第12章 结构的极限荷载

虚功法（机动法）。与静力法相同，首先 判断塑性铰的位置，确定破坏机构图。然后 虚功 l/2 l/2 l 原理 We 2 qu ydx 2qu xdx qu
2 0 0
破坏机构
假设虚位移状态：
4
Wi (M u M u M u 2 ) 4M u
l 2 qu 4 M u 0 4
d [ M ( x) / M u ( x)] 0 dx
x2+4lx-2l2=0
M u0 Mu (2 6 ) 2
x ( 6 2)l 0.4495l
M
q ( 6 2)( 3 6 )l 2 2
qu
M u0 M u0 ( 27 11 6 ) 8.990 6l 2 l2
塑性阶段：FP =FPu=4Mu/l 破坏机构
利用平衡条件求该截面的弯矩
并令其等于极限弯矩，就可以求
得极限荷载。
12.3 静定梁的极限荷载
例12-1 已知变截面简支梁的极限弯矩为 Mu(x)=Mu(1+0.5x/l)，梁受全跨均布荷载 作用，求荷载集度的极限值qu。
破坏机构
梁各截面的弯矩
1 M ( x) qx (l x) 2
A1形心距下端0.045m, A2形心距上端0.01167m, A1与A2的形心距为0.0633m.
M u y (S1 S2 ) A y 0.0633 27.36 kN.m 2
20 mm
12.2.2 塑性铰的概念
12.2 极限弯矩和塑性铰
在极限状态下，截面上各点的正应力均达到了屈服极限，因此不能继续增
12.1 概述
卸载规律：塑性阶段的某一点
C卸载，相应的路径如图中平行 于AO的虚线CD所示，即卸载的
本章采用比例加载的假定：
所有的荷载均为单调增加， 不出现卸载现象；
规律与弹性阶段相同。
残余应变：当应力减至零时， 材料有残余应变，如图中OD。
在加载过程中，所有的荷载
均保持固定的比例，因而可以用 同一个参数（荷载因子）的倍数
FP1 7.5M u / l
破坏机构1 真实
l FP 2 M u M u 2 3
l 3 FP 3 2M u M u 6 2
破坏机构2
FP 2 9M u / l
破坏机构3
FP3 21M u / l
穷举法
FPu min( FPi ) FP1 7.5M u / l
从左到右依次为
1.5Mu、Mu、2Mu。
qu q3
7M u l2
例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限 弯矩为Mu ，CD跨的极限弯矩为3Mu 。 0.8P 解：先分别求出各跨独自破坏时的 q=P/a P P 可破坏荷载. A
B
C E
F
D
（1）AB跨破坏时
a

铰可以自由发生相对转动。
12.2.2 塑性铰的概念
破坏机构
12.2 极限弯矩和塑性铰
结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。
破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
12.3 静定梁的极限荷载
弹性阶段：FP<FPy =4My / l
My=Wσy=bh2σy/6，Mu=WSσy=bh2σy /4
2
a 0.8P

