金太阳11月高三联考理科数学试题
金太阳高三数学试卷(理科)答案
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2022届河南金太阳高三11月联考联考数学试卷及答案2005c
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逻辑推理与数学运算的核心素养!
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江西省多校联考2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试 数学试题
江西省2024-2025学年上学期调研测试高三数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.考查范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12z i =-，则()i i z -⋅=（）A.13i- B.13i+ C.3i- D.3i +2.已知集合{{},2A xy B x x ===∈≤Z ∣，则A B = （）A.{}1,0,1-B.{}2,0,2-C.{}2,1,1,2-- D.{}2,1,0,1,2--3.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若13a =，且248,,a a a 成等比数列，则d =（）A.2B.3C.52D.534.已知函数()223x x x f =-+，则“()2,x ∈+∞”是“()3f x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知α为钝角，向量())2tan ,2,,sin a b ααα=-=，若a b⊥ ，则α=（）A.πB.5π6C.2π3D.π3或2π36.某种水果的有效保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）近似满足函数关系e ax b t +=（,a b 为常数，e 为自然对数的底数）.已知该水果在3C 下的保鲜时间为192小时，在6C 下的保鲜时间为96小时，若要使该水果保鲜时间不低于48小时，则温度不应超过（）A.6.5CB.7.5CC.8CD.9C7.已知()1656sin 2,sin 6565αβα-==，则()sin cos αββ-=（）A.3665B.3265C.2065D.12658.已知()10,0,e 1ln aa b ab b >>=+，则（）A.ln b a >B.ln 1a b >C.e ab > D.()1ln 1a b +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1212i,2i z z =-=+，则（）A.12z z ∈RB.12102z z -<-C.2z 在复平面内对应的点位于第四象限D.1212z z z z +>-10.已知0,0,2a b a b >>+<，则（）A.01ab <<B.22a b -<-<C.2212a b <+<D.02<<11.已知数列{}n a 的前n 项和为11,2n S a =，且121n n n a a a +=+，记1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则（）A.216a =B.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列C.2224n n T n +=-- D.11111222n n n S +-<≤-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题2:0,1ln p x x x ∀>≥+，则p ⌝是__________.13.在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 的中点，且13EG EF = ，若AG AB AD λμ=+，则λμ=__________.14.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，若函数()21f x +和()2f x '+均为偶函数，且()22f '=，则20261()i f i ='=∑__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（*0,A ω>∈N 且π6,2ωϕ<<）的最大值为2，且满足()π01,12f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）求不等式()1f x ≥的解集.16.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 34cos C c A b ab a B+=.（1）求cos B ；（2）若4b =，求ABC V 面积的最大值.17.已知函数()()2ln 1f x x a x x =---.（1）当3a =时，求函数()f x 的最值；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求a 的取值范围.18.已知函数()()23log 331xx f x kx =+++是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）设函数()()()22233,1f x xxx x g x m h x x +-+=+⋅=-.（i ）若()g x 在()30,log 4x ∈上有且仅有1个零点，求实数m 的取值范围；（ii ）若[][]()()123122,4,0,log 2,x x h x g x ∀∈∃∈=，求实数m 的取值范围.19.已知正整数构成的集合{}123,,,,n A a a a a = ，定义,i i j j a A a a A a ÷⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，称A ÷为A 的商集，记()n A 为集合A 中的元素个数.（1）（i ）若{}1,2,3A =，求集合A ÷；（ii ）若148331,2,,,,,23348B ÷⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求出一个符合条件的集合B ；（2）若()2451n A ÷=，求n 的最小值；（3）当()n A 分别等于1,2,3,4时，比较()n A ÷与()21n A -的大小关系，并就一般情况证明上述关系的正确性.江西省2024-2025学年上学期调研测试高三数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.考查范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC 【10题答案】【答案】ABD 【11题答案】【答案】ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】20,1ln x x x ∃><+【13题答案】【答案】59【14题答案】【答案】2四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()πππ,π62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【16题答案】【答案】（1）34；（2）.【17题答案】【答案】（1）最小值为2，无最大值（2）(],0-∞【18题答案】【答案】（1）1k =-；（2）（i ）21,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（ii ）11,16⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【19题答案】【答案】（1）（i ）13121,2,3,,,,2233A ÷⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（ii ）{}3,6,8（2）最小值为50（3）()()21n A n A ÷≥-，证明见解析。
金太阳数学试卷高三模拟
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，其图像关于点(0,1)对称，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 110，a1 = 1，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 3，f(-1) = 1，则f(0)的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -15. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC为（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形6. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列{an}的前10项和S10为（）A. 145B. 150C. 155D. 1607. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的值为（）A. 1B. -1C. 0D. 不存在8. 在△ABC中，若a = 5，b = 6，c = 7，则sinA的值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 19. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(-1)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 6，a1 = 2，则公比q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(x) = 0，则x的值为______。
12. 在△ABC中，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinB的值为______。
13. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(-1)的值为______。
河北省金太阳2024届高三11月联考(24-164C)数学含答案解析
高三一轮中期调研考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语､函数与导数､不等式､三角函数与解三角形､平面向量､复数､数列､立体几何､解析几何.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,2,3U M N ===，则()U M N ⋃=ð（）A.{}4,5B.{}1,2 C.{}2,3 D.{}1,3,4,52.24i12i +=-（）A.68i 55- B.82i 5+C.82i 5-- D.68i55-+3.已知单位向量,a b 满足()()425a b a b +⋅-=- ，则a b ⋅= （）A.12B.13C.15D.144.已知等比数列{}n a 的前n 项和为135246,1,2n S a a a a a a ++=++=，则126S S -=（）A.18B.54C.128D.1925.已知O 为坐标原点，,,A B F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点､上顶点和右焦点点P 在椭圆C上，且PF OF ⊥，若AB ∥OP ，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.1D.226.设,,,4242ππππαβ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且sin cos ααβ+=，则（）A.4παβ+=B.4παβ-=C.2παβ+=D.4παβ-=-7.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是1C θ，空气的温度是0C θ，则min t 后该物体的温度C θ 可由公式()4010etθθθθ-=+-求得.若将温度分别为100C 和60C 的两块物体放入温度是20C 的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10C ，至少要经过（）（取：ln20.69=）A.2.76minB.4.14minC.5.52minD.6.9min8.已知20991ln ,,e 89a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b>> D.c b a>>二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在三棱台ABC A B C '-''中，的等边三角形，下底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为1，则（） AA '⊥' AB'⊥ C.