§16-3 超静定梁的极限荷载解析
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结构极限荷载
题1
1.5M u
4m
P 题5
Mu
l
2m 1m
3
题2
2M u
4m
P Mu
1.5m 2m
题6
l 3
P
2P
题3
l Mul
2
2
l
Mu l
2
2
题4
q
P Mu
l 3 P Mu l 3
P
题7
2P P l 3
Mu 常数 2a P
l 3
题8
P
aa 2P
Mu 常数
2a
2M u 10m
Mu
aa
6m
极限荷载习题45分钟
计算极限荷载q u
s
卸载
O
理想弹塑性材料
• 屈服弯矩 •极限弯矩 •塑性铰 •破坏机构
§12.3 单跨梁的极限荷载
• 静力法——平衡条件
Pu l 4
Mu 2
Mu
l 2
Mu
Pu
6M u l
• 机动法——虚功原理
Pu2lMuMu2
P
l 2
Pl 4
Mu
P
Mu
2
Pu
6M u l
Mu
Mu Mu
Mu
§12.4 有关极限荷载的条件与定理
q
A
Mu
B
l
A、B截面上侧必须出现塑性铰
Mu A l
ql 6
Mu A
ql 6x
q BMu ql 3
qx l
Mx Mu
Qx 0
A、B之间剪力为零处,必须出现 一个塑性铰
Y0 Qxq2l2xq6l0
x l 3
M A0M uM uq 2l2x2 3 x0
超静定结构的受力分析及特性
超静定结构的受力分析及特性一、超静定结构的特征及超静定次数超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。
结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为结构的超静定次数。
通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。
即去除结构的全部多余约束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。
去除约束的方法有以下几种：(一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。
(二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。
(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束;切断一个复铰(连接n根杆件的铰)，相当于去除2(n—1)个约束。
(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束;将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。
去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。
去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。
再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。
二、力法的基本原理(一)力法基本结构和基本体系去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力Xi (i=1、2、…、n)，Xi 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。
去除多余约束后的结构称为力法基本结构。
力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。
选取力法基本结构应注意下面两点：1.基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。
有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。
2.选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。
结构力学结构的极限荷载
P
C
B
M u 5Pl / 32 Pl / 4
将P 代入，得
A
5Pl / 32
P
C
B
5 16 M u M u l Pl / 4 32 3l
P 2M u / 3l Pu P P 6 M u / l
P l / 4
逐渐加载法（增量法）
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。利用极限状态的 Pu 平衡可直接求出极限荷载。 Mu A B 1 l C Mu MA 0 RB ( Pu M u ) l 2 2 RB P l Pu l M u A MC 0 M u RB B 2 4 2 C
Ms s M A ydA A ydAe A s ydA p [3 ( )2 ] 2 Ms s M ——弯矩与曲率关系(非线性关系) M [3 ( )2 ] 或 s 3 2 2 Ms
