高一数学讲义 函数及其表示法

函数及 其表示要求层次重难点函数的概念与表示C 理解函数的概念及对函数符号()y f x =的理解；会求函数的定义域、简单的函数的值域；会作出一些基本函数：一次函数，二次函数等函数的图象；理解分段函数的定义及其应用；理解映射的概念．映射 A 函数的表示B板块一：函数及其相关概念 （一）知识内容1．函数的概念：设集合A 是非空的实数集，对于A 中的任意实数x ，按照确定的对应法则f ，都有惟一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作(),y f x x A =∈．其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}y f x x A =∈叫做函数的值域．函数()y f x =也常写作函数f 或函数()f x ．2．函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等． 3定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤闭区间[,]a bba x{|}x a x b << 开区间(,)a b ba x{|}x a x b ≤<半开半闭区间[,)a bxa b高考要求第2讲 函数及其表示知识精讲（二）典例分析：【例1】判断以下是否是函数：⑴245y x=-；⑵y x=±；⑶y=；⑷229x y+=．【例2】如图所示，能表示“y是x的函数”的是．①【例3】（2006．台湾）将正整数18分解成两个正整数的乘积有：118⨯，29⨯，36⨯三种，又36⨯是这三种分解中两数的差最小的，我们称36⨯为18的最佳分解．当p q⨯()p q≤是正整数n的最佳分解时，我们规定函数()pF nq=，例如31(18)62F==，下列有关函数()F n的叙述，正确的序号为（把你认为正确的序号都写上）⑴(4)1F=；⑵3(24)8F=；⑶1(27)3F=；⑷若n是一个质数，则()F n1n=；⑸若n是一个完全平方数，则()1F n=【例4】设2,(10)()[(6)],(10)x xf xf f x x-≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f的值为（）A．10B．11C．12D．13【例5】函数y=___________．【例6】已知函数1()7f x x -， ⑴求函数的定义域；⑵求(11)f ，54f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；⑶ 当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值．【例7】求下列函数的定义域⑴y =⑵y =；⑶11111y x x=---．【例8】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴1(3)(5)3x x y x +-=+，25y x =-；⑵1y =2y =⑶()f x x =，()g x =⑷()f x =()F x = ⑸21()f x =，2()25f x x =-．A ．⑴、⑵B ．⑵、⑶C ．⑷D ．⑶、⑸【例9】函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞，则满足条件的实数a 组成的集合是 ．【例10】求下列函数的值域⑴ 231x y x -=+；⑵ 21y x =--， [1,3]x ∈-；⑶ 2234y x x =---；⑷ 5y =-．【例11】求下列函数的值域 ⑴1y x x=+；⑵y x =+．【例12】利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域．【例13】若(0x y =，求x y -的最大、最小值．【例14】若22()1x f x x =+，那么求1111(1)(2)(3)(4)(2005)2342005f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例15】已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ）A ．5[0]2， B ．[14]-， C ．[55]-， D ．[37]-，【例16】（2006年安徽高考）函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 【例17】设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +【例18】已知函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1(),f x x=则当(,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式为（ ）A ．1x -B ．12x --C ．12x +D ．12x -+【例19】设函数11(0),2()1(0).x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 ．.【例20】已知22111(),x x f x x x++=+求()f x ．【例21】设()f x 满足1()()af x bf cx x+=（其中,,a b c 均不为0，且a b ≠±），求()f x ．【例22】由函数的解析式，求函数值⑴已知函数2()352f x x x =-+，求(1)f ，1f a ⎛⎫⎪⎝⎭，(1)f x +；⑵已知1(0)()π(0)0(0)x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪<⎩，求{}[(1)]f f f -； ⑶已知()f x 的定义域为{}0x x >，且()()()f xy f x f y =+，若(9)8f =，求(3)f ．板块二：函数的三种表示法1．解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 2．图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(,())x f x 对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{(,)|(),}F P x y y f x x A ==∈．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．3．列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用． 4．分段函数：对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则的函数，称为分段函数．【例23】某商场做活动，某款玩具小熊的单价是5元，买x （x ∈{1,2,3,4,5}）个玩具小熊需要y 元．试用函数的三种表示法表示函数()y f x =．【例24】作出函数()|2||1|f x x x=--+的图象．【例25】已知1,0()1,0xf xx≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x++⋅+≤的解集是．【例26】函数xy xx=+的图象是（）【例27】如右图所示，在平行四边形ABCD中，60DAB∠=︒，5AB=，3BC=，点P从起点D出发，沿DC，CB向终点B匀速运动，设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成的图形的面积为y，y随x变化而变化，在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）【例28】已知函数22()2xf x xx+⎧⎪=⎨⎪⎩(1)(12)(2)xxx--<<≤≥，⑴求()fπ；（2）若()3f a=，求a；⑶作出此函数的图象．PD CBADCBxOy88yO x xOy88yO x习题1. 下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的一组是（ ）A ．2(),()x f x x g x x==B ．()f x x =，()||g x x =C ．()||f x x =，2()g x x =D ．()||,f x x =(0)()(0)x x g x x x >⎧=⎨-<⎩习题2. 求函数12y x x =--的值域．习题3. 已知函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f x =，则x = ．习题4. 若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = ．习题5. 若(2)y f x =+的定义域是(1,3]，求()y f x =的定义域．习题6. 若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ．家庭作业习题1. 求下列函数的值域：⑴34x y x+=- ⑵25243y x x =-+．习题2. 若1()()1x f x f x x-+=+，求()f x ．习题3. 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从点B 开始，沿折线BCD 向点A 运动．设点P 移动的距离为x ，ABP ∆的面积为y ，求函数()y f x =及其定义域，并根据所求函数画出函数图象．月测备选xyPABCD。