可以列表：1()a b + 1 1810＝(7+1)10＝010C 710+110C 79+…+910C 7+1010C＝2(733＋c 1732+…+c 32·7+22()a b + 1 2 13()a b + 1 3 3 14()a b + 1 4 6 4 15()a b + 1 5 10 10 5 1（这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理课件北师大版选修2_3
3. 二项式展开式中, 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 + C 3 + CC 4 +…=2n-1 . 式系数和, 即C������ ������ ������ ������ ������ ������
一
二
【做一做 3】 设 n∈N+, 则
0 2n - C 1 2n-1 +…+(-1)kC ������ 2n-k+…+(-1)n C ������ = C������ ������ ������ ������ 0 2n -C 1 2n-1 +…+( -1)kC ������ 2n-k+…+( -1)n C ������ = 解析:C������ ������ ������ ������ 0 n 1 n-1 ������ n-k ������ 0 C������ 2· (-1)0 +C������ 2 · (-1)1+…+C������ 2 · (-1)k+…+C������ 2 (-1)n =(2-1)n =1.
+
(2)每一行中, 与首末两端“等距离”的两个数相等. 这就是说, 二项展开式中, 与首末两端“等距离”的两项的二项式
������ 系数相等, 实际上反映了组合数的性质C������ = C������ ������ -������
.
一
二
名师点拨1.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数 最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并 且最大. 0 1 2 ������ 2. 二项式系数的和等于 2n, 即C������ + C������ + C������ +…+C������ =2n.
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理1.5.1二项式定理
������)3·
1 ������
3
+ C64(
������)2·
1 ������
4 + C65
������ ·
1 ������
5 + C66
16 ������
=x3+6x2+15x+20+151������
+
6 ������2
+
���1���3.
(2)原式=C���0��� (x+1)n+C���1��� (x+1)n-1(-1)+C���2��� (x+1)n-2(-
1)2+…+C������������ (x+1)n-k(-1)k+…+C������������(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规 律是:
(1)各项的次数都等于n; (2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按 升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n. 2.逆用二项式定理,可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分 析已知多项式的特点,向二项展开式的特点靠拢.
k+…+(-1)nC������������ .
分析对于(1)直接利用二项式定理展开;对于(2)可根据式子的特
点,逆用二项式定理求解.
解(1)
������ +
1 ������
6
= C60(
������)6+C61(