e p
塑性极限状态： 截面上各点应力均达到屈服 s
§9-4
单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。 A 截面先出现塑性铰，这时 M A 3Pl / 16 M u
A
P
C
B
P 16 M u / 3l
再增加荷载 l/2
3Pl / 16
A
l/2
M C 5Pl / 32 Pl / 4
令 MC Mu
只能出现一个塑性铰，所以
9M u Pu l
2 Pl 9
讨论： M C Pl / 9 1 Pl Mu Mu 9 Mu
M D 2 Pl / 9 1 Pl Mu 4M u 18 M u
11 结构力学—— 结构的极限荷载
MC
哈工大 土木工程学院
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17
结构的塑性分析和极限荷载
A B C FP D
破坏机构实现的条件：
（1）B、C 点出现塑性铰 则：
M C Mu
M A Mu
M B Mu
3
A
Mu
Mu
Mu FP B
Mu
D
9Mu F l
P1
Mu C Mu
Mu
M A 3Mu
哈工大 土木工程学院
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结构的塑性分析和极限荷载
限弯矩。
80 mm
例题：已知材料的屈服极限σs =240MPa，求图示截面的极 解:
A 0.0036 2 m
g
A1 A2 A / 2 0.0018 2 m
A1 形心距离下端0.045m A2 形心距离上端0.01167m A1与A2的形心距离为0.0633m
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结构的塑性分析和极限荷载
s
y 弹性阶段 结束的标志是最外纤维某 处应力达到屈服极限应力σs ，此时的弯 矩称屈服弯矩 Ms。 s 2 bh M s dA. y s W s W 弹性抗弯截面系数 6
弹塑性阶段 截面上既有塑性区又 有弹性区（弹性核 y0）。随弯矩 增大，弹性核逐渐减小。
Mu
FP u
6Mu l
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结构的塑性分析和极限荷载
q
例题：试求图示结构的极限荷载 qu 解： 由梁的弯矩图可 A 知：第一个塑性 铰必出现在固定 支座处； 1 2 ql 8 首先求当出现第一 个塑性铰时支座B 的 约束反力FRB
结构力学专题十六(单跨梁极限荷载计算)
A、B、C中的两个
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
共有三种可能的破坏机构
Fpu
4 l
Mu
F1
5 l
Mu
F2
4 l
Mu
2.用试算法求解
F3
9 l
Mu
作业：
16—3、 16—4。
补：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
A
C
B
3m
1m
(2)平衡弯矩法
Mmax 1.5FPu M u
FPu
2 3
Mu
2F
F
2m
2m
1m
小结： 静定梁极限荷载计算特点：
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破 坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。
塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比 的绝对值最大的截面。
求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于 极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。
(1)可破坏荷载 Fp
对任一破坏机构，由平衡条件求出的荷载称为可破坏 荷载；
(2)可接受荷载 Fp
同时满足屈服条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载；
(3)极限荷载 Fpu
同时满足三个条件的荷载称为极限荷载，即极限荷载 既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
4、一般定理
（1）基本定理（预备定理）
可破坏荷载恒不小于可接受荷载 Fp Fp
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁 例2：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。 (1)机动法
2F
F
2m
2m
1m
塑性铰出现在支座处
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
共有三种可能的破坏机构
Fpu
4 l
Mu
F1
5 l
