梁的极限荷载

梁的极限荷载梁在横向力作用下，除了产生弯矩外，通常还产生剪力。

一般来说，剪力对梁的极限荷载影响很小，可忽略不计。

故，考虑梁的极限荷载前面的分析结果仍然有效。

一、静定梁的极限荷载图（a ）图（b ）图（c ）L/2 L/2图示矩形等截面简支梁，跨中受由零逐渐增加的集中荷载P 作用。

在加载初期，梁的各截面均处于弹性阶段，随着荷载的增加，跨中截面的最外侧纤维先达到屈服极限σy ，该截面的弯矩达到M y ，弹性阶段结束。

此时的荷载称为弹性极限荷载P y 。

由静力平衡条件可得：4LP M y y = ，于是，L M P yy 4=当荷载继续增加时，中间截面的塑性范围逐渐加大，最后达到极限弯矩M u ，形成塑性铰而使结构成为机构。

此时，位移可任意增大，而承载力却不能增大，即，荷载达到极限P u 而使结构处于极限状态。

由静力平衡条件，4L P M u u = ，于是，LM P u u 4= 如图（b ）所示。

极限荷载P u 与弹性极限荷载（屈服极限）P y 的比值：5.1===αyu y u M M P P二、超静定梁的极限荷载超静定梁有多余约束，故在出现多个塑性铰后才丧失承载力。

例1．图示两端固定的等截面梁AB ，其正、负弯矩的极限值都是M u ，均布荷载q 逐渐增加。

求极限荷载q u ，并分析荷载q 与跨中截面C 的竖向位移ΔCV 之间的关系。

q图（a ） L/2 L/2①当梁处于弹性状态时的弯矩图如下qL 2/12 qL 2/12图（b ）qL 2/24②当q 逐渐增大时，A 、B 两处的弯矩先同时达到极限M u ，此时，A 、B 、C 三处的弯矩关系仍然保持。

M u M u图（c ）M u /2③当q 逐渐增大至q 1时，A 、B 两处的弯矩同时达到极限M u ，A 、B 截面已成为塑性铰， M u 不变，梁已经变为简支。

此时刻梁的受力认为是两端作用M u ，承受均布荷载q 1 的简支梁，如下图。

M u M uq 1L/8图（d ）由于②、③两个弯矩图是一致的，故，中点的弯矩为821L q u M -=2u M ， 从而得：2112L M q u = 由于此时刻的梁已可看作简支梁，故，求中点C 的竖向位移，可作如下的M 图图（e ）图（d ）和图（e ）图乘就是要求的ΔCVΔCV =24212485223321⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯L L M L L M EI u u =EI L M u 322 ④当荷载继续增加时，C 截面的弯矩不断增大，直至达到M u ，设此时的荷载为q 2 。

梁A 、B 、C 三截面均已是塑性铰，梁变为机构。

q 2=q uM u M u图（f ）M u由平衡条件，中点的弯矩为822L q u M -=u M 从而得：2216L M q u = 图（f ）与图（e ）图乘得ΔCV ΔCV =28248522321⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯⨯⨯L L M L L M EI u u =EI L M u 122 q16(M u /L 2 ) 截面C 出现塑性铰12 截面A 、B 出现塑性铰ΔCV0.031 0.083 (M u L 2/EI)q 与ΔCV 之间的非线性关系例2．图示一端固定、一端铰支的等截面梁AB ，其正、负弯矩的极限值都是M u ，均布荷载q 逐渐增加。

求极限荷载q u 。

L解：①当荷载q ≤q y 时，梁处于弹性阶段，作出如下的弯矩图，并求得最大正弯矩发生在离B 端83L 处，M max =22.142qL②随着荷载的增加，A 截面首先出现塑性铰。

若荷载的继续增加，梁变为简支梁。

增加的荷载由简支梁承担。

③由于增加的荷载由简支梁承担，最大正弯矩的位置将发生变化。

设第二个塑性铰的位置距离B 端x 处A由平衡条件可得：M x =M u =2212x q x L M x L q u u u -- ----------------------（1） 由于塑性铰首先在最大弯矩处发生，故，由=dx dM x x q L M L q u u u --2=0 得：()x L L M q u u 22-= -------------------（2） 把（2）式代入（1）式，M u =2212x q x L M x L q u u u --=()222212x x L L M x L M x L x M u u u ---- 整理得：0222=-+L Lx x解得：()L L x 4142.012=-=把x 代入（2）式得：266.11L M q u u =1）只要预先判定超静定梁的破坏机构，就可根据该破坏机构应用静力平衡条件确定极限荷载，而不必考虑梁的弹塑性变形的发展过程。