直线CC '与平面ABC 所成角的余弦值为64D.三棱台ABC A B C '-''的高为3310.若函数sin y x t =-在()0,∞+上的零点从小到大排列后构成等差数列，则t 的取值可以为（）A.0B.1C.12D.2211.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()11y f x xf y +=+，则（）A.()00f = B.()10f =C.()f x 是奇函数D.()f x 没有极值12.如图，有一组圆()k C k +∈N 都内切于点()2,0P -，圆221:(3)(1)2C x y ++-=，设直线20x y ++=与圆k C 在第二象限的交点为k A，若1k k A A +=，则下列结论正确的是（）A.圆k C 的圆心都在直线20x y ++=上B.圆99C 的方程为22(52)(50)5000x y ++-=C.若圆k C 与y 轴有交点，则8kD.设直线2x =-与圆k C 在第二象限的交点为k B ，则11k k B B +=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.函数sin 1y x =+的图象可由函数sin 16y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象至少向右平移个单位长度得到__________.14.已知函数()0,0,0,x f x x =<⎪⎩则满足()()12f x f x -<的x 的取值范围是__________.15.已知抛物线2:C y x =与直线y a =交于,A B 两点，点D 在抛物线C 上，且ABD 为直角三角形，则ABD 面积的最小值为__________.16.如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由两个完全相同的正六棱柱垂直贯穿构成，若该正六棱柱的底面边长为2，高为8，则该几何体的体积为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC 中，D 为BC上一点，CD BD ==，且90BAD ∠= .（1）若AD =，求AC ；（2）若30CAD ∠= ，求ABAC.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，2,PD CD AD AB AB ===∥,CD AD CD ⊥.（1）在棱PD 上是否存在点E ，使得AE ∥平面PBC ？若存在，请指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.（2）求平面PBC 与平面PAB 的夹角的大小.19.（12分）在数列{}n a 中，111,22n n a a a n +=-=+.（1）证明：数列{}11n n a a +--为常数列.（2）若14nn n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）已知函数()2f x x ax b =--+，曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线斜率为132.（1）求a 的值；（2）当[]0,(0)x b b ∈>时，()f x 的值域为[]0,b ，求b 的值.21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)F，渐近线方程为32y x =±.（1）求双曲线C 的方程.（2）已知双曲线C 的左､右顶点分别为,A B ，直线y kx m =+与双曲线C 的左､右支分别交于点,M N （异于点,A B ）.设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若点(m ）在双曲线C 上，证明12k k 为定值，并求出该定值.22.（12分）已知函数()()sin 1f x a x a x =-+.（1）当12a =-时，证明：()f x 只有一个零点.（2）若()()0,,cos 0x f x x x π∈+>，求a 的取值范围.高三一轮中期调研考试数学参考答案1.A【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养.因为{}1,2,3M N ⋃=，所以(){}U 4,5M N ⋃=ð.2.D【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.()()224i 2(12i)68i 68i 12i 12i 12i 555++-+===-+--+3.C 【解析】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算的核心素养.因为()()224225a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=- ，所以15a b ⋅= .4.D 【解析】本题考查等比数列，考查数学运算的核心素养.设等比数列{}n a 的公比为q ，则()135246a a a q a a a ++=++，解得2q =.()661267812126232192S S a a a a a a -=+++=+++⨯=⨯= .5.D【解析】本题考查椭圆，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.易知()()22,,,0,0,,,AB OP b b b P c A a B b k k a a ac ⎛⎫-== ⎪⎝⎭.因为AB ∥OP ，所以ABOP k k =，则2b b a ac=，即,b c a ===，所以22c e a ==.6.B 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.因为sin cos 4παααβ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以sin cos sin 42ππαββ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为,,,4242ππππαβ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以3,,0,42424πππππαβ⎡⎤⎡⎤+∈-∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，所以42ππαβπ++-=，则4παβ-=.7.C 【解析】本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养.100C的物块经过min t 后的温度412080e ,60C tθ-=+的物块经过min t 后的温度422040e t θ-=+.要使得这两块物体的温度之差不超过10C ，则442080e 2040e 10t t --⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，解得8ln2 5.52t = .8.A【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.设函数()()211ln 1,x f x x f x x x-=+-='，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，则()()10f x f =，所以1ln 1x x - ，当且仅当1x =时，等号成立.令98x =，则91ln 89>.设函数()()e ln ,e e x x g x x g x x-=='-，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，则()()e 0g x g =，所以()33ln30e g =-<，即310ln3e 9<<，所以10209913e ,e 9-<>.故a b c >>.9.ABD 【解析】本题考查棱台，考查直观想象的核心素养.延长,,CC AA BB '''交于点P ，设,AB AC 的中点分别为,D E ，连接CD ，BE 并交于点O ，连接PO .在PAC 中，C A ''∥CA ，所以C A PC CA PC='''，可得1,2PC PC ='=.同理可得2PA PB ==，所以三棱锥P ABC -为正三棱锥.又222PC PA AC +=，所以PC PA ⊥，即,A CC AA ⊥''正确.易得AB ⊥平面POC ，所以CC AB '⊥，B 正确.因为PO ⊥平面ABC ，所以PCO ∠为直线CC '与平面ABC 所成的角.易知26236,C333CO CD CO PO PCO PC ∠=====错误.因为C '为PC 的中点，所以三棱台ABC A B C '-''的高为123PO =，D 正确.10.ABD 【解析】本题考查三角函数及等差数列，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.因为函数sin y x t =-有零点，所以[]0,1t ∈.画出函数sin y x =与y t =的图象，如图所示.当0t =或1时，经验证，符合题意.当()0,1t ∈时，由题意可得2132x x x x -=-.因为2123,2x x x x ππ+=+=，所以123352,,,4442x x x t πππ====.11.ACD【解析】本题考查抽象函数，考查逻辑推理的核心素养.令0x y ==，则()00f =，A 正确.当0x ≠且1y ≠-时，由()()()11y f x xf y +=+，得()()11f x f y xy +=+.令函数()()f x g x x=，则()()111f y g y y ++=+，所以()()1g x g y =+，所以()g x 为常函数.令()g x k =，则()f x kx =，所以()f x 是奇函数，C 正确.()f x 没有极值，D 正确.当0k ≠时，()10f k =≠，B 错误.12.ABD【解析】本题考查直线和圆的方程，考查直观想象､逻辑推理及数学运算的核心素养.圆k C 的圆心都在直线20x y ++=上，A 正确.由题意可得k C 的方程为22251(1)22222k k k x y +⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故圆99C 的方程为22(52)(50)5000x y ++-=，B 正确.若圆k C 与y 轴有交点，则)15222k k ++，解得38.6k +≈ .因为k +∈N ，所以k 9，C 错误.由22251(1)22222k k k x y +⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2x =-，可得y 的较大根为1k +，故11k k B B +=，D 正确.13.116π【解析】本题考查三角函数，考查数学运算的核心素养.因为11sin 1sin 21,66y x x k k πππ⎡⎤⎛⎫=+=--++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Z ，所以函数sin 1y x =+的图象可由函数sin 16y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象至少向右平移116π个单位长度得到.14.()0,∞+【解析】本题考查分段函数，考查逻辑推理的核心素养.画出()f x 的图象（图略），数形结合可得20,21,x x x >⎧⎨>-⎩解得0x >.15.1【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养.设())()2,,,A a Ba D m m，则()()22,AD m m a BD m m a =-=- .因为ABD 为直角三角形，所以(()220AD BD m m m a⋅=+-+-=，即(222)0m a m a -+-=.因为20m a -≠，所以210,1m a a =- .()2112ABD S AB a m =⋅-= .16.23233【解析】本题考查几何体的体积，考查直观想象及数学运算的核心素养.过直线AD 和直线PQ 分别作平面α，平面β（图略），平面α和平面β都平行于坚直的正六棱柱的底面，则该坚直的正六棱柱夹在平面α和平面β之间的部分的体积为233242⨯⨯=.如图将多面体ABCDNM分成三部分，1111326A BFM D CEN V V --==⨯⨯⨯=，三棱柱BFM CEN -的体积为1122⨯=ABCDNM 的体积为263⨯=.两个正六棱柱重合部分的体积为43563433-⨯=.一个正六棱柱的体积为233282⨯⨯=.故该几何体的体积为5632323233⨯=.17.解：（1）在Rt ABD 中，5710,cos 14AB B ===.在ABC 中，2222cos 25AC AB BC AB BC B =+-⋅=，解得5AC =.（2）在ACD 中，sin sin AC CDADC CAD∠∠=，所以AC ADC ADB ∠∠==.在ABD 中，90,sin AB BAD ADB BD∠∠==，所以AB ADB ∠=.故2AB AC ==.18.解：（1）当E 为PD 的中点时，AE ∥平面PBC .理由如下：设F 为PC 的中点，连接,,EF FB AE .在PCD 中，EF∥1,2CD EF CD =.