第八讲+弹性力学基础第一部分
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弹性力学基本理论
15
1.1.3 应变的概念
(a) x方向的线应变
(b) y方向的线应变
(c) xy面内的剪应变
图 1-3 单元体应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
u x x
y
u y x
（1.9）
u y y
ux y
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
16
1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
2 2 Tn n n 2
m A
B T
G
P A
n
o
y
图1-1 物体内任意点处的应力
（1.6）
12
1.1.2 应力的概念 应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有 同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面 上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。
x' ' y z'
=
0 1 0 cos 0 sin
0 x1 sin y1 cos z1
（b）
将第一式代入上式，可得
x ' 1 0 0 cos sin 0 x ' y y 0 cos sin = sin cos 0 z' z 0 sin cos 0 0 1
第八章弹性力学优秀课件
相容方程说明
对于相容方程说明如下：
（1）物体满足连续性条件 导出形变和位 移之间的几何方程 导 出相容方程。
（2）形变满足相容方程 对应的位移存在 且连续 物 体保持连续；形变不满足 相容方程 对 应的位移不存在 物 体不保持连续。
所以相容方程是位移的连续性条件。
（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可
zx
Φ y
,
zy
Φ 。 x
(d )
相容方程
2. 将式（d）代入6个相容方程，前三式和 第六式自然满足，其余两式为
2zx0,
代入（d），得
2 zy
0。
2Φ 0, x
2Φ 0, y
由此得出扭转应力函数Φ应满足的方程：
2ΦC,
( e)
C为待定常数。
边界条件
3. 考察侧面边界条件(n 0 ,fx fy fz 0 ) 前两式自然满足，第三式成为
zx 0,
x
zy 0,
y
zx zy 0。( a )
x y
由式(a)前两式，得 zx ,仅 z为y （x,y）的
函数；第三式成为
xzx yzy。 (b)
又由偏导数的相容性，存在一个应力函数 Φ ,
x yΦ y xΦ,
( c)
对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭 转应力函数 Φ(x,表y)示为
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界 条件。
考虑对称性：本题的任何x面和y面均 为对称面，∴可设
u0, v0, wwz。(a)
求解方程
（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常微分方程，
21E 11 2d d2zw 2d d2zw 2g0。
弹性力学知识基础
上述6个方程称几何方程
u v w
唯一确定
{ε }
{f}
但
{ε }
不唯一确定
原因：刚体位移不能确定。
第三节 物理方程
当材料是均匀、连续、各向同性，应力与应变成正比 （小变形）,即广义虎克定律
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )] E ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E = τ xy G , γ yz = τ yz G , γ zx = τ zx G
T
（1-2）
2、平衡微分方程 、
∂σ x τ yx τ zx + + + ∂y ∂z ∂x ∂ σ y τ xy τ zy + + + ∂x ∂z ∂y ∂ σ z + τ yz + τ xz + ∂y ∂x ∂z
F F F
Vx
=0 =0 =0
Vy
Vz
反映了物体内的应力场所须满足的静力关系， 或者应力分量的关系。
（1-9）
γ xy
其中： E
G
弹性模量 切变模量 泊松比
µ
G = E [2(1 + µ )]
解（1-9）式, 得物理方程：
{σ } = [D]{ε }
{σ } = σ xσ yσ zτ xyτ yzτ zx
T
（1-10）
{ε } = ε xε yε zγ xyγ yzγ zx
a、正应力虚功： 正应力 虚位移 虚功 b、切应力虚功
x方向
弹性力学-01绪论
(x,y,z) (x,y,z)
P ΔA
ΔF
n (法线)
(2) 一点的应力状态 通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态
应力符号的意义：
x
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
xy
第2个下标 y 表示τ的方向.
