万物皆数与无理数的发现
无理数的由来
的由来”无理数“发现了一个惊(Hippasus)学派的弟子希勃索斯(Pythagoras)年，古希腊毕达哥拉斯500公元前(人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，则对角线的长不1若正方形边长是的哲理大相径庭。
这一发现)指有理数”(万物皆为数“这一不可公度性与毕氏学派)是一个有理数使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。
希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看孔隙“。
而这种”孔隙“待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的不可胜数“经后人证明简直多得” 。
于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的” 设想彻底地破灭了。
不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了2000以后公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直世纪意大利著名画家达15被认为是不可理喻的数。
世纪德国天文学17，”无理的数“芬奇称之为. 的数。
”不可名状“家开普勒称之为。
人们为了纪念希勃索斯这位”无理“然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是的由来．”无理数“这便是”——无理数“为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为对数简史”对数“对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创这种高级运算的呢？在数学史，Napier纳皮尔（——上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家1550-1617 年）男爵。
刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门”太阳中心说“在纳皮尔所处的年代，哥白尼的天“学科。
可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
史上数学三大危机简介
数学三大危机术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。
但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。
无理数发展简史
无理数发展简史作者：潘亦宁来源：《中学数学杂志(初中版)》2008年第02期在初等数学的教学当中，无理数是一个非常重要的内容. 从数学发展的历史来看，无理数的发现也具有极其重大的意义. 因此，在教学中适当介绍无理数的发展历史是十分必要的.1 毕达哥拉斯学派与无理数的发现无理数最早是由古希腊的毕达哥拉斯学派发现的. 毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580—前497)是希腊演绎数学的鼻祖之一，生于靠近小亚细亚海岸的萨摩岛. 据说他曾跟随著名的泰勒斯(Thales of Miletus，约公元前625—前547)学习过，青年时还到埃及和巴比伦游历，回到希腊后定居于今天意大利南部沿海的克洛托内，并在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所说的毕达哥拉斯学派. 这是一个宗教、科学和哲学性质的会社，会员人数是限定的，由领导人传授知识，会员必须对学派中所传授的知识保密. 后来，毕达哥拉斯本人由于参与政治斗争而于公元前497年被害，但是学派的其他成员仍然活跃在希腊的各个学术中心.毕达哥拉斯本人没有著作传世，今天所说的毕达哥拉斯学派的数学成就是该学派成员的共同成果. 这些成果的大部分后来都收录在欧几里得(Euclid of Alexandria，约公元前300)的《几何原本》. 尽管我们今天把很多几何成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派最基本的信条却是“万物皆数”. 他们认为人们所知道的一切事物都包含数，如果没有数就既不可能表达也不可能理解任何事物. 事实上，毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，分数则被看成两个整数之比. 他们相信任何量都可以表示成两个整数的比，这在几何上相当于说，对任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段可以将给定的两条线段划分为整数段. 这样的两条给定线段被称为可公度量，意即相比两量可用公共度量单位量尽，相应的，不能这样表达的量被称为不可公度量. 后来毕达哥拉斯学派发现并不是任何两条线段都是可公度的，例如单位正方形的对角线与边长就不可公度，即与1不能公度. 据说不可公度量最早是由学派成员希帕苏斯(Hippasus，公元前470年左右)发现的. 当时学派成员正在海上集会，因为这一发现而将希帕苏斯投到海里，因为他在宇宙间搞出这样一个东西，否定了毕达哥拉斯学派万物皆数的信条.2与1不能公度的证明也是毕达哥拉斯学派给出的. 据亚里士多德记载，他们用的是反证法. 假设2是有理数，那么2可以表示为a∶b，a、b为互素的整数. 又由为偶数，设为偶数. 这与a、b互素矛盾!这与今天的证明是一致的.