因为2,CD AB AB =∥CD ，所以EF∥,AB EF AB =，所以四边形EFBA 为平行四边形，所以AE ∥BF .因为BF ⊂平面PBC ，所以AE ∥平面PBC .（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设22PD CD AD AB ====，则()()()0,0,2,0,2,0,2,1,0P C B ，()()2,1,2,0,2,2PB PC =-=-.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,220,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令2y =，则()1,2,2m =.设G 为AP 的中点，连接DG （图略），易证得DG ⊥平面PAB ，所以DG是平面PAB 的一个法向量.又()()0,0,0,1,0,1D G ，所以()1,0,1DG =.设平面PBC 与平面PAB 的夹角为θ，cos cos ,2m DG m DG m DGθ⋅===，所以4πθ=，即平面PBC 与平面PAB 的夹角的大小为4π.19.（1）证明：令1n =，可得22a =.因为122n n a a n +-=+①，所以()1212n n a a n n --=+②.①-②得()11221n n n n a a a a +----=，即()11211n n n n a a a a +---=--.因为2110a a --=，所以数列{}11n n a a +--为常数列.（2）解：由（1）可得110n n a a +--=，所以{}n a 是公差为1的等差数列，所以n a n =.因为14n n n b -=，所以01211234444n n nT -=++++ ③，123112344444n n n T =++++ ④.③-④得012313111114444444n n nnT -=+++++- 0111441414n nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--434334nn +=-⋅，所以11634994n n n T -+=-⋅.20.解：（1）()2f x x a =--'.()1134822f a =--='，解得1a =.（2）()()2,f x x x b f x =--+='.令函数()()21,g x g x ='=-=当16x >时，()0g x '>；当106x <<时，()0g x '<.所以()g x 在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,6∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.因为()()01,10g g =-=，所以当1x >时，()0g x >，即()0f x '>；当01x <<时，()0g x <，即()0f x '<.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增.当01b <时，()f x 在[]0,b 上的最小值为()20f b b b b =--=，解得2321b =>，舍去.当1b >时，()f x 在[]0,b 上的最小值为()120f b =-+=，解得2b =，此时()()()22,02,242f x x x f f =--==-<，符合题意.综上，b 的值为2.21.解：（1）因为渐近线方程为32y x =±，所以32b a =，即32b a =.222277,2,4c a b a a b =+====.故C 的方程为22143x y -=.（2）因为点()m 在双曲线C 上，所以22(3)143m -=，即2244m k -=.联立221,43,x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m ----=.()22Δ48433360m k =-+=>.21212228412,3434km m x x x x k k--+==--.()22121212y y k x x km x x m =+++()222222241283434m k k m m k k --=++--()222234123434m k k k -==--.21x x -==22431294213434k k ==--.因为2122412034m x x k --=<-，所以2340k ->，所以21234x x k-=-.()1212121212212224y y y y k k x x x x x x =⋅=+-+--22212344128213434k k k =--=158+==-.故12k k为定值，定值为158+-.22.（1）证明：当12a =-时，()()()11sin ,cos 10222x f x x f x x '=--=-+ ，所以()f x 是减函数.因为()00f =，所以()f x 只有一个零点.（2）解：()cos 0f x x x +>，即()sin 1cos 0a x a x x x -++>.令函数()()()sin 1cos ,0,g x a x a x x x x π=-++∈，()()()1cos 1sin g x a x x x =+--'.()00g =，要使得()0g x >，则存在()10,x π∈，使得()g x 在()10,x 上单调递增，即当(0x ∈，)1x 时，()0g x '>.令函数()()()()()1cos 1sin ,0,h x g x a x x x x π=+-∈'=-，()()2sin cos h x a x x x =-+-'.()00h =，要使得()0h x >，则存在()20,x π∈，使得()h x 在()20,x 上单调递增，即当)2(0,x x ∈，时，()0h x '>.令函数()()()()2sin cos ,0,u x h x a x x x x π='=-+-∈，()()3cos sin u x a x x x =-++'.()()()00,03u u a '==-+.当()30a -+，即3a - 时，()()()()1cos 1sin 2cos 1sin g x a x x x x x x '=+----- .令函数()()()2cos 1sin ,sin cos s x x x x s x x x x -'=--=-.令函数()()()sin cos ,sin t x s x x x x t x x x =''==-.因为()0t x '>在()0,π上恒成立，所以函数()()t x s x ='在()0,π上单调递增.因为()()000t s ='=，所以()()0t x s x ='>在()0,π上恒成立，所以()s x 在()0,π上单调递增.因为()00s =，所以()0s x >在()0,π上恒成立，即()0g x '>在()0,π上恒成立，所以()g x 在()0,π上单调递增，()()00g x g >=，符合题意.当()30a -+<，即3a >-时，存在()00,x π∈，使得当()00,x x ∈时，()0u x '<，即()u x 在()00,x 上单调递减.因为()00u =，所以当()00,x x ∈时，()0u x <，即()0h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递减.因为()00h =，所以当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()00,x 上单调递减.因为()00g =，所以当()00,x x ∈时，()0g x <，与题意不符.综上，a 的取值范围为(],3∞--.。
贵州省部分学校2025届高三上学期11月联考考试 数学试题(含解析)
贵州省部分学校2025届高三上学期11月联考考试试题一、单选题（本大题共8小题）1．在等比数列{}n a 中，12a =，45678a a a a a =，则25a a +=（）A．36B．32C．16D．122．若复数()2i 1i z a a =+-+是纯虚数，则实数a =（）A．1B．1-C．1±D．03．已知直线1y kx =+与圆224x y +=相交于,M N 两点，若MN =，则k =（）A．12B．1C．D．24．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在[50,100]内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（）A．65B．75C．85D．955．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a =，2239b c c =++，ABC ∠的平分线交边AC 于点D ，且2BD =，则b =（）A．B．C．6D．6．2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（）A．243种B．162种C．72种D．36种7．已知函数()()2log 41x f x x =+-x 的不等式()()22f x f x +>解集为（）A．2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B．211,232⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,C．211,,2322纟轹琪--È琪棼滕D．111,,222纟轹琪--È琪棼滕8．已知抛物线2:2E y x =，圆()()2200:11,,M x y N x y -+=为圆M 外一点，过点N 作圆M 的两条切线1l ，2l ，直线1l 与抛物线E 交于点()()1122,,,A x y B x y ，直线2l 与抛物线E 交于点()()3344,,C x y D x y ，，若22001x y +=，则1234y y y y =（）A．16B．8C．4D．1二、多选题（本大题共3小题）9．设离散型随机变量X 的分布列如表，若离散型随机变量Y 满足21Y X =-，则（）X01234P0.10.4x0.20.2A．0.2x =B．()2E X =，() 1.8D X =C．()2E X =，() 1.4D X =D．()3E Y =，()7.2D Y =10．已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为M ，则下列说法正确的是（）A．不等式解集M =∅的充要条件为240a b ac <⎧⎨-≤⎩B．若111a b c a b c==，则关于x 的不等式21110a x b x c ++>的解集也为M C．若{}23M x x =-<<，则关于x 的不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩，或>D．若2b M x x a ⎧⎫=≠-⎨⎬⎩⎭，且a b <，则24a b c b a ++-的最小值为811．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，它们的导函数分别为'，()g x '，且()()25f x g x +-=，()()43g x f x --=，若+2是偶函数，则下列正确的是（）．A．()20g '=B．4为函数()f x 的一个周期C．()1f x +是奇函数D．()25g =，则()202412024k f k ==∑三、填空题（本大题共3小题）12．集合A 满足{}1,3**15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有个.13．已知函数()()3,02,0x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫=⎪⎝⎭．14．已知M 是椭圆22110x y +=上一点，线段AB 是圆()22:64C x y +-=的一条动弦,且AB =则MA MB ⋅的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =.(1)求角A 的大小；(2)若BC =，求ABC 的面积.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,AB CD CD BC ⊥，24,,AB CD BD BP PCD === 为等边三角形.(1)证明：⊥BC 平面PCD .(2)若ABD △为等边三角形，求平面PBD 与平面PAD 夹角的余弦值.17．篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》SFSA 全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到22⨯列联表如下：喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？(2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第n 次触球的概率为n P ，则11P =.（i）证明：数列（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818．已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.19．