高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)圆的方程
第三节 圆的方程
[备考方向要明了]
[归纳·知识整合]
1．圆的定义
(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的要素是圆心和半径． 2．圆的方程 (1)标准方程
①两个条件：圆心(a ，b )，半径r ； ②标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)圆的一般方程
①一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0； ②方程表示圆的充要条件为：D 2＋E 2－4F >0； ③圆心坐标????－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.
[探究] 1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．只有当D 2＋E 2－4F >0时，上述方程才表示圆． 2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？ 提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：
圆的标准方程
展开配方
圆的一般方程
3．点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论
圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2?点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2?点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2 [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3) 解析：选D 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．已知方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1 D ．k <－1或k >4 解析：选D 由(2k )2＋42－4(3k ＋8)＝4(k 2－3k －4)>0，解得k <－1或k >4. 3．若点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1 5 D ．－1 5 解析：选A ∵点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， ∴(2a )2＋a 2<5，解得－1 4．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8 解析：选B ∵易得线段的中点即圆心为(1,1)，线段的端点为(0,2)，(2,0)，∴圆的半径为r ＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 5．(教材习题改编)经过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心，且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是______________． 解析：圆心为(1，－1)，所求直线的斜率为12，所以直线方程为y ＋1＝1 2(x －1)，即x － 2y －3＝0. 答案：x－2y－3＝0 [例1] (1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为______________． (2)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)法一：由题知k AB ＝2，A ，B 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )． ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 则?? ? b a －4＝－1 2，2a －b －3＝0， 解得????? a ＝2， b ＝1. ∴C (2,1)， r ＝|CA |＝ (5－2)2＋(2－1)2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则???? ? 2a －b －3＝0， (5－a )2 ＋(2－b )2 ＝r 2 ，(3－a )2 ＋(－2－b )2 ＝r 2 ， 解得????? a ＝2， b ＝1， r ＝10， 故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法三：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则??? ?? 25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0， 9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×????－D 2＋E 2 －3＝0， 解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0. (2)根据题意可知圆心坐标为(－1,0)，圆的半径长为|－1＋0＋3| 2＝2，故所求圆C 的方 程为(x ＋1)2＋y 2＝2. [答案] (1)x 2＋y 2－4x －2y －5＝0(或(x －2)2＋(y －1)2＝10) (2)(x ＋1)2＋y 2＝2 ————— —————————————— 求圆的方程的两种方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： ①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量． ②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程. 1．求下列圆的方程： (1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,x)，B (7,10)，C (－9,2)． 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则有????? b ＝－4a ， (3－a )2 ＋(－2－b )2 ＝r 2 ，|a ＋b －1|2＝r ， 解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为 y ＋2＝x －3. 与y ＝－4x 联立可得圆心为(1，－4)， 所以半径r ＝ (1－3)2＋(－4＋2)2＝2 2. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (2)法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 则???? ? 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0， 解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 法二：由A (1,x)，B (7,10)得AB 的中点坐标为(4,x)， k AB ＝－1 3，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0. 联立????? 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得????? x ＝1，y ＝2， 即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝ (1－1)2＋(2－12)2＝10， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100. [例2] 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： (1)y x 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． [自主解答] (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2 ＋1 ＝3，解得k ＝ ±3. 