2018-2019金太阳湖南省2月高三联考理科数学答案
推荐-全国大联考2018届高三第二次联考·数学(理)试卷-人教版[特约][整理] 精品
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全国大联考(湖南专用)2018届高三第二次联考·数学试卷(理)命题：湖南师大附中、长沙市雅礼中学等校：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟． 2． 答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚．3． 请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上，第Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答题． 4． 本试卷主要考试内容：函数、集合、映射、简易逻辑．第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数中是同一函数的是A ．y ＝1与y ＝x 0B ．y ＝x 与y ＝log a xaC ．y ＝2lg x 与y ＝lg x 2D ． y ＝2x ＋1－2x 与y ＝2x2．若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z}，N ＝{x ||x －3|≥6，x ∈R}，全集U ＝R ，则M ∩ðU N 的真子集个数是A ．15B ．7C ．16D ．8 3．已知a ，b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a ，0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a +b 等于 A ．－1 B ．0C ．1D ．±14．已知f (x )＝－4－x 2在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是 A ．[－2，2] B ．[－2，0] C ．[0，2] D ．(－2，2) 5．已知f (x )是R 上的增函数，令F (x )＝f (1－x )－f (3＋x )，则F (x )在R 上是A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增6．已知p ：关于x 的方程x 2－ax +4＝0有实根，q ：二次函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若“p 或q ”是真命题，而“p 且q 是假命题”，则a 的取值范围是 A．(－12，－4]∪[4，+∞) B．[－12，－4]∪[4，+∞) C ．(－∞，－12)∪(－4，4) D ．[－12，+∞) 7．设a >1，实数x ，y 满足|x |－log a 1y＝0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是8．点P 是曲线y ＝2－ln2x 上任意一点，则点P 到直线y ＝－x 的最小距离为A ．54 2B ．34 2 C ．3－2ln2 2 D ．3－ln2 29．设f (x )＝|2－x 2|，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(0，4]D ．(0，2)10．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠11，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实数解x 1、x 2、x 3，则222123x x x ++等于 A ．5 B ．2b 2＋2b2C ．13D ．3c 2＋2c 2第Ⅱ卷 ( 非选择题 共100 分)二、填空题: 本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上． 11．函数y ＝(49)x ＋(23)x －109的定义域为 ． 12．已知函数f (x )＝bx2－3x，若方程f (x )＝－2x 有两个相等的实根，则函数解析式为 ． 13．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.18μ0，则当稳定系数降为0.50μ0时，该种汽车的使用年数为 (结果精确到1，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)． 14．已知实数a ，b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列五个等式：①a >b >1；②b >a >1；③a <b <1；④b <a <1；⑤a ＝b ． 其中可能成立的关系式是 (填序号)． 15．已知n 元集合M ＝{1，2，…，n }，设M 所有的3元子集的元素之和为S n ，则l imn →∞S nn 2＝ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |log 13(x －a 2)<0}，B ＝{x ||x －3|<a }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )＝a ·2x －12x ＋1为R 上的奇函数．⑴求f (x )及f －1(x )的解析式；⑵若当x ∈(－1，1)时，不等式f －1(x )≥log 21＋x m 恒成立，试求m 的取值范围．18．(本小题满分14分)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )⑴若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；⑵若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调增减，求a 的取值范围．某水库进入汛期的水位升高量h n (标高)与进入汛期的天数n 的关系是h n ＝205n 2＋6n ，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降4(标高)．⑴若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？ ⑵若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？ (参考数据：2.272＝5.1529，2.312＝5.3361)20． (本小题满分14分)设f (x )＝|x ＋1|＋|ax ＋1|．⑴若f (－1)＝f (1)，f (－1a )＝f (1a )(a ∈R 且a ≠0)，试求a 的值；⑵设a >0，求f (x )的最小值g (a )关于a 的表达式．定义函数f n(x)＝(1＋x)n－1，x>－2，n∈N＋，其导函数记为f n′(x)．⑴求证：f n(x)≥nx；⑵设f′n (x0)f′n+1 (x0)＝f n(1)f n＋1(1)，求证：0<x0<1；⑶是否在在区间[a，b] (－∞，0]，使函数h(x)＝f3(x)－f2(x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]?若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，b]．2018届高三第二次联考·数学试卷(理)参考答案（湖南专用）11．(－∞，1] 12．f (x )＝4x 3x －213．13 14．②④⑤ 15．12提示：1．D A 、B 、C 定义域不同，选D ． 2．BM ＝{0，1，4，9，…}，ðU N ＝{－3，9}，∴M ∩ðU N ＝{0，1，4}，∴M ∩ðU N 的真子集个数为23－1＝7．3．C 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b a ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1．4．B定义域和值域相等，图象本身关于直线y ＝x 对称，故原函数图象为圆x 2＋y 2＝4在第三象限的14圆．5．B 由f (x )的任意性，可用特例，令f (x )＝x ，则F (x )＝1－x －(3＋x )＝－2－2x ， ∴F (x )是减函数．6．C p ：△＝a 2－16≥0，a ∈(－∞，－4]∪[4，∞)． q ：－a4≤3，a ≥－12，a ∈[－12，＋∞)．p 真q 假：(－∞，－12)，p 假q 真：a ∈(－4，4)， 故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)7．By ＝(1a )|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧(1a )x ，x ≥0，a x，x <0。
2018—2019学年湖南省名校高三联考考试试题(二)数学(理)试题 含答案