----------称为极限平衡法（2）温度变化、支座移动等因素对超静定梁的极限荷载没有影响。

因为超静定梁变为机构之前，先变为静定结构。

例3．求图示变截面梁的极限荷载P u 。

已知，AB 段截面的极限弯矩为M u ′，BC 段截面的极限弯矩为M u 。

a b c解：对变截面梁来讲，由于AB 、BC 段截面的极限弯矩不同，塑性铰不仅可能出现在A 、D 处，也可能出现在变截面B 处。

M A①截面B 、D 出现塑性铰破坏机构如下图。

设D 处的竖向位移为ΔD机构图 弯矩图B 和D 处的弯矩都是M u ，截面A 的弯矩M A 易用比例关系求得：u A M b a M ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12 条件是≥'uM u M b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12，否则A 截面产发生塑性铰，上述机构不成立。

由虚功原理：D u B u D u M M P θθ⋅+⋅=∆⋅其中，b D B ∆=θ ，cb D D D ∆+∆=θ 代入上式得： u u M bc c b P ⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=2②截面A 和D 处出现塑性铰画出机构图和弯矩图如下M ′u机构图 弯矩图由弯矩图易由比例关系算得截面B 的弯矩M B =ba aM Mb u u +-' 条件是：M u ≥M B =ba aM Mb u u +-' ，或u u M b b a M ⋅+≤'2 由虚功原理：D u A uD u M M P θθ⋅+⋅'=∆⋅ 其中，b a D A +∆=θ ，cb a D D D ∆++∆=θ 代入上式得： u u u Mc b a b a M P ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++++'=11例4．如图所示等截面梁的极限弯矩M u ，荷载P 由零逐渐增加到极限荷载P u ，然后再由P u 逐渐卸载到零，试求极限荷载P u 及残余弯矩图。

PA B CL/3 2L/3解：1.作极限弯矩图，求极限荷载M u M uP u图（a ）M u由平衡条件：u u u M M L P =-⋅332 得：P u =LM u 92．作卸载时的弯矩图荷载由P u 逐渐卸载到零时，相当于在B 点向上施加静力荷载P u ，并且，卸载时为线弹性，故，可按线弹性理论计算弯矩图。

8 P u L/ 81A B CP u 6P u L/ 8112 P u L/ 81M A =22L Pab ，M B =22L b Pa ，a=L/3，b=2L/3 。

把P u =L M u 9代入得： 8M u /9图（b ）6M u /912M u /93．残余弯矩图图（a ）与图（b ）叠加就是残余弯矩图M u /3M u /3例5．多跨连续梁的破坏机构有其独特性。

假设连续梁各跨截面可不相同，但每跨度内是等截面，并假设各跨梁受到的荷载方向相同，按比例增加。

这样，只可能在各跨独立形成破坏机构，因为当各荷载均为向下作用时，每跨内的负弯矩在跨端为最大，负弯矩产生的塑性铰也只能在跨端出现，从而形成各跨独立的破坏机构。

因此，计算多跨连续梁的极限荷载，只需分别求出每跨破坏时的破坏荷载，选择最小的一个便是多跨连续梁的极限荷载。

L/2 L/2 L/2 L L/2 L/2解：①弹性时的弯矩图形状②各跨的破坏机构图A③由虚功原理，第一跨：()--⋅+++⋅=∆⋅+∆⋅B u B A u A u u u M M M L q L q θθθθ22211 式中，L A 1∆=θ ，LL B 1125.0∆=∆=-θ 表示B 截面左侧转角。

代入后整理得： 2320L M q u u = ---------------------------（1） 第二跨：⎰∆⨯20222Lu x Ldx q =()-+-++++C B u C u B u M M M θθθθ 式中，-+=∆=C B Lθθ22 ，+B θ表示B 截面右侧转角；-C θ表示C 截面左侧转角。

得：216LM q u u = ---------------------------（2） 第三跨：()D C u C u u M M L q θθθ++=∆++32式中，LD C 32∆==+θθ，+C θ表示B 截面右侧转角。

得：23LM q u u = ---------------------------（3） 比较（1）、（2）、（3），取最小的一个得：23L M q u u =（2）屈服条件：u M M ≤（3）单向机构条件：结构出现塑性铰后成为机构能沿荷载方向作单向运动。