离散数学范式的特征及其价值
离散数学---范式
西 华 大 学
例如：求A=p∧(q→r)→s的析(合)取范式 解:A p∧(q∨r)→s 化掉→ (p∧(q∨r)) ∨ s 化掉→ p∨ (q∨r)∨ s 否定深入 p∨ (q∧ r) ∨ s 否定深入 析取范式 p∨ s∨ (q∧ r) ( p∨ s∨ q)∧( p∨ s∨ r) 分配律 合 取范式 课堂作业： 求( p→q)→(q∨p)的析（合）取范式。
例如：求A=p∧(q→r)的主析、合取范式
法一：Ap∧(q∨r)
西 华 大 学
合取范式
……
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r)
∧
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r) ∧
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r)
1 1 0 1 0 M 0∧M1 ∧M2 ∧M3 ∧M6（主合取范式 (0,1,2,3,6) ） 0 0 1 0 0 1 1
~ ~ ~ ~ 1.简单合取式（基本积）: P ∧ P2 ∧… ∧ Pn ,（ Pi 为Pi 1 或Pi） ~ ~ ~ 2 ∨… ∨P n 1∨P 西简单析取式（基本和）： P
华 大 2. 析取范式：基本积的析取式 学
合取范式：基本和的合取式
3. 任何公式A都存在与之等价的 析(合)取范式 证(构造法)：1）将A中的→、化掉，使其只含 ∨ ∧； 2）将否定深入到变元前面； 3）使用分配律将公式化为析（合）取范式
q∨p
~ ~ ~ ~ 1. 极小项： P ∧P2 ∧… ∧Pn ,（Pi 为Pi或Pi）中， 1 1) n个变元全部出现； 2) n个变元的位置有序； 西 华 2) Pi、Pi不同时出现； 大 ~ ~ ~ 学 极大项： P ∨… ∨ Pn 1∨ P 2 极小项、极大项的足标与形式的对应
2. 主析取范式：极小项的析取式 主合取范式：极大项的合取式 3. 任何公式A都存在与之等价的主析(合)取范式 方法 1)：真值表法 2)：先求析(合)取范式，再求主析、合取范式
离散数学 p ∧ q∨ r的主合取范式
离散数学p ∧ q∨ r的主合取范式离散数学是研究离散结构和离散量的数学科学。
在离散数学中，逻辑运算是一项重要内容。
主合取范式（Canonical Conjunctive Normal Form）是命题逻辑中一种常用的归一形式，也称为合取范式（Conjunctive Normal Form）。
本文将介绍离散数学中主合取范式的概念，并以p ∧ q∨ r为例进行详细解释，以帮助读者更好地理解。
首先，让我们了解一下离散数学中逻辑运算的基本概念。
在离散数学中有三种基本的逻辑运算：与（∧）、或（∨）和非（¬）。
与运算表示同时满足两个条件，或运算表示满足其中任何一个条件，非运算表示取反。
主合取范式是一种标准的命题形式，在主合取范式中，复合命题被表示为一个形如C₁ ∧ C₂ ∧ ... ∧ Cₙ的合取式，其中C₁、C₂、...、Cₙ是子句（Clause）的合取，而子句是一个形如L₁ ∨ L₂∨ ... ∨ Lₙ的析取式，其中L₁、L₂、...、Lₙ是文字（Literal）的析取。
合取式是由多个子句进行合取，而子句则是由多个文字进行析取构成的。
现在我们来解释题目中的p ∧ q∨ r在主合取范式下的转换过程。
首先，我们需要将命题p、q和r转换成文字的形式。
一个文字可以是一个命题或其否定形式，即p或¬p、q或¬q、r或¬r。
因此，p ∧ q∨ r可以转换为(p ∧ q∨ r) = (p ∧ q∨ r) ∨ (p ∧ ¬q∨ r)∨ (p ∧ q∨ ¬r) ∨ (p∧¬q∨¬r)。
接下来，我们需要将这个合式逻辑表达式转换为主合取范式。
这需要使用分配律来展开合取、析取运算。
分配律的定义如下：对于任意的命题p、q和r，有：1. p∧(q∨r) = (p∧q)∨(p∧r)；2. (p∨q)∧r = (p∧r)∨(q∧r)。
现在我们来将(p ∧ q∨ r) ∨ (p ∧ ¬q∨ r) ∨ (p ∧ q∨ ¬r) ∨ (p∧¬q∨¬r)转换为主合取范式。