所以y x 的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b | 2 ＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 本例条件不变，求点P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋x ＝0的距离的最大值和最小值． 解：∵圆心(2,0)到直线3x ＋4y ＋x ＝0的距离为d ＝|6＋12|5＝18 5 ， ∴P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋x ＝0的距离的最大值为185＋3，最小值为18 5－ 3. ————— —————————————— 与圆有关的最值问题及解题方法 (1)形如u ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题. 2．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋1 2m 2＝0所确定的圆中，最大面积是多少？ 解：由题意知，r 2＝1＋(m －1)2－4×1 2 m 24＝－m 2－2m ＋2 4， 所以当m ＝－1时，r 2max ＝34，所以S max ＝πr 2 ＝34π. [例3] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. ————— —————————————— 求轨迹方程的一般步骤 (1)建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为(x ，y )； (2)列式：列出几何等式； (3)坐标化：用坐标表示得到方程； (4)化简：化简几何等式得到的方程； (5)证明作答：除去不合题意的点，作答． 3．如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程． 解：设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得， ????? x ＝－1＋1＋2x 0 －13，y ＝2y 0 3， 则??? ?? x 0＝3x ＋1 2，y 0 ＝3y 2(y 0 ≠0)， 代入x 2＋y 2＝1，整理得，所求轨迹方程为 ????x ＋132＋y 2＝49 (y ≠0)． 1种方法——待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 3个性质——常用到的圆的三个性质 在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 创新交汇——高考中与圆有关的交汇问题 1．近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点．圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题． 2．对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题． [典例] (x·x 高考)设集合A ＝? ??? ??(x ，y )?? m 2 ≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠?，则实数m 的取值范围是________． [解析] 由题意知A ≠?，则m 2≤m 2，即m ≤0或m ≥1 2 .因为A ∩B ≠?，则有： (1)当2m ＋1<2，即m <1 2时，圆心(2,0)到直线x ＋y ＝2m ＋1的距离为d 1＝ |2－2m －1|2≤|m |，化简得 2m 2－4m ＋1≤0， 解得1－22≤m ≤1＋22， 所以1－ 22≤m ≤12 ； (2)当2m ≤2≤2m ＋1，即1 2≤m ≤1时，A ∩B ≠?恒成立； (3)当2m >2，即m >1时， 圆心(2,0)到直线x ＋y ＝2m 的距离为d 2＝|2－2m | 2≤|m |， 化简得m 2－4m ＋2≤0， 解得2－2≤m ≤2＋2， 所以1 综上可知，满足题意的m 的取值范围为????1 2，2＋2. [答案] ????1 2，2＋2 [名师点评] 1．本题有以下创新点 (1)考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，虽然两几何图形常见但不落俗套； (2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系，同时也考查了分类讨论思想． 2．解决本题的关键有以下两点 (1)弄清集合代表的几何意义； (2)结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围． 3．解决直线和圆位置关系问题要注意以下几点 (1)根据题设条件，合理选择利用代数方法还是几何方法判断其位置关系； (2)凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论． [变式训练] 1．若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.1 4 解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14? ????4a ＋b 22＝14×????422 ＝1. 当且仅当a ＝1 2，b ＝2时取等号． 2．如果点P 在平面区域???? ? 2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0， x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么 |PQ |的最小值为________． 解析：由点P 在平面区域 ???? ? 2x －y ＋2≥0， x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0 上，画出点P 所在的平面区域．由点Q 在圆x 2 ＋(y ＋2)2＝1上，画出点Q 所在的圆，如图所示． 记Q 所在曲线的圆心为点M (0，－2)，又(－1,0)为图中的阴影区域的左顶点，(－1,0)与M 的连线垂直于阴影区域的下边界．因此，|PQ |的最小值为圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离为|0－2×(－2)＋1|12＋22＝5， 此时垂足 (－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ |的最小值为5－1. 答案：5－1 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±3 解析：选B 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以|a | 5 ＝5，即a ＝±5. 2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值是( ) A ．8 B ．－4 C ．6 D ．无法确定 解析：选C 因为圆上两点A ，B 关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过圆心????－m 2，0，从而－m 2 ＋3＝0，即m ＝6. 3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8π D ．9π 解析：选B 设P (x ，y )，由题意知有，(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π. 4．(x·广州模拟)若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( ) A ．(x －5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5 D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 解析：选D 设圆心为(a,0)(a <0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝ 5，解得a ＝－5，所以，圆的方 程为(x ＋5)2＋y 2＝5. 5．实数x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( ) A ．30＋226 B ．30＋426 C ．30＋213 D ．