2018-2019金太阳湖南省2月高三联考理科数学试卷

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金太阳高三数学试卷(理科)答案

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2018—2019学年湖南省名校高三联考考试试题(二)数学(理)试题含答案

2018—2019学年湖南省名校高三联考考试试题（二）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.函数lg(4)()2x f x x -=-的定义域是( )A ．(－∞,4)B ．(2,4)C ．(0,2)∪(2,4)D ．(－∞,2) ∪(2,4)2.设命题:P x ∀∈R ，使得20x ≥，则P ⌝为（）A.x R ∃∈，使得20x <B.x R ∃∈，使得20x ≤ C.x R ∀∈，使得20x < D.x R ∀∈，使得20x ≤ 3.已知函数若()()()()23,6log ,6f x x f x x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()1f -的值为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．14.若数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=nn a a 1-，则a 7等于（）A ．2B ．21C ．﹣1D ．20185.设1a b c <<<下列各式成立的是（）A ．a a c b <B ．c ba a < C ．log log c c ab < D ．log logc c b a <6.把sin 2y x =的图像向左平移π3个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（）A.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.2πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.2πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．函数2()2(1)f x x a x =-+-与1()1a g x x -=+这两个函数在区间[1,2]上都是减函数的一个充分不必要条件是实数a ∈( ) A. (2,1)(1,2)-- B ．(1,0)(0,2)- C ．(1,2) D ．(1,2]8. 两座灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离分别是akm 和2akm ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 之间的距离为（）A．akm B ．2akm C．akm D．akm9.若定义在R 上的偶函数()f x ，满足(+1)()f x f x =-且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log f x x=的实根个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D.6个 10.函数y =错误！未找到引用源。

2018-2019年湖南高中理科数学高考精品试卷含答案

2018-2019年湖南高中理科数学高考精品试卷含答案解析（时间：60分钟满分100分）班级__________ ___________ 学号___________注意事项：本试卷分选择题和非选择题，满分120分，考试时间120分钟。

一、选择题（每小题5分，共50分）1.设x ，y 是两个实数，则“x ，y 中至少有一个数大于1”是“x 2＋y 2＞2”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案解析】D【详解】若x ，y 中至少有一个数大于1（如x=1.1，y=0.1），则x 2＋y 2＞2不成立若x 2＋y 2＞2（如x=-2，y=-2）则x ，y 中至少有一个数大于1不成立所以“x ，y 中至少有一个数大于1”是“x 2＋y 2＞2”成立的既非充分又非必要条件 2.函数的图像大致是A B C D【答案解析】A3.设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（）A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009【答案解析】C4.计算的结果为（）A．B． C. D．【答案解析】B5.已知非零向量，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值（）A．随增大而大 B．随增大小而变小C．等于2 D．等于4【答案解析】D6.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．-B．C．D．【答案解析】B【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========7.曲线x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成封闭区域（含边界）为Ω，直线y=3x+b与区域Ω有公共点，则b的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣11【答案解析】D【分析】由约束条件画出平面区域，由y=3x+b得y=3x+B，然后平移直线，利用z的几何意义确定目标函数的最小值即可．【解答】解：x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成的平面区域如图，由，解得A（6，7）由y=3x+b，平移直线y=3x+b，则由图象可知当直线经过点A时，直线y=3x+b的截距最小，此时b最小．∴b=﹣3x+y的最小值为﹣18+7=﹣11．故选：D．8.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案解析】C如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，∴∠DBE=.故选C.9.用秦九韶算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6，在x=﹣4时，v2的值为（）A．﹣4 B．1 C．17 D．22【答案解析】D【考点】秦九韶算法．【分析】先将多项式改写成如下形式：f（x）=（（（（（x）x+6）x）x+9）x）x+208，将x=﹣4代入并依次计算v0，v1，v2的值，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=208+9x2+6x4+x6=（（（（（x）x+6）x）x+9）x）x+208，当x=﹣4时，v0=1，v1=1×（﹣4）=﹣4，v2=﹣4×（﹣4）+6=2210.过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【答案解析】B【分析】过点A（1，2）且与原点距离最大的直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：B二．填空题：（每小题5分，共25分）1．已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为．【答案解析】﹣=1【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再根据F（3，0）是E的焦点，过F的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为∵F（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：①；②由①﹣②得：=∵AB的中点为N（﹣12，﹣15），∴又AB的斜率是∴，即4b2=5a2将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5∴双曲线标准方程是故答案为：2.