C z
zx
zy
z
yx xz
y
yz
Pxຫໍສະໝຸດ Azyyz
xy yx y
zx
B
O
y z
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
2yz z x 2 y 2zy y x 2 z 0 zx z zy
xy
yx
剪应力互等定理
yz
zy
zx xz
z
yx
y yz
作用在两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力 是互等的。
本课程较为完整的表现了力学问题的数学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值条件， 并对一些问题进行了求解。弹性力学基本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础。
弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法等课程的基础。
§1-2 弹性力学中的基本假定 1. 连续性假定
整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。
§1-1 弹性力学的研究内容
内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、 变形、位移等分布规律。
任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。
2. 弹性力学与材力、结力课程的区别
（1）研究对象 材力： 结力： 弹力：
（2）研究方法 材力：
杆件（直杆、小曲率杆） 杆件系统（或结构） 一般弹性实体结构： 三维弹性固体、板状结构、杆件等
弹性力学第一章
第一章 教学参考资料（一）本章的学习要求及重点1．弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别。
2．弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处。
3．弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。
（二）本章内容提要1．弹性力学的内容─弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2．弹性力学中的几个基本物理量：体力—— 分布在物体体积内的力、记号为,,,x y z f f f 。
量纲为L -2MT -2，以坐标正向为正。
面力—— 分布在物体表面上的力，记号为,,,x y z f f f 。
量纲为L -2MT -2 ，以坐标正向为正。
应力—— 单位截面面积上的内力，记号x xy στ⋯⋯，量纲为L -2MT -2，以正面正向为正，负面负向为正；反之为负。
形变—— 用线应变, x y εε和切应变xy γ表示，量纲为1，线应变以伸长为正，切应变以直角减小为正。
位移—— 一点位置的移动，记号为,,u v w ，量纲为L ，以坐标正向为正。
3．弹性力学中的基本假定理想弹性体假定—连续性，完全弹性，均匀性，各向同性。
小变形假定。
4．弹性力学问题的研究方法已知：物体的边界形状，材料性质，体力,边界上的面力或约束。
求解：应力、形变和位移。
解法：在弹性体区域V 内，根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件，建立物理方程。
在弹性体边界S 上，根据面力条件，建立应力边界条件，根据约束条件，建立位移边界条件。
然后在边界条件下，求解区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。
（三）弹性力学的发展简史与其他任何学科一样，从这门力学的发展史中，我们可以看出人们认识自然的不断深化的过程：从简单到复杂，从粗糙到精确，从错误到正确的演变历史。
第1章 弹性力学基础
第1章弹性力学基础第1节材料力学和弹性力学一、弹性力学的基本假设大量的工程问题都涉及到应力、应变及位移的分析计算，弹性力学（又称弹性理论）就是研究物体在外部因素（如外力、温度变化等）作用下产生的应力、应变及其位移规律的一门科学，它是固体力学的一个分支。
弹性力学的基本任务就是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。
也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力、应变状态和位移。
弹性力学所研究的对象是理想弹性体，其应力与应变之间的关系为线性关系，即符合虎克定律。
所谓理想弹性体，是指符合下述四个假定的物体，即：1. 连续性假定假定物体整个体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。
尽管物体都是由微小粒子组成的，不符合这一假定，但只要粒子的尺寸以及相邻粒子之间的距离都比物体的尺寸小得很多，则连续性假定就不会引起显著的误差。
有了这一假定，物体内的一些物理量（如应力、应变等等）才能连续，因而才能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。
2．完全弹性假定假定物体满足虎克定律，应力与应变间的比例常数称为弹性常数。
弹性常数不随应力或应变的大小和符号而变。
由材料力学已知：脆性材料在应力未超过比例极限以前，可以认为近似的完全弹性体；而韧性材料在应力未达到屈服极限以前，也可以认为是近似的完全弹性体。
这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。
3. 均匀性假定假定整个物体是由同一材料组成的。
这样，整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。
如果物体是由多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为均匀的。
4. 各向同性假定假定物体的弹性在各方向都是相同的。
弹性力学课件全本
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2. 应力：单位截面面积的内力.