30＋413 解析：选B (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1,1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426. 6．圆心在抛物线y 2＝2x (y >0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－x －2y －1 4＝0 B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0 D ．x 2＋y 2－x －2y ＋1 4 ＝0 解析：选D 抛物线y 2＝2x (y >0)的准线为x ＝－1 2，圆与抛物线的准线及x 轴都相切， 则圆心在直线y ＝x ＋1 2(y >0)上，与y 2＝2x (y >0)，联立可得圆心的坐标为????12，1，半径为1，则方程为????x －122＋(y －1)2＝1，化简得x 2＋y 2－x －2y ＋1 4 ＝0. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(x·开封模拟)若PQ 是圆O ：x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1,2)，则直线PQ 的方程是________． 解析：由圆的几何性质知k PQ k OM ＝－1.∵k OM ＝2， ∴k PQ ＝－12，故直线PQ 的方程为y －2＝－1 2(x －1)， 即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0 8．(x·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在x 象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是________． 解析：依题可设⊙C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b >0)，且??? ?322＋b 2 ＝1，可解得b ＝12， 所以⊙C 的标准方程为(x －1)2＋????y －1 22＝1. 答案：(x －1)2＋??? ?y －1 22＝1 9．定义：若平面点集A 中的任一个点(x 0，y 0)，总存在正实数r ，使得集合 {}(x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2 ①{}(x ，y )|x 2＋y 2 ＝1；②{}(x ，y )|x ＋y ＋2>0； ③{}(x ，y )||x ＋y |≤6； ④{}(x ，y )|0 其中是开集的是________(请写出所有符合条件的序号)． 解析：集合{ } (x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2 (不包括圆周)， 由开集的定义知，集合A 应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意． 答案：②④ 三、解答题(本大题共3小题，每小题x 分，共36分) 10．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C 的方程． 解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－1 16 ＝－6， 其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23. 又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－5 7????x －132，即5x ＋7y －50＝0上， 则? ???? y ＝－6x ＋23， 5x ＋7y －50＝0，解得圆心为(3,5)， 所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. x ．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程． 解：(1)∵直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210. ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.② 由①②解得????? a ＝－3，b ＝6，或????? a ＝5， b ＝－2. ∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. x ．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程； (2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求 PA ·PB 的取值范围． 解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线 x －3y ＝4的距离，即r ＝ |－4|1＋3 ＝2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，则|P A |，|PO |，|PB |成等比数列得， (x ＋2)2＋y 2· (x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA ·PB ＝(－2－x ，－y )· (2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)， 由于点P 在圆O 内，故????? x 2＋y 2 <4， x 2－y 2＝2， 由此得y 2<1，所以PA ·PB 的取值范围为[－2,0)． 1．一动圆与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2＋8x ＋x ＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 解析：选C 设圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，圆x 2＋y 2＋8x ＋x ＝0的圆心为O 1(－4,0)，O ′为动圆的圆心，r 为动圆的半径，则|O ′O 1|－|O ′O |＝(r ＋2)－(r ＋1)＝1，由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支 . 2．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________． 解析：过点M 的最短的弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－0 2－1 ＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案：x ＋y －1＝0 3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝2，过点A (－1,0)的直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，则直线l 的方程为________． 解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，圆心C (1,0)到直线l 的距离为|k ＋k | k 2 ＋1 ，因为直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，所以直线l 被圆所截得的弦所对的圆心角为π2，又圆C 的半径为2，所以 2cos π4＝|k ＋k |k 2＋1 ，得k 2＝13，即k ＝±3 3 ， 故直线l 的方程为y ＝33(x ＋1)或y ＝－3 3 (x ＋1)． 答案：y ＝ 33(x ＋1)或y ＝－3 3 (x ＋1) 4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 为圆上的动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大值、最小值及对应的P 点坐标． 解：若设P (x 0，y 0)，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝(x 0＋1)2＋y 02＋(x 0－1)2＋y 02＝2(x 02＋y 02)＋2， 欲求d 的最值，只需求w ＝x 20＋y 2 0的最值，即求圆C 上的点到原点距离平方的最值，故过 原点O 与圆心C 的直线与圆的两个交点P 1，P 2即为所求． 设过O ，C 两点的直线交圆C 于P 1，P 2两点， 则w min ＝(|OC |－1)2＝16＝|OP 1|2， 此时d min ＝2×16＋2＝34，P 1???? 