一物体在力F（x）=，（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m）处，则力F（x）做的功为焦．【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，1]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案【解答】解：W===36．故答案为：363.若x10－x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x－1)10，则a5=．【答案解析】251【分析】根据x10﹣x5=[（x﹣1）+1]10﹣[（x﹣1）+1]5，利用二项式展开式的通项公式，求得a5的值．【解答】解：∵x10﹣x5=[（x﹣1）+1]10﹣[（x﹣1）+1]5，﹣=251，∴a5=故答案为：2514.取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A）的概率为【答案解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率 P（A）=5.如图1是某高三学生进入高中﹣二年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次．考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．【分析】该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数，由此利用茎叶图能求出结果．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个．故答案为：10三、解答题(共25分)1.已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=AB=1，M 是PB 的中点．（1）求异面直线AC 与PB 所成的角的余弦值；（2）求直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值．【答案解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC 与PB 所成的角的余弦值，（2）设=（x ，y ，z ）为平面的ACM 的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值．【解答】解：（1）以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，1），C （1，1，0），B （0，2，0），M （0，1，），所以=（1，1，0），=（0，2，﹣1），||=，||=，=2，cos（，）==，（2）=（1，﹣1，0），=（1，1，0），=（0，1，），设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，则，即，令x=1，则y=﹣1，z=2，所以=（1，﹣1，2），则cos＜，＞===，设直线BC与平面ACM所成的角为α，则sinα=sin[﹣＜，＞]=cos＜，＞=2.（1）已知圆（x+2）2+y2=1过椭圆C的一个顶点和焦点，求椭圆C标准方程．（2）已知椭圆的离心率为，求k的值．【答案解析】解：（1）圆（x+2）2+y2=1与x轴的交点为（﹣1，0），（﹣3，0），由题意可得椭圆的一个焦点为（﹣1，0），一个顶点为（﹣3，0），设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），可得a=3，c=1，b==2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当焦点在x轴上时，椭圆+=1的a2=8+k，b2=9，c2=k﹣1，e2===，解得k=4；当焦点在y轴上时，椭圆+=1的b2=8+k，a2=9，c2=1﹣k，e2===，解得k=﹣．综上可得k=4或﹣．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出圆与x轴的交点，可得椭圆的一个焦点和一个顶点，再由a，b，c的关系可得椭圆方程；（2）讨论焦点在x，y轴上，求得a，b，c，e，解方程可得k的值．解答：解：（1）圆（x+2）2+y2=1与x轴的交点为（﹣1，0），（﹣3，0），由题意可得椭圆的一个焦点为（﹣1，0），一个顶点为（﹣3，0），设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），可得a=3，c=1，b==2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当焦点在x轴上时，椭圆+=1的a2=8+k，b2=9，c2=k﹣1，e2===，解得k=4；当焦点在y轴上时，椭圆+=1的b2=8+k，a2=9，c2=1﹣k，e2===，解得k=﹣．综上可得k=4或﹣．。

高三数学-2018届高三第二次联考数学试卷(湖南专用) 精品

全国大联考(湖南专用)2018届高三第二次联考数学试卷编审：江西金太阳教育研究所数学研究室考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟·2．答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 3．请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上，第Ⅱ卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答题． 4．本试卷主要考试内容：①第一次联考内容占30％；②函数内容占70％．第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={y| y=x+1}，N={(x ，y)|x 2 +y 2 =1}，则M N 中元素的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．多个 2．已知复数1z =a+i ，z 2=1+a 2 i ，若12z z 是实数，则实数a 的值等于 A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2 3．函数()x log a x f a x +=在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为41-，最大值与最小值之积为83-，则a 等于 A ．2 B ．21 C ．2或21 D ．324．若函数f (x)= e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为A ．2πB ．0C ．钝角D ．锐角 5．已知实数a 、b 满足等式b log a log 32=，下列五个关系式：① 0<a<b<1；② 0<b<a<1； ③ a=b ；④ 1<a<b ；⑤ l<b<a ．其中不可能成立的关系式有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3，f (1)=－1，则f (2018)等于 A ．0 B ．1 C ．一1 D ．2 7．设f (x)的定义域为R 且存在反函数，若f (2x －1)与()1x f 1+-互为反函数，且已知()x flim 1x -+∞→存在，则()x f lim 1x -+∞→)等于A ．1B ．21 C ．2 D ．23 8．函数()2ax x log y 2a +-=在[2，+∞]上恒为正数，则实数a 的取值范围是A ．0<a<1B ．1<a<2C ．1<a<25D ． 2<a<3 9．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n)与向量(－1，1)的夹角90>θ 的概率是 A ．21 B ．31 C ． 127 D ． 12510．已知函数f (x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，则不等式f (x) cosx<0的解集是A ．(－3，－2π) (0，1) (2π，3) B ．(－2π，一1) (0，1) (2π，3) C ．(－3，－1) (0，1) (1，3) D ．(－3，－π) (0，1) (1，3)第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上 11．