金太阳5月高三理科数学联考试题及答案
【新结构】湖北省2024届高三金太阳5月联考数学试卷+答案解析
【新结构】湖北省2024届高三金太阳5月联考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为()A. B. C. D.2.在菱形ABCD中，，则向量与的夹角为()A. B. C. D.3.已知为等比数列，，且，则的公比q的取值范围是()A. B.C. D.4.若集合，，则()A. B. C. D.5.已知，，某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量单位：克服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为()A.286B.293C.252D.2466.在四面体ABCP中，平面平面PAC，是直角三角形，，，则二面角的正切值为()A. B. C.2 D.7.某地博物馆所展示的甲骨文十二生肖图如图所示，其中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，若从图中每行任意选取1个生肖，则所选的3个生肖中至少有1个属于六畜的概率为()A. B. C. D.8.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，若，则()A.1B.C.0D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则()A.的定义域为B.的值域为RC. D.的单调递增区间为10.将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且，则()A. B.在上先增后减C. D.的前n项和为11.已知曲线，曲线，下列结论正确的是()A.M与N有4条公切线B.若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是3C.直线与M，N的交点的横坐标之积为D.若是M上的动点，则的最小值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复数范围内，方程的解集为__________.13.若一组数据，，，的中位数为16，方差为64，则另一组数据，，，的中位数为__________，方差为__________.14.在空间直角坐标系中，已知，，，，，，则几何体的体积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
金太阳高三数学试卷(理科)答案
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2021届高考金太阳、武汉市、鄂东南省级五月联考数学试卷含详解
乙：直线 l 经过点 (1,0) ；
丙：直线 l 经过点 (1,1) ；
丁： ab 0 ．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．已知 △ABC 的外心为 O ， 2AO AB AC,| AO || AB | 2 ，则 AO AC 的值是（ ）
A． 3
B． 3 2
3(n 1) 1
2n 3n 1
2n (3n 2
Tn
min
T1
1 2
．
因为对任意的 n N* ， t 4Tn 恒成立，
所以 t 4T1 2 ，即 t 2 ． 19．解：（1）证明：由题意知 EF AE ， EF BE ， 而 AE 平面 ABE ， BE 平面 ABE ， AE BE E ， EF 平面 ABE ， BC //EF ， BC 平面 ABE ． 又 BC 平面 ABC ，平面 ABC 平面 ABE ． （2）【解法一】延长 BE ，CF 交于点 P ，则 AP 为平面 ABE 和平面 ACF 的交线．过 B 作 BQ AP 于 Q ，
2
（1）求 C 的标准方程； （2）动点 M 在抛物线 C 上，且在直线 x 2 的右侧，过点 M 作椭圆 E : x2 y2 1 的两条切线分别交直
43 线 x 2 于 A ， B 两点．当 | AB | 10 时，求点 M 的坐标．
22．已知函数 f (x) 2 cos2 x ax 2 ．
直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过 n n N* 次，（其中 n 小于当次调查
的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为 ，求 的数学期望．
21．已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为点 F ，P 为 C 上一点，若点 P 到原点的距离与点 P 到点 F 的 距离都是 3 ．
2021年5月金太阳数学理科答案
故 '正确!
!%!6!解析本题考查导数在函数中的应用考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
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-!'!解析本题考查三视图考查空间想象能力与运算求解能力!
该几何体是三棱锥将该三棱锥放入长方体中如图由三视图可知长方体的长宽高分别
为+,-!计算可得最长棱,$$-槡&最短棱"$$+!因为 "$(,"所以最长棱与最短棱
所在直线夹角的余弦值为+!槡%&!
"!6!解析本题考查统计图考查数据处理能力!
因为小王家房贷每年的还款数额相同设为-则&%!/年总收入为 -+-&%&%年总收入为 -&-!
因为小王家&%&%年的家庭收入比&%!/年增加了 -"-即增加了-%:所以 # 错误!
因为小王家&%!/年和&%&%年用于其他方面的支出费用分别为!!%-和!+%-所以 .错误!
因为小王家&%!/年和&%&%年用于饮食的费用分别为!-&-和 -3-明显增加所以 6正确! 因为小王家&%!/年和&%&%年的总收入不一样所以 '错误! /!.!解析本题考查平面向量的数量积考查运算求解能力!