内力：发生在物体内部的力，即物体 本身不同部分之间相互作用的力。
lim
ΔV 0
z
Ⅱ
F A p P
Ⅰ
F p A
o x
y
p: 极限矢量,即物体在截面mn上的、在P点的应力。 方向就是F的极限方向。 应力分量：， 量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2 即：L-1MT-2
（Theory of Elasticity)，研究弹性体由于受外力、边界
约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 研究对象：弹性体 研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移。
2. 对弹性力学、材料力学和结构力学作比较
弹性力学的任务和材料力学, 结构力学的任务一样, 是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位 移, 校核它们是否具有所需的强度和刚度, 并寻求或 改进它们的计算方法.
x
zx
A
y
可以证明,已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得经过 该点任一线段上的线应变 .也可以求得经过该点任 意两个线段之间的角度的改变。因此，此六个形变 分量可以完全确定该点的形变状态。
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(2)研究方法: 弹性力学与材料力学有相似，又有一 定区别。
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弹性力学：在弹性体区域内必须严格考虑静力学、 几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受 力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件 进行求解，得出精确解答。 材料力学：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是 十分严格。
弹性力学第一章
3 均匀性假设
整个物体是同一材料组成的，这样， 整个物体是同一材料组成的，这样，整个物体的所有各 部分才具有相同的弹性 。
25
1.2
基本假设
4 假定物体是各向同性的
物体的弹性在所有各个方向都相同。这样， 物体的弹性在所有各个方向都相同。这样，物体的弹性 常数才不随方向而变。 常数才不随方向而变。
5 假定位移和形变是微小的
假定物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远远小 假定物体受力以后， 于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。 于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于 。在考 察物体的形变及位移时， 察物体的形变及位移时，转角和应变的二次幂或乘积都 可以略去不计 。
sin α ≈ α
tan α ≈ α
1 ≈ 1− ε x 1+ ε x
16
1.1
弹性力学
二 弹性力学与材料力学及结构力学之间的不同点： 弹性力学与材料力学及结构力学之间的不同点： 1 研究内容不同 材料力学：杆件构件， 材料力学：杆件构件，即长度远大于高度和宽度 的构件，拉压、剪切、 的构件，拉压、剪切、弯曲和扭转作用下的应力 和位移。 和位移。 结构力学：在材料力学的基础上，杆状构件所组 结构力学：在材料力学的基础上， 成的结构，也即杆件系统，例如，桁架、 成的结构，也即杆件系统，例如，桁架、刚架等
15
1.1
一 概念
弹性力学
弹性力学，又称为弹性理论。 弹性力学，又称为弹性理论。 研究对象： 研究对象：弹性体 研究内容： 研究内容：受外力作用或由于温度改变等原因 而发生的应力、 而发生的应力、形变和位移 研究任务： 研究任务：分析各种结构物或构件在弹性阶段 的应力和位移， 的应力和位移，校核它们是否具有所需要的强 度和刚度， 度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法
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显著影响。
（2）静力等效原理： 静力等效的两套力系，物体应力只在力作用 附近有显著差别
P P/2 P