在平面直角坐标系中，x 轴的正半轴上有4个点，y 轴的正半轴上有5个点，这9个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的最多有______个. 12．已知函数()()()()⎩⎨⎧≥<-+-=1x a1x 2a 7x 1a 2x f x 在(－∞，+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是_________________.13．若()()()()()11112210921x a 1x a 1x a a 2x 1x -++-+-+=-+ ，则()()=+++-+++2104221131a 10a 4a 2a 11a 3a ______(用数字作答).14．如图正六边形ABCDEF 中，AC ∥y 轴．从六个顶点中任取三点，使这三点能确定一条形如y=ax 2+bx+c (a ≠0)的抛物线的概率是_______________. 15．购买手机的“全球通”卡，使用时须付“基本月租费”(每月须交的固定月租费)50元，在市区通话时每分钟另收话费0.4元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但市区内通话时每分钟另收话费0.6元．若某用户每月手机费预算为120元，则在这两种手机卡中，购买__________卡较合算.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.16．(本小题满分12分)二次函数f (x)满足f (x+1)－f (x)=2x，且f (0) =1.(1) 求f (x)的解析式；(2) 在区间[－1，1]上，y=f (x)的图象恒在y=2x十m的图象上方，试确定实数m 的取值范围．17．(本小题满分12分)小张有一只放有a个红球，b个黄球，c个白球的箱子，且a+b+c =6 (a，b，c∈N)，小刘有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜.(1) 用a、b、c表示小张胜的概率；(2) 若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值.18．(本小题满分14分)已知函数f (x) = (x－a)(x－b)(x－c).(1) 求证：()x'f= (x－a)(x－b)+(x－a)(x－c)+(x－b)(x—c)；(2) 若f (x)是R上的增函数，是否存在点P，使f (x)的图象关于点P中心对称?如果存在，请求出点P坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由．19．(本小题满分14分)某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p ％的管理费(即销售100元要征收p 元)，于是该商品的定价上升为每件100p 170元，预计年销售量将减少p 万件. (1) 将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；(2) 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p ％的范围是多少?(3) 第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少?20．(本小题满分14分)已知函数y= f (x)对于任意实数x ，y 都有f (x+y) =f (x)+f (y)+2xy . (1) 求f (0)的值；(2) 若f (1)=1，求f (2)，f (3)，f (4)的值，猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论(n ∈N*)； (3) 若f (1)≥1，求证：021f n >⎪⎭⎫⎝⎛ (n ∈N*)．21．(本小题满分14分)定义在(－1，1)上的函数f (x)满足：对任意x ，y ∈(－1，1)都有 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+xy 1y x f y f x f (1) 求证：函数f (x)是奇函数；(2) 若当x ∈(－1，0)时，有f (x)>0，求证：f (x)在(－1，1)上是减函数； (3) 在(2)的条件下解不等式：0x 11f 21x f >⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+．参考答案(湖南专用理科)一、选择题1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．B 7．A 8．C 9．D 10．B 二、填空题11．60 12．⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,83 13．0 14．53 15．神州行提示：1．A 集合M 是函数y=x+l 的函数值的集合，集合N 是圆上的点集.2．B ()()1a i 1a a a z z 23212+++-=，故a 3+1=0，得a =－1. 3．B ．函数f(x)在区间[1，2]上是单调的，故有f(1)+f(2)=－41，f(1)f(2)=－83，所以可解得21a =. 4．C ()044sin e 24'f 4<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π.5．B 根据图象知：只有②、③、④有可能成立.6．B 由已知f (3x+1)=f[3(x+3)+1]=f(3x+1+9)，所以f(x)的周期为9，f(2018)= f(2018－1)=f(－1)=－f(1)=1. 7．A 由已知得()[]()1x f 1x f 21y 11+=+=--，两边取极限可得. 8．C 4－2A+2>0，得a<3．令g(x)=x 2－ax+2，则g(x)最小为g(2)=6－2a ．当a>l 时，6－2a>1，得1<a<25 当0<a<l 时， g(x)在[2，+∞)上无最大值，这时符合题意的a 值不存在. 9．D 若使夹角90>θ，则有－m+n<0即m>n ，其概率为1253615=. 10．B 根据题意结合右边图象可得.11．60 构造凸四边形，凸四边形对角线的交点在凸四边形内．最多其有C C 2524⋅=60.12． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,83 根据题意：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-<<<-a2a 71a 21a 001a 2.13． 0 两边求导，再分别把x 赋值x=2，x=0，最后把所得两式相乘即得.14．53由二次函数的性质知三点可确定一条抛物线，但两点连线不能与纵轴平行，故其概率为5342C C 3636=⨯-. 15．神州行 “全球通”卡的话费为120元时的通话时间为175分钟，“神州行”卡的话费120元时通话时间为200分钟，则“神州行”卡较合算．三、解答题16．解：(1)令z=0，则f(1)－f(0)=0，∴f(1)=f(0)=1， ∴二次函数图象的对称轴为x=21， ∴可令二次函数的解析式为y= a (x 一21)2+h ………………………2分由f(0)=0，又可知f(－1)=3得a=1，h=43∴二次函数的解析式为y=f(x)=(x 一21)2+43=x 2－x+1 ……………6分(2)∵ x 2－x+1 >2x+m 在[－1，l 上恒成立，∴ x 2－3x+1>m 在[－l ，1]上恒成立． ………………………………8分令g(x)= x 2－3x+1，∴g(x)在[一1，1]上单调递减，……………………10分 ∴ g(x)min =g(1)=－l ，∴m<－1． …………………………………………12分17．解：(1)P(小张胜)=P(两人均取红球)+P(两人均取黄球)+P(两人均取白球) =636a ⨯ + 626b ⨯+ 616c ⨯=36c b 2a 3++ ……………………………5分 (2) 设小张的得分为随机变量ξ，则P(ξ=3)=616c ⨯，P(ξ=2)= 626b ⨯，P(ξ=1)= 636a ⨯， P(ξ=0)=1一P(小张胜)=1一36cb 2a 3++，……………………………9分∴E ξ=3×616c ⨯+2×626b ⨯+1×636a ⨯+0×(1一36cb 2a 3++)= ()36b2136b c b a 336c 3b 4a 3+=+++=++∵ a ，b ，c ∈N ，a+b+c=6，∴b 一=6，此时a=c=0，∴当b=6时，E‘=虿1+袅=了2，此时a=c=0，b=6…………………12分18．