已知函数()1e ln -=-xf x a x ．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >，若不等式()ln f x a a a ≥+恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．【答案】A【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以45678a a a a a =化为31221311a q a q ⋅=⋅，解得1a q =，又因为12a =，所以2q =，所以112n nn a q a -=⋅=，所以4251143236a a a q a q +=⋅+⋅=+=.故选：A 2．【答案】B【详解】由()()22i 1i 11i z a a a a =+-+=-+-，根据题意可知210110a a a ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩.故选：B 3．【答案】B【分析】先计算直线10kx y -+=到圆心O 的距离d ，然后根据勾股定理得到22144d MN +=，再代入条件即可解出2k ，从而得到k .【详解】如图所示：设坐标原点O 到直线10kx y -+=的距离为d ，则d =.设线段MN 的中点为P ，则MN OP ⊥，根据勾股定理，有22222144OMOP PMd MN ==+=+.由MN =22211144414d MN k =+=++，故21112k =+，解得21k =，故1k =.故选B.4．【答案】C【详解】因为2101a ⨯=，所以0.05a =.参赛成绩位于[50,80)内的频率为()100.010.0150.0350.6⨯++=，第75百分位数在[)80,90内，设为80y +，则0.030.15y =，解得y =5，即第75百分位数为85，故选：C.5．【答案】D【详解】因为3a =及2239b c c =++，可得222b a c ac =++，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，又由0πB <<，所以2π3B =，因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即11sin ()sin 22ac ABC BD a c ABD ∠=⋅+∠，解得6c =，由余弦定理得222263263cos633b π=+-⨯⨯⨯=，即b =故选：D．6．【答案】B【详解】先安排甲、乙两人，有23A 种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有23A 333162⨯⨯⨯=（种）方法.故选：B.7．【答案】C 【详解】因为()()()222241log 41log 41log 2log 2x xxxx f x x +=+-++-++()2log 22x x -=+由210x -≥可得1x ≤-或1x ≥，即函数()f x 的定义域为(][),11,-∞-+∞ ，因为()()()()22log 22log 22x x x x f x f x ---=+=+=，所以，函数()f x 为偶函数，任取1x 、[)21,x ∈+∞，且12x x >，则12222x x >≥，122x x +>，1224x x +>，令22x x u -=+，则()1212121212111122222222x x x xx x x x u u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()12121212121222212222022x x x x x x x x x x x x +++---=--=>，即12u u >，所以，函数22x x u -=+在[)1,+∞上为增函数，又因为函数2log y u =在()0,∞+上为增函数，所以，函数()2log 22x xy -=+在[)1,+∞上为增函数，又因为函数y =[)1,+∞上为增函数，故函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，由()()22f x f x +>可得()()22f x f x +>，可得221x x +>≥，解得2132x -<≤-或122x ≤<，因此，原不等式的解集为211,,2322纟轹琪--È琪棼滕.故选：C.8．【答案】C【详解】由题意()00,N x y ，且12,l l 都与抛物线有两个不同的交点，所以00x ≠，故设过点N 且与圆M 相切的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，由题意得1=，整理得，()()220000022110x x k y x k y ---+-=（*），设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程（*）的两个实根，故()()()20000121200000211,222y x y x k k k k x x x x x --+===---，由00202kx y y kx y x-+-=⎧⎨=⎩，得()200220k y y y kx -+-=，因为()()()()11223344,,,,A x y B x y C x y D x y ，，，，所以()()010*********22,y k x y k x y y y y k k --==，所以()()()22012000120100201234121244y k k x y x k k y k x y k x y y y y k k k k ⎡⎤-++--⎣⎦==()()220000000000220000214224442y x x y x y x x x x y x x x ⎡⎤--+⋅⎢⎥--⎣⎦==+=-.故选C.9．【答案】BD【详解】因为0.10.40.20.21x ++++=，所以0.1x =，A 选项错误；由()00.110.420.130.240.22E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故22222()(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，因此选项B 正确；又21Y X =-，所以，()2()13E Y E X =-=，()4()7.2D Y D X ==，故C 错D 对.故选：BD 10．【答案】AD【详解】解：选项A：不等式20ax bx c ++>解集M =∅，等价于一元二次函数2y ax bx c =++的图象没有在x 轴上方的部分，故等价于2040a b ac <⎧⎨-≤⎩，所以选项A 正确；选项B：取值1,2,3a b c ==-=-，1112,31,a b c ===-，此时能满足111a b c a b c==，而2230x x -->的解集为{|1x x <-，或}3x >，2230x x -++>的解集为{}|13x x -<<，故B 选项错误；选项C：因为一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}23M x x =-<<，所以得到2-与3是20ax bx c ++=的根且a<0，故有2323b aca ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得60b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩，所以不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，等价于不等式2610x x --<的解集1132M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，所以选项C 错误；选项D：因为2b M x x a ⎧⎫=≠-⎨⎬⎩⎭，所以240b ac ∆=-=，即24b c a=，令()0b a t t -=>，所以()()()222222222244b a b a a t a t a a ab b a at ta b a a b a at at++++++++++===--4448a t t a =++≥+=，当且仅当4a t t a =即3b a =取“=”，选项D 正确.故选：AD.11．【答案】ABD【详解】A 选项，+2为偶函数，故()()22g x g x -+=+，两边求导得，()()22g x g x --+='+'，令0x =得()()22g g -'='，解得()20g '=，A 正确；B 选项，因为()()25f x g x +-=，()()22g x g x -+=+，所以()()25f x g x ++=①，因为()()43g x f x --=，所以()()223g x f x +--=②，则①②相减得，()()22f x f x +-=③，又()()242f x f x -+-=④，则③④相减得()()40f x f x --=，即()()4f x f x =-，故4为函数()f x 的一个周期，B 正确；C 选项，假如()1f x +为奇函数，则()()110f x f x -+++=，当1x =时，可得()()020f f +=，但()()22f x f x +-=，当2x =可得()()202f f +=，显然不满足要求，故()1f x +不是奇函数，C 错误；D 选项，因为()()25f x g x +-=，所以()()025f g +=，又()25g =，故()00f =，由B 选项得()()22f x f x +-=，故()()202f f +=，解得()22f =，且()()312f f +=，由B 选项知()f x 的一个周期为4，故()()400f f ==，所以()()()()12344f f f f +++=，则()()()()()20241506123450642024k f k f f f f =⎡⎤=+++=⨯=⎣⎦∑，D 正确.故选：ABD 12．【答案】3【详解】因为{}1,3**15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，即{}1,3{}1,3,5,15A ⊆，所以{}13,5A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =，即集合A 的个数有3个.故答案为：3.13．【答案】8116【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.【详解】331log log 1616=-Q ，233163<<，313log 216∴-<<-，381log 1633331118181log log 2log 22log 31616161616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：8116.14．【答案】70【详解】如图，设AB 中点为N ，由AB AN =⇒=CN =N 的轨迹为以()0,6为圆心，r =()()()()2222MA MB MN NA MN NB MN NA MN NA MN NA MN ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，max max MN MC r =+，设),cos Mθθ，则MC ===，当且仅当2cos 3θ=-时，max MC ==所以max max MN MC r =+==()2maxmax272270MA MBMN⋅=-=-=故答案为：7015．【答案】(1)2π3(2)4【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得tan A =，可得结果；（2）由三角形面积公式并利用ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc +=，再由余弦定理即可求得5bc =,由三角形的面积公式可得结果.【详解】（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin sin cos A B B A=sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan A =2π3A =.（2）由题意可知ABD ACD ABC S S S +=△△△，即1π1π12πsin sin sin 232323c b bc +=，化简可得b c bc +=，在ABC 中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===-，从而()2220122bc bc bc --=-，解得5bc =或4bc =-（舍去），所以11sin 5sin120224ABC S bc A ==⨯⨯︒=△.16．【答案】(1)证明见解析(2)35【详解】（1）记E 为PD 的中点，连接,BE CE .因为PCD △为等边三角形，所以PD CE ⊥，因为BD BP =，所以PD BE ⊥，又,,BE CE E BE CE =⊂ 平面BCE ，所以PD ⊥平面BCE ，因为⊂BC 平面BCE ，所以PD BC ⊥，又,,,CD BC CD PD D CD PD ⊥=⊂ 平面PCD ，所以⊥BC 平面PCD .