Mu
F2
4 l
Mu
2.用试算法求解
F3
9 l
Mu
作业：
16—3、 16—4。
补：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
A
C
B
3m
1m
(2)平衡弯矩法
Mmax 1.5FPu M u
FPu
2 3
Mu
2F
F
2m
2m
1m
小结： 静定梁极限荷载计算特点：
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破 坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。
塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比 的绝对值最大的截面。
求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于 极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。
(1)可破坏荷载 Fp
对任一破坏机构，由平衡条件求出的荷载称为可破坏 荷载；
(2)可接受荷载 Fp
同时满足屈服条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载；
(3)极限荷载 Fpu
同时满足三个条件的荷载称为极限荷载，即极限荷载 既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
4、一般定理
（1）基本定理（预备定理）
可破坏荷载恒不小于可接受荷载 Fp Fp
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁 例2：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。 (1)机动法
2F
F
2m
2m
1m
塑性铰出现在支座处
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Mu W
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
结构力学 极限荷载讲解
q
h
ql2/8
b
应 力
s
s
s
应 变
s
塑性区
三、基本假设
1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。
3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。
y
卸载时有残余变形
第15章
15.2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构
一、屈服弯矩与极限弯矩 1、屈服弯矩（Ms): 截面最外侧纤维的应力达到流动极限时对应的弯矩。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第15章
一、弹性分析
梁和刚架的极限荷载
15.1 概述
材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许 用应力为依据确定截面或进行验算的方法。 q
A s e p
A
B b h
l
1、设计：
ql2/8
o
s———流动极限（屈服极限） e———弹性极限 p———比例极限
ql 2 12 ql 2 12
ql 2 24
q u1
Mu
q u1 l Mu 12
q u1 l 2 M u 24 2
2
Mu
q u1 l 2 Mu 12
（1）弹性阶段
qs
qs l 2 12 qs l 2 12
qs l 2 24
（3）梁两端出现塑性铰
qu 2 q u1
（2）弹性阶段末
Mu
可得： qu 2 4Mu l2
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 p 1.1 p
解：
2a
a
h
ql2/8
b
应 力
s
s
s
应 变
s
塑性区
三、基本假设
1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。
3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。
y
卸载时有残余变形
第15章
15.2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构
一、屈服弯矩与极限弯矩 1、屈服弯矩（Ms): 截面最外侧纤维的应力达到流动极限时对应的弯矩。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第15章
一、弹性分析
梁和刚架的极限荷载
15.1 概述
材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许 用应力为依据确定截面或进行验算的方法。 q
A s e p