解：(1) ∵f (x)= (x －a)(x －b)(x －c)=x 3－(a+b+c)x 2+(ab+bc+ac)x —abc …3分∴ ()x 'f =3x 2－2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)=[x 2－(a+b)x+ab]+[x 2－(a+c) x+ac]+[x 2－(b+c)x+bc]=(x －a)(x －b)+(x －a)(x —c)+(x －b)(x －c) …………………7分 (2) ∵f(x)是R 上的单调递增函数，∴()x 'f ≥0对x ∈R 恒成立，即3x 2－2(a+b+c)x+(ab+bc+a c)≥0对x ∈R 恒成立 ∴ △≤0， 4(a+b+c)2－ 12(ab+bc+ca )≤0，∴ (a －b)2+(a 一c)2+(b 一c)2≤0， ∴a=b=c ．∴ f (x)= (x —a)3， f(x)关于点(a ，0)对称 ………10分证明如下：设点P(x ，y)是f (x)= (x —a)3图象上的任意一点，y = (x —a)3，点P 关于点(a ，0)对标的点P’(2a －x ，－y)，∴ (2a －x 一a)3=(a －x)3=－(x 一a)3=－y ，∴点P’在函数f (x)= (x —a)3的图象上，即函数f (x)= (x —a)3的图象关于点(a ，0)对称 ………………………………………………………14分19．解：(1)依题意，第二年该商品年销售量为(11.8－p)万件，年销售收入为100p 170- (11.8一户)万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为100p 170- (11·8一p)p ％(万元)故所求函数为 y=()p p 8.11p1007-- 由11.8－p>0及p>0得定义域为0<p<11.8 ……………………………6分 (2) 由y≥14得()p p 8.11p1007--≥14化简得p 2－12p+20≤0，即(p －2)(p －10)≤0，解得2≤p≤l 0故当比率为[2％，10％]内时，商场收取的管理费将不少于14万元．…10分 (3) 第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，厂家的销售收入为g(p)=()p 8.11p100700-- (2≤p ≤10)∵ g(p)=()p 8.11p 100700-- =700(10+100p 882-)为减函数， ∴ g(p)max =g(2)=700(万元)故当比率为2％时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元 ………………………14分 20．(1) 解：令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0 …………………2分 (2) 解：∵f (1)=l ，∴f(2)=2f(1)+2=4， f(3)=f(2)+f(1)+4=9， f(4)=f(3)+f(1)+6=16，猜想：f (n)= n 2 (n ∈N*)，下面用数学归纳法证明：……………………4分当n=1时，显然成立·假设n=k (k ∈N*)时成立，则有f (k)= k 2 当n=k+1时，f (k+1)=f(k)+f(1)+2k= k 2+1+2k= (k+1)2，结论也成立．故f (n)= n 2 (n ∈N*)成立 ……………………………………………8分 (3) 证明：∵f (1)≥1，∴f(1)=2f(21)+21≥ l ， ∴ f (21)≥22141=>0 ……………………………………………10分可以证明02121f n2n >≥⎪⎭⎫⎝⎛. 假设n=k (k ∈N*)时结论成立．即02121f k2k >≥⎪⎭⎫ ⎝⎛，则 ∴k 21k 1k 1k k 212121221f 221f ≥⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∴()021)2221(2121f 1k 22k 2k 21k >=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++即n=k+1时也成立， ∴ 02121f n2n >≥⎪⎭⎫⎝⎛ (n ∈N*) …………………………………………14分 21．(1) 证明：令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，故f(0)=0 令x+y=0，则f(x)+f(－x)=f(0)=0，即f(－x)=－f (x)，∴函数f (x)是奇函数 ………………………………………………4分 (2) 证明：设1x ，2x ∈(－1，1)，且1x <2x ，则 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+=-21212121x x 1x x f x f x f x f x f ∵ 1x ，2x ∈(－1，1)，且1x <2x ，∴ 1x －2x <0，－1<1x 2x <1 ，(1x +1)(2x －1)<0 ∴ 0x x 1x x 12121<--<-，0x x 1x x f 2121>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--，即f(1x )>f(2x ) ∴ 函数f(x)在(－1，1)上是减函数．………………………………………9分 (3)解：∵ ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛+1x 1f 21x f 函数f(x)在(－1，1)上是减函数，∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<-<+<--<+11x 11121x 11x 121x∴ 1x 23-<<-∴原不等式的解集为{x|1x 23-<<-}…………………………………14分。

湖南省衡阳市2018届高三第二次联考(二模)理科数学试题(解析版)

2018届高中毕业班联考（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数的实部与虚部之和为1，则实数的值为( )A. 2B. 1C. 4D. 3【答案】A【解析】由题意可得，，因为实部与虚部之和为，，实数的值为，故选A.2. 下列说法错误的是( )A. “若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. “”的否定是“”D. 命题：“在锐角中，”为真命题【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项正确；由得或“”是“”的充分不必要条件，故正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以正确；锐角中，，，错误，故选D.3. “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央.露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设水深为尺，根据勾股定理可得，解得，可得水深尺，芦苇长尺，根据几何概型概率公式可得，从该芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为，故选B.4. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥，如图所示，由三视图可知：，，平面平面平面，则三棱锥的体积为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5. 已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( )A. 3B.C.D. 1【答案】D【解析】，，，又，其渐近线方程为焦点到它的一条渐近线的距离为，故选D.6. 