2018—2019学年湖南省名校高三联考考试试题（二）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.函数lg(4)()2x f x x -=-的定义域是( )A ．(－∞,4)B ．(2,4)C ．(0,2)∪(2,4)D ．(－∞,2) ∪(2,4)2.设命题:P x ∀∈R ，使得20x ≥，则P ⌝为（ ）A.x R ∃∈，使得20x <B.x R ∃∈，使得20x ≤ C.x R ∀∈，使得20x < D.x R ∀∈，使得20x ≤ 3.已知函数若()()()()23,6log ,6f x x f x x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()1f -的值为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．14.若数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=nn a a 1-，则a 7等于（ ）A ．2B ．21C ．﹣1D ．20185.设1a b c <<<下列各式成立的是 （ ）A ．a a c b <B ．c ba a < C ．log log c c ab < D ．log logc c b a <6.把sin 2y x =的图像向左平移π3个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（ ）A.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.2πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.2πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．函数2()2(1)f x x a x =-+-与1()1a g x x -=+这两个函数在区间[1,2]上都是减函数的一个充分不必要条件是实数a ∈( ) A. (2,1)(1,2)-- B ．(1,0)(0,2)- C ．(1,2) D ．(1,2]8. 两座灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离分别是akm 和2akm ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 之间的距离为（ ）A．akm B ．2akm C．akm D．akm9.若定义在R 上的偶函数()f x ，满足(+1)()f x f x =-且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log f x x=的实根个数是（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D.6个 10.函数y =错误！未找到引用源。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)第二次复习效果检测试题及答案解析
2018-2019学年下期三年级第二次素质检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷共150分。
考试时间为120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在下列每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） 1.已知集合},4|{},,1|1||{Z x x x B R x x x A ∈≤=∈≤-=，则=⋂B A （ ） A.[0, 2]B.(0, 2)C.{0, 2}D.{0, 1, 2}2.已知命题P 1：平面向量b a ,共线的充要条件是a 与b 方向相同；P 2：函数x x y --=22在R上为增函数，则在命题：213212211)(:,:,:P P q P P q P P q ∨⌝∧∨和）（214:P Pq ⌝∧中，真命题是（ ） A.q 1, q 3 B.q 2, q 3 C.q 1,q 4D.q 2,q 43.已知),0(,2cos sin πααα∈=+，则)3tan(πα-=（ ）A.32-B. 32--C. 32+-D. 32+4.已知}{n a 是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d=（ ） A.32-B.31-C. 31D. 325.某校安排四个班到三个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有（ ）A.24B.36C.48D.606.已知直线m 和平面βα,，则下列四个命题中正确的是（ ） A.若αββα⊥⊂⊥m m 则,, B. 若βαβα//,//,//m m 则 C. 若βαβα⊥⊥m m 则,,//D. 若βαβα//,//,//则m m7.曲线x e y 21=在点（4，2e ）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（ ） A.229e B.4 2e C.2 2e D. 2e8.某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了10000粒，对于没有发芽的种，每粒需要再补2粒，补种的种子数记为x ，则x 的数学期望为（ ） A.1000B.2000C.3000D.40009.设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ，则=>-}0)1(|{x f x （ ） A.}32|>-<x x x 或｛ B. }20|><x x x 或｛ C. }30|><x x x 或｛ D. }31|>-<x x x 或｛10.设F 1，F 2是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率（ ） A.21 B.32C.43D.5411.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，则2y x的最小值为（ ） A.1B.21C.32D.9112.用max(a, b, c)表示a, b, c 三个数中的最大值，设函数)0}(10,2,2max{)(≥-+=x x x x f x ，若)(0x f 是)(x f 的最小值，则x 0在区间内（ ） A.(1,2)B.(2,3)C.(0,1)D.(3,4)第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2018-2019年湖南高中理科数学高考精品试卷含答案
2018-2019年湖南高中理科数学高考精品试卷含答案解析（时间：60分钟 满分100分）班级__________ ___________ 学号___________注意事项：本试卷分选择题和非选择题，满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（每小题5分，共50分）1.设x ，y 是两个实数，则“x ，y 中至少有一个数大于1”是“x 2＋y 2＞2”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案解析】D【详解】若x ，y 中至少有一个数大于1（如x=1.1，y=0.1），则x 2＋y 2＞2不成立 若x 2＋y 2＞2（如x=-2，y=-2）则x ，y 中至少有一个数大于1不成立所以“x ，y 中至少有一个数大于1”是“x 2＋y 2＞2”成立的既非充分又非必要条件 2.函数的图像大致是A B C D【答案解析】A3.设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009【答案解析】C4.计算的结果为（ ）A．B． C. D．【答案解析】B5.已知非零向量，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值（）A．随增大而大 B．随增大小而变小C．等于2 D．等于4【答案解析】D6.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．-B．C．D．【答案解析】B【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========7.曲线x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成封闭区域（含边界）为Ω，直线y=3x+b与区域Ω有公共点，则b的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣11【答案解析】D【分析】由约束条件画出平面区域，由y=3x+b得y=3x+B，然后平移直线，利用z的几何意义确定目标函数的最小值即可．【解答】解：x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成的平面区域如图，由，解得A（6，7）由y=3x+b，平移直线y=3x+b，则由图象可知当直线经过点A时，直线y=3x+b的截距最小，此时b最小．∴b=﹣3x+y的最小值为﹣18+7=﹣11．故选：D．8.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案解析】C如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，∴∠DBE=.故选C.9.用秦九韶算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6，在x=﹣4时，v2的值为（）A．﹣4 B．1 C．17 D．22【答案解析】D【考点】秦九韶算法．【分析】先将多项式改写成如下形式：f（x）=（（（（（x）x+6）x）x+9）x）x+208，将x=﹣4代入并依次计算v0，v1，v2的值，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=208+9x2+6x4+x6=（（（（（x）x+6）x）x+9）x）x+208，当x=﹣4时，v0=1，v1=1×（﹣4）=﹣4，v2=﹣4×（﹣4）+6=2210.过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【答案解析】B【分析】过点A（1，2）且与原点距离最大的直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：B二．填空题：（每小题5分，共25分）1．已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为．