很快人们就发现了除2以外的其它一些无理数，这些发现动摇了古希腊数学信仰的基础，因此有时也被称为第一次数学危机. 这一危机因为欧多克斯重新定义比例论而得到暂时的缓解.2 欧多克斯比例论公元前408年，欧多克斯(Eudoxus，约公元前408～前347)出生于小亚细亚的奈达斯，跟随毕达哥拉斯学派的阿契塔斯(Archytas，约公元前375)学习过，曾到埃及游历过，回到希腊后创立了自己的学派，即今天所说的欧多克斯学派. 公元前368年他带领自己的门徒一起加入了著名的柏拉图学派. 欧多克斯是古希腊时代伟大的天文学家、几何学家、医生和地理学家. 他在数学上的重大贡献是引入了关于比例的一个新理论.越来越多无理数的发现迫使希腊数学家不得不研究这些数. 它们确实是数吗?以前用于可公度的长度、面积和体积的证明怎样才能推广到不可公度的这些量呢?为了解决这些问题，欧多克斯首先引入了“量”的概念. 这里的量不是数，而是代表诸如线段、角、面积、体积、时间等. 量与数的不同在于，数是离散的，即可数的，而量可以是连续的. 欧多克斯由量的概念出发给出了一种新的比例论. 欧几里得《几何原本》第五卷中引用了这种比例论. 其定义为：设A，B，C，D是任意四个量，其中A和B同类(即均为线段、角或面积等)，C和D同类. 如果对于任何两个正整数m和n，mA大于、等于、小于nB是否成立，相应地取决于mC大于、等于、小于nD是否成立，则称A与B之比等于C与D之比，即A，B，C，D四量成比例.通过这一新的比例论，希腊数学家可以严格地将可公度量的证明推广到不可公度的量，从而解决了不可公度带来的逻辑上的矛盾，但这样做也带来了一些其它的后果. 欧多克斯比例论实际上是为了避免把无理数当作数. 这个理论给不可公度量的比例提供了逻辑依据，但是也将数同几何截然分开，而且使希腊数学的重点从数转向了几何，因为几何可以处理无理数. 在此后的几千年间，几何学成为几乎是全部严密数学的基础，而算术和代数则没有取得独立的地位. 我们可以看出，欧多克斯的比例论实际上并没有给无理数提供可靠的算术理论基础，在很长的时间里，西方数学家都必须用几何来严格处理连续量.3 东方数学中的无理数与希腊人不同，中国古代数学家是在开方(即解方程)的过程中遭遇无理数的. 最早记录无理数发现的是《九章算术》. 这是中国古典数学中最重要的一部数学著作，至迟在公元前1世纪已经成书. 该书由西汉张苍、耿寿昌等人对当时流传的自先秦以来的数学知识进行删补而成. 全书采用问题集的形式，共246个问题，分为九章，依次为：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股. 其中“少广”章中的“开方术”和“开立方术”给出了开平方和开立方的算法. 在这种对整数开方的过程中必然会遇到开方不尽的情况. 《九章算术》对开方不尽的数起了一个新的名字，叫做“面”. 例如面积为2的正方形求边长时，应对2开平方，而结果是开不尽的，于是称面积为2的正方形的边长为2“面”. 这是中国传统数学中对无理数的最早记载.古希腊数学家从不可公度性发现了无理数，欧多克斯为了解决不可公度在逻辑上的矛盾而重新定义了比例，但是这样做的结果是避免承认无理数是真正的数. 中国人则从一开始就很坦然地接受了这种新的数，并且在计算中也很随意地使用它们. 在无理数的表示方面做出重大贡献的是中国古代数学泰斗刘徽. 刘徽是三国时期魏国人，他在数学上的主要成就是对《九章算术》做注释. 《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，它奠定了刘徽在中国数学史上的不朽地位. 刘徽在注释《九章算术》少广章中的开方术时提出了用十进分数求无理数近似值的方法. 当某一整数单位(例如尺)开方不尽时，可以用该单位的110，1100等为新单位继续开方. 这种方法被称为求微数. 正是使用求微数的方法，刘徽才将圆周率精确到的较好结果. 唐代以后，十进小数获得了广泛的应用，到宋元时期秦九韶等人已经可以用十进小数求高次方程无理根的近似值. 中国古代数学家正是通过无理数的近似表示来对其进行各种运算的. 印度和阿拉伯的数学家也认为无理数是真正的数，并且用有理数的运算法则来计算无理数.4 无理数的发展与定义中世纪过后，欧洲数学逐渐复苏. 受到东方数学的影响，算术和代数的发展首先取得了突出成就. 到16、17世纪，欧洲人对无理数的使用已经越来越广泛了，但对无理数究竟是不是真正的数却产生了分歧. 德国数学家斯蒂弗尔(M. Stifel， 1487—1567)在其著作《整数算术》中讨论用十进小数的记号表示无理数的问题时，认为无理数不能被准确掌握，因而不是真正的数. 其后的帕斯卡和牛顿等人仍持这一观点. 其他一些人则肯定认为无理数是独立存在的数. 荷兰数学家史蒂文(S. Stevin， 1548—1620)承认无理数是数，并用有理数来逼进它们. 笛卡儿也承认无理数是能够代表连续量的抽象的数. 然而直到18世纪数学家们都没有弄清楚无理数的概念，无理数理论的真正建立要到19世纪才完成.在19世纪，最早对无理数进行处理的是爱尔兰数学家哈密顿(W. R. Hamilton， 1805—1865). 他在1833—1835年发表《代数学作为纯时间的科学》，把有理数和无理数的全体一起放在时间概念的基础上. 他还提出用划分有理数的方法来定义无理数，遗憾的是最终没能完成. 在魏尔斯特拉斯(K. Weierstrass， 1815—1897)建立完善的无理数理论以前，柯西(Cauchy，1789—1851)关于无理数是有理数列极限的概念被广泛采用. 然而，除非无理数已经有了定义，否则这样一个数列的极限在逻辑上是不存在的. 1859年魏尔斯特拉斯在柏林的授课中建立了无理数的理论，但是长期以来并没有发表. 1869年法国数学家梅雷(H. C. R. Meray， 1835—1911)在有理数的基础上给出了无理数的一个定义，这个定义与康托尔(G. Cantor， 1845—1918)所给的定义相同. 