离散数学的意义和作用
离散数学的意义和作用摘要：1.引言2.离散数学的定义和基本概念3.离散数学的主要作用4.离散数学在计算机科学中的应用5.离散数学在其他学科中的应用6.离散数学的重要性7.结论正文：**离散数学的意义和作用****1.引言**在现代科学技术中，数学发挥着越来越重要的作用。
其中，离散数学作为数学的一个重要分支，具有广泛的应用前景。
本文将探讨离散数学的定义、作用及其在各个领域中的应用，以展示其重要性。
**2.离散数学的定义和基本概念**离散数学（Discrete Mathematics）是研究离散对象及其性质的数学分支。
它主要包括集合论、图论、组合数学、逻辑与布尔代数等研究领域。
离散数学中的基本概念包括集合、元素、关系、函数等，这些概念为研究离散对象提供了理论基础。
**3.离散数学的主要作用**离散数学在数学、计算机科学、通信工程等领域具有重要作用。
它为研究离散结构和离散现象提供了理论依据，有助于解决实际问题。
**4.离散数学在计算机科学中的应用**在计算机科学中，离散数学有着广泛的应用。
如：在算法设计与分析、数据库设计、编译原理、网络优化等方面，离散数学提供了有力的理论支持。
**5.离散数学在其他学科中的应用**离散数学不仅在计算机科学中有重要作用，在其他学科中也具有重要应用价值。
例如，在生物学中，离散数学可用于研究基因序列的匹配问题；在经济学中，离散数学可用于研究经济模型的优化问题等。
**6.离散数学的重要性**离散数学在各个领域的应用表明，它已成为现代科学技术发展的重要支柱。
离散数学的研究成果不仅有助于推动数学本身的进步，还有助于促进其他学科的发展。
**7.结论**总之，离散数学作为数学的一个重要分支，具有广泛的应用前景。
它不仅在计算机科学中有重要作用，在其他学科中也具有重要应用价值。
随着科学技术的不断发展，离散数学的研究和应用将越来越受到重视。
离散数学中的基本概念和原理概述
离散数学中的基本概念和原理概述离散数学是数学中一个重要的分支学科，它主要研究离散对象及其结构、性质和关系。
在计算机科学、信息技术等领域，离散数学具有重要的应用价值。
本文将对离散数学的基本概念和原理进行概述，并介绍其在实际应用中的意义。
1. 集合论在离散数学中，集合论是最基础的概念之一。
集合是指由确定的元素组成的整体，而元素即集合中的个体。
集合间可以进行并、交、差等操作，而对于集合中的元素，可以通过包含关系、等于关系等进行描述。
在实际应用中，集合论常被用于数据库的设计和查询、逻辑推理等领域。
2. 关系和图论关系是研究离散数学中的另一个基本概念。
关系可以描述元素之间的某种联系或者特定的性质。
图论则是研究图的结构、性质和算法的学科，图由节点和边组成，节点表示元素，边表示元素之间的关系。
关系和图论在计算机网络、社交网络、电路设计等领域有广泛的应用。
3. 逻辑和命题逻辑是离散数学中的重要分支，研究命题之间的关系和推理规则。
命题是对某个陈述的真假进行判断的语句，可以用真或假来表示，通过逻辑运算符如与、或、非等进行连接。
逻辑在计算机科学中有广泛的应用，例如布尔代数、编程语言的设计等。
4. 组合数学组合数学是研究离散结构中的组合问题的学科，主要研究排列、组合和选择等问题。
排列是指对一组元素进行有序排列，组合是指从一组元素中选择出若干个元素的集合，选择是指对一组元素中进行有序或无序的选择。
组合数学在密码学、图像压缩、排课等领域有着广泛的应用。
5. 图的连通性和树图的连通性研究的是图中节点之间是否存在某种路径使得它们可以相互到达。
连通性在网络设计、电路设计等领域有着重要的应用。
树是一种特殊的图，它没有回路且任意两个节点之间存在唯一的路径。
树在数据结构、优化算法等方面有着广泛的应用。
综上所述，离散数学中的基本概念和原理涵盖了集合论、关系和图论、逻辑和命题、组合数学以及图的连通性和树等多个方面。
这些概念和原理在计算机科学、信息技术等领域有着广泛的应用，为解决实际问题提供了数学工具和方法。
离散数学-1-7对偶与范式
对偶式的应用
总结词
对偶式在离散数学中广泛应用于公式推导和证明。