【答案解析】﹣=1【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再根据F（3，0）是E的焦点，过F的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为∵F（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：①；②由①﹣②得：=∵AB的中点为N（﹣12，﹣15），∴又AB的斜率是∴，即4b2=5a2将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5∴双曲线标准方程是故答案为：2.一物体在力F（x）=，（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m）处，则力F（x）做的功为焦．【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，1]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案【解答】解：W===36．故答案为：363.若x10－x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x－1)10，则a5=．【答案解析】251【分析】根据x10﹣x5=[（x﹣1）+1]10﹣[（x﹣1）+1]5，利用二项式展开式的通项公式，求得a5的值．【解答】解：∵x10﹣x5=[（x﹣1）+1]10﹣[（x﹣1）+1]5，﹣=251，∴a5=故答案为：2514.取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A）的概率为【答案解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率 P（A）=5.如图1是某高三学生进入高中﹣二年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次．考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．【分析】该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数，由此利用茎叶图能求出结果．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数； 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个． 故答案为：10三、解答题(共25分)1.已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=AB=1，M 是PB 的中点．（1）求异面直线AC 与PB 所成的角的余弦值； （2）求直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值．【答案解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC 与PB 所成的角的余弦值，（2）设=（x ，y ，z ）为平面的ACM 的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值．【解答】解：（1）以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，1），C （1，1，0），B （0，2，0），M （0，1，）， 所以=（1，1，0），=（0，2，﹣1），||=，||=，=2，cos（，）==，（2）=（1，﹣1，0），=（1，1，0），=（0，1，），设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，则，即，令x=1，则y=﹣1，z=2，所以=（1，﹣1，2），则cos＜，＞===，设直线BC与平面ACM所成的角为α，则sinα=sin[﹣＜，＞]=cos＜，＞=2.（1）已知圆（x+2）2+y2=1过椭圆C的一个顶点和焦点，求椭圆C标准方程．（2）已知椭圆的离心率为，求k的值．【答案解析】解：（1）圆（x+2）2+y2=1与x轴的交点为（﹣1，0），（﹣3，0），由题意可得椭圆的一个焦点为（﹣1，0），一个顶点为（﹣3，0），设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），可得a=3，c=1，b==2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当焦点在x轴上时，椭圆+=1的a2=8+k，b2=9，c2=k﹣1，e2===，解得k=4；当焦点在y轴上时，椭圆+=1的b2=8+k，a2=9，c2=1﹣k，e2===，解得k=﹣．综上可得k=4或﹣．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出圆与x轴的交点，可得椭圆的一个焦点和一个顶点，再由a，b，c的关系可得椭圆方程；（2）讨论焦点在x，y轴上，求得a，b，c，e，解方程可得k的值．解答：解：（1）圆（x+2）2+y2=1与x轴的交点为（﹣1，0），（﹣3，0），由题意可得椭圆的一个焦点为（﹣1，0），一个顶点为（﹣3，0），设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），可得a=3，c=1，b==2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当焦点在x轴上时，椭圆+=1的a2=8+k，b2=9，c2=k﹣1，e2===，解得k=4；当焦点在y轴上时，椭圆+=1的b2=8+k，a2=9，c2=1﹣k，e2===，解得k=﹣．综上可得k=4或﹣．。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)第二次联考模拟试题及答案解析
2018届高三下学期重点中学第二次联考试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则A B 中元素的个数为 ▲ ．6 2.设复数z 满足i i z 510)2(-=+，（i 为虚数单位），则复数z 的实部为▲ .33. 已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，且xy = 60，则此样本的方差是 ▲ ．24. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果S 为▲ ．135.从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为4或5的概率为 ▲ .126.已知3(0,),sin()45αππα∈+=-，则tan α＝ ▲ .17-7.已知正三棱锥的体积为93cm 3，高为3cm ．则它的侧面积为 ▲ cm 2．1838. 已知双曲线22221x y a b-= (0a >，0b >)的左顶点为M，右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且满足M A M B ⊥，则该双曲线的离心率是 ▲ ．2 9. 设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 .2 10.已知2231,0()2,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则不等式2(2)5f x x -≤的解集为▲ . [1,1]-11. 如图，已知AC 是圆的直径，,B D 在圆上且35AB AD ==，，则AC BD ⋅= ▲ .2 12.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+= 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+ ，则b = .5313. 若函数2()2(ln )f x m x x x =+-有唯一零点，则m 的取值范围是 ▲ .102m m <=或14.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1()()2f t f t+=-，则224a b +的最小值为 ▲ ．165二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足I ←0While I <9 S ←2I + 1 I ←I +3End While Print S 第4题图ACBD2sin()6b C ac π+=+．（1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠． （Ⅰ）312sin (sin cos )sin sin 22B C C A C ⋅+⋅=+， 即3sin sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，3sin sin cos sin sin B C B C C ∴=+，3sin cos 1B B ∴=+，所以2sin()16B π-=，由(0,)B π∈ ,5(,)666B πππ-∈- 解得3B π=． ………………… 7分（范围不说明扣1分）（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =， 由（Ⅰ）知3B π=，33,27AD x AC x ∴=∴=，由正弦定理知，427sin sin 60x xBAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分解法二：由（Ⅰ）知3B π=，又M 为BC 中点，2a BM MC ∴==，在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+- 222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-37,22a cb a ∴=∴=，由正弦定理知，72sin sin 60aa BAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分16. 