P/2 P/A
P/A
叠加原理
• 两组荷载共同作用时产生的应力场、应变场和位
移场，等于各自单独作用时引起的相应场之和。 • 叠加原理是由基本方程与边界条件的线性性质所 决定，适用于线弹性和小变形情况。对大变形， 弹性稳定问题和弹塑性力学问题不适用。
u v w dw x y z dz
代入拉梅-纳维方程
G w ( G) Z0 z
2
d 2w 2G 2 g 0 dz
1 1 2 2 w g z A B 2E 1
应力是
yz = Gyz zx = Gzx
x y z
由位移表示的平衡微分方程
G u ( G) X 0 x 2 G v ( G ) Y0 y G2 w ( G) Z0 z
2
拉梅-纳维方程
2 2 2 u v w 其中 2 是 Lplace 算子， ii u j , j 2 2 2 x y z x y z
与其它学科的关系
• 理论力学——研究刚体的静、动力学（约束 力、速度、加速度）。 • 材料力学——研究杆状构件在拉、压、剪、 弯、扭状态下的应力和位移。 • 弹性力学——一般平面问题、板、壳和实体 结构等的应力、变形和位移分析。 • 弹性力学是学习后续课程：工程振动、塑性 力学、断裂力学和有限元方法等课程的重要 基础。
• 唯一性定理的重要意义：为逆解法和半逆解法 提供了理论依据。 • 逆解法就是预先选取一组位移或应力函数，验 证是否满足基本方程和边界条件，如果满足， 就是问题的正确答案。
• 半逆解法就是先假设一部分未知量为已知，然 后利用基本方程和边界条件，确定其余的未知 量。
圣维南原理
（1）局部作用原理 作用在物体局部表 面的自平衡力系， 仅对局部范围产生
v y y
w z z
xz yz z Z 0 x y z
• 本构方程
w u zx x z
x=2Gx +
y=2Gy + z=2Gz +
xy = Gxy
yz = Gyz zx = Gzx
x y z
4.2 弹性力学的发展简史
• 分支发展(Since 1950)
• 二十世纪的后半期，弹性力学的各个分支 蓬勃发展。比如，弹性稳定性理论、断裂 力学、有限元方法、损伤力学、细观力学 和复合材料力学等等。
4.3 弹性力学的基本假设
• （1）连续性假设——弹性体是一种密实的连续介 质，在整个变形过程中保持连续性。物体内的一 些物理量，如应力、应变和位移等可用坐标的连 续函数表示它们的变化规律。
在体力为零或常量时，早在1892年就被意大利科学家贝尔特拉密所导出：
6 个应力分量满足平衡微分方程，满足应力相容方程，并在边界上满足 应力边界方程。
例1 （位移解法）
半无限体（密度为 ）受均布力q作用，求应力场 和位移场。 q
x
z
根据问题的对称性，位移应只是z的函数 u=0, v=0, w=w(z) 体积应变是
位移边界条件是
例2：半空间体在边界上受法向集中力
设有半空间体，体力不计，在 水平边界上受有法向集中力 P。 这是一个轴对称的空间问题， 而对称轴就是力P 的作用线。 因此，把z 轴放在P 的作用线 上，坐标原点就在P 的作用点。 建立极坐标系统。
位移解法：
拉梅方程：
体积应变
1885 年，法国力学家布西涅斯克(J· Boussinesq)找到了方程的两组特 解，即
4.4 弹性力学的求解方法
(1) 弹性力学的基本方程
弹性力学的基本方程 • 平衡方程
• 几何方程
x yx zx X 0 x y z
u x x
u v xy y x
yz v w z y
xy y zy Y 0 x y z
4.2 弹性力学的发展简史
• 柯西还给出了几何方程。在十九世纪的中后期，1853年， 他提出了半逆解法，并得到了梁的弯曲和非圆截面杆扭转 问题的精确解，从而检验了材料力学中在一定假设简化下 得到的近似解的准确程度。此外，他提出了著名的圣· 维南 原理， • 电磁学的奠基人之一，物理学家基尔霍夫多才多艺，在弹 性力学领域也颇有建树。1876年，他出版了著作“力学” ，将弹性力学的应用领域扩展到一种新的几何构形——板 ，在直法线假设的前提下，他运用虚功原理和变分法导出 了控制方程。随着板和壳结构出现在土木和机械工程领域 ，这一理论得到了广泛的应用。 • 电磁学的另一奠基人，亥姆霍兹在弹性力学领域同样功勋 卓著。他建立了弹性自由能的概念，还利用亥姆霍兹变换 得到无限大弹性体中的应力波解。
( , , u )
(1) ij (1) ij (1) i
和
(
( 2) ij
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
( 2) ij
,u )
( 2) i
• 考虑两组解的差值：