高三数学5月大联考试题 理试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学5月大联考试题理〔扫描〕2021年5月份大联考 理科数学试题参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或者几种解法供参考，假设考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分参考制定相应的评分细那么.2．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，假设假设后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题〔每一小题5分〕 1.B2.B3.D4.C5.A6.C 7.C8.A9.B10.D11.D12.A 二、填空题〔每一小题5分〕13．2－2i14．24x ＋y 2＝115.216.43三、解答题 17．解：(Ⅰ)由ACA CB cos cos sin sin sin 2=-，可得A C A C A B sin cos cos sin cos sin 2=-， 即B C A A C A C A B sin )sin(sincos cos sin cos sin 2=+=+=.又0sin ≠B ，所以21cos =A ．由0πA <<可得π3A =.6分〔Ⅱ〕由215-=⋅AC BA ，可得2π115cos 322bc bc =-=-，15=∴bc ．又A bc c b acos 2222-+=，且a =6，所以5122=+c b ．那么81)(2=+c b ，即9=+c b ．12分18．〔Ⅰ〕证明：取PD 的中点E ，连接AE ，EF ，那么EF ∥CD ，EF =CD ．又AB ∥CD ，AB =CD ，所以EF ∥AB ，EF =AB ， 所以四边形ABFE 为平行四边形，所以BF ∥AE . 由侧面PAD 为正三角形，可得AE ⊥PD . 由AB ∥CD ，CD AD ⊥，PA AB ⊥，可得CD ⊥平面PAD .4分所以CD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PCD . 所以BF ⊥平面PCD .6分(Ⅱ)解：取AD 的中点O ，连接PO ，那么PO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点G ，连接OG ．以点O 为坐标原点，OD ，OG ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 那么A 〔1,0,0〕，B 〔1，2，0〕，C 〔1，4，0〕，P (0，0，3)．设平面APB 的法向量为111(,,)x y z =n ，那么0,0,AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以11130,0.x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取13x =，那么(3,0,1)=-n ；设平面PBC 的法向量为222(,,)x y z =m ，那么0,0,PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以22222230,0.x y z x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩取21x =，那么(1,1,3)=--m ；那么15cos ,5⋅<>==m n m n m n ， 所以二面角A PB C --的正弦值为.12分19．解：(Ⅰ)由题意可知，假设选甲题，那么得0分、10分的概率均为0.5，0.5；假设选乙题，那么得5分、7分、8分、9分、10分的概率分别为0.2，0.1，0.4，0.1，0.2.2分又选择甲或者乙题的概率均为X 的分布列如下：X0 5 7 8 9 10 P于是00.2550.170.0580.290.05100.35 6.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.6分(Ⅱ,Y Z ，那么,Y Z 的分布列分别为Y5 10 Z5 7 8 9 10 PP10分故50.5100.57.5EY=⨯+⨯=；50.270.180.490.1100.27.8EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此选择方案二更有利于A 同学获得更高的分数.12分20.解：〔Ⅰ〕设l ：x =my +1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将x =my +1代入抛物线方程y 2=4x ，得y 24my 4=0.2分∵Δ>0，∴y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4. 那么x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1.由MA MB ⋅=0可得x 1x 2+〔x 1+x 2〕+y 1y 2+1=0，∴m =0. 那么l ：x =1，所以AB =4.6分〔Ⅱ〕由于NFB 与NFA 有公一共底NF ，可得|FB |=2|FA |，由相似可得y 2=－2y 1由〔Ⅰ〕知y 1y 2=2y 12=－4，∴12=2,=22,y y ⎧⎪⎨-⎪⎩或者12=2,=2 2.y y ⎧-⎪⎨⎪⎩9分由y 1+y 2==4m ，得m =－；或者由y 1+y 2==4m ，得m =.故直线l 的方程为4x ±y4＝0．12分21．〔Ⅰ〕解：函数()ln 1(0)g x a x x x =-+>，那么'()g x =1a a xx x--=． 当0a ≤时，'()0g x <,函数()g x 在定义域上单调递减； 当0a >时，由g (x )<0得xa >，此时()g x 单调递减；由g(x )>0得0x a <<，此时()g x 单调递增；综上，当0a ≤时，()g x 单调递增区间为〔0，)∞+；当0a>时，函数()g x 的单调递增区间为(0,a )，单调递减区间为(a ,+).4分〔Ⅱ〕证明：()(1ln )f x x x =+，'()ln 2f x x =+．因为对任意的)0(,2121x x x x <<总存在00>x ，使得12012()()'()f x f x f x x x -=-成立，所以12012()()ln 2f x f x x x x -+=-，即1122012ln ln ln 21x x x x x x x -+=+-.