如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．（1）若AB BC ⊥，CP PB ⊥，求证：CP PA ⊥； （2）若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ∥平面PBC ．16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC平面ABCBC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC． …………3分因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB 又因为CP ⊥PB ，且PB AB B =，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CP ⊥平面PAB ，又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ． …………7分 （2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ． 因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC，所以PD ⊥平面ABC ．…………10分又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．ACBP又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，l //平面PBC ． …………14分17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为nE cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ， 该生物探测器在水中逆流行进200 km ． （1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T， 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -，所以200T =4v -，即2004T v =-，4v >； ……………………4分 （2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦ 162002(4)84c v v ⎡⎤⋅-⋅+⎢⎥-⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）……………9分(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =， 当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =． 答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少． ……………14分 )0(12222>>=+b a by a x 的18.如图,已知椭圆C ：32.上顶点为(0,1)A ,离心率为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若过点A 作圆()2221:r y x M =++()10<<r 的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,试问直线BD 是xyBAMO否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ） 由已知可得,2221,3,2,12,b c a b a a b c =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪=+⎩, 所求椭圆的方程为2214x y += (5)分（Ⅱ）设切线方程为1y kx =+，则2|1|1k r k-=+，即222(1)210r k k r --+-=， 设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=； …………………8分由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)80k x kx ++=， 所以211112211814,1414k k x y k k --==++，同理可得：222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k ----====++++， …………………12分所以221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==----++， 于是直线BD 方程为22111221111418()14314k k k y x k k k -+--=--++， 令0x =，得2221111222111114185205143143(14)3k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++， 故直线BD 过定点5(0,)3-. …………………16分19. 定义：从一个数列{a n }中抽取若干项(不少于三项)按其在{a n }中的次序排列的一列数叫做{a n }的 子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n }的等差(比)子列． （1）求数列1，12，13，14，15的等比子列；（2）设数列{a n }是各项均为实数的等比数列，且公比q ≠1．（i ）试给出一个{a n }，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）； （ii ）若{a n }存在无穷项的等差子列，求q 的所有可能值．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *）， 当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2，当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2N *；………3分当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14． ……………………5分（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项 等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1， ……………………7分 （ii ）设{a n k }(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ，当|q|＞1时，|q|n＞1，取n k ＞1＋log |q||d||a 1|(|q|－1)，从而|q|n k －1＞|d||a 1|(|q|－1)，故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1q n k ＋1－1－a 1q n k －1|＝|a 1||q|n k －1·|q n k ＋1－n k －1|≥|a 1||q|n k －1(|q|－1)＞|d|，这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去； ……………………12分 当|q|＜1时，|q|n＜1，取n k ＞1＋log |q||d|2|a 1|，从而|q|n k －1＜|d|2|a 1|， 故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1||q|n k －1|q n k ＋1－n k －1|≤|a 1||q|n k －1||q|n k ＋1－n k ＋1|＜2|a 1||q|n k －1＜|d|，这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去； 又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1． (16)分20.设函数()()ln ,f x x a x x a a R =--+∈．（1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间22(,)e e -内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当a ＝0时，f(x)＝xlnx －x ，f ’(x)＝lnx ， 令f ’(x)＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……………………3分 （2）方法一、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax，其中x ＞0，令g(x)＝xlnx －a ，分析g(x)的零点情况．