（2）以C 为原点，,CD CB 所在直线分别为,x y轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为PCD △为等边三角形，2CD =，所以P 到底边CD的距离为因为ABD △为等边三角形，4AB =，所以D 到底边AB的距离为则(0,(2,0,0),(4,P B D A ，所以(2,(1,0,(2,BD PD DA =-== ，设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m BD m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令1y =，则1x z ==，故)m = ，设平面PAD 的法向量为 =s s ，则00n DA n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即200a a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1c =，则1a b ==-，故1,1)n =- ，因为3cos ,5m n m n m n ⋅〈〉== ，所以平面PBD 与平面PAD 夹角的余弦值为35.17．【答案】(1)能认为喜爱篮球运动与性别有关(2)（i）证明见解析；（ii）甲第25次触球者的概率大【详解】（1）假设0H ：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.根据列联表数据，经计算得220.001200(60802040)10010.828100*********x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即能认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.（2）（i）由题意，()11111101333n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=-+，所以1111434n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭又113044P -=≠，所以14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，13-为公比的等比数列.（ii）由（i）得，1311434n n P -⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，所以232431114344P ⎛⎫=⋅-+< ⎪⎝⎭，242531114344P ⎛⎫=⋅-+> ⎪⎝⎭.故甲第25次触球者的概率大.18．【答案】(1)是定值，定值为14(2)13-【详解】（1）由题意知，4a =，2b =，所以(0,2)A ，()4,0B ，所以12AB k =-，设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，联立直线CD 与椭圆的方程22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得222280x tx t -+-=，由()2244280t t ∆=-->，解得t -<<2t ≠，则122x x t +=，21228x x t =-，所以()()12121212111222244AD BC x t x t y y k k x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==--21212212111()2424x x t x x t x t x x x -+++-=-2221121121442222244t t x t t x t x x x x x x --+-+--==--21214122844t x t x --==--，故直线AD 与BC 的斜率之积是定值，且定值为14.（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ= (0λ≠)，得3386x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩.所以338161x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩.又A ，D 均在椭圆上，所以22332233116486111164x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎪⎨++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩，化简得3331220x y λλλ++-=，因为CD AB ∥，所以PC CB λ= ，同理可得4431220x y λλλ++-=，即直线AB ：31220x y λλλ++-=，所以AB 的斜率为13-.19．【答案】(1)210x y --=(2)(]0,1【详解】（1）当1a =-时，()1e ln x f x x -=+，则()11e x f x x-'=+，()01e 12f '∴=+=，又()01e ln11f =+=，()y f x ∴=在()()1,1f 处的切线方程为：()121y x -=-，即210x y --=.（2）方法一：令()()1ln e ln ln x g x f x a a a a x a a a -=--=---，则()0g x ≥恒成立，()g x 的定义域为()0,∞+，()1e x a g x x -'=-且0a >；令()()h x g x ='，则()12e 0x a h x x -'=+>，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，即()g x '在()0,∞+上单调递增，又()11e e 1011aa a g a a a '+=-=-+>++，11e 101a a g a a -+⎛⎫'=--< ⎪+⎝⎭，0,11a x a a ⎛⎫∴∃∈+ ⎪+⎝⎭，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0100min e ln ln x g x g x a x a a a -∴==---，由()00g x '=得：010e x a x -=，00ln 1ln x x a ∴+-=，010e x a x -=，()()000011110000000e e ln e e ln 1x x x x g x x x x x x x ----∴=---+-()012000e 12ln x x x x -=--，()012000e 12ln 0x x x x -∴--≥，即00012ln 0x x x --≥，令()12ln u x x x x=--，则()u x 在()0,∞+上单调递减，又()000012ln 0u x x x x =--≥，()10u =，001x ∴<≤，设()()1e 01x t x x x -=<≤，则()()11e 0x t x x -'=+>，()t x ∴在(]0,1上单调递增，()01t x ∴<≤，0100e 1x x -∴<≤，又010e x a x -=，a ∴的取值范围为(]0,1.方法二：由()ln f x a a a ≥+得：1e ln ln x a a a a x -≥++，()()()()ln 111e 1ln ln ln 1ln 1e ax x x ax a x ax ax ax +-⎡⎤-⎣⎦∴≥++=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当()ln 10ax +≤时，()1e 0ln 1x x ax ->≥+在0a >，0x >时恒成立，0a ∴>；当()ln 10ax +>时，设()()1e 0x h x x x -=>，则()()()ln 1h x h ax ≥+，()()11e 0x h x x -'=+> ，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，()ln 1x ax ∴≥+，即()1e 0x ax x -≤>，()1e 0x a x x-∴≤>，令()()1e 0x u x x x -=>，则()()121e x x u x x--'=，∴当()0,1x ∈时，()0u x '<；当()1,x ∈+∞时，()0u x '>；()u x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11u x u ∴==，1a ∴≤，又0a >，01a ∴<≤；综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.方法三：()f x 定义域为()0,∞+，()ln f x a a a ≥+恒成立，()11ln f a a a ∴=≥+必然成立；令()ln S a a a a =+，则()2ln S a a '=+，∴当()20,e a -∈时，()0S a '<；当()2e ,a -∈+∞时，()0S a '>；()S a ∴在()20,e -上单调递减，在()2e ,-+∞上单调递增，又()11S =，当10e a -<<时，()()1ln 0S a a a =+<，∴当01a <≤时，ln 1a a a +≤；下面证明：当01a <≤时，()ln f x a a a ≥+恒成立.ln 0a a ≤ ，()ln ln ln ln 1a x a a a a x a a x ∴++≤+=+，()11e ln ln e ln 1x x a x a a a a x --∴---≥-+，令()()1e ln 1x F x a x -=-+，则()1e x a F x x -'=-，令()()G x F x '=，则()12e0x a G x x -'=+>，()F x '∴在()0,∞+上单调递增，当1a =时，()11e x F x x-'=-，()10F '=，∴当()0,1x ∈时，()0F x '<；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>；()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()10F x F ∴≥=，1e ln ln 0x a x a a a -∴---≥恒成立，即()ln f x a a a ≥+恒成立；当01a <<时，()110F a '=->，()1e 10a F a -'=-<，()0,1x a ∴∃∈，使得()00F x '=，且当()00,x x ∈时，()0F x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>；()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()()0100e ln 1x F x F x a x -∴≥=-+，由()00F x '=得：010e x a x -=，00ln ln 1x a x =+-，()()000001ln 1ln a F x a a x a x a a a x x ⎛⎫∴=-+-=+-- ⎪⎝⎭，()0,1x a ∈ ，0012x x ∴+>，()()0001ln ln 1ln 0F x a x a a a a a a a a x ⎛⎫∴=+-->-=-> ⎪⎝⎭，()()00F x F x ∴≥>，1e ln ln 0x a x a a a -∴---≥恒成立，即()ln f x a a a ≥+恒成立；当1a >时，()()111ln ln f a a a a a =<+=+，显然不满足()ln f x a a a ≥+恒成立；综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.1.通过直接构造函数的方式，将问题转化为含参数函数的单调性的讨论和最值的求解问题，利用最值求得参数的取值范围；2.采用同构法，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系的问题，从而通过求解函数的单调性得到自变量的大小关系；3.采用由特殊到一般的思路，通过特殊位置必然成立的思路得到a 的一个取值范围，再证明在此范围时不等式恒成立，并通过反例说明不在此范围时不等式不恒成立来得到最终范围.。
江西省多校联考2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题
时，在 6o C 下的保鲜时间为 96 小时，若要使该水果保鲜时间不低于 48 小时，则温度不应
超过（ ）
A． 6.5o C
B． 7.5o C
C． 8oC
D． 9o C
7．已知 sin
(a
-
2b
)
=
16 65
, sina
=
56 65
，则
sin
(a
-
b
) cosb
=
（
）
A． 36 65
B． 32 65
3cosa , sin 2a
，若
ar
^
r b
，则
a
=
（
）
π A．
B． 5π 6
C． 2π 3
D． π 或 2π 33
6．某种水果的有效保鲜时间 t （单位：小时）与储藏温度 x （单位： o C ）近似满足函数关
试卷第11 页，共33 页
系 t = eax+b （ a,b 为常数， e 为自然对数的底数）.已知该水果在 3o C 下的保鲜时间为 192 小
£1-
1 2n
三、填空题
12．已知命题 p : "x > 0, x2 ³ 1+ lnx ，则 Øp 是
.