已知函数，把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向左平移各单位长度，得到函数的图象，则函数的对称中心是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】，图象的横坐标伸长到原来的倍，可得的图象，可得的图象向左平移各单位长度，的图象，，函数的对称中心为，故选C.7. 泰九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输人的值分別为4,5,则输出的值为( )A. 211B. 100C. 1048D. 1055【答案】D【解析】执行程序框图，输入，则，进入循环，得；，故进入循环，得；，故进入循环，得，，故进入循环，得，此时，不满足，故结束循环，输出，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 在中，，点是的重心，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设的中点为，因为点是的重心，所以，再令，则，，，当且仅当时取等号，故选B.9. 已知函数的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图象可知，且，，可知的两根为，由韦达定理得，异号，同号，又，异号，只有选项符合题意，故选B. 10. 在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，又，，，，故选C.11. 当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数.如，则( )A. 342B. 345C. 341D. 346【答案】A【解析】，而，，，，又，，故选A.12. 已知为自然对数的底数，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值,则下列结论中正确的是( )A. 存在 ,使得B. 存在，使得C. 的最大值为D. 的最大值为【答案】C【解析】依题，，，当时，，递增，不可能有极大值点（若有极值也是极小值），，此时有解，即有两个不等的正根，得：，由，，，，分析得的极大值点为，，在递增，在递减，当取得极大值，又，，即，令，原命题转化为恒成立，，在上递增，，，所以的最大值为，对、错，又，即不存在极大值点，排除，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则__________．【答案】【解析】由，由函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，得：，联立方程消元即得：，故答案为.14. 设，在约束条件下，目标函数的最小值为-5，则的值为__________．【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域，如图所示，由，可得，由，得在轴上的截距越大，就越小，平移直线，由图知，当直线过点时，取得最小值，的最小值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点，若,则直线的斜率为__________．【答案】【解析】由题意得，，由，配方为，可得，所以直线过圆心，可设直线的方程为，联立，化为，，，由，可得，故答案为.16. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可得，，又平面，平面平面，平面平面平面，又平面平面过作于，则平面，故，在中，，设，则有中，，又在中，，在中，，又，则，，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 等差数列中，,为等比数列的前项和，且,若成等差数列.(1)求数列，的通项公式；(2)设,求数列的前项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析：（1）在等差数列中，设公差为,由,从而可得；设等⽐比数列列的公⽐比为，由从而可得的通项公式；（2）结合（1）可得.当，当时，利用“错位相减法”，结合等比数列的求和公式即可求得数列的前项和.试题解析：（1）在等差数列中，设公差为,,.设等⽐比数列列的公⽐比为，依题有：.(2).当.当时，,①②--②..18. 如图，平面平面,是等边三角形，是的中点.(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由是等边三⻆角形，是的中点，可得,利用直线与平面垂直的判定定理得出直线与平面垂直，再利用直线与平面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建⽴立空间直⻆角坐标系，根据直线与平面所成的角的余弦值为.可得，不妨设,利用向量垂直数量积为零，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值，进而可得正弦值.试题解析：（1）因为是等边三⻆角形，是的中点，所以,因为平面平面，所以，因为,所以平面，因为平面，所以.(2)解法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建⽴立如图所示的空间直⻆角坐标系.因为平面，所以为直线与平面所成的角.由题意得,,即，从而.不妨设,又,则.故.于是,设平面与平面的法向量分别为,由令,得由令,得...故二面角的正弦值为1.(2)解法2：平面为直线与平面所成的角.由题意得,即，从而.不妨设,又,则，.由于平面，平面，则.取的中点，连接，则.在中，,在中，,在中，,取的中点，连接,则.所以为二面角的平面角.在中，,在中，,在中，,.故二面角的正弦值为1.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径满足为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.（参考数据：若,则；. 【答案】（1）有道理；（2）分布列见解析，.【解析】试题分析：（1）因为,.此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理；（2）次品数的可能取值为，根据根据排列组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：(1),.此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理.(2),由题意可知钢管直径满足：为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.9560根钢管中，合格品 57根，次品3根，任意挑选3根，则次品数的可能取值为:0,1,2,3..则次品数的分布列列为：得：.20. 已知椭圆的离心率为，倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点且与圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积于的面积分别为.①求的最大值；②当取得最大值时，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据离心率为、圆心到直线距离等于半径，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆的方程；(2) 直线与圆相切得：，将直线代入椭圆的方程得：①根据点到直线距离公式、弦长公式结合韦达定理及三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果；②当取得最大值时，，.试题解析：(1)依题直线的斜率.设直线的方程为,依题有：(2)由直线与圆相切得：.设.将直线代入椭圆的方程得：,且.设点到直线的距离为,故的面积为：,当.等号成立.故的最大值为1.设，由直线与圆相切于点，可得，..,【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.21. 已知函数 .(1)当时，证明：；(2)当时，函数单调递增，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）时，即证,只需证明,利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得，从而可得原不等式成立；(2) 依题在上恒成立，讨论三种情况：①当时，单调递增；,符合题意；②当时，,不符合题意，舍去；③当存在部分不合题意，综合三种情况可得结果.