A
B b h
l
1、设计：
ql2/8
o
s———流动极限（屈服极限） e———弹性极限 p———比例极限
ql 2 12 ql 2 12
ql 2 24
q u1
Mu
q u1 l Mu 12
q u1 l 2 M u 24 2
2
Mu
q u1 l 2 Mu 12
（1）弹性阶段
qs
qs l 2 12 qs l 2 12
qs l 2 24
（3）梁两端出现塑性铰
qu 2 q u1
（2）弹性阶段末
Mu
可得： qu 2 4Mu l2
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 p 1.1 p
解：
2a
a
结构的极限荷载和例题讲解
简化计算： 假设材料为理想弹塑性材料，其应力～应变关系下图所示。
§12-2 极限弯矩和塑性铰 破坏机构 静定梁的计算
一、弹塑性阶段工作情况
理想弹塑性材料T形截面梁处于纯弯曲状态时
弹性状态：
图b：截面处于弹性阶段，σ<σs （屈服极限） 图c：截面最外边缘处σ＝σs （达到屈服极限） 屈服弯矩（弹性极限弯矩）MS = Wσs（W：弯曲截面系数） 图d：截面处于弹塑性阶段。 靠外部分形成塑性区，其应力为常数，σ＝σs ， 靠内部分仍为弹性区，称弹性核，其应力直线分布 图e：截面全部达到塑性——极限情形， 这时的弯矩是该截面所能承受的最大弯矩 ——极限弯矩，以Mu 表示。
等截面超静定梁（图a） （各截面Mu相同） 弹性——弹塑性阶段——极限状态过程:
（1）弹性阶段弯矩图：P≤Ps （2首）先弹在塑A性端阶形段成M并图扩：大荷，载然超后过CP截s，面塑也性形区成
塑性性铰区。。A端首先达到Mu并出现第一个塑
（3）极限状态M图：荷载再增加，A端弯矩 增量为零，当荷载增加到使跨中截面的弯矩达 到Mu时，在该截面形成第二个塑性铰，于是梁 即变为机构，而梁的承载力即达到极限值。此 时的荷载称为极限荷载Pu——极限状态（e）。
破坏机构——极限状态： 结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时 ——结构丧失承载能力
三、静定梁的计算
静定梁由于没有多余联系，因此，出现一个塑性铰时，即 成为破坏机构。
对于等截面梁，在弯矩绝对值最大截面处达到极限弯矩， 该截面形成塑性铰。
由塑性铰处的弯矩等于极限弯矩和平衡条件，就可求出静 定梁的极限荷载。
结构的极限荷载和例题 讲解
§12－1 概述
结构设计方法：
1、容许应力法（弹性分析法）：
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（机动法后面以简例说明）
3.超静定结构极限荷载计算的特点 （1）先判断出超静定梁的破坏机构，直接画出极限弯矩图， 利用机构的平衡条件求FPu，不必考虑弹塑性变形过程。
（2）只需考虑平衡条件，不需考虑变形协调条件。因而计算
比弹性计算简单。 （3）超静定结构极限荷载不受温变、支座移动等因素的影响。
（按最终的破坏机构计算，温变、支座移动等因素不会产生附加内力。）
2）列虚功方程
虚位移方向与荷载一致 MU 的方向按正向规定
FPu (Mu1 M u 2 ) 0
6 Mu FPu l
5.连续梁的极限荷载 （加载原则：所有荷载按同一比例增加） （1）连续梁破坏机构的可能形式
—— 破坏机构为某单跨形成机构
FP1
Mu
FP2
可能的破坏机构1
由弯矩图可得出这个破坏机构 的实现条件为： M 3M u u 由虚功方程可得极限荷载为： 6 3 FPu M u M u 0 l l
A
B
FP
Mu Δ
2θ
C
3 l
3Mu
Mu
C
Mu
A
B
D
FPu
9M u l
（2）设塑性铰出现在A、D处 对应的破坏机构及弯矩图 如图所示： 由弯矩图几何求解： 1 ' M B (M u Mu ) 2
l/2 l/2
ql 2 8
画出各跨单独破 坏时的极限弯矩 图。寻找平衡关 系求出相应的破 坏荷载。l0.75l 0.75l
9ql 2 16
2.4Mu
ql 2 4
1.2Mu
1.2Mu
Mu
Mu
2Mu
ql 2 4
1.2Mu
ql 2 8
1.2Mu
9ql 2 16
2.4Mu
Mu
Mu
2Mu
第一跨单独破坏时： 第二跨单独破坏时： 第三跨单独破坏时：
（4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则： ① 跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布 范围内剪力为零处。 ② 若梁上荷载均向下作用，负弯矩塑性铰只可能出现在固 定端处。
4.单跨超静定梁的极限荷载求解（等截面单跨梁有唯一的破坏机构） [例1]求单跨梁的极限荷载。 解：方法一: 平衡法 1）判定破坏机构， 作极限弯矩图。 2）根据极限弯矩图, 由平衡条件列方程。 C处：
1.2Mu θ M Δ u
θ
1.2Mu
1.2Mu
3ql 3ql 3l 1.2M u 2.4M u 2M u 2 2 2 4 6.4M u 7.6Mu 8 Mu q3 2 6.756 2 破坏荷载为： qu 2 9 l l l （第一跨）