g ’(x)＝lnx ＋1,令g ’(x)＝0，x ＝1e，列表分析x (0，1e )1e (1e，＋∞) g ’(x) － 0 ＋ g(x)单调递减单调递增g(x)min ＝g(1e )＝－1e－a ，……………………5分而f ’(1e )＝ln 1e －ae ＝－1－ae ，f ’(e －2)＝－2－ae 2＝－(2＋ae 2)，f ’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a)，①若a ≤－1e ，则f ’(x)＝lnx －ax≥0，故f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)＞0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a)＞0， 因此f ’(x)在(e －2，e 2)有两个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)≤0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a)＞0，因此f ’(x)在(e －2，e 2)有一个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点； 综上所述，当a ∈(－∞，－1e]时，f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；当a ∈(－1e ，－2e2)时，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；当a ∈[－2e2，0)时，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点.. ……………………10分方法二、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax ，令()ln g x x x（不用零点存在定理说明扣3分）（3）猜想：x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1恒成立． ……………………11分证明如下：由（2）得g(x)在(1e ，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－a ＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a ．因为当x ＞1时，lnx ＞1－1x (*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－1a ＋1)－a ＝0．故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0 (x 0，1＋a)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}． ……………………13分 又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x ＞1时，lnx ＜x －1(**)， 所以f(1＋a)＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f(1)． 即x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a)，使 f(x)＜a －1．……………………15分补充证明（*）：令F(x)＝lnx ＋1x －1，x ≥1．F ’(x)＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F(x)＞F(1)＝0，即lnx ＞1－1x ．补充证明（**）令G(x)＝lnx －x ＋1，x ≥1．G ’(x)＝1x －1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G(x)＜G(1)＝0，即lnx ＜x －1． ……………………16分数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指．．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．证明：连接BD ，因为直线AE 与圆O 相切，所以∠EAD ＝∠ABD ． ……………………4分又因为AB ∥CD ， 所以∠BAD ＝∠ADE ，所以△EAD ∽△DBA ． ........................8分 从而ED DA ＝AD BA ，所以AD 2＝AB .ED ． (10)分A BCDEO ·（第21题（A ）图）B ．选修4－2：矩阵与变换已知，点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B ．若点B 的坐标为(3,4)-，求点A 的坐标． 解：011201100112--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………………………………………………4分设(,)A a b ，则由013124a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得324b a b -=-⎧⎨+=⎩．……………………………………8分所以23a b =-⎧⎨=⎩，即(2,3)A -． (10)分C ．选修4－4：坐标系与参数方程若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是θθρ2sin cos 6=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为323x ty t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），当直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB ．解：（1）由θθρ2sin cos 6=，得θρθρcos 6sin 2=，26y x =． ……………………4分所以曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线． ……………………5分（2）将323x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩代入26y x =得2230t t --=，123,1t t ==- ……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22212121()[3()]28t t t t t t =-+-=-= (10)分解法二：代入26y x =得2230t t --=， 12122,3t t t t +==- ……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22221212112()[3()]2()48t t t t t t t t =-+-=+-= ……………………10分D ．选修4－5：不等式选讲设函数()23()f x x x x m m R =-+---∈． （Ⅰ）当4m =-时，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若存在0x R ∈，使得01()4f x m≥-，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）当4m =-时，33,2,()2341,23,5,3x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩ (2)分∴函数()f x 在(,3]-∞上是增函数，在(3,)+∞上是减函数，所以max ()(3)2f x f ==． ……………………4分（Ⅱ）01()4f x m ≥-，即0001234x x x m m-+--+≥+， 令()234g x x x x =-+--+，则存在0x R ∈，使得01()g x m m≥+成立， ∴max 1()2,m g x m +≤=即12,m m+≤ ……………………7分∴当0m >时，原不等式为2(1)0m -≤，解得1m =， 当0m <时，原不等式为2(1)0m -≥，解得0m <，综上所述，实数m 的取值范围是{}(,0)1-∞U ． ……………………10分22.设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个. （1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率； （2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE . 解：可列举出集合S 的非空子集的个数为：31125=-个.（I ）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为：317=p . …………………4分（2）x 的可能值为1,2,3,4,5x12 3 4 5P131 231 431 831 1631()124816129=1+2+3+4+5=313131313131E x 创创? (10)分23. 设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S ．⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：nmS 111322n m n +++<+-． 23.解⑴228S =，4232S =； ……………………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……5分若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m n C -种可能，美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。
2018-2019金太阳湖南高二上学期期末联考理科数学答案
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2018-2019学年高中毕业班第二次统测数学(理科)试题参考答案