125，165； w max ＝(|OC |＋1)2＝36＝|OP 2|2， 此时d max ＝2×36＋2＝74，P 2????185，245. 第四节 基本不等式 [备考方向要明了] [归纳·知识整合] 1．基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 取等号，即a ＝b ?a ＋b 2＝ab ②仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 取等号，即a ＋b 2＝ab ?a ＝b . 2．几个重要的不等式 a 2＋ b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )；????a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R ) 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2P (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P 42(简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y ＝x ＋1 x 在x ≥2 时的最小值，利用单调性，易知x ＝2时y min ＝5 2 . [自测·牛刀小试] 1．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 2．若函数f (x )＝x ＋1 x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 解析：选C f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1 x －2＋2， ∵x >2 ∴x －2>0 ∴f (x )≥2 (x －2)·1 x －2 ＋2＝4 当且仅当x －2＝1 x －2，即x ＝3时，“＝”成立，又f (x )在x ＝a 处取最小值，所以a ＝ 3. 3．已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0则xz y 2的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为1 8 D ．最大值为1 8 解析：选D xz y 2＝xz (x ＋2z )2＝xz x 2＋4xz ＋4z 2 ＝ 1x z ＋4z x ＋4≤18.当且仅x z ＝4z x ，即x ＝2z 时取等号． 4．函数y ＝x ＋1 x 的值域为________． 解析：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x <0时，－x >0， －x ＋1 －x ≥2 (－x )·1－x ＝2，所以x ＋1 x ≤－2. 综上，所求函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2 x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 解析：由题意知：P ，Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为x 象限中的点，则m >0，n >0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4????m 2＋4m 2≥16(当且仅当m 2＝4 m 2，即m ＝2时，取等号)．故线段PQ 长的最小值为4. 答案：4 [例1] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1， 求证：????1＋1a ??? ?1＋1 b ≥9. [自主解答] 法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋a b . ∴????1＋1a ????1＋1b ＝????2＋b a ????2＋a b ＝5＋2????b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时取“＝”． ∴????1＋1a ????1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝1 2时等号成立． 法二：????1＋1a ????1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1 ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2 ab ， ∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤? ?? ??a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝1 2时取“＝”． 于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝1 2时取“＝”． ∴???1＋1a ??? ?1＋1 b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝1 2 时等号成立． 保持例题条件不变，证明： a ＋12 ＋ b ＋12 ≤2. 证明：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1， ∴ a ＋12 ＋ b ＋12 ＝ ????a ＋12×1＋??? ?b ＋12×1 ≤a ＋12＋12＋b ＋1 2＋12＝a ＋b ＋32＝42 ＝2. 当且仅当a ＋12＝1，b ＋12＝1，即a ＝b ＝1 2时“＝”成立． ————— —————————————— 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 1．已知a >0，b >0，c >0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . 证明：∵a >0，b >0，c >0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2 c ， bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ， ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a . 以上三式相加得： 高考数学复习圆的方程专题练习（附答案）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。 一、填空题 1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0 和x轴都相切，则该圆的标准方程是________. [解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1. 又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1， 解得a=2或a=-(舍). 所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. [答案] (x-2)2+(y-1)2=1 2.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________. [解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上， 该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0， 因此-+1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1). [答案] (0,1) 3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________. [解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x 联立可求得圆心为(1，-4). 半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. [答案] (x-1)2+(y+4)2=8 4.