目前为大家广泛接受的是德国数学家戴德金(R. Dedekind， 1831—1916)1872年在《连续性与无理数》中给出的无理数定义.无理数的各种定义在实质上是十分相似的，这里仅介绍戴德金的定义. 戴德金是在直线划分的启发下来定义无理数的，其核心是“分割”的概念. 一个分割把所有的有理数分成两类，使得第一类中的每一个数都小于第二类中的每一个数. 若干用与表示这两类，则，表示这个分割. 在一些分割中，或者中有最大数，或者中有最小数，这样的分割是由有理数确定的. 但是存在着不是由有理数确定的分割. 例如，把所有平方小于2的有理数放在第一类，其它放在第二类，这个分割就不是由有理数确定的. 从而每一个这样的分割对应于唯一的一个无理数. 接着戴德金又定义了两个分割的大小关系及其运算. 除了这种定义外，史托尔茨(Otto Stolz， 1842～1905)在《一般算术教程》中证明了每一个无理数可以表达成无限不循环小数. 这也是我们今天定义无理数的常用方法.至此，在古希腊时期就被发现的无理数终于有了严格的定义. 从上述定义我们可以看出，无理数的逻辑定义是颇有些不自然的. 逻辑地定义出来的无理数是一个智慧的怪物. 这也正是长期以来数学家们觉得无理数难以掌握的真正原因. 事实上，直到19世纪一些保守的数学家仍然不接受这样的无理数理论，例如克洛耐克和汉克尔就持反对意见. 虽然如此，严格的无理数理论的建立仍然是现代分析学和几何学发展的基础，是数学发展史上一次重大的进步.参考文献[1] [美]M. 克莱因. 古今数学思想[M]. 上海：上海科学技术出版社，1979.[2] 李文林. 数学珍宝[M]. 北京：科学出版社，1998.[3] 胡作玄. 近代数学史[M]. 济南：山东教育出版社，2006.[4] 钱宝琮. 中国数学史[M]. 北京：科学出版社，1964.[5] 吴文俊. 中国数学史大系·第三卷[M]. 北京：北京师范大学出版社，1998.[6] 郭书春. 古代世界数学泰斗刘徽[M]. 济南：山东科学技术出版社，1992.[7] D. E. Smith, History of Mathematics[M], New York: Ginn and Company, 1925.“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
数学发展史中的几次重大思想方法的突破图文稿
数学发展史中的几次重大思想方法的突破集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-1. 承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放古希腊有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。
他们认为“数”是万物的本源，是数学严密性和次序性的唯一依据，是在宇宙体系里控制着自然的永恒关系，数是世界的准则和关系，是决定一切事物的，“数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。
因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。
他们所说的数是指整数。
分数的出现，使“数”不那样完整了。
但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。
但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。
万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。
无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条，打破了所谓给定任何两个线段，必定能找到第三个线段使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
这样，原先建筑在可公度量上的比例和相似性的理论基础就出问题了。
这是数学史上的第一次危机。
2．2 微积分的产生是第二次思想解放第二次数学危机源于极限概念的提出。
作为极限概念确立的伟大成果的微积分是不能不讲的。
微积分的问题，实际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四道屏障，这就是他提出的四个有名的悖论。
二分法悖论、阿基里斯悖论、箭的悖论、操场悖论。
牛顿在发明微积分的时候，牛顿合理地设想：Δt越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。
这一新的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。
大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。
但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。
贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。
实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。
关于“无穷大”之有理数、无理数,无限循环小数、无限不循环小数等概念的逻辑关系
关于“无穷大”之有理数、无理数，无限循环小数、无限不循环小数等概念的逻辑关系1 万物皆数：有理数的前身。
毕达哥拉斯学派：任何两个量都是可公度的。
推出：任何数都可以表示成两个整数之比。
这与其叫做“数”的定义，不如叫做“数”的性质。