∴112202212ln ln ln ln 1ln x x x x x x x x x --=---11122112ln ln x x x x x x x x -+-=-11ln121212--+=x x x x x x ．9分由(Ⅰ)得，当1a =时，()ln 10g x x x =-+≤，当且仅当1x =时，等号成立.2221111,ln 10x x xx x x >∴-+<． 又0112>-x x ，所以02ln ln 0x x -<，即02x x <．12分选做题22．〔Ⅰ〕直线PC 与圆O 相切．1分证明：连接OC ，OD ，那么∠OCE =∠ODE ．∵CD 是∠ACB 的平分线，∴=，∴∠BOD =90°，即∠OED +∠ODE =90°． ∵PC =PE ，∴∠PCE =∠PEC =∠OED ． ∴∠OCE +∠PCE =90°，即∠OCP =90°， ∴直线PC 与圆O 相切．5分〔Ⅱ〕解：因为AB =10，BC =6，∴AC =8．由CE 为∠ACB 的平分线，可得34==BC AC EB AE ， EB AE 34=∴，1037===+∴AB EB EB AE ，解得BE =．10分23.解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为22x+y2=1，其右焦点为〔1，0〕，而直线l过该点，所以直线l与曲线C相交. 5分(Ⅱ)将21,222x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入椭圆方程22x+y2=1得3t2+2t2=0，设A，B对应的参数为t1，t2,那么t1t2=－，∴|PA||PB|=.由对称性可知，|PE||PF|＝.∴|PA||PB|＋|PE||PF|＝．10分24．解：〔Ⅰ〕∵|x+3|+|x+2|≥|(x+3)－(x+2)|=1，当(x+3)(x+2)≤0，即3≤x≤－2时取等号，∴a+b+c≤1，即a+b+c 的取值范围是〔∞，1]．5分〔Ⅱ〕∵a+b+c最大值是1，∴取a+b+c=1时．∵a²+b²+c²=(a+b+c)²(2ab+2bc+2ca)≥12(a²+b²+c²)，∴a²+b²+c²≥．10分。
2023年高三5月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案
2023届高三5月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}022<--=x x x M ，{}012>+∈=x Z x N ，则=N M （）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛-2321，B .⎥⎦⎤ ⎝⎛-121C .{}2,1,0D .{}1,02.在复平面内，设复数21,z z 对应的点分别为()()1,12021-Z Z ，，，则=21z z （）A .2B .3C .2D .13.映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用.例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分原则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分.下面是某省选考科目的赋分规则：若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A 的原始分期间为[81,87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（）A .91B .92C .93D .94等级原始分占比赋分区间A 3%[91，100]B+7%[81，90]B 16%[71，80]C+24%[61，70]C 24%[51，60]D+16%[41，50]D 7%[31，40]E3%[21，30]4.已知不共线的平面向量b a ,满足a b 2=，()a b a⊥+，则平面向量b a ,的夹角为（）A.6πB .3πC .2πD .32π5.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≤--010201y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为（）A .1B .2C .3D .316.学校安排老师到小区对指定的学生进行家访.甲、乙两位老师被安排从A,B,C,D,E 五个小区中各选两个小区进行家访，且甲、乙两位老师选择的小区最多可以有一个相同.若甲必须去A 小区，则甲、乙两位老师不同的安排方法有（）A .48种B .36种C .32种D .24种7.已知函数()x f 在[]2,2-上的图象如图所示，则()x f 的解析式可能是（）A .()x e x f --=22B .()22--=x x x fC .()xex x f -=22D .()()122ln 2-+-=x x x f 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（）A .28B .36C .64D .89.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，84=a ，3612=S ，则满足n n a S >的正整数n 的最大值为（）A .16B .15C .12D .810.已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，O 为坐标原点，点P在椭圆C 上且位于第一象限，直线PO 与椭圆C 的另一个交点为A ，直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为B .若直线AB 平行于x 轴，且213PF PF =，则椭圆C 的离心率为（）A .21B .22C .23D .4211.已知函数()()ϕω+=x x f cos 2()00<<->ϕπω，，()30=f ，且()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，则下列说法不正确的个数是（）①存在ω值，使得函数()x f 在[]π,0上有两个极小值点；②ω的取值范围为⎦⎤⎝⎛619613，；③函数()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛50π，上单调递增；④若Z ∈ω，则函数()x f 图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛092π.A .1B .2C .3D .412.