* ij * ij (1) ij (1) ij
( 2) ij ( 2) ij
u u
* i
(1) i
u
( 2) i
• 将它们对应的平衡方程、静力边界条件和 位移条件也相减，得到：
4.2 弹性力学的发展简史
• 大师耕耘(1700-1880)
• 1821年，纳维尔发表了题为“弹性体平衡和运动方程”的 论文，给出了弹性体位移的控制方程形式。 • 1829年，法国科学家泊松考虑了单向拉伸时的横向收缩问 题。为纪念他的贡献，横向收缩与纵向伸长比值的负值被 命名为泊松比。 • 1822年，柯西在三维情况下规范了应力的概念。其他贡献 包括：提出将面力矢量和应力张量联系起来的柯西原理， 提出主应力和主应变的概念，推广了胡克定律，以及建立 了用应力分量表示的连续体运动方程和边界条件。
4.2 弹性力学的发展简史
• 大师耕耘(1700-1880)
• 伯努利兄弟（瑞士）引入了应力和应变的概念。 • 1727年，欧拉（瑞士）给出应力、应变之间的线性关系， 即σ=Eε。 • 1807年，托马斯· 杨发展了一个类似的概念，因此，现在通 常称比例系数E为杨氏模量。 • 1774年，欧拉还分析了压杆失稳问题。作为表明弹性力学 历史地位重要性的经典例子，压杆失稳的弹性力学分析触 发了两个重要的数学概念。其一是“变分原理”；其二是 “分岔”的概念，它是非线性分析的中心内容。
离散系统
4.3 弹性力学的基本假设
• （2）完全（线）弹性假设——物体完全弹性的， 服从Hooke定律：应力应变关系是线性的（成正 比），弹性常数不随应力或形变的大小而变化。
4.3 弹性力学的基本假设
• （3）均匀性假设——物体由同一材料组成，不同 点处的弹性性质处处相同，物体的弹性不随位置 坐标而变化。 • （4）各向同性假设——物体内同一点的弹性性质 在所有方向上都相同。 • （5）小变形假设——位移和形变是微小的，可用 变形前的尺寸代替变形后的尺寸，考察物体的应 变和位移时，可略去高阶小量。
• 变形协调方程(或位移单值连续) • 位移边界条件
物理方程
或本构方程
a. 位移解法
平衡方程 几何方程方程
以位移作为未知数
x yx zx X 0 x y z
u u v xy x y x x
xy y zy Y 0 x y z
X
X'
X
X'
X
X+X'
X'
地震断层同震位错反演
Shen et al., NATURE GEOSCIENCE, 2009
几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴） 方向的长度很长，且所有垂直于z轴的横截面 都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支 承条件沿z方向也相同。 载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体 积力均垂直于z轴，且分布规律不随z变化。
4.2 弹性力学的发展简史
• 体系形成(1880-1950) • 代表性著作是勒夫的“关于弹性力学数学 理论的论述”，该部著作的问世同时标志 着十九世纪整个数学物理的研究中心是弹 性力学。 • 弹性力学在工程领域的广泛应用应归功于 铁木辛柯。他在弹性地基梁、铁木辛柯梁 、板壳力学和弹性振动等方面都做出了巨 大的贡献。
法国科学家拉梅(Lamè ，1795—1870 年)在得到上述方程后，自己当时并 不知道这方程有什么应用价值，很多年后，这方程才用于解题。 （1）静力边界条件使用位移表示 （2）位移边界条件
应力边界条件：用位移表示
b. 应力解法
• 满足平衡微分方程、应力协调方程和应力边界条件
存在体力
此式为Beltrami-Michell 于1899 年导出的应力形式表示的协调方程。
x=y=
g(z+A) 1
z= g(z+A)
xy=yz=zx=0
应用边界条件求待定常数 l=m=0, n=-1
X Y 0
Z q
A=q/g
边界条件是：-zz=0=q
解得：
1 1 2 2 w g z A B 2 E 1
第四章 弹性力学基础
胡才博 中国科学院大学地球科学学院 中国科学院计算地球动力学重点实验室
提纲
• • • • • • 4.1 弹性力学的研究内容 4.2 弹性力学的发展简史 4.3 弹性力学的基本假设 4.4 弹性力学的求解方法 4.5 弹性力学的有限元实现 4.6 弹性力学的应用实例
4.1 弹性力学的研究内容
4.2 弹性力学的发展简史
• • • • 启蒙时代(1600-1700) 大师耕耘(1700-1880) 体系形成(1880-1950) 分支发展(Since 1950)