当然这个性质是经验的产物，并不是逐一验证的先天结论，所以，有可能是不正确的。
2 √2：无理数的发现√2这个数，它不满足上述定义。
所以，“数”的概念必须要扩大，以包含这类数。
此时把后发现的这类不满足上述定义的、“不能合理度量”的数定义为「无理数」；先前那类数定义为「有理数」。
定义的规则是：能否表示成两个整数之比。
至此，有理数、无理数的定义完成。
数字的定义是一种人为的划分:具有某些特征的那些被分组在一起。
所以某一个数不叫自然数，而是按照一定的原理归类为某一个数。
3 有理数有理数的特点:必须表示为两个整数的比值，即必须用分量数的形式表示。
至此，有理数、无理数的定义与“分数”这一概念相关，与“小数”的概念无关。
4 小数数的概念是人为划分：形式上，带分子分母的表达形式为“分数”、带小数点的表达形式即为“小数”。
这与“有理数”、“无理数”的划分是两个不同的角度。
那么，一个小数到底是有理数还是无理数？原理只有一个:这个小数是否可以表示为两个整数的比值。
即能否转化为分量数形式。
5 小数与分数的转化小数最初是整数除法计算的产物，不能“整除”就得到小数形式。
进而发现，“除尽”了，就得到位数有限的小数，“除不尽”，就得到一个位数无限的小数。
两个整数相除的结果只有3种：1.整数(划分到有限小数)2.位数有限的小数3.位数无限、且循环的小数所以：{有理数}={有限小数}+{无限循环小数}6 小数的形态小数有几种形式？从数字的角度来看，可以分为有限和无限1 位数有限2 位数无限2.1 无限循环2.2无限不循环假设❶所有的有理数与无理数都可以用小数表示，假设❷无限循环小数存在，则无限不循环小数也可能存在，故有：{实数}={有理数}+{无理数}={有限小数}+{无限小数}， {无限小数}={无限循环小数}+{无限不循环小数} ， {有理数}={有限小数}+{无限不循环小数} ⇒ {无理数}={无限不循环小数}无限不循环小数并不是人们根据某一类数的特征定义的，因为无法直接验证无限位是否不循环或不循环。
史上数学三大危机简介
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。
罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。
1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
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二．万物皆数与无理数的发现
最早把数（整数）的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派。
他们很重视数，企图用数来解释一切。
宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。
他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。
这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。
在实用数学方面，它使得算术成为可能。
在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。
毕达哥拉斯学派对整数本身作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等（如图2-1）。
在毕达哥拉斯派看来，整数为宇宙提供了一个概念模型，整数以及整数的比值决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。
在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。
因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。
毕达哥拉斯还证明用三条弦发出某一个乐音，以及它的第五度音和第八度音时，这三条弦的长度之比为6:4:3。
这个伟大的发现，乃是物理世界可能存在的潜在的数学结构的第一1
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1512
22
图2-1 多角形数
个线索，鼓舞他们去寻找无处不在的世界的数值模型——对于他们来说就是整数模型。
可以想象，当他们发现毕达哥拉斯定理居然导出了一些无法进行数值计算的量，他们是多么地惊愕，。
他们发现了不可公度的长度，即不能用单位长的整倍数来度量的长度。
这样的长度的比自然也不是整数的比，因此根据希腊人的观点，那根本不是个比值，或者说它是个无理数。
毕达哥拉斯学派发现不可公度的长度是单位正方形的边与对角线，由毕达哥拉斯定理可以得出
211)(2=+=对角线。
因此，如果对角线与边的比是
n m （可以假设其中的n m ,没有公因子），我们有
222=n m ，
据此可得
222n m =。
毕达哥拉斯学派对于奇数与偶数很感兴趣，所以他们大概会观察到上面的方程表明2m 是偶数，还暗示了m 是偶数，不妨设p m 2=，但若
p m 2=
则
22242p m n ==
因此
222p n =。
这同样表明n 是偶的，这跟假设n m ,没有公因子矛盾。
这一发现带来了意味深长的后果。
传说毕达哥拉斯学派中第一个公布这一结果的人被投入海中淹死了。
它导致了数的理论与空间的理论间的分裂，一直到19世纪才得以恢复。
毕达哥拉斯学派不能接受2是一个数，但没有人能否认它是单位正方形的对角线。
结果，几何量必须与数分开处理，或者说除了有理数以外不能提其他任何数。
于是，为了用有理数来精确的讨论任意长度时，希腊的几何学家发展了一套聪明的技巧，即著名的比例理论。
习题：证明2是无理数。