Δ 2Mu
θ
2.4Mu
（注意用到区段叠加法作M图的特点）
FP
l/2 MU l/2
FPu C
FPul/4 MU
A
B
FPu l 1 Mu Mu 4 2
6 Mu FPu l
方法二: 机动法
1）作机构的虚位移图 设跨中位移为 ，则
Mu
A
θ1
Mu
FPu Mu C
θ2
B
2 4 1 , 2 l l
FPS <FP<FPu C
A
B
（3）继续加载至C达到Mu时， 第二个塑性铰形成， 结构变成机构而破坏。
因A端已成塑性铰， 故弯矩MU不再增大
此时的荷载称为极限荷载
MU
FP=FPu
C
MU
（极限弯矩图）
A
B
2.超静定梁极限荷载的求解方法
（同样有静力法和机动法）
平衡法步骤：
（1）先判断出超静定梁的破坏机构，直接画出极限弯矩图； （2）利用机构的平衡条件求FPu 。
第16章 结构的塑性分析与极限荷载
§16-1 概述
§16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 §16-3 超静定梁的极限荷载
▲ 回顾静定梁的极限荷载Fpu 平衡法求解步骤 （1）作M图 （2）由M图判定，弯矩最大处 [例1] 简支梁承受集中荷载， 试求其极限荷载FPu。
出现塑性铰，其弯矩为MU
(静定梁出现一个塑性铰即成为机构)
FP1
Mu
FP2
可能的破坏机构2
FP1
Mu
FP2
Mu 不可能出现的破坏形式
（2）连续梁极限荷载计算 —— 逐跨计算，比较最小者为FPU [例1] 图示各跨等截面连续梁，第一、二跨正极限弯矩为Mu， 第三跨正极限弯矩为2Mu，各跨负极限弯矩为正极限弯 矩的1.2倍，求qu 。 q 1.5ql ql 解：平衡法
q
1.5ql
0.75l 0.75l
l
画出各跨单独破坏时的虚位移图。 由虚功方程求出相应的破坏荷载。 1）第一跨破坏： θ Mu Δ ql θ q
1.5ql
1.2Mu
l 6.4 ql ql 1.2Mu Mu 2 q1 2 Mu 2 l
2）第二跨破坏
ql
q
1.5ql
ql ql l 17.6 1.2Mu 1.2Mu Mu 2 q2 2 Mu 2 2 2 l 3）第三跨破坏 q ql 1.5ql θ
结 束
（第二版）作业: 16—3、4、5、9
[例2]求变截面梁的极限荷载。 解： 设AB段的极限弯矩为Mu’
BC段的极限弯矩为Mu 。 显然，塑性铰出现的位置 与上述两个极限弯矩的比值 及B截面的位置有关。
A
l/3 Mu
B
l/3 D
FP C
l/3
（1）设塑性铰出现在B、D处 对应的破坏机构及弯矩图 如图所示：
破坏荷载为：
（第一跨）
q1l 2 M u 0.6M u 4
6.4M u q1 l2
17.6M u q2l 2 M u 1.2M u q2 8 l2 9q3l 2 6.76M u 2M u 1.8M u q3 16 l2
6.4M u qu l2
ql l/2 解：机动法 l/2
§16-3 超静定梁的极限荷载
1.超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点 超静定梁由于有多余的约束， 变成机构需出现多个塑性铰。
以简例说明加载至极限状态的过程
FP
l/2
6 FP l 32
l/2
FP
C B
5 FP l 32
（1）弹性阶段弯矩如图所示。 A 固端处弯矩最大。
MU
（2）加载至A端达到Mu时， 第一个塑性铰形成。
（3）由静力平衡条件求FPu
A l/2
FP
●
B l/2
C
解：
FPu 4M u / l
FP l MC Mu 4
MC
FP l 4
[例2] 简支梁承受均布荷载，试求其极限荷载FPu .
解：
A q
●
2
ql MC Mu 8
l/2
C
B l/2
qu 8Mu / l
2
ql 2 MC 8
3.超静定结构极限荷载计算的特点 （1）先判断出超静定梁的破坏机构，直接画出极限弯矩图， 利用机构的平衡条件求FPu，不必考虑弹塑性变形过程。
（2）只需考虑平衡条件，不需考虑变形协调条件。因而计算
比弹性计算简单。 （3）超静定结构极限荷载不受温变、支座移动等因素的影响。
（按最终的破坏机构计算，温变、支座移动等因素不会产生附加内力。）
2）列虚功方程
虚位移方向与荷载一致 MU 的方向按正向规定
FPu (Mu1 M u 2 ) 0
6 Mu FPu l
5.连续梁的极限荷载 （加载原则：所有荷载按同一比例增加） （1）连续梁破坏机构的可能形式
—— 破坏机构为某单跨形成机构
FP1
Mu
FP2
可能的破坏机构1
由弯矩图可得出这个破坏机构 的实现条件为： M 3M u u 由虚功方程可得极限荷载为： 6 3 FPu M u M u 0 l l
A
B
FP
Mu Δ
2θ
C
3 l
3Mu
Mu
C
Mu
A
B
D
FPu
9M u l
（2）设塑性铰出现在A、D处 对应的破坏机构及弯矩图 如图所示： 由弯矩图几何求解： 1 ' M B (M u Mu ) 2
l/2 l/2
ql 2 8