已知正三棱锥ABC S -的底面ABC ∆的中心为O ，M 为棱SC 的中点，⊥OG 平面SAC ，且GM AG 2=.若MAB ∆的面积为6，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积为（）A .π12B .π64C .π26D .π8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为.14.若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，222341+==S a a ，，则等比数列{}n a 的公比为.15.在立德学校举办的春季运动会上，甲、乙两位教师进行某项比赛，采取七局四胜制（当一人赢得四局时就获胜，比赛结束）.根据甲、乙两人多次比赛的成绩统计，每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31.设各局比赛结果相互独立，则乙在第一局负的情况下获胜的概率是.16.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a b y a x 的焦距为c 2，过双曲线C 的左焦点F 作圆M ：04222=+++b cx y x 的切线，切点为B ，该切线交双曲线C 的右支于点A ，若FB F A 4=,则双曲线C 的离心率为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，交C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c C a Cb cos cos 32cos 22+=.（1）若2π≠C ，求a b的值；（2）若32π=C ,ABC ∆的面积为23，求c 的值.18.（12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，G F E ,,分别为棱BC DD AD ，，1的中点，M 为线段G D 1上一点.（1）求证：∥AM 平面CEF ；（2）当12MD GM =时，求二面角C EF M --的正弦值.19.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，M 是其准线与x 轴的交点，过点M 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，当点A 的坐标为()0,4y 时，有BA MB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点A 关于x 轴的对称点为点P ，证明：直线BP 过定点，并求出该定点坐标.20.（12分）已知函数()0ln 12≠--=a x a x ex f ，.（1）求函数()x f 的单调区间；（2）当1=a 时，若关于x 的方程()m x f =（m 为实数）有两个不相等的实数根21,x x ，且21x x <，求证：()112+<-m e x x .21.（12分）某公司生产B A ,两种型号的盲盒，每一种型号的盲盒又12款形态各异的玩偶，买家拆封之前，不知道盲盒里玩偶的款式.（1）小明看中了A 型号盲盒，12款玩偶中有2款他特别喜欢，1款他不喜欢，另有3款他已经拥有.小明从中随机购买2款，若他购买到1宽他特别喜欢的玩偶，积3分；购买到1款他不喜欢的玩偶，积-3分；购买到1款他已经拥有的玩偶，积-1分；购买到1款其他款式的玩偶，积1分.记X 表示小明购买的2款玩偶的总积分，求X 的分布列和数学期望；（2）五一前，该公司推出D C ,两种新型号盲盒，现规定每一名爱好者一次只能购买其中一种型号的盲盒.据统计，爱好者第一次购买D C ,两种型号盲盒的概率都是21.如果上次购买C 型号盲盒，则这次购买C 型号盲盒的概率为32，购买D 型号盲盒的概率为31；如果上次购买D 型号盲盒，那么这次购买D C ,型号盲盒的概率都为21.如此重复，设一名爱好者第n 次购买C 型号盲盒的概率为n P .（1）求n P ；（2）如果这名爱好者长期购买D C ,型号盲盒，试判断该爱好者购买C 型号盲盒的概率能否达到53.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==ααsin 21cos t y t x （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PN PM -的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知c b a ,,都是正实数..（1）若1=ac ，求证：()()b c b b a 4≥++；（2）若1112121=++++cb a ，求c b a ++的最小值.参考答案一、选择题1.D解析：由已知得{}21<<-=x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧->∈=21x Z x N ，∴=N M {}1,0.2.C解析：由题意，知i z 21=，i z -=12，∴i i i z z +-=-=11221，∴221=z z .3.C解析：根据赋分公式得9110081828287--=--T T，解得935.92≈=T .4.D 解析：设向量b a ,的夹角为θ，∵()a b a ⊥+，∴()0=⋅+a b a ，即2a b a -=⋅，∴2cos a b a -=⋅θ ,∴212cos 22-=⋅-=⋅-=a a a b a aθ.∵[]πθ，0∈，∴向量b a ,的夹角为32π.5.B 解析：作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≤--010201y x y x y x 所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由y x z +=2得z x y +-=2.作出直线x y 2-=，然后平移该直线，当直线经过点()01，A 时，z 取得最大值，即2012max =+⨯=z .6.B解析：（1）若甲、乙两位老师选择的家访小区完全不同，则有2314C C 种安排方法.（2）若甲、乙两位老师选择的家访小区有一个相同：①若甲、乙两位老师选择了A 小区，则有24A 种安排方法；②若甲、乙两位老师选择的相同小区不是A 小区，则有1314C C 种安排方法.