高三数学（理科）试题答案 第 1 页 共 6 页2019届高中毕业班第二次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题13． 2114． ()10102024-写不扣分 15．120 16．)+∞三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（1）在ΔABC 中，cos 0,B <所以ππ2B <<，所以sin 7B ==， 由正弦定理可得，sinsin AC BC B A =7sin A=，得sin A =…………4分 又因为A B <，所以π0,2A ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以π3A = …………6分 （2）()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦1172⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ …………9分 11sin 8722ABC S AC BC C ∆==⨯⨯= …………12分 （18）（本小题满分12分）解：（1）取BS 的中点O ，连接CO AO ，，因为ΔSBC 是等边三角形，所以BS CO ⊥，又,BS AC AC CO C ⊥=，所以BS AOC ⊥面.又AO AOC ⊂面，所以BS AO ⊥. …………3分 又O 是BS 的中点，所以AB AS = …………4分高三数学（理科）试题答案 第 2 页 共 6 页（2）设2BS =，依题意可得1AO OS ==，OC =，2CA CS ==.因为222AO OC AC +=，所以AO OC ⊥.又由（1）知，,OS OA OS OC ⊥⊥，如图以O 为原点，,,OS OC OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 …………6分 则()0,0,1A ，()1,0,0S，()C ，()1,0,0B -，()AD BC ==，()1,0,1AS =-，设面ASD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则110AS n AD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即111100x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，得方程的一组解为1111x y z ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，即(13,n =- …………8分()1,0,1CDBA ==，()SC =-，设面SDC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则220SC n CD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即222200x x z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得方程的一组解为2221x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即(23,1,n =…………10分1212121cos ,77n n n n n n ===- …………11分所以二面角A SD C --的余弦值为17. …………12分（19）（本小题满分12分）12514x x k =+21211kx k=+=+223165214k AB d k-=+ ,t =则220,16t t k >=9t t14，高三数学（理科）试题答案 第 4 页 共 6 页（20）（本小题满分12分）解：（1） 设“顾客投掷一次硬币，该次投掷‘顾客胜利’”为事件A ，则()344445216C C P A +== 所以顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率为516. …………3分 （2）方案一：设顾客参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数为X ，获得代金券数目为Y ，则53,16XB ⎛⎫⎪⎝⎭，132Y X =， 2111515332323216216EY E X EX ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⨯⎝⎭ …………6分 方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为ξ，则()31113310164096P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 22133151135111815551616164096P C ξ⨯⨯⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2233151131125825111616164096P C ξ⨯⨯⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 333331535125516164096P C ξ⨯⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………8分 （以上概率的值无需化简）323333311135111311251351330165516111651616E ξ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ …………10分 因为231512021616EY E ξ==<⨯ 所以统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案二. …………12分高三数学（理科）试题答案 第 5 页 共 6 页（21）（本小题满分12分）解：（1）()2ln 12'x a f x x -=, …………1分 因为()f x 在()0+∞，上单调递减，所以()'0f x ≤，得ln 10x a --≤ 令()ln 1h x x a =--，则()max 0h x ≤ …………2分 ()'h x =，当016x <<时，()'0h x >，()h x 单调递增；当16x >时，()'0h x <，()h x 单调递减，所以当16x =时，()h x 取得最大值()16ln163h a =+-由ln1630a +-≤得34ln 2a ≤- …………4分 （2）()1'g x x=，依题意有1211x x =-，化简整理得122x x -=，因为12x x ≠，所以2= ① …………6分()14122x x =，当且仅当12x x =时，等号成立成立，即()14124x x ≥，即12256x x ≥，又因为12x x ≠，所以12256x x > …………8分()()()121212ln ln ln g x g x x x x x +=+=，结合①式得 ()()()1212ln g x g x x x +=-，令12x x t =，则256t > 由（1）可知()ln 1h x x a =-在()16,+∞上单调递减，所以ln y t =在()16,+∞上单调递增， …………10分 所以当256t >时，ln ln 25688ln 2y t =>=- 即()()1288ln 2g x g x +>- …………12分高三数学（理科）试题答案 第 6 页 共 6 页（22）（本小题满分10分）解：（1）将C 的参数方程化为普通方程得()(2214x y -+=，将c o s ,s i n x y ρθρθ==代入，并化简得C的极坐标方程为2cos ρθθ=+. 2l 的极坐标方程为()πR 3θαρ=+∈ …………4分 （2）依题意可得()2cos ,A ααα+，即4sin ,6A παα⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2cos ,333B ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即π4cos ,3B αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ4sin 4cos 63OA OB ααα⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …………8分因为π02α<<，所以ππ5π336α<+<，当πππ,326αα+==即时，OA OB +取得最大值 …………10分（23）（本小题满分10分）解：（1）不等式()2f x >，即|2||22|2x x -+->. 可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩ …………3分解得223x x <>或，所以不等式的解集为2|23x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. …………5分 （2）()2211f x x a x x a x x =-+-=-+-+- ()11x a x x ≥---+-11a x =-+-1a ≥-当且仅当1x =时，两处等号同时成立， …………8分 所以12a -≥，解得1a ≤-或3a ≥ 实数a 的取值范围是(][),13,-∞-+∞ …………10分。
2018-2019下学期高三理科数学好教育2月特供卷(三)附解析