详细描述
对偶式在离散数学中具有广泛的应用价值。在公式推导和证明中，通过对偶式可 以将复杂的逻辑公式简化，使得推导和证明过程更加简洁明了。同时，对偶式也 是范式的一个重要组成部分，可以帮助我们更好地理解和应用范式。
02
范式的定义与性质
范式的定义
离散数学-1-7对偶与 范式
目录
• 对偶式的定义与性质 • 范式的定义与性质 • 对偶式与范式的关系 • 对偶式与范式在离散数学中的应用 • 离散数学中的其他概念
01
对偶式的定义与性质
对偶式的定义
总结词
对偶式是指将一个逻辑公式中的所有运算符进行替换，从而得到的新公式。
详细描述
在离散数学的逻辑公式中，对偶式是通过将公式中的所有运算符进行替换而得 到的。具体来说，如果原公式中的运算符是"¬"，则替换为"→"；如果是"∧"， 则替换为"∨"；如果是"∨"，则替换为"∧"。
对偶式的性质
总结词
对偶式的性质包括交换律、结合律和分配律。
详细描述
对偶式的性质包括交换律、结合律和分配律。交换律是指对偶式的运算顺序可以交换，即运算结果不受顺序影响； 结合律是指对偶式的运算可以任意组合，即运算结果不受组合方式影响；分配律是指对偶式的运算可以分配到其 他运算中，即运算结果不受分配方式影响。
VS
范式则用于表示概率分布的性质，例 如表示概率分布的期望、方差等。
05
离散数学中的其他概念
离散概率论中的其他概念
离散概率
研究离散随机事件的数学分支，主要涉及概率空间、 随机变量、概率分布等概念。
离散数学证明S-c_VMGSGMV范式的有效性
离散数学证明S-c:VMGSGMV范式的有效性：1 、范式回顾及S-c: VMGSGMV范式的提出学者乔·贝恩（Joe S. Bain）在1930年代，提出SCP(Structure->Conduct->Performance)范式，“结构-行为-绩效”范式。
其基本含义是，结构决定企业在市场中的行为，而企业行为又决定其在外部环境发生变化的情况下的经营绩效；学者艾尔佛雷德.D.钱德勒（Chandler,1962）在《战略与结构》一书中，提出SS(Strategy-Structure)范式，即“战略决定结构”范式，指出企业扩张战略必须有相应的结构变化跟随；学者理查德.罗梅尔特（Richard P. Rumelt,1974）在《战略，结构与经济绩效》一书中，提出SSP （Strategy-Structure-Performance）范式，即“战略决定结构，结构决定绩效”。
此后，SSP范式一直处于战略研究的中心。
进入21世纪后，陆续出现了一些关于对主流范式的批评.近年来，文化元素的重要作用更加引起学者们的广泛注意。
学者Gerard J. Tellis和Jaideep C. Prabhu(2009)通过对世界上17个主要经济体中的759家公司的调查和档案数据分析指出，根本性创新是国家及企业的增长、获得成功和财富的重要驱动因素，而企业文化是根本性创新的最强驱动因素[2]；学者Robert G. Eccles,Ioannis等（2011），通过对180家样本公司有关“可持续文化”对企业的影响的调查，发现那些在许多年前被称作为高可持续性的企业，具有独特的治理机制特质，其董事会更可能对可持续性负责，并且对最高管理层的激励更可能与可持续性指标挂钩，具有在更高层次、更深层次上利益相关者（员工、客户、非政府组织等）参与的有效机制，更强调外部环境和社会标准，披露公开信息方面更加透明[3]。
美国旧金山海湾地区公会经济研究所（2012），就该地区除了人才聚集、资本聚集以外，什么因素使得该地区一直处于产业创新的领导地位进行了研究，发现：一个共同的创新文化氛围，企业内部自上而下的战略互动，企业内部创新战略、业务战略、文化战略的紧密交织，资本及人力资源的自由流动，良好的创新基础设施（一流大学、政府研究机构、现代设施等）等元素的组合互动构成该地区持续成功的关键[4]。
离散数学范式
离散数学范式随机知识点1.什么是随机现象？离散数学是对非连续（离散）的数学对象和结构进行研究的学科。
离散数学中主要涉及离散对象的表示、操作和分析，包括集合、关系、图论、组合数学和逻辑等。
在离散数学中，有不同的范式和方法，下面将分别介绍。