综上，甲、乙两位老师不同的安排方法有361314242314=++C C A C C 种.7.C解析：由题图知函数()x f 的图象关于y 轴对称，∴函数是偶函数，故排除A；对于B，()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=0,20,222x x x x x x x f ，虽然函数()x f 为偶函数且在⎪⎭⎫⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛221上单调递增，但()02=f ，与图象不吻合，排除B；对于D，∵()()()x f x x x f -=-+-=122ln 2，∴函数()x f 是偶函数，但()012ln 2<-=f ，与图象不吻合，排除D；对于C，函数()x f 为偶函数，图象关于y 轴对称，下面只分析y 轴右侧部分.当()+∞∈,0x 时，()xe x xf -=22，()xe x xf -='4，令()xe x x -=4ϕ，求导得()xe x -='4ϕ.当()4ln ,0∈x 时，()0>'x ϕ，()x f '单调递增，当()2,4ln ∈x 时，()0<'x ϕ，()x f '单调递减，∴()x f '在4ln =x 处取得最大值.又∵()00<'f ，()04ln >'f ，()02>'f ，∴()4ln ,00∈∃x ，使得()00='x f ,当()0,0x x ∈时，()0<'x f ，()x f 为减函数，当()2,0x x ∈时，()0>'x f ，()x f 为增函数，与图象吻合，故选C.8.A解析：如图，在棱长为4的正方体中，C 为棱的中点，三棱锥BCD A -即为该几何体.其中ABD ∆为直角三角形，BD AB BD AB ⊥==，，424，∴其面积为2824421=⨯⨯；BCD ∆为等腰三角形，4==BD CD BC ，，点C 到边BD 的距离为4，∴其面积为84421=⨯⨯；ABC ∆为等腰三角形，2452===AB AC BC ，，∴点C 到边AB 的距离为32，∴其面积为64243221=⨯⨯；ACD ∆为等腰三角形，3452===AD CD AC ，，∴点C 到边AD 的距离为22，∴其面积为64243221=⨯⨯；综上，该几何体各个面中面积最大的面为ABD ∆，其面积为28.9.B解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+3666128311d a d a ，解得⎩⎨⎧-==2141d a ，∴n n S n a n n 152162+-=-=，.由n n a S >得n n n 216152->+-，即016172<+-n n ，解得161<<n ，∴正整数n 的最大值为15.10.B 解析：由椭圆的对称性，知点A 与点P 关于原点对称.∵直线AB 平行于x 轴，∴点B 与点A 关于y 轴对称，∴点P 与点B 关于x 轴对称，即2PF ⊥x 轴，∴a b PF 22=.又213PF PF =，∴a b PF 213=.又a PF PF 221=+，∴a b a b a 2232+=，即2122=a b ，∴椭圆C 的离心率22122=-==ab ac e .11.C 解析：∵()30=f ，∴23cos =ϕ.∵0<<-ϕπ，∴6πϕ-=.当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6,66πωπππωx ，∵()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，∴ππωππ362<-≤得619613<≤ω，∴根据图象可以判断，()x f 在[]π,0上有两个极大值点，一个极小值点，∴①错误，②错误；当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈5,0πx 时，6566ππωπωππ-<-≤-，显然065>-ππω，不符合题意∴③错误；由Z ∈ω得3=ω，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63cos 2πx x f ，令Z k k x ∈+=-，263πππ，得Z k k x ∈+=，923ππ，当0=k 时，92π=x ，∴④正确.故选C.12.A 解析：如图，连接SG 并延长交AC 于点D ，连接BD ∵GM AG 2=，∴M G A ,,三点共线，且GM AG 2=.又∵AM 为SAC ∆的中线，∴G 为SAC ∆的重心，∴D 为AC 的中点，且GD SG 2=.又O 为正三角形ABC 的中心，∴B O D ,,三点共线，且OD BO 2=，∴BS OG ∥，且BS OG 31=，∵⊥OG 平面SAC ，∴⊥SB 平面SAC ，∴SA BS SC BS ⊥⊥，.又∵三棱锥ABC S -为正三棱锥，∴SA SC ⊥.设a SA 2=，则a MB MA a AB 522===，.在MAB ∆中，512cos 222=⋅⋅-+=∠MB MA AB MB MA AMB ，∴562sin =∠AMB ，∴265625521sin 21a a a AMB MB MA S MAB =⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆，即662=a ，解得1=a .由SB SA SB SC SA SC ⊥⊥⊥，，,且2===SC SB SA ，知正三棱锥ABC S -的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，棱长为2的正方体的体对角线长32即为外接球的直径，∴正三棱锥ABC S -的外接球的半径3=R ，表面积为ππ1242=R .二、填空题13.01=--y x 解析：2ln 1xxy -='，当1=x 时，1='y .又当1=x 时，0=y ，∴曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为1-=x y ，即01=--y x .14.3解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，由2234+=S a 得()22211131+++=qa q a a q a .又21=a，∴032223=---q q q ，即0323223=--+-q q q q ，∴()()0132=++-q q q ，解得3=q .15.72973解析：由题意，乙在第一局负的情况下获胜，则乙还需要胜四局比赛.若再比赛四局乙获胜，则概率为811314=⎪⎭⎫⎝⎛，若再比赛五局乙获胜，则概率为24383132414=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯C ，若再比赛六局乙获胜，则概率为7294031324225=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C .