(2019江苏常州模拟)已知实数x，y满足 x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y|的最小值为________. [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令 x=2+cos ， y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin | =|7-sin (-7-(tan =2). [答案] 7- 5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________. [解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b=时取等号. [答案] 9 6.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________. [解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1， 而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(2 2 ． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆42 2 =+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42， P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422 =++-k k 解得4 3 = k 2021年高考数学一轮复习 9.3 圆的方程 理 新人教B 版 一、选择题 1．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4 解析 AB 的中点坐标为(0，0)， |AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A 2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－2)∪? ???? 23＋∞ B.? ???? －23，0 C ．(－2，0) D.? ????－2，23 解析 方程为? ????x ＋a 22＋(y ＋a )2 ＝1－a －3a 2 4表示圆，则1－a －3a 2 4＞0，解得－2＜a ＜2 3. 答案 D 3．(xx·沈阳质量监测)设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0 ( ) A．原点在圆上B．原点在圆外 C．原点在圆内D．不确定 解析将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a， 因为0 错误! [备考方向要明了] 考什么怎么考 １.了解导数概念的实际背景． ２．理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数y＝ｃ(c为常 数)，y=x，y＝ｘ2，y=x3， y＝错误!的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导 数. 1.对于导数的几何意义，高考要求较高,主要以选择 题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题,如 2012年广东T12,辽宁T12等. 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数 函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导 数及求导法则的正确利用． ［归纳·知识整合] １.导数的概念 (1)函数y=f(x)在ｘ=x０处的导数: 称函数y＝ｆ(x）在ｘ＝x0处的瞬时变化率 错误!错误!=错误!错误!为函数y=f(x）在x＝ｘ0处的导数，记作ｆ′(x0)或y′|ｘ=ｘ ,即 f′(x0）＝＼o（lim，＼ｓ＼do４(Δｘ→０)) ＼f（Δｙ，Δｘ)＝错误!错误!. (2)导数的几何意义： 函数f(x）在点x0处的导数f′(ｘ0)的几何意义是在曲线y=f（ｘ)上点P(ｘ0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t）对时间t的导数).相应地,切线方程为y-ｙ0＝f′(x0)(x-x０). （３）函数ｆ(x）的导函数: 称函数f′（x）=错误!错误!为f(x)的导函数． ［探究] 1.f′(x)与f′(ｘ0)有何区别与联系？ 提示:f ′(x )是一个函数,f ′（x 0）是常数，f ′(x ０)是函数ｆ′（x )在x 0处的函数值. 2．曲线y =ｆ(x ）在点Ｐ0（ｘ0，y ０）处的切线与过点错误!,y ０）的切线,两种说法有区别吗？ 提示:(１)曲线ｙ=f （x ）在点P (ｘ０,ｙ0)处的切线是指P 为切点,斜率为k ＝ｆ′(x 0）的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线y ＝f (x )过点Ｐ(ｘ0，ｙ0）的切线,是指切线经过P 点.点Ｐ可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条. 3.过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y =f (ｘ)图象上一点Ｐ的切线与图象也只有公共点P 吗? 提示：不一定,它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 3．导数的运算法则 (１)[f (x ）±g (ｘ)]′＝f ′(x )±g ′(ｘ); (2)[f (x )·g (ｘ)]′＝f ′(x )ｇ（ｘ)＋f (ｘ)g ′(x )； (3)错误!′=错误!（g (x )≠0)． 4.复合函数的导数 复合函数y =ｆ(ｇ（x ))的导数和函数y ＝f (u )，u =g （x )的导数间的关系为ｙｘ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与ｕ对x 的导数的乘积． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编）f ′(ｘ）是函数f （x )＝1 3x 3+2ｘ＋1的导函数，则f ′(-１)的值为（ ) A.0 ? B.3 高一数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为 222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． 江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 圆的方程教案 教学目标：掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基 本量a 、b 、r ． 重点难点：根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a 、b 、r ． 引入新课 问题1. 圆是最完美的曲线.它是平面内___________________________________________的点的集合？ 问题2．在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？ 问题3．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？ 建构教学 1．圆的标准方程的推导过程： 2． 圆的标准方程：_________________________________________________________． 3． 点P 圆O 的位置关系的判断： 例题剖析 例1 求圆心是)32(- ，C ，且经过原点的圆的标准方程． 例2 已知隧道的截面是半径为m 4的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为m 7.2，高为m 3的货车能不能驶入这个隧道？ 思考：假设货车的最大宽度为m a 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？ 例3 （1）已知圆的直径的两个端点是)21 ( -，A ，)87( ，B ．求该圆的标准方程． （2）已知圆的直径的两个端点是)(11y x A ，，)(22y x B ，．求该圆的标准方程． 例4 （1）求过点)11(- ，A ，)11( -，B ，且圆心C 在直线02=-+y x 上的圆的标准方程． （2）求上述圆C 关于直线210x y -+=的对称的圆1C 课堂小结 圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程． 