13．在平行四边形
ABCD
中，
E
为
BC
的中点，
F
为 CD
的中点，且
uuur EG
=
1 3
uuur EF
，若
uuur AG
=
l
uuur AB
+
m
uuur AD
，则
lm
=
.
金太阳试卷数学高三联考
一、选择题1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1$，则$f'(1)$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A解析：$f'(x) = 6x^2 - 6x + 2$，将$x=1$代入得$f'(1) = 6 - 6 + 2 = 2$。
2. 若$a > b > 0$，则下列不等式中正确的是（）A. $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$B. $a^2 > b^2$C. $\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. $\log_2 a > \log_2 b$【答案】C解析：选项A、B、D均不成立，只有选项C成立，因为平方根函数在$(0,+\infty)$上是增函数。
3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n^2 - 5n$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A解析：由等差数列前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，得$a_1 +a_n = 8n - 10$，又$a_n = a_1 + (n - 1)d$，代入得$a_1 + a_1 + (n - 1)d = 8n - 10$，即$2a_1 + (n - 1)d = 8n - 10$。
取$n=1$，得$2a_1 = 8 - 10$，解得$a_1 = -1$。
但题目要求$a_1 > 0$，故排除D选项，选A。
4. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$，则$f(x)$的极值点为（）A. $x=0$B. $x=1$C. $x=2$D. $x=-1$【答案】B解析：函数$f(x)$的定义域为$x \neq 0, 1$。
求导得$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x-1)^2}$，令$f'(x) = 0$，得$x=1$。
2023届北京专家信息卷(全国甲卷)高三上学期11月月考数学(理)试题(一)(解析版)
2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期11月月考数学（理）试题（一）一、单选题1．已知i的共轭复数是（ ）A iB iC ．1+D ．1- 【答案】B【分析】利用复数代数形式的四则运算和共轭复数的概念得出结果．【详解】3ii=，i ． 故选：B ．2．已知集合{}==2,Z A x x k k ∈，{}==31,Z B x x k k ∈-，则A B ⋂=（ ）A ．{}=42,Z x x k k -∈B ．{}=4+2,Z x x k k ∈C ．{}=62,Z x x k k -∈D ．{}=6+2,Z x x k k ∈【答案】D【分析】当k 为偶数时，A B =∅，当k 为奇数时，令21k k '=+，Z k '∈，从而求出{}==6+2,Z A B x x k k ⋂∈''，得到答案. 【详解】集合A 为偶数集合，当k 为偶数时，集合B 为奇数集合，此时A B =∅；当k 为奇数时，令21k k '=+，Z k '∈，集合{}==6+2,Z B x x k k ∈''，此时{}==6+2,Z A B x x k k ⋂∈''．故选：D ．3．已知实数x ，y 满足1x y +≤，且1x ≥-，则3z x y =+最小值为（ ）A ．7-B ．6-C ．5-D ．1-【答案】A【分析】根据已知条件列出,x y 满足的不等式组，画出图象，通过平移基准直线30x y +=到可行域边界位置来求得z 的最小值.【详解】依题意，,x y 满足+1010x y x y -≤≥-≥⎧⎪⎨⎪⎩或101<0x y x y --≤≥-⎧⎪⎨⎪⎩，1=0=1=1=2x y x x y ---⇒--⎧⎧⎨⎨⎩⎩，设()1,2A --， 画出可行域如下图所示，由图可知，当基准直线30x y +=平移到点()1,2A --时，z 取得最小值()1327-+⨯-=-.故选： A4．有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中(1,2,i i y x c i =+=，),n c 为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样数据的样本众数相同D ．两组样本数据的样本方差相同【答案】D【分析】根据两组的线性关系，结合数据间的平均值、中位数、众数、方差的关系即可得.【详解】解：对于A ，()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；对于B ，若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；对于C ，由众数的定义知：若第一组的众数为n x ，则第二组的众数为n x c +，错误；对于D ，()()()()D y D x D c D x =+=故方差相同，正确；故选：D ．5．为了得到函数()ln 2y x =的图象，只需把函数ln y x =的图象（ ）A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向上平移ln2个单位长度D ．向下平移ln2个单位长度 【答案】C【分析】根据对数函数的运算法则进行化简，结合函数图象变换规律进行判断即可．【详解】因为()ln ln2ln 2y x x =+=，所以只需把函数ln y x =的图象向上平移ln2个单位长度即可得到()ln 2y x =的图象．故选：C ．6．函数()()e e x xf x x -=-的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】先求解函数的定义域，且()()f x f x -=，故函数为偶函数，排除BC ；再求出()11e e 0f -=->，排除D ，选出正确答案.【详解】()()e e x xf x x -=-定义域为R ，且()()()()e e e e x x x x f x x x f x ---=--=-=，故()f x 为偶函数，所以排除选项B 和选项C ；又()11e e 0f -=->，排除D.故选：A ．7．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子出现的点数分别为1X ，2X ，记{}12min ,X X X =，则()24P X ≤≤=（ ）A ．34B ．23C ．1118D ．712【答案】D【分析】由题意可得共出现36个基本事件，然后列举出较小点数为2点，3点和4点的所有情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】同时掷两颗质地均匀的骰子，共出现36个基本事件，其中较小点数为2点的情况有：（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2）共9种；较小点数为3点的情况有：（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（5，3），（6，3）共7种； 较小点数为4点的情况有：（4，4），（4，5），（4，6），（5，4），（6，4）共5种；所以()9757243612P X ++≤≤==． 故选：D ．8．已知函数()()22sin x x f x a x -=-⋅是偶函数，则=a （ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1±【答案】B 【分析】由偶函数的定义求解即可．【详解】因为()()22sin x x f x a x -=-⋅，所以()()()()22sin 22sin x x x x f x a x a x ---=-⋅-=--⋅，因为()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()22sin 22sin x x x x a x a x ----⋅=-⋅，∴()02222sin x x x x a a x ---⋅+⋅-=，()()02222sin x x x x a x --++⎡⎤-⋅=⎣⎦整理得()()122sin 0x x a x --+=，所以=1a ．故选：B ．9．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（ ）A ．288B ．336C ．368D ．412【答案】B【分析】由已知，可根据题意，分成当四位数不出现1时、当四位数出现一个1时、当四位数出现两个1时三种情况，分别列式求解即可.【详解】当四位数不出现1时，排法有：114224C C A 96⨯⨯=种； 当四位数出现一个1时，排法有：1142242C C A 192⨯⨯⨯=种；当四位数出现两个1时，排法有：112224C C A 48⨯⨯=种；所以不同的四位数的个数共有：9619248336++=．故选：B ．10．已知随机变量()~0,1N ξ，令()()x P x ξΦ=≤，0x >，则下列等式正确的序号是（ ） ①()()1x x Φ+Φ-= ②{}()12P x x ξ≤=-Φ ③{}()21P x x ξ<=Φ- ④{}()21P x x ξ>=-Φ⎡⎤⎣⎦A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③【答案】A【分析】根据题意可得正态曲线关于0ξ=对称，再结合正态分布的密度曲线定义逐个分析判断即可.【详解】因为随机变量()~0,1N ξ，所以正态曲线关于0ξ=对称，因为()()x P x ξΦ=≤，0x >，所以根据正态曲线的对称性可知()()1x x Φ+Φ-=，{}()21P x x ξ<=Φ-，{}()21P x x ξ>=-Φ⎡⎤⎣⎦，所以①③④正确，②错误，故选：A11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若满足()()22f x f x +-=，且()f x '为奇函数，则下列选项中一定成立的是（ ）A ．()11f -=B ．()00f =C ．()10f =D ．()31f =- 【答案】A【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性，然后令1x =，即可求得()1f ，从而得到结果.【详解】因为()f x '为奇函数，则()()f x f x ''--=，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数， 由()()22f x f x +-=，得()()112f f +=，即()()111f f =-=，故A 正确，C 错误令=1x -，则()()132f f -+=，则()31f =，故D 错误；令0x =，则()()022f f +=，故()0f 不一定等于0.故B 错误.故选:A12．