1.集合论范式集合论是离散数学的一个基础学科，它主要研究集合的基本概念、关系和操作。
在集合论范式中，我们主要研究由数学对象（元素）组成的集合，以及它们之间的关系和操作。
集合论最初是建立在自然数集合基础之上的，但后来逐渐发展为一种更一般的数学语言和方法，可用于描述任何类型的对象。
2.图论范式图论是离散数学的一个重要分支，主要研究图的结构、性质和算法。
图论范式中，我们主要关注由节点和边组成的图结构，以及它们之间的关系和操作。
图论可以用于许多领域，包括计算机科学、网络分析和社会网络分析等。
3.组合数学范式组合数学是离散数学的一个分支，主要研究离散结构的计数和组合问题。
组合数学范式中，我们主要关注由对象组成的集合的计数问题，以及这些对象之间的排列和组合问题。
组合数学可以用于各种领域，例如统计学、物理学和计算机科学等。
4.逻辑学范式逻辑学是离散数学的一个分支，主要研究逻辑语言和推理。
逻辑学范式中，我们主要关注命题、谓词和命题逻辑等基本概念，以及它们的语法和语义。
逻辑学可用于任何需要进行推理和推断的领域。
总之，离散数学范式是离散数学中的不同领域和方法，它们用于描述和分析离散对象和结构，包括集合、图论、组合数学和逻辑学等。
每个范式都有各自的特点和应用，因此在具体问题中需要根据需求选择合适的范式和方法。
离散数学-1-7 对偶与范式
(2)利用双重否定律消去否定联结词“¬”或利用德摩根 律将否定联结词“¬”移到各命题变元前(¬内移)
⑶利用分配律、结合律将公式归约为合取范式或析取
范式。 P ∧(Q ∨R) ?
13
二、析取范式与合取范式
例：求命题公式(P∨Q)↔P的合取范式和析取范式。
10
二、析取范式与合取范式
定义（补充）仅有有限个命题变元或其否 定构成的合(析)取式称作简单合(析)取式。 如：
┐P,Q等为一个文字(一个命题变元或它的否定称为文字)构成的简 单合取式，┐P∧P，P∧┐Q等为2个文字构成的简单合取， P∧Q∧┐R,┐P∧P∧Q等为3个文字构成的简单合取式
P,┐Q等为一个文字（一个变元或变元的否定）的简单析趋式， P∨┐P，┐P∨Q等为2个变元（或变元的否定）简单析取式， ┐P∨┐Q∨R,P∨┐Q∨R等为3个文字构成的简单析取式。
所以，¬A(P,Q,R) A*(¬P,¬Q,¬R)
⑵验证 A(¬P,¬Q,¬R)¬A*(P,Q,R) A(¬P,¬Q,¬R)(¬P∨¬Q)∧¬R ¬((P∧Q)∨R)¬A*(P,Q,R)
6
一、对偶式与对偶原理
定理1-7.2 设P1，P2，…，Pn是出现在公式A和B中 的所有原子变元，如果AB，则A*B*。
11
二、析取范式与合取范式
定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅 当它具有形式：
A1∧A2∧……∧An (n 1)
其中A1，A2，……，An 都是简单析取式。 如: (P∨┐Q∨R)∧(┐P∨Q)∧┐Q 定义1-7.2 一个命题公式称为析取范式，当且仅 当它具有形式：
A1∨A2 ∨…… ∨An (n 1)
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离散数学范式的特征及其价值摘要：20世纪中叶以来, 随着计算机的诞生及其对科学与社会日渐显现的影响力, 离散数学的思想和方法迅速发展, 展现出了更为多样和充满活力的知识形态。
离散数学的知识创新具有典型的数学范式革命性。
作为对微积分范式的一种突破, 离散数学超越了传统数学的知识界线, 展现出在数学本体论、认识论与方法论上的新的哲学特征。
与计算机与信息科学的发展相得益彰, 离散数学范式具有离散化、算法化、计算性、复杂性以及与科学更为紧密的交互性等显着的当代科学革命特征, 并显现出学科知识群与复杂性科学等独特的意蕴。