数学（理）即时反馈作业 编号：010 圆的标准方程 1、点(2,3)-关于直线1y x =+的对称点为______________ 2、直线l ：2y ax =+和(1,3),(3,1)A B 两点，当直线l 与线段AB 相交时，实数a 的取值范围是 ___________ 3、如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是____________ 4、经过点(5,2)且在x 轴的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________ 5、直线cos 10x y α++=的倾斜角的范围是______________ 6、写出满足下列条件的圆的标准方程： （1）圆心在原点，半径为6： ； （2）经过点)36( ，P ，圆心为)22(- ，C ： ； （3）经过点)22(- ，P ，圆心为)03( ，C ： ； （4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线0532=+-y x 上： ； （5）经过点)53( ，A 和)73( -，B ，且圆心在x 轴上： ． 7、在圆)0()()(2 22>=-+-r r b y a x 中，若满足 条件时，圆过原点； 满足 条件时，圆心在y 轴；满足 条件时，圆与x 轴相切； 满足 条件时，圆与两坐标轴都相切； 8、已知点)11( ，P 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是_________ 9．求以点)51( -，C 为圆心，并与y 轴相切的圆的标准方程． 10．已知点)54( -，A 和)16(- ，B ，求以线段AB 为直径的圆的标准方程． 11．已知半径为5的圆过点)34( -， P ，且圆心在直线012=+-y x 上，求圆的标准方程． 12．求过两点)40( ， A 和)64( ， B ，且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程． 13．求圆1)1()1(2 2=-++y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程 14、已知动点M 到定点)0,8(的距离等于M 到)0,2(的距离的2倍，求动点）（y x M ,中x,y 之间的等量关系，并说明M 的轨迹是什么图形。 中国书法艺术说课教案 巩固 1．圆(x ＋2)2 ＋y 2 ＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2 ＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2 ＝5 答案：A 2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则F ＝E ＝0且D ＜0是⊙C 与y 轴相切于原点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－D 2 ，0)，而D 可以大于0，故选A. 3.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8π D ．9π 解析：选B.设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2 ＝0，配方得(x －2)2＋y 2 ＝4.可知圆的面积为4π，故选B. 4．(2020年高考广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________． 解析：将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝|2－1－6|1＋1＝5 2 ，所以圆的方程 为(x －2)2＋(y ＋1)2 ＝252 . 答案：(x －2)2＋(y ＋1)2 ＝252 5．(原创题)已知圆x 2＋y 2 ＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2 ＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1) 6．已知圆x 2＋y 2 ＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解：(1)设AP 中点为M (x ，y )， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(2x －2)2＋(2y )2 ＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2 ＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |， 设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2 ， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2 ＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2 －x －y －1＝0. 练习 1．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2 ＝4 第三节 圆的方程 [备考方向要明了] [归纳·知识整合] 1．圆的定义 (1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的要素是圆心和半径． 2．圆的方程 (1)标准方程 ①两个条件：圆心(a ，b )，半径r ； ②标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)圆的一般方程 ①一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0； ②方程表示圆的充要条件为：D 2＋E 2－4F >0； ③圆心坐标????－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2. [探究] 1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．只有当D 2＋E 2－4F >0时，上述方程才表示圆． 2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？ 提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示： 圆的标准方程 展开配方 圆的一般方程 3．点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2?点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2?点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2 典型例题一 例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 343322 1=+-?+?=d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?=d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个． 显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 典型例题三 例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 124-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为： 23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C 7.5 圆的方程 ●知识梳理 1.