已知=3a ，b =ln 4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【分析】构造函数()2e 1x f x x =--，利用导数研究单调性可比较a 、b ，利用对数单调性可比较a 、c ，然后可得.【详解】因为3ln 4ln e 3<=，所以c a <；构造函数()2e 1x f x x =--，则()e 2x f x x ='-，记()e 2x g x x =-，则由()e 20x g x '=->，得ln 2x >，()f x '在()ln 2,+∞递增，由()e 20x g x '=-<，得ln2x <，()f x '在(),ln2-∞递减，所以()()ln 222ln 20f x f ''≥=->，所以()f x 在R 上递增，有()00f f >=，所以b a >，所以c a b <<.故选：D ．二、填空题13．已知0x 是方程1720x x-=的根，若()0,1x n n ∈+，n ∈Z ，则=n __________． 【答案】2 【分析】先判断函数()172x f x x=-的单调性，结合零点存在性定理，即得解 【详解】设函数()172x f x x =-，由于172,x y y x ==-都在(0,)+∞单调递增， 故()f x 为()0,+∞上增函数，故函数()f x 在()0,+∞至多存在一个零点，且()173803f =->，()172402f =-<，所以()02,3x ∈，所以=2n ． 故答案为：214．某学校的文学社团由高一、高二和高三学生组成，已知高一学生人数多于高二学生人数，高二学生人数多于高三学生人数，且高三学生人数的两倍多于高一学生人数，则该文学社团人数的最小值为__________．【答案】12【分析】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x ，y ，z ，则2z x y z >>>，且x ，y ，z ∈N ，讨论z 的取值，即可求解【详解】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x ，y ，z ，则2z x y z >>>，且x ，y ，z ∈N ，①当0z =时，00x y >>>，不符合题意；②当1z =时，21x y >>>，不符合题意：③当=2z 时，42x y >>>，不符合题意；④当3z =时，63x y >>>，此时=5x ，=4y ，满足题意．所以12x y z ++=．所以该文学社团人数的最小值12．故答案为：1215．已知任何一个正整数x 都可以表示成()10110,n x a a n =⨯≤<∈N ，即lg lg x n a =+，此时x 是一个+1n 位数，已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，则10015是__________位数．【答案】118【分析】利用对数运算性质化简，结合题意求解即可．【详解】设()1001510110,n a a n =⨯≤<∈N ， 所以()100lg15lg 10n a =⨯，即()100lg3lg5lg n a +=+，所以()()lg 100lg31lg21000.477110.3010117.61a n n n =+--≈+--=-，又因为0lg 1a ≤<，N n ∈，所以lg 0.61a =，117n =，故10015是1171118+=位数．故答案为：118．16．中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算12023e ，所得的结果用分数表示为__________． 【答案】20242023【分析】令()e x f x =，可得()f x 在点（0，1）处的切线方程为=+1y x ，由“切线近似代替曲线”的思想可得1202311e 120232023f ≈⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得答案． 【详解】解：构造函数()e x f x =，则有()e x f x '=，(0)1f =，(0)1f '=，所以()f x 在点（0，1）处的切线方程为=+1y x ，根据“切线近以代替曲线”的思想方法可得12023112024e 1202320232023f ⎛⎫=≈+= ⎪⎝⎭． 故答案为：20242023三、解答题17．已知函数()22x x x f x x λ=⋅+是奇函数． (1)求常数λ的值；(2)解方程()222x x f x x -=+．【答案】(1)1λ=(2)0或2log 3．【分析】（1）由()()f x f x -=-，代入求解即可； （2）转化方程为212222x x x x x x -⎛⎫⋅+=+ ⎪⎝⎭，分=0x ，0x ≠两种情况求解即可. 【详解】（1）函数定义域为：R x ∈，因为函数()22x x x f x x λ=⋅+是奇函数， 所以()()f x f x -=-，即2222x x x x xx x x λλ---⋅-=-⋅-，化简得()11202x x λ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故10λ-=，所以常数1λ=．（2）由（1）知()122x x f x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，所以方程为212222x x x x x x -⎛⎫⋅+=+ ⎪⎝⎭， 当=0x 时，方程成立；当0x ≠时，方程可化为2112222x x x -+=+，整理得()()23210x x -+=， 因为20x >，所以23x =，即2log 3x =，综上，方程()222x xf x x -=+的根为0或2log 3．18．随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效王作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是根据调查结果绘制的问卷调查得分的频率分布直方图：将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分．(1)根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？男 女 合计 了解不了解合计(2)已知问卷调查得分不低于90分的学生中有2名男生，若从得分不低于90分的学生中任意抽取2，求至少有一名男生的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++． 参考数据：()20P x χ≥ 0.10 0.05 0.010 0.005【答案】(1)表格见解析，有关(2)710．【分析】（1）根据频率分布直方图求出问卷调查结果为了解的学生人数，完善列联表，求出卡方，即可判断；（2）首先求出问卷调查得分不低于90分的学生人数，再求出基本事件总数以及满足条件的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）解：问卷调查结果为了解的学生人数为：()0.0250.0150.00251020085++⨯⨯=， 又因为其中男生有50人，所以其中女生有855035-=人．可得22⨯列联表为：提出假设0H ：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关， 根据列联表中数据，可以求得()2220050653550 4.60410010011585χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 因为当0H 成立时，()2 3.8410.05P χ≥≈，这里的2 4.604 3.841χ=>，所以我们有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关．（2）解：问卷调查得分不低于90分的学生人数为0.0025102005⨯⨯=人，其中男生有2人，女生有3人记“任意抽取2人，至少有一名男生”为事件A ，从5人中任意抽取2人共有54102⨯=种抽法，抽取2人中恰有1名男生的抽法有236⨯=种， 抽取2人中恰有2名男生的抽法有1种， 事件A 的概率()6171010P A +==， 综上，至少有一名男生的概率为710． 19．甲､乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，本次比赛规定：先连胜两局者直接获胜，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者获胜．(1)求比赛共进行5局且甲获胜的概率；(2)记甲､乙比赛的局数为X ，求X 的概率分布列和数学期望． 【答案】(1)16243(2)分布列见解析，数学期望为224.81【分析】(1) 记比赛共进行5局并且甲获胜为事件A ，先找出事件A 的情况，然后利用概率公式即可求解；(2)根据题意求出X 的可能取值，分别求出每种取值的概率，列出分布列，进而求解. 【详解】（1）记比赛共进行5局并且甲获胜为事件A ， 说明甲前4局胜了2局，且第5局甲胜， 且只有胜负胜负胜或负胜负胜胜两种情况所以()22212162333243P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以比赛共进行5局并且甲获胜的概率为16243（2）X 的可能取值为2,3,4,5,记甲在第i 局获胜为事件()1,2,3,4,5i A i =， 乙在第i 局获胜为事件()1,2,3,4,5i B i =，()()()()()1212221152;33339P X P A P A P B P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()12312312221123=3333339P X P B P A P A P A P B P B ==+=⨯⨯+⨯⨯，()()()()()()()()()123412344P X P A P B P A P A P B P A P B P B ==+2122121110;3333333381=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ()()()()851234;81P X P X P X P X ==-=-=-==所以X 的概率分布列为：故X 的数学期望()521082242345.99818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=20．已知函数()1lgx f x xλ+=．(1)当2λ=时，解不等式()0f x >；(2)设0λ>，当1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()12lg 2f x f x -≤，求λ的取值范围．【答案】(1)()(),10,x ∈-∞-+∞(2)2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(1)将2λ=代入函数，再由对数函数的性质求解即可；(2)由题意可得()()max min lg2f x f x ≤-，先判断出函数()f x 在定义域上为单调递减函数，进而得()()1lg2f a f a -+≤，即得()2110a a λλ++-≥，对任意1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，结合二次函数的性质求出()()211h a a a λλ=++-在区间1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值即可求得λ的取值范围．