关键词：离散数学; 范式革命; 图灵计算; 量子计算; 计算复杂性;Abstract：Since the middle of 20 thcentury, with the birth of computer and its increase effect on science and society, the thought and method of discrete mathematics have developed rapidly and new forms of knowledge with more multiple, tensions and vigor were emerged. The knowledge innovation of discrete mathematics has representative paradigm revolutionary character. As a breakthrough and transcending of the paradigm of calculus, the discrete mathematics has gone beyond the bound of traditional mathematics and showed new philosophical features in ontology, epistemology and methodology of mathematics. Complement with the development of computer and informationscience each other, the discrete mathematics demonstrated the contemporary scientific revolution features such as discretization, algorithmization, complexity and more tightly interaction with science, as well as the unique implication of group of disciplinary knowledge and complex science.Keyword：discrete mathematics; paradigm revolution; turing machine; quantum computation; computational complexity;20世纪中叶以来, 随着计算机的迅猛发展, 核心数学呈现出新的迹象。
一种异于微积分的数学新范式———离散数学喷薄而出, 成为推动当代数学与科学发展的一种主导力量。
离散数学是数学研究范式的一次重大转向。
与20世纪的科学进步和革命相互辉映, 在离散数学领域中持续发生的数学知识创新与革命性突破书写了20世纪以来绚丽多彩、恢宏壮观的科学画卷, 成为当代科学革命的重要标志之一, 具有重要的科学里程碑意义。
1、离散数学的知识创造及其发展20世纪中叶以来, 数学的知识进步呈现出新的特征, 它从单纯的知识量的积累转变为产生一系列具有革命性意义的知识变革。
而突破传统的微积分范式的知识创造也正在悄然发生。
其中尤其是以离散数学的崛起和兴盛最具范式革命性意义。
离散数学是数学中若干分支的总称, 研究的对象是基于离散空间而不是连续空间的数学结构。
离散数学的基本内容包括集合与数据结构、代数结构、计数理论、数值分析、数理逻辑、图论、自动机理论、递归函数、数论、组合数学、离散概率、计算群论、计算组合学、计算图论等。
更一般地说, 离散数学可以被视为建立在可数集合之上的数学分支。
与连续型数学模型相比, 由于计算机的运算在本质上是离散型的, 因而直接从实际问题建立离散的数学模型, 比传统上先建立连续的模型再予以离散化更为便捷。
如此, 离散数学就创制了一种迥然不同于微积分连续数学的新范式———离散数学的知识范式。
1.1、离散数学的理论准备与计算机时代“算法”的涵义离散数学的异军突起与计算机的诞生密不可分。
计算机的发明是人类科技史上一次重大的创造。
受到计算机迅猛发展的影响, 20世纪后半叶以来, 数学发展开始从较为单一的微积分主线中分离出来, 离散数学的思想方法由于其与计算机的紧密联系而日益受到数学共同体的青睐。
因为无论是具有多么强大功能的计算机, 也只能进行有限的计算和处理有限的数据。
而不能完成实在无限的过程。