试题解析：证明：(1)当时，即证：,,令，则,当时，有.当时，单调递增；当时，有.当时，单调递减，.取等号条件不不⼀致，（此问可以参考如图理解）..(2)依题在上恒成立，令,又令,所以当时，在上单调递增，,因此,，讨论：①当时，单调递增；,符合题意②当时，,不符合题意，舍去.③当.,当时，在时单调递减，当时，在单调递减，，不符合题意舍去.综上：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）.(1)若点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）化曲线的参数方程为直⻆角坐标方程是:由点在曲线的内部，可得，解不等式可得实数的取值范围；(2)根据极径的几何意义可得直线截得曲线的弦长为：，根据三角函数的有界性可得结果.试题解析：(1)由得曲线对应的直⻆角坐标⽅方程为:由点在曲线的内部，,求得实数m的取值范围为.(2)直线的极坐标⽅方程为，代入曲线的极坐标⽅方程整理理得设直线与曲线的两个交点对应的极径分别为，则直线截得曲线的弦长为：.即直线与曲线截得的弦长的取值范围是.选修4-5：不等式选讲23. 已知.若函数的最小值为4.(1)求的值；(2)求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由,结合函数的最小值为，即可得结果；(2)利用（1）的结论可得，再根据基本不等式即可求得的最小值.试题解析：(1),当且仅当时，等号成立，的最小值为.(2)法一（基本不不等式处理理）：.当.等号成立.法二（柯⻄西不不等式处理理）：。

2018-2019年最新高考总复习数学(理)第二次联考模拟试题及答案解析

2018届高三下学期重点中学第二次联考试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则A B 中元素的个数为 ▲ ．6 2.设复数z 满足i i z 510)2(-=+，（i 为虚数单位），则复数z 的实部为▲ .33. 已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，且xy = 60，则此样本的方差是 ▲ ．24. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果S 为▲ ．135.从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为4或5的概率为 ▲ .126.已知3(0,),sin()45αππα∈+=-，则tan α＝ ▲ .17-7.已知正三棱锥的体积为93cm 3，高为3cm ．则它的侧面积为 ▲ cm 2．1838. 已知双曲线22221x y a b-= (0a >，0b >)的左顶点为M，右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且满足M A M B ⊥，则该双曲线的离心率是 ▲ ．2 9. 设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 .2 10.已知2231,0()2,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则不等式2(2)5f x x -≤的解集为▲ . [1,1]-11. 如图，已知AC 是圆的直径，,B D 在圆上且35AB AD ==，，则AC BD ⋅= ▲ .2 12.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+= 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+ ，则b = .5313. 若函数2()2(ln )f x m x x x =+-有唯一零点，则m 的取值范围是 ▲ .102m m <=或14.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1()()2f t f t+=-，则224a b +的最小值为 ▲ ．165二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足I ←0While I <9 S ←2I + 1 I ←I +3End While Print S 第4题图ACBD2sin()6b C ac π+=+．（1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．（Ⅰ）312sin (sin cos )sin sin 22B C C A C ⋅+⋅=+，即3sin sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，3sin sin cos sin sin B C B C C ∴=+，3sin cos 1B B ∴=+，所以2sin()16B π-=，由(0,)B π∈ ,5(,)666B πππ-∈- 解得3B π=． ………………… 7分（范围不说明扣1分）（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =，由（Ⅰ）知3B π=，33,27AD x AC x ∴=∴=，由正弦定理知，427sin sin 60x xBAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分解法二：由（Ⅰ）知3B π=，又M 为BC 中点，2a BM MC ∴==，在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+- 222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-37,22a cb a ∴=∴=，由正弦定理知，72sin sin 60aa BAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分16. 如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．（1）若AB BC ⊥，CP PB ⊥，求证：CP PA ⊥；（2）若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ∥平面PBC ．16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC平面ABCBC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC． …………3分因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB 又因为CP ⊥PB ，且PB AB B =，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CP ⊥平面PAB ，又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ． …………7分（2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ．因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC，所以PD ⊥平面ABC ．…………10分又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．ACBP又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，l //平面PBC ． …………14分17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为nE cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200 km ．