2018-2019下学期高三理科数学好教育2月特供卷（三）附解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，集合{}2,3B =，则()UA B =ð（ ）A ．∅B ．{}1,2,3,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3,42．在区间[]2,2-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为（ ）A ．16B ．12C ．13D ．143．已知各项为正数的等比数列{}n a满足11a =，2416a a =，则6a =（ ）A ．64B ．32C ．16D ．44．欧拉公式i cos is n e i xx x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，πii 4πe e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知M 、N 是不等式组11106x y x y x y ≥≥-+≥+≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所表示的平面区域内的两个不同的点，则MN的最大值是（ ）AB．C．D ．1726．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A ．log 3log 3a b >B ．336a b +>C ．133ab a b++> D ．b a a b >7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8+B ．8+C ．283 D ．108．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记0,2πABP x x ∠⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．0，3B ．0，4C ．2，3D ．2，410．已知函数()()()sin ,0cos ,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到()cos y x a b =++的图像A ．π4B ．π3C ．π2 D ．π11．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===， 则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A． B． CD．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点．若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（ ） A．．4+ C．． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2222:1x y C a b -=，点()2,1P 在C 的渐近线上，则C 的离心率为 ． 14．62x ⎛⎝的展开式中的常数项的值是__________．（用数学作答） 15．设ABC △的外心P 满足()13AP AB AC =+，则cos BAC ∠=__________．16．数列{}n a的首项为1，其余各项为1或2，且在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列{}n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2019S =__________． （用数字作答）三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知1cos23A =-，c ，sin A C =．（1）求a 的值；（2）若角A 为锐角，求b 的值及ABC △的面积．18．（12分）如图（1），等腰梯形ABCD ，2AB =，6CD =，AD =，E 、F 分别是CD 的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF 、BE 折起，使得点C 和点D 重合，记为点P ，如图（2）．（1）求证：平面PEF ⊥平面ABEF ；（2）求平面PAF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点()01,P y 在椭圆上，且2PF x ⊥轴，12PF F △的周长为6．（1）求椭圆的标准方程； （2）过点()0,1T 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-恒成立？请说明理由．20．（12分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N 人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这个k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验，这时k 个人的检验次数为1k +次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p ．（1）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若0.1p =，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（2）设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数． ①当5k =，0.1p =时，求ξ的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．21．（12分）已知函数()()244ln 2f x x x m x =-+，其中m 为大于零的常数，（1）讨论()y f x =的单调区间；（2）若()y f x =存在两个极值点1x ，()212x x x <，且不等式()12f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-=⎧⎨⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程分别为ρθ=，3sin ρθ=． （1）求直线l 的极坐标方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 的一个交点为点A （A 不为极点），直线l 与OA 的交点为B ，求AB．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()12f x x a x =-+-（a 为实数） （1）当1a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若1a >，解不等式()f x a≤．2019届高三好教育云平台2月份内部特供卷理科数学（三）答 案一、选择题． 1．【答案】C 【解析】因为{}3,4U A =ð，所以(){}2,3,4U A B =ð，故选C ．2．【答案】D【解析】由20x x -<，得01x <<，所以所求概率为()101224-=--，故选D ．3．【答案】B【解析】由2416a a =，得24116a q =，416q =，q >，2q ∴=，5561232a a q ∴===，故选B ． 4．【答案】B【解析】因为πii 4πcos πisin πcos isin 44e ππe+===+，所以对应点⎛ ⎝⎭，在第二象限，故选B ．5．【答案】A【解析】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得()1,1A ，()5,1B ，()2.5,3.5C ，()1,2D ，M ，N 是区域内的两个不同的点，∴当M ，N分别与BD 对角线的两个端点重合时，距离最远，所以MN的最大值为BD =A ．6．【答案】B【解析】当9a =，3b =，时log 3log 3a b <；当4a =，13b =，时133ab a b++<；当4a =，2b =，时b aa b =，因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>>，故选B ．7．【答案】A【解析】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为311222832V =+⨯⨯=，故选A ．8．【答案】D【解析】当4π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()11tan 2y f x x==⨯⨯；当,42ππx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()11112tan y f x x ==-⨯⨯，根据正切函数图象可知选D ． 9．【答案】D【解析】执行循环，得1i =，2b =；2i =，4a =；3i =，2a =，结束循环，输出2a =，2b =，此时4i =，故选D ． 10．【答案】D【解析】因为函数()()()sin ,0cos ,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22ππa b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin πcos πa b -+=+，即sin cos b a =，sin cos a b =， 因此()π2π2a b k k +=+∈Z ，从而()()cos sin sin πy x a b x x =++=-=+，故选D ．11．【答案】B【解析】不妨设抛物线标准方程()220x py p =>，可设()1,C m ，(2,B m +，则(1242pmp m ⎧==⎪⎨⎪⎩，32∴=p ∴=，故选B ．12．【答案】A【解析】显然在正方体中BD ⊥平面11ACC A ，所以BD AM ⊥， 取AC 中点E ，取AE 中点O ，则1tan tan AOAACM ∠=∠，1AO AM ∴⊥， 取11AC中点1E ，取11A E 中点1O ，过1O 作11PQ B D ∥，分别交11A B ，11A D 于P ，Q ， 从而AM ⊥平面BDQP ，四边形BDQP 为等腰梯形，周长为2A ．二、填空题．13【解析】根据双曲线的方程，可知焦点在x 轴上，结合()2,1P 在渐近线上，所以12b a =，即2a b =，所以c ，从而有其离心率c e a =．14．