综上，一在第一局负的情况下获胜的概率是72973729402438811=++.16.5解析：圆M ：04222=+++b cx y x 可化为42222a y c x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2c M ，半径2a r =.连接BM ，则AF BM ⊥.设双曲线C 的离心率为e ，右焦点为F '，连接F A '.∵c F F c FM 22='=，，∴41='F F FM .又FB F A 4=,∴41=F AFB ，∴F AFBF F FM ='，∴A F MB '∥，∴a MB A F 24=='，︒='∠90AF F ，即AF F A ⊥'.根据双曲线的定义，得a a A F F A 42=+'=.在F AF Rt '∆中，由勾股定理得222F F A F F A'='+，∴()()()222224c a a =+，即225c a =，∴5222==e ac ，∴双曲线C 的离心率为5.三、解答题（一）必考题：共60分17.解：（1）由A c C a Cb cos cos 32cos22+=得()A c C a C b cos cos 3cos 1+=+.由正弦定理得：()A C C A C B cos sin cos sin 3cos 1sin +=+,∴()C A C A C B B ++=+sin cos sin 2cos sin sin ,∵()B C A sin sin =+，∴C A C B cos sin 2cos sin =.∵2π≠C ，∴0cos ≠C ，∴A B sin 2sin =，∴a b 2=，∴2=ab.（2）由（1）知a b 2=.∵32π=C ,ABC ∆的面积为23，∴232332sin 212==a ab π，解得12=a ，即1=a ，∴22==a b .由余弦定理得724132cos2222=++=-+=πab b a c ，∴7=c .18.解：（1）如图，连接AG AD ，1，∵F E ,分别为棱1DD AD ，的中点，∴EF AD ∥1.∵⊄1AD 平面CEF ，⊂EF 平面CEF ，∴1AD ∥平面CEF ，∵BC AD ∥，且BC AD =，G E ,分别为棱BC AD ，的中点，∴CG AE ∥且CG AE =，∴四边形AECG 为平行四边形，∴CE AG ∥.∵⊄AG 平面CEF ，⊂CE 平面CEF ，∴AG ∥平面CEF .又∵A AG AD = 1，⊂AG AD ,1平面G AD 1，∴平面G AD 1∥平面CEF .∵⊂AM 平面G AD 1，∴∥AM 平面CEF .（2）如图，以1,,DD DC F A 所在的直线分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系.设()c b a M DA ,,2，=，则()()()020021001，，，，，，，，C G E ，()()4002001，，，，，D F .∵12MD GM =，∴132GD GM =，即()()4,2,132,2,1--=--c b a ，解得383231===c b a ，，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛38,32,31M ，∴()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=32323138,32,32220021，，，，，，，，，FM EM FC EC .设平面MEF 的法向量为()1111,,z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FM n EM ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++-03232310383232111111z y x z y x ，令11=z ，则2211-==y x ，，∴平面MEF 的一个法向量为()1,2,21-=n.设平面CEF 的法向量为()2222,,z y x n =，在⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n FC n EC ，∴⎩⎨⎧=-=+-022022222z y y x ，令12=y ，则1222==z x ，，∴平面CEF 的一个法向量为()1,1,22=n.∴66633,cos 212121==⋅=n n n n n n.设二面角C EF M --的平面角为θ，∴630661,cos1sin 2212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n nθ，即二面角C EF M --的正弦值为630.19.解：（1）设()B B y x B ,，由BA MB =得B 诶线段MA 的中点.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p M ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=02242y y p x B B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2420y y p x B B ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B ，把⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B 代入px y 22=中，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛422220p p y ，把()0,4y A 代入px y 22=中，得p y 820=，∴p p p 2422=⎪⎭⎫⎝⎛-.又0>p ，∴4=p ，∴抛物线C 的方程为x y 82=.（2）由题意，知直线l 的斜率存在且不为0，∵()02，-M ，∴可设直线l 的方程为2-=my x .设()()2211,,y x B y x A ，，则点()11,y x P -.由⎩⎨⎧=-=xy my x 822消去x 得01682=+-my y ，∴0>∆，根据根与系数的关系得1682121==+y y m y y ，.直线BP 的斜率12212212121288y y y y y y x x y y k -=-+=-+=，直线BP 的方程为()21228x x y y y y --=-，∴()()()221222122122128181********y y y y y y y x y y y y y y x ++--=+---=()28112+-=y y y ，即直线BP 的方程可表示为()28112+-=y y y x .