2a q=P/a
a P
a P
a
0.8P a M u 2 M u P 3.75M u / a
D
（2）BC跨破坏时
0.8P
q=P/a

2
充分估计结构在超越屈服极限以后的承载能力。
极限状态与极限荷载： 结构变形随荷载增加而增大。当荷载达到某一临界值时，不 再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能
力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载称为极限荷载，
计算假定：材料为理想弹塑性材料。
弹性阶段：OA段应力与应变成 正比，σ=Eε； 塑性阶段：AB段，应力达到屈 服极限σy，应变达εy=σy/E时；AB 平行于ε轴，应力σ=σy为常量而应 变ε可无限增长。
12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.1极限弯矩
中性轴与形心轴重合。 I y My W y (2) 弹塑性阶段，如图(c)、(d)、(e)所示： y
max
(1) 弹性阶段，如图(b)所示：
My I
弯矩增加到屈服弯矩My后，上边缘开始屈服； 随着M继续增大，弹性区逐渐缩小，塑性区逐渐扩大； 在这一过程中，中性轴逐渐偏离形心轴而下移；
梁所受的荷载方向都相同。
工程中的连续梁大部分都满足 这两条假定。 在各跨等截面、荷载方向相同条件下， 破坏机构只能在各跨内独立形成。 相邻跨联合破坏
12.4 超静定梁的极限荷载
例12-3 试求图示
12.4.2 连续梁的极限荷载
连续梁极限荷载(q
为荷载因子) ，各 跨截面极限弯矩
作各跨独立破坏时的弯矩图，图中的三个矩形给出 了各截面正负弯矩的界限。所作的弯矩图既不能越出这
=
12.3 静定梁的极限荷载
例：已知屈服应力为 y 23.5kN / cm , l 4m 。求极限荷载。
2
解：极限弯矩为
M u 19.646kM.m
梁中最大弯矩为
A
P
80 mm
B
M max Pl / 4
令 M max M u ，得
l/2
l/2
20 mm
4 Pu 4M u / l 19.646 19.646 kN 4
12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.1极限弯矩
(3) 极限状态，如图 (f)所示： 弯矩增加的极限状态是弹性区终于消失，上下两个塑性区 连成一片，整个截面上正应力的绝对值都达到了屈服极限。极 限状态的弯矩是截面所能承受的最大弯矩，记作Mu，称为极限
弯矩。
12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.1极限弯矩
WS 1.5 W
对于圆形截面，α=1.70；对于常用的在腹板对称面内受
弯的工字形截面，α可以统一地取为1.15。
12.2 极限弯矩和塑性铰
例：已知材料的屈服极限
y 240MPa，求图示截面的极限弯矩。
80 mm
解:
A 0.0036m 2 A1 A2 A / 2 0.0018 m2
第12章 结构的极限荷载
结构的弹性分析和设计：
12.1 概述
基本假定：第一，结构的材料服从虎克定律，应力与应变成正比； 第二，结构的变形和位移都是微小的。
弹性设计时的强度条件： max [ ] k y
y
内力计算和位移计算 都可以应用叠加原理
FP u 结构的塑性分析和设计： 塑性设计时的强度条件： FP [ FP ] ku
2
P

9 P Mu l
l M u M u 2 0 3
4 Pu M u l
12.4 超静定梁的极限荷载
12.4.2 连续梁的极限荷载 连续梁极限荷载，补充两条假定： 梁的各跨均为等截面杆（不同跨 的杆件截面可以不同）；
可能的破坏机构
单跨独立破坏
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为 M。 12.4 超静定梁的极限荷载
u
解：1.用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构： （1）A、B出现塑性铰

A
P
B
P
C
D
l l P 2 P M u 2 M u 3 0 2 3 3 5 P Mu l 2l / 3
也可列虚功方程
A
Pu

B
C Mu l Pu M u 2 0 Pu/2 2 2 4 Pu 4M u / l 19.646 19.646 kN 本例中，截面上有剪力，剪力 4 会使极限弯矩值降低，但一般
影响较小，可略去不计。
12.4 超静定梁的极限荷载
极限弯矩
设极限状态截面受拉区和受压区面积分别为A1和A2，由平衡条件可知
y A1 y A2 0
面的等面积轴，可得极限弯矩：
A1 A2 A / 2
在极限状态下，截面的受拉区面积和受压区面积相等，中性轴重合于截
M u y (S1 S2 ) yWs
S1和S2分别为受拉区面积A1和受压区面积A2对等面积轴的静矩； WS称为截面的塑性抵抗矩；
12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.1极限弯矩 截面的形式系数
M u WS My W
反映截面在弹性阶段之后抵抗更大弯矩的潜力 对于宽度和高度各为b和h的矩形截面，
bh3 W 12 h 1 2 bh 2 6
bh h 1 2 WS 2 ( ) bh 2 4 4
矩形截面的极限弯矩 为屈服弯矩的1.5倍
塑性区从
跨中向两端扩
展，从上、下 边缘向中性轴
扩展，但上、
下两个塑性区 弹塑性阶段：FPy <FP<FPu 尚未连成一片， 弹性区仍是连 续的。
12.3 静定梁的极限荷载
计算静定梁极限荷载的步骤： 确定塑性铰的数量。静定梁出
现1个塑性铰即形成破坏机构；
确定塑性铰的位置。静定梁的 塑性铰总是出现在M/Mu取得最大 值的截面；
12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载 梁端部的弯矩绝对值最大， 因此最先达到屈服值My。
qy l 2 12 My
qy 12M y l2
16 M u qu l 2 q Mu Mu u 2 l 8
矩形截面α=1.5，则极限 qu 4 M u 4 荷载为屈服荷载的2倍， qy 3M y 3