这样, 微积分的思想和理论就不能直接用于计算机, 而必须做离散化的处理, 才能发挥其效力。
离散数学的兴起, 是数学知识创新与当代科学发展交互作用的共同结果。
作为一种新的数学范式, 离散数学在知识构成中有两个必备的数学理论条件。
第一个是集合论的语言与方法。
19世纪末集合论的诞生, 使得数学研究对象获得了极大的扩展。
在微积分范式中, 实数系(最多到复数系) 构成了所有理论的基础性平台。
在复变函数范式中, 复数系构成了其知识建构的平台。
20世纪以来, 集合论替代了以前的各种平台, 成为几乎所有新的数学分支的主要平台。
“对20世纪数学的另一个重大影响, 是康托尔在19世纪末把无穷集引入数学词汇。
许多长期存在的问题, 可以用集论提供的丰富语言来重新描绘或重新解决”[1]。
任何抽象的对象所构成的集合, 只要满足一定的条件、关系、规则和法则, 都可以成为数学的研究对象。
因此, 集合论堪称数学知识范式的一场革命。
集合论在离散数学具有特别重要的基础地位。
第二个是理论计算机的科学基础, 特别是其数学基础的形成、发展与成熟。
值得注意的是, 计算机科学中许多重要的理论基础是从曾被认为是极为抽象和缺乏现实意义的数理逻辑和形式主义数学的研究中逐步发展起来的。
例如数理逻辑, 20世纪30年代后, 随着哥德尔定理的诞生, 数理逻辑等纯粹数学研究出现了一些与理论计算机的诞生紧密相关的新的语境。
其中一个重要的方向就是对“算法”的研究。
“算法”有许多不同的定义, 其最朴素的含义是“一步接一步的方法”[2]。
在计算机时代, “算法”特指的是与计算机的程序运行相关的计算方法1。
1.2、“计算”作为离散数学核心概念的革命性演进:从可计算到超级计算20世纪后半叶以来, 以计算机的理论发展和应用为平台的离散数学体系开始迅猛发展, 并对传统的以连续数学为核心的数学知识结构与体系造成了巨大的挑战。
由于计算机本质上是离散型的机器, 因此, 随着计算机的发明, 离散数学的思想、观念和方法的重要性开始在20世纪中叶以来的数学研究中日益显现出来。
数学的核心领域发生的持续的知识更新与创造可谓日新月异。
以下就以离散数学中最核心的概念之一———“计算”概念作为其知识范例, 对离散数学的革命性演进予以分析。
如果一个函数可以在规定的程序内通过有限步计算达到所需要的结果, 那么这样的函数就被称为“可计算”的。
在这方面, 英国数学家图灵(A.M.Turing) 的工作是开创性的和最为引人注目的。
1936年, 剑桥大学国王学院年仅23岁的图灵发表了影响深远的论文“论可计算数及其在判定问题中的应用” (on computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem) 在这篇论文中, 图灵首次定义了“可计算数”的概念:“‘可计算’数可以简要地描述为其小数表达式可以通过有限方法加以计算的实数”[3]。
图灵可计算性(Turing computability) 和图灵机(Turing machine) 的概念由此诞生2。
图灵所研究的“可计算性” (computability) 以及图灵机TM (是Turing’s machines的缩写) 概念, 作为假想的理想机器, 图灵机奠定了最终导致计算机发明的理论基础。
随着理论计算机科学的不断发展, 人们又提出了“超计算” (hypercomputation) 的概念。
所谓“超计算”是指“无法在图灵意义(即一个计算者用纸和笔在有限步骤里进行的有效计算) 上进行计算的函数和数的计算”[5]。
而以超级计算概念设计的超级计算机(hypercomputer) 则超越了图灵机的范围, 能够进行更多的函数、数、问题解决和任何任务的计算。
1.3、量子计算与量子计算机引领离散数学发展的新方向近数十年来, 量子计算和量子计算机的概念开始逐步成为理论计算机科学研究的一个前沿。
英国数学家阿迪亚(M.Atiyah) 在着名的“20世纪的数学”一文中曾预测说:“21世纪将会是怎样的?我已经说了21世纪将会是量子数学的时代。
……量子数学可能意味着我们能够尽我们所能地理解分析、几何、拓扑和各种各样的非线性函数空间的代数”[6]。