圆的方程 （1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得 （x +2D ）2+（y +2 E ）2=4422 F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－ 2D ，－2 E ），半径r = 21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 （D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2 E ），当D 2+E 2－4 F ＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ， y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ， y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0， 仅当（ A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. ●点击双基 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－1 求函数定义域和值域方法总结 一、求函数定义域方法总结 （一）简单函数定义域的类型及方法【必会！！！】 （1）f(x)为整数型函数时，定义域为R. 例如d cx bx ax x f c bx ax x f b kx x f +++=++=+=232)(,)(,)(定义域均为R. （2）f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合. 例如-4)(x 41)( ,1)(x 1)(≠+=≠= x x f x x f （3）f(x)为二次根式（偶次根式）型函数时，定义域为使被开方数大于等于零的实数的集合. 例如0)x -2(x 2)( 0),(x )(2≥≤+=≥=或x x x f x x f （4）f(x)为对数型函数时，定义域为使真数大于零的实数集合. 例如-1)(x )1(log )( 0),(x log )(2>+=>=x x f x x f a （5）正切函数)k ,k 2(x tan Z x y ∈+≠=ππ 例如Z)k ,2 k 4(x )2tan()(∈+≠=ππ x x f （6）00没有意义. 例如)2 1(x ,)12()(0≠-=x x f （二）对于抽象函数定义域的求解 （1）若已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，则复合函数))((x g f 的定义域由不等式b x g a ≤≤)(求出的x 的范围； 例如：已知)(x f 的定义域为]5,1[，则)23(+x f 的定义域为]1,3 1[-. （2）若已知函数))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域为)(x g 在],[b a x ∈上的值域. 例如：已知)3(-x f 的定义域为]7,0[，则)(x f 的定义域为]4,3[-. 二、求函数值域方法总结 （一）常见函数的值域（结合图像）【必会！！！】 （1）一次函数)0( ≠+=k b kx y 的值域为R . （2）二次函数)0( 2≠++=a c bx ax y 的值域为： 当0>a 时，值域为}44|{2a b ac y y -≥；当0=a a a y x 且的值域为}0|{>y y . （5）对数函数)10( log ≠>=a a x y a 且的值域为R . （6）三角函数： 圆的方程经典题目 1．求满足下列条件的圆的方程 （1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围 （2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值 （1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题 思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x （1）求 x y 的最小值 （2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 高三数学一轮复习总结 高三数学一轮复习总结怎么写，以下是XX精心整理的相关内容，希望对大家有所帮助! 高三数学一轮复习总结一、复习的指导思想 近几年的高考，集中体现了“稳中求变，变中求新，新中求活，活中求能”的特点，进一步深化能力立意，重基础，出活题，考素质，考能力的命题指导思想，因此，在第一轮复习中我们坚持贯彻落实“全面、系统、扎实、灵活、创新”的总体指导思想。根据这个指导思想，第一轮重点是“三基”(基础知识、基本技能、基本方法)复习，目标是全面、扎实、系统、灵活。学生要掌握好复习课本重要例习题所蕴含的数学思想方法。在第一轮复习中，学生学习的重心要放在“三基”，千万不要脱离这个目标;其次复习要求学生跟着老师或者略超前于老师的进度(成绩好的同学应该有两条复习路线，一条是跟着老师走，另外一条是自己制定的复习计划)。最后在复习中一定要提高效率即掌握好90%以上的知识点。 二、复习的原则 1。夯实基础数学中的基本概念、定义、公式及数学中一些隐含的知识点，基本的解题思想和方法，是第一轮复习的重点。近些年来，我们都看到了高考的改革方向和力度，那就是以基础知识为主，突出能力和素质的考查。因此，复习过程要严格按照考纲要求，对需要掌握的知识进行梳理和 强化应用。 2。立足教材整合知识，夯实基础，应以课本为主，同时借助资料，要把各节知识点进行整理，各章知识点形成知识体系，充分利用图表，填空等形式，构建知识网络，形成几条线。课本是高考试题的源头，基础知识是能力提高的根本。高考试题年年有变，但考题就来源于课本的原题或变式题，没有偏题、怪题，试题注重通性通法，淡化特殊技巧，体现了对基本知识和基本概念的考查。复习中我们重视教材的基础作用和示范作用，注意挖掘课本习题的复习功能，加强知识点覆盖的同时注意知识的综合，以《考试说明》为根本，弄清高考知识点及其对基础知识和基本能力的要求，重视基本方法的训练。通过一轮复习，做到基本概念、基本题型和基本方法熟练掌握。 3.以学生为主不重视数学的阅读理解和数学语言表达的规范性，这是很多学生的不良习惯。在第一轮复习中，我们老师要严格要求学生自主养成良好的学习习惯，例如，认真仔细阅读题目，规范解题格式，主动对知识、方法进行归纳、概括、总结等，力争培养出学生会做，能得满分的良好习惯。课上不仅要听懂更重要的要理解好，所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，要把他提炼、升华成理性认识，在头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。当你 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 高中数学一轮复习基础讲解圆的方程 1．圆的定义及方程 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 [典例] (2021·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝8. (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． [解] (1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y ＝k(x －1)(k ＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由??? y ＝k x －1，y2＝4x 得k2x2－(2k2＋4)x ＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝2k2＋4k2 . 所以|AB|＝|AF|＋|BF| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2 . 由题设知4k2＋4k2 ＝8， 解得k ＝1或k ＝－1(舍去)． 因此l 的方程为y ＝x －1. (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)， 所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则? ?? y0＝－x0＋5， x0＋12＝y0－x0＋122＋16. 解得??? x0＝3，y0＝2或??? x0＝11，y0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. [方法技巧] 1．确定圆的方程必须有3个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r(或D ，E ，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)
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