（1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -，所以200T =4v -，即2004T v =-，4v >； ……………………4分（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦ 162002(4)84c v v ⎡⎤⋅-⋅+⎢⎥-⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）……………9分(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =，当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>，所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少． ……………14分 )0(12222>>=+b a by a x 的18.如图,已知椭圆C ：32.上顶点为(0,1)A ,离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点A 作圆()2221:r y x M =++()10<<r 的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,试问直线BD 是xyBAMO否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ）由已知可得,2221,3,2,12,b c a b a a b c =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪=+⎩, 所求椭圆的方程为2214x y += (5)分（Ⅱ）设切线方程为1y kx =+，则2|1|1k r k-=+，即222(1)210r k k r --+-=，设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=； …………………8分由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)80k x kx ++=，所以211112211814,1414k k x y k k --==++，同理可得：222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k ----====++++， …………………12分所以221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==----++，于是直线BD 方程为22111221111418()14314k k k y x k k k -+--=--++，令0x =，得2221111222111114185205143143(14)3k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++，故直线BD 过定点5(0,)3-. …………………16分19. 定义：从一个数列{a n }中抽取若干项(不少于三项)按其在{a n }中的次序排列的一列数叫做{a n }的子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n }的等差(比)子列．（1）求数列1，12，13，14，15的等比子列；（2）设数列{a n }是各项均为实数的等比数列，且公比q ≠1．（i ）试给出一个{a n }，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）；（ii ）若{a n }存在无穷项的等差子列，求q 的所有可能值．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *），当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2，当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2N *；………3分当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14． ……………………5分（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1， ……………………7分（ii ）设{a n k }(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ，当|q|＞1时，|q|n＞1，取n k ＞1＋log |q||d||a 1|(|q|－1)，从而|q|n k －1＞|d||a 1|(|q|－1)，故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1q n k ＋1－1－a 1q n k －1|＝|a 1||q|n k －1·|q n k ＋1－n k －1|≥|a 1||q|n k －1(|q|－1)＞|d|，这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去； ……………………12分当|q|＜1时，|q|n＜1，取n k ＞1＋log |q||d|2|a 1|，从而|q|n k －1＜|d|2|a 1|，故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1||q|n k －1|q n k ＋1－n k －1|≤|a 1||q|n k －1||q|n k ＋1－n k ＋1|＜2|a 1||q|n k －1＜|d|，这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去；又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1． (16)分20.设函数()()ln ,f x x a x x a a R =--+∈．（1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间22(,)e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-．解：（1）当a ＝0时，f(x)＝xlnx －x ，f ’(x)＝lnx ，令f ’(x)＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……………………3分（2）方法一、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax，其中x ＞0，令g(x)＝xlnx －a ，分析g(x)的零点情况．g ’(x)＝lnx ＋1,令g ’(x)＝0，x ＝1e，列表分析x (0，1e )1e (1e，＋∞) g ’(x) － 0 ＋ g(x)单调递减单调递增g(x)min ＝g(1e )＝－1e－a ，……………………5分而f ’(1e )＝ln 1e －ae ＝－1－ae ，f ’(e －2)＝－2－ae 2＝－(2＋ae 2)，f ’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a)，①若a ≤－1e ，则f ’(x)＝lnx －ax≥0，故f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)＞0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a)＞0，因此f ’(x)在(e －2，e 2)有两个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)≤0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a)＞0，因此f ’(x)在(e －2，e 2)有一个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点；综上所述，当a ∈(－∞，－1e]时，f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；当a ∈(－1e ，－2e2)时，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；当a ∈[－2e2，0)时，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点.. ……………………10分方法二、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax ，令()ln g x x x（不用零点存在定理说明扣3分）（3）猜想：x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1恒成立． ……………………11分证明如下：由（2）得g(x)在(1e ，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－a ＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a ．