【详解】（1）解：当2λ=时，()21lg x f x x+= 由21lg0x x+>，得2121110x x x x ++>⇒->， 即10x x+>，等价于()10x x +>， 解得()(),10,x ∈-∞-+∞；（2）解：因为对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()12lg 2f x f x -≤， 所以对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()max min lg2f x f x ≤-， 设()f x 的定义域为I ，又当1x ，2x I ∈且12x x <时，有121211x x x x λλ++>，即121211lglgx x x x λλ++>，即()()12f x f x >，所以()f x 在I 上单调递减．因此函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值与最小值分别为()f a ，()1f a +．由()11()1lg lg lg 21a a f a f a a a λλλ+++⎛⎫⎛⎫-+=-≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，化简得()2110a a λλ++-≥，上式对任意1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0λ>，2(1)40λλ∆=++>令()()211h a a a λλ=++-，对称轴为102a λλ+=-<， 所以函数()()211h a a a λλ=++-在区间1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，()min h a =131242h λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由31042λ-≥，得23λ≥．故λ的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21．已知函数()e xf x a x a =+-，a ∈R ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若对任意R x ∈恒有()()2e 1xf x x ≤+-，求a ．【答案】(1)答案见解析 (2)=2a【分析】（1）求导，分0a ≥，0a <两种情况，讨论导函数正负，即得解；（2）转化为()()()2e 10xg x f x x =-+-≤，分=2a ，2a >，02a <<，0a ≤几种情况讨论函数单调性，求解即可.【详解】（1）因为()e 1xf x a '=+，当0a ≥时，对任意(),x ∈-∞+∞都有()0f x '>， 函数()f x 的单调增区间为(),-∞+∞当0a <时，由()=0f x '，得1ln x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，1ln ,x a ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 的单调增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．综上，当0a ≥时，函数()f x 的单调增区间为(),-∞+∞，当0a <时，函数()f x 的单调增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为对任意R x ∈恒有()2e 1xf x x ≤+-，所以设()()()22e 1e e 1x x xg x f x x a a =-+-=-+-+，根据题意，对任意R x ∈，要求()0g x ≤，()()22e e e 2e x x x x g x a a '=-+=-，①当=2a 时，()()2e 1e x xg x '=-，(),0x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 为(),0-∞上单调增函数，所以(),0x ∈-∞时，()()00g x g <=，()0,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为()0,+∞上单调减函数，所以()0,x ∈+∞时，()()00g x g <=，此时，对任意R x ∈恒有()2e 1xf x x ≤--；②当2a >时，由()=0g x '得，ln2a x =， ,ln 2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 为,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调增函数，因为0ln 2a <，所以()ln 002a g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符题意；③当02a <<时，由()=0g x '得，ln 2ax =，ln ,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 为ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调减函数，因为ln02a <，所以()ln 002a g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符题意； ④当0a ≤时，对任意R x ∈都有()0g x '<，()g x 为R 上单调减函数， 所以(),0x ∈-∞时，()()00g x g >=，不符题意；综上，当=2a 时，对任意R x ∈恒有()2e 1xf x x ≤--．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 满足参数方程为2224=21+4=1+x t t y t -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ+=．(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B两点，且AB =m 的值．【答案】(1)[)224,2,2x y x +=∈-，0x m +=(2)2【分析】（1）利用参数方程，经过平方相加可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用圆心距、半径、半弦长关系求解即可．【详解】（1）由2224=21+4=1+x t ty t -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可得：222222442411t x y t t ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 又因为2421x t =-+，所以024x <-≤，即[)2,2x ∈-， 所以曲线C 的直角坐标方程为：[)224,2,2x y x +=∈-，由=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，代入cos sin 0m ρθθ+=，可得直线l的直角坐标方程为：0x m +=．（2）设坐标原点O 到l 直线的距离为d ，则2m d ==，因为2242AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2242m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2m =±．当2m =-时，直线:20l x -=经过点(2,0)，而点(2,0)不在曲线C 上，故2m =-不符合题意， 所以=2m ．23．已知正数x ，y ，z 满足247x y z ++=． (1)证明：22273x y z ≥++； (2)求222248x y z z x y++的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)72．【分析】（1）根据柯西不等式()()()222222212424x y z x y z ++++≥++，结合题干条件即得解；（2）利用均值不等式求解()2222412482x y z x y z z x y ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值，再求解222248x y z z x y ++的最小值即可.【详解】（1）由已知247x y x ++=，根据柯西不等式，有()()()22222221242449x y z x y z ++++≥++=，即()2222149x y z ++≥，所以22273x y z ≥++； （2）因为()2222412482x y z x y z z x y ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭222214282x y z z x y z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭247x y z ≥++=，所以22224782x y z z x y ++≥，当且仅当7=,37=,67=12x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩时等号成立，综上，222248x y z z x y ++的最小值为72．。
2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(一)理科数学
【解析】
【分析】
根据 在 上投影为 ，以及 ，可得 ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入 即可求得 .
【详解】 在 上投影为 ，即
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到 的最小值.
【答案】A
【解析】
【分析】
考虑既属于 又属于 的集合，即得.
【详解】 .
故选：
【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.
2.已知复数z满足 ,则 在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，由 得： ，由复数相等可得 的值，进而求出 ，即可得解.
该几何体的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
11.定义 ，已知函数 ， ，则函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数 定义得 ， ，则 ,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得 ，再根据余弦定理可求得值.
（2）由正弦定理得 ， ，代入得 ，运用三角形的面积公式可求得其值.
【详解】（1）由 及正弦定理得 ，即
由余弦定理得 ， ， .
（2）设 外接圆的半径为 ，则由正弦定理得 ，