【答案】60【解析】因为()()()36662166C 2C 21rrrr r rr r T x x---+⎛==- ⎝，所以令3602r -=，得4r =，即常数项为()()64446C 2160--=． 15．【答案】12【解析】设BC 中点为M ，所以()1233AP AB AC AM =+=，因此P 为重心，而P 为ABC △的外心，所以ABC △为正三角形，1cos 2BAC ∠=．16．【答案】3993【解析】第1k +个1为数列{}n a 第()21135211k k k k ++++++-=++项，当44k =时，211981k k ++=；当45k =，时212071k k ++=；所以前2019项有45个1和()24420191981+-个2，因此()2201945244201919813993S ⎡⎤=+⨯+-=⎣⎦．三、解答题．17．【答案】（1）；（2）5b =．【解析】（1）由2cos212sin A A =-，得22sin 3A =，因为()0,πA ∈，∴sin A =，由sin A C ，1sin 3C =，由正弦定理sin sin a cA C =，得a =．（2）角A 为锐角，则cos A =，由余弦定理得22150b b --=，即5b =，或3b =-（舍去），所以ABC △的面积1sin 2ABC S bc A ==△18．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）E ，F 是CD 的两个三等分点，易知，ABEF 是正方形，故BE EF ⊥， 又BE PE ⊥，且PEEF E =，所以BE ⊥面PEF ，又BE ⊂面ABEF ，所以面PEF ABEF ⊥．（2）过P 作PO EF ⊥于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，则PO ⊥面ABEF ， 又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0F -，(P ，所以()2,0,0AF =-，(FP =，()0,2,0AB =，(2,1,PA =-，设平面PAF 的法向量为()1111,,x y z =n ，则1100AF FP ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=n n，∴111200x y ⎧⎪⎨-=⎪⎩=，()10,=n ， 设平面PAB 的法向量为()2222,,x y z =n ，则2200AB PA ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=n n，∴22222020y x y =-=⎧⎪⎨⎪⎩，)22=n，1212cos θ⋅===⋅n n n n ，所以平面PAE 与平面PAB．19．【答案】（1）22143x y +=；（2）当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-．【解析】（1）由题意，()11,0F -，()21,0F ，1c =，∵12PF F △的周长为6，∴122226PF PF c a c ++=+=，∴2a =，b∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）假设存在常数λ满足条件． ①当过点T 的直线AB的斜率不存在时，(A，(0,B ，∴)()311327OA OB TA TB λλλ⎡⎤⋅+⋅=-+=--=-⎣⎦，∴当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-；②当过点T 的直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221431x y y kx +==+⎧⎪⎨⎪⎩，化简得()2234880k x kx ++-=，∴122843k x x k +=-+，122843x x k =-+．∴()()1212121211OA OB TA TB x x y y x x y y λλ⋅+⋅=+++--⎡⎤⎣⎦()()()21212111k x x k x x λ=+++++()()()()2222228118218117434343k k k k k k λλλ⎡⎤++-+++⎣⎦=--+=+=-+++，∴21143λλ++==，解得：2λ=，即2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-．综上所述，当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-．20．【答案】（1）0.243；（2）①见解析，②当1P ->时，用分组的办法能减少检验次数．【解析】（1）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件:A 3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率()123C 0.10.90.243P A =⋅⋅=．（2）①当5K =，0.1P =时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为50.9，每人所检验的次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为510.9-，则每人所检验的次数为65次，故ξ的分布列为()11k P P k ξ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()1111k P P k ξ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭， ∴()()()111111111k k k E P P P k k k ξ⎛⎫⎡⎤=⋅-++--=--+⎪⎣⎦⎝⎭，不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需()1111kP k --+<，即1P ->，所以当1P ->时，用分组的办法能减少检验次数．21．【答案】（1）见解析；（2）(],32ln2a ∈-∞--．【解析】（1）()()2840x x mf x x x '-+=>，①当12m ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞在上单调递增； ②当102m <<时，设方程2840x x m -+=的两根为1x ，2x ，则1x =，2x =，∴1104x <<，21142x <<， ∴()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，()12,x x 上单调递减．（2）由（1）可知，102m <<且1212x x +=，128mx x ⋅=，由()12f x ax ≥，∴()12f x a x ≤，因为()()()221111111144ln2211412ln2f x x x m x x x x x =-+=--+-，所以()()()1111121122128ln21122f x f x x x x x x x ==--+--，设12t x =，102t <<，令()()21214ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭，()()21212ln 1h t t t ⎡⎤=-+'⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 当102t <<时，()2112ln 01t t -+<-，故()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()132ln22h t h ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭，综上所述，(],32ln2a ∈-∞--时，()12f x ax ≥恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）sin cos 1ρθρθ+=；（2）52AB =【解析】（1）直线l 的参数方程为1x ty t =-=⎧⎨⎩（t 为参数），消参得10y x +-=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直角坐标方程可得sin cos 1ρθρθ+=．（2）法1：由3sin ρθρθ==⎧⎪⎨⎪⎩，得tan θ=，所以π6θ=， 点A 的极坐标3,26πA ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点B 在直线OA 上，所以设B 的极坐标为π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由sin cos 1ρθρθ+=，得1B ρ=，所以1,6πB ⎫⎪⎭，所以52A B AB ρρ=-=法2：曲线1C 与曲线2C的直角坐标为220x y +=，2230x y y +-=，由2222030x y x y y +=+-=⎧⎪⎨⎪⎩，得点A的坐标34A ⎫⎪⎪⎝⎭， 所以直线OA的方程为y =，由1x y y x +==⎧⎪⎨⎪⎩，得点B的坐标为B ⎝⎭，所以32OA =，1OB =，52AB =AB =∴52AB =23．【答案】（1）1；（2）3111a x x a ⎧+⎫≤≤⎨⎬+⎩⎭．【解析】（1）1a =时，()()()12121f x x x x x =-+-≥---=，所以()f x 的最小值为1．（2）①2x >时，()12f x x ax a a=-+-≤，311a x a +≤+，因为3112011a a a a +--=>++，所以此时解得3121a x a +<≤+； ②12x ≤≤时，()12f x x ax a a=--+≤，1x ≥，此时12x ≤≤；③1x <时，()12f x x ax a a=--+≤，1x ≥，此时无解，综上：不等式的解集为3111a x x a ⎧+⎫≤≤⎨⎬+⎩⎭．。