画出各跨单独破 坏时的极限弯矩 图。寻找平衡关 系求出相应的破 坏荷载。l0.75l 0.75l
9ql 2 16
2.4Mu
ql 2 4
1.2Mu
1.2Mu
Mu
Mu
2Mu
ql 2 4
1.2Mu
ql 2 8
1.2Mu
9ql 2 16
2.4Mu
Mu
Mu
2Mu
第一跨单独破坏时： 第二跨单独破坏时： 第三跨单独破坏时：
（4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则： ① 跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布 范围内剪力为零处。 ② 若梁上荷载均向下作用，负弯矩塑性铰只可能出现在固 定端处。
4.单跨超静定梁的极限荷载求解（等截面单跨梁有唯一的破坏机构） [例1]求单跨梁的极限荷载。 解：方法一: 平衡法 1）判定破坏机构， 作极限弯矩图。 2）根据极限弯矩图, 由平衡条件列方程。 C处：
1.2Mu θ M Δ u
θ
1.2Mu
1.2Mu
3ql 3ql 3l 1.2M u 2.4M u 2M u 2 2 2 4 6.4M u 7.6Mu 8 Mu q3 2 6.756 2 破坏荷载为： qu 2 9 l l l （第一跨）
Δ 2Mu
θ
2.4Mu
（注意用到区段叠加法作M图的特点）
FP
l/2 MU l/2
FPu C
FPul/4 MU
A
B
FPu l 1 Mu Mu 4 2
6 Mu FPu l
方法二: 机动法
1）作机构的虚位移图 设跨中位移为 ，则
Mu
A
θ1
Mu
FPu Mu C
θ2
B
2 4 1 , 2 l l
FPS <FP<FPu C
A
B
（3）继续加载至C达到Mu时， 第二个塑性铰形成， 结构变成机构而破坏。
因A端已成塑性铰， 故弯矩MU不再增大
此时的荷载称为极限荷载
MU
FP=FPu
C
MU
（极限弯矩图）
A
B
2.超静定梁极限荷载的求解方法
（同样有静力法和机动法）
平衡法步骤：
（1）先判断出超静定梁的破坏机构，直接画出极限弯矩图； （2）利用机构的平衡条件求FPu 。
第16章 结构的塑性分析与极限荷载
§16-1 概述
§16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 §16-3 超静定梁的极限荷载
▲ 回顾静定梁的极限荷载Fpu 平衡法求解步骤 （1）作M图 （2）由M图判定，弯矩最大处 [例1] 简支梁承受集中荷载， 试求其极限荷载FPu。
出现塑性铰，其弯矩为MU
(静定梁出现一个塑性铰即成为机构)
FP1
Mu
FP2
可能的破坏机构2
FP1
Mu
FP2
Mu 不可能出现的破坏形式
（2）连续梁极限荷载计算 —— 逐跨计算，比较最小者为FPU [例1] 图示各跨等截面连续梁，第一、二跨正极限弯矩为Mu， 第三跨正极限弯矩为2Mu，各跨负极限弯矩为正极限弯 矩的1.2倍，求qu 。 q 1.5ql ql 解：平衡法
q
1.5ql
0.75l 0.75l
l
画出各跨单独破坏时的虚位移图。 由虚功方程求出相应的破坏荷载。 1）第一跨破坏： θ Mu Δ ql θ q
1.5ql
1.2Mu
l 6.4 ql ql 1.2Mu Mu 2 q1 2 Mu 2 l
2）第二跨破坏
ql
q
1.5ql
ql ql l 17.6 1.2Mu 1.2Mu Mu 2 q2 2 Mu 2 2 2 l 3）第三跨破坏 q ql 1.5ql θ
结 束
（第二版）作业: 16—3、4、5、9
[例2]求变截面梁的极限荷载。 解： 设AB段的极限弯矩为Mu’
BC段的极限弯矩为Mu 。 显然，塑性铰出现的位置 与上述两个极限弯矩的比值 及B截面的位置有关。
A
l/3 Mu
B
l/3 D
FP C
l/3
（1）设塑性铰出现在B、D处 对应的破坏机构及弯矩图 如图所示：
破坏荷载为：
（第一跨）
q1l 2 M u 0.6M u 4
6.4M u q1 l2
17.6M u q2l 2 M u 1.2M u q2 8 l2 9q3l 2 6.76M u 2M u 1.8M u q3 16 l2
6.4M u qu l2
ql l/2 解：机动法 l/2
§16-3 超静定梁的极限荷载
1.超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点 超静定梁由于有多余的约束， 变成机构需出现多个塑性铰。
以简例说明加载至极限状态的过程
FP
l/2
6 FP l 32
l/2
FP
C B
5 FP l 32
（1）弹性阶段弯矩如图所示。 A 固端处弯矩最大。
MU
（2）加载至A端达到Mu时， 第一个塑性铰形成。
（3）由静力平衡条件求FPu
A l/2
FP
●
B l/2
C
解：
FPu 4M u / l
FP l MC Mu 4
MC
FP l 4
[例2] 简支梁承受均布荷载，试求其极限荷载FPu .
解：
A q
●
2
ql MC Mu 8
l/2
C
B l/2
qu 8Mu / l
2
ql 2 MC 8