因为当x ＞1时，lnx ＞1－1x (*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－1a ＋1)－a ＝0．故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0 (x 0，1＋a)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}． ……………………13分又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x ＞1时，lnx ＜x －1(**)，所以f(1＋a)＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f(1)．即x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a)，使 f(x)＜a －1．……………………15分补充证明（*）：令F(x)＝lnx ＋1x －1，x ≥1．F ’(x)＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F(x)＞F(1)＝0，即lnx ＞1－1x ．补充证明（**）令G(x)＝lnx －x ＋1，x ≥1．G ’(x)＝1x －1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G(x)＜G(1)＝0，即lnx ＜x －1． ……………………16分数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指．．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．证明：连接BD ，因为直线AE 与圆O 相切，所以∠EAD ＝∠ABD ． ……………………4分又因为AB ∥CD ，所以∠BAD ＝∠ADE ，所以△EAD ∽△DBA ． ........................8分从而ED DA ＝AD BA ，所以AD 2＝AB .ED ． (10)分A BCDEO ·（第21题（A ）图）B ．选修4－2：矩阵与变换已知，点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B ．若点B 的坐标为(3,4)-，求点A 的坐标．解：011201100112--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………………………………………………4分设(,)A a b ，则由013124a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得324b a b -=-⎧⎨+=⎩．……………………………………8分所以23a b =-⎧⎨=⎩，即(2,3)A -． (10)分C ．选修4－4：坐标系与参数方程若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是θθρ2sin cos 6=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为323x ty t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），当直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB ．解：（1）由θθρ2sin cos 6=，得θρθρcos 6sin 2=，26y x =． ……………………4分所以曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线． ……………………5分（2）将323x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩代入26y x =得2230t t --=，123,1t t ==- ……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22212121()[3()]28t t t t t t =-+-=-= (10)分解法二：代入26y x =得2230t t --=， 12122,3t t t t +==- ……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22221212112()[3()]2()48t t t t t t t t =-+-=+-= ……………………10分D ．选修4－5：不等式选讲设函数()23()f x x x x m m R =-+---∈．（Ⅰ）当4m =-时，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）若存在0x R ∈，使得01()4f x m≥-，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）当4m =-时，33,2,()2341,23,5,3x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩ (2)分∴函数()f x 在(,3]-∞上是增函数，在(3,)+∞上是减函数，所以max ()(3)2f x f ==． ……………………4分（Ⅱ）01()4f x m ≥-，即0001234x x x m m-+--+≥+，令()234g x x x x =-+--+，则存在0x R ∈，使得01()g x m m≥+成立， ∴max 1()2,m g x m +≤=即12,m m+≤ ……………………7分∴当0m >时，原不等式为2(1)0m -≤，解得1m =，当0m <时，原不等式为2(1)0m -≥，解得0m <，综上所述，实数m 的取值范围是{}(,0)1-∞U ． ……………………10分22.设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个. （1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE . 解：可列举出集合S 的非空子集的个数为：31125=-个.（I ）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为：317=p . …………………4分（2）x 的可能值为1,2,3,4,5x12 3 4 5P131 231 431 831 1631()124816129=1+2+3+4+5=313131313131E x 创创? (10)分23. 设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S ．⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：nmS 111322n m n +++<+-． 23.解⑴228S =，4232S =； ……………………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……5分若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m n C -种可能，美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。

2018-2019金太阳湖南高二上学期期末联考理科数学答案

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