∴直线BP 过定点，且定点坐标为()02，.20.解：（1）()exaex x a e x f -=-='22.①当0<a 时，()0>'x f 恒成立，∴()x f 在()∞+，0上单调递增；②当0>a 时，令()0>'x f ，解得2ae x >，令()0<'x f ，解得20aex <<，∴()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae 上单调递增.综上所述，当0<a 时，()x f 的单调递增区间为()∞+，0，无单调递减区间；当0>a 时，()x f 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，，单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae .（2）当1=a 时，()x x ex f ln 12--=，由（1）可知()x f 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，，单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae .∵方程()m x f =有两个不相等的实数根21,x x ，且21x x <，因此2120x ex <<<.由于2x 时()m x f =的实数根，∴m x x e=--22ln 12，整理得()2221ln x m e x e x -+=-.令()x e x x h ln -=，且2ex >，则()x e x x e x h -=-='1，令()0>'x h ，解得e x >，令()0<'x h ，解得e x e<<2，∴()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛e e ,2上单调递减，在()∞+，e 上单调递增，∴()()0ln =-=≥e e e e h x h ，即0ln 22≥-x e x ，∴()012≥-+x m e ，而01>x ，因此()0112>+-+x x m e ，即()112+<-m e x x .21.解：（1）由题意知X 的所有可能取值为-4，-2,0,2,4,6，且()221663421213===-=C C X P ；()22366922122316==+=-=C C C X P ；()331066200212121613==+==C C C C X P ；()22766212212261213==+==C C C C X P ；()112661242121612====C C C X P ；()661621222===C C X P ，∴X 的分布列为：∴()()()16616112422723310022322214=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=X E .（2）①记一名爱好者第1+n 次购买C 型号盲盒的概率为1+n P ，则()n n n P P P -+=+121321，即21611+=+n n P P ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+5361531n n P P .∵211=P ，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+531n P 是以101531-=-P 为首项，61为公比的等比数列，∴16110153-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P ，即53611011+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P .②∵5353611011<+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P ，∴这名爱好者购买C 型号盲盒的概率不能达到53.（二）选考题22.解：（1）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ，∴θθρcos 2sin 2+=，即θρθρρcos 2sin 22+=.X -4-2246P2212233310227112661又θρcos =x ，θρsin =y ，222ρ=+y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x .（2）依题意，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：()043cos 2sin 2=-+-t t αα.设点N M ,所对应的参数分别为21,t t ，则43cos 2sin 2121-=+=+t t t t ，αα.∵点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴1t PM =，2t PN =.∵021<t t ，∴2121t t t t PN PM +=-=-()ϕααα+=+=sin 5cos 2sin ，其中552sin 55cos ==ϕϕ，.由()03cos 2sin 2>++=∆αα，得R ∈α，∴当()1sin ±=+ϕα时，PN PM -最大，且最大值为5.23.解：（1）∵c b a ,,都是正实数，∴02>≥+ab b a ，02>≥+bc c b ，∴()()bc ab c b b a 22⋅≥++，当且仅当1===c b a 时，等号成立，即()()ac b c b b a 4≥++.又∵1=ac ，∴()()b c b b a 4≥++.（2）∵1112121=++++c b a ，∴12212422=++++cb a .由柯西不等式，得()()[]()22122212142221242++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++++++c b a c b a ，即()22215222+≥+++c b a ，即222+≥++c b a ，当且仅当()c b a 21222=+=+，即222222+===c b a ，，时等号成立，∴c b a ++的最小值为222+.。
2021-2022年高三5月联考 数学理 含答案
2021-2022年高三5月联考数学理含答案一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上) 1．已知集合，，则（）A．[1,2) B．C．[0,1] D．2．复数的共扼复数表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．阅读程序框图，若输入m=4，n=6，，则输出a，i分别是（）A．B．C．D．4．若，则的展开式中常数项为（）A．B．C．D．5．右图是函数y＝A sin(ωx＋φ)(，)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.6．如图，已知圆，四边形 为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，的取值范围是 （ ） A ． B ． C ．D ．7．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．8．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2，直线与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点M 在第一象限，并且在抛物线上，且M 到抛物线焦点的距离为p ，则直线的斜率为（ ） A ． B ．C ．D ．9．若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则的最小值为（ ） A ．B ．8C ．D ．2yxEF DB CMO A正视图侧视图俯视图10．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟，瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完.则函数的图像为（ ）二、选做题：（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评分，本题共5分。
高中高三数学理科五月联考试卷试题
卜人入州八九几市潮王学校局部重点高中2021届高三数学理科五月联考试卷〔时间是：120分钟总分值是：150分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共计50分〕{}|(1,2)(3,4),M a a k k R ==+∈,集合(){}R m m a a N ∈+--==),5,4(2,2，那么MN =〔〕A.{}(2,2)--B.{}(1,2),(2,2)--C.{}(4,2)D.Φ2.函数1()2x y =与函数216xy =-的图象关于〔〕A ．直线2x=对称B ．点(4,0)对称C ．直线4x =对称D ．点(2,0)对称3.“a(a-b)<0”是“1>ab〞成立的〔〕 4.c AC b BC a BA ===→→→,,且满足)0(0)||||(>=⋅+λλc b b a a ，那么ABC ∆为〔〕)(x f 在1=x 处连续，且21)(lim1=-→x x f x ，那么)1(f 等于〔〕 A ．－2 B ．-1C ．0D ．26.n n n x a x a x a a x x x x ++++=+++++++ 221032)1()1()1(，且320a a a +++2)1(601+-=+-n n a n ，那么n ＝〔〕 〕Ⅰ：假设平面上的直线a 与平面上的直线b 为异面直线，直线c 是与的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么.A .ⅠⅡ不正确B .ⅡⅠ不正确C .D .8.设定义域值域均为R 的单调函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=，且2)()(=-+x f x f ，那么)3()1(11x fx f-+---的值是〔〕A ．0B ．2C ．2-D ．42-x9．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线)(x f y =〔实线表示〕，另一种是平均价格曲线)(x g y =〔虚线表示〕(如f(2)=3是指开场买卖后二个小时的即时价格为3元；g(2)=3表示二个小时内的平均价格为3元)，以下列图给出的四个图像中，其中可能正确的选项是〔〕二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分〕|)3sin(|c x y ++=π的周期为π，那么实数=c .0432:=++-a y ax l 恒过定点A ，l与曲线084522=+--+y x y x 交于P ,Q 两点，那么=⋅AQ AP13.设地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两地，它们的经度差120°，那么这两地间的较短的纬线长等于}{n a 中，),2(12,411N n n a a a n n ∈≥-==-，那么=-+∞→32lim1n nn a .a ，b ，c ，d 排成如a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点(x ，y )在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(ax +by ，cx +dy )，假设曲线x 2+4xy +2y 2=1在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成曲线x 2－2y 2=1，那么a +b 的值是三、解答题〔本大题一一共6小题，一共75分〕16．〔本小题12分〕)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC ，且πα<<0.〔1〕假设1-=⋅BC AC ，求α2cos 的值.〔2〕假设13||=+OC OA ，求OB 与OC 的夹角θ.17．〔本小题总分值是13分〕函数)(x f y =对任意实数y x ,都有)()()(y f x f y x f ⋅=+且0)1(≠f .x xxxA B C D〔1〕记))((*N n n f a n∈=，∑==ni in a S 1，12+=nnna Sb ，且}{n b 为等比数列，求1a 的值. 〔2〕在〔1〕的条件下，设nn b a n c n n n 27)(2-++=.问是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有?3mC n >假设存在，求出m 的值，假设不存在，说明理由. 18．〔本小题总分值是13分〕矩形ABCD 中，12==AD AB ，，将ΔABD 沿BD 折起，使点A 在平面BCD内的射影落在DC 上，E 、F 、G 分别为棱BD 、AD 、AB 的中点。