离散数学第三讲-范式与主范式
合取范式
E14 分配律
2)、将否定联结词¬移到命题变量的前面, 摩根律E10,E11；
析取范式
E11: (P∧Q) P∨ Q; E10: (P∨Q) P∧ Q
3)、消除多余的否定联结词，双否定律 PP 4)、用∧对∨的分配律化成，析取范式。
∨对∧的分配律
（合取范式）
6
1、范式---析取范式与合取范式
n
必出现一次，且仅出现
一次
~ 1, P 为 P i i i ~ 0 Pi 为 Pi
8
2、主范式
极小项的个数：n个命题变元可以构成 2 个极小项。 例如：2 个变元P , Q 可构造 4 个极小项
m3 P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 PQ 0 0 0 1
m0 P Q m1 P Q m2 P Q m3 P Q
特殊的质合取式
Pi ~ Pi Pi
极小项定义：
1 .P1 , P2 , P n 的顺序确定； 2 .P i 与 P i 不同时存在，二者之一
~ ~ ~ P1 P 2 P n m 1 2 n m r ( r 0 ,1, ,2 1)
极小项的性质： 1).极小项之间彼此不等价；
2).极小项与使其为真的指派之间建立了一一对应关系
3).主析取范式中，极小项与真值表中相应指派处公式真 值为1的相对应。
13
2、主范式
3.大项
~ ~ ~ 设有 n 个命题变元 P1 , P2 , P n , 形如 P1 P2 Pn 的命题公式 称为由 P1 , P2 , Pn 产生的大项， Pi ~ Pi Pi
15
2、主范式
例4 求(P∧Q)∨R的主合取范式.
解： (P∧Q)∨R
(P∨R)∧(Q∨R) (合取范式) (P∨(Q∧ Q)∨R)∧((P∧ P)∨Q∨R)
(P∨Q∨R)∧(P∨ Q∨R)
∧(P∨Q∨R) ∧(P∨Q∨R) (P∨Q∨R)∧(P∨ Q∨R)∧(P∨Q∨R)
M0∧M2∧M4
24
3、主析取范式的个数
22=16 共2
个。以此类推, n个命题变元,
2n 个不同 可构造2 23=256, 如n=3时2
的主析取范式(包括F)。这个数字增长非常快,
n=4
24=65 时2
536。
主合取范式和主析取范式是一一对应的, 因此, n 个命 题变元, 也可构造22 个不同的主合取范式(包括T)。
即 A mjl ∨ mj2 ∨… A A (mjl ∨ mj2 ∨… mjl ∧ mj2∧…∧ Mjl ∧ Mj2 ∧…∧ )
Mj
Mj mj
n 2 k
mj
Mj
n 2 k
n 2 k
n 2 k
n 2 k
n 2 k
M j mj mj
n 2 k
n 2 k
14
2、主范式
4. 主合取范式 若干个大项的合取,若与公式A等价，则称它为A 的主合 取范式。 例4 求(P∧Q)∨R的主合取范式. 求命题公式A的主合取范式的步骤： （1）先求出合取范式A′. （2）若A′的某简单析取式B中不含命题变项Pi ,或其否定Pi, 则将B展成如下形式： B B∨F B∨(Pi∧ Pi) (B∨Pi)∧(B∨ Pi).
n
25
作业：P21 习题1.3 2 ( 2)、 3 (2)、
26
Mj mj
n 2 k
n 2 k
17
极小项与极大项之间的关系
3.
主析取范式与主合取范式的关系
例题： A (P Q ) R m1 m3 m5 m 6 m7 主合取范式 3 5 6 7 （ 1，，，，） 主析取范式
M0 M2 M4 （ 0 ，，） 2 4
第三讲
范式与主范式
1.为什么引入范式？ 命题公式千变万化，不易于研究其性质和应用。 2.解决办法：将命题公式转化为逻辑等价的标准形。
范式----逻辑等价的标准形式
1
第三讲
讲授内容：
1. 范式
范式与主范式
析取范式 合取范式
2. 主范式
主析取范式 主合取范式 3. 主析取范式的个数
讲授重点：范式与主范式的求法 讲授难点：主范式的求法
P P P, P P F
4) 排序：小项的序号从小到大。
11
2、主范式
例2. 求命题公式(P∧Q)∨R的主析取范式。 A (P∧Q)∨R P∧Q∧(R∨ R)∨(P∨ P)∧(Q∨ Q)∧R
P∧Q∧R∨P∧Q∧ R∨P∧Q∧R∨P∧ Q∧R∨
P∧Q∧R∨
2
1、范式---析取范式与合取范式
1.文字：命题变元或命题变元否定，P, ¬ Q； 2.质合取式：若干个文字的合取, P∧ ¬ Q ∧ R; 3.质析取式：若干个文字的析取, P ∨ Q ∨ ¬ R; 4.析取范式: 若干质合取式的析取,若与公式A等价，
则称它为A 的析取范式。
5.合取范式: 若干质析取式的合取，若与公式A等价，
20
2、主范式
主范式的应用
利用主范式可以求解判问题或者证明等价式成立。
(1) 判定命题公式的类型 根据主范式的定义和定理，也可以判定含n个命题变 元的公式，其关键是先求出给定公式的主范式Ａ；其次按 下列条件判定之： (a)若AＴ，或A可化为与其等价的、含2n个小项的主 析取范式，则A为永真式。
19
2、主范式
例： A：(P∧Q)∨R B：m001 ∨m011 ∨m101 ∨m110 ∨m111 (1)对使A的真值为真的指派，由于它所对应 的小项在B中，所以此类指派也使B的真值 为真。 (2)对使A的真值为假的指派，由于它所对应 的小项不在B中，所以此类指派也使B的真 值为假。 故A与B同真假，从而逻辑等价 (P∧Q)∨R的主析取范式 (P∧Q)∨R m001∨m011∨m101∨m110∨m111 Σ(1,3,5,6,7)
R∨ P∧
P∧
Q∧R
Q∧R
P∧Q∧
P∧Q∧R ∨ P∧Q∧ R ∨ P∧ Q ∧ R ∨
m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m6 ∨ m7
Σ(1 , 3 , 5 , 6 , 7)
12
2、主范式
主析取范式与真值表的关系 例如： 极小项 m5 --P Q R
足标 101
指
派
1，0，1
极大项：
1 . P1 , P2 , Pn 的顺序确定； 2 . Pi与 Pi 不同时存在，二者之一 ~ ~ ~ P1 P 2 P n M
1 2
必出现一次，且仅出现
一次
n
M r ( r 0 ,1, ,2 1)
n
~ 1, P 为 P i i i ~ 0 Pi 为 Pi
3、主析取范式的个数
当n=1时,极小项有21=2个，即P, P。主析取范式有 2 :
2
f1 F f2 P f3 P
没有极小项
f4 P
P 全部极小项
23
3、主析取范式的个数
当 n=2 时，极小项有 22=4 个，即┏ P∧┏Q ， ┏ P∧Q ，
P∧┏Q ，P∧Q。主析取范式有 2 4
则称它为A 的合取范式。 合取式---称为积 析取式---称为和
3
1、范式---析取范式与合取范式
析取范式:
A A 1 A 2 A n ( n 1), n 1时，单个质合取式也是 A ：质合取式 i
析取范式
合取范式:
A B 1 B 2 B m ( m 1) m 1时，单个质析取式也是 B ：质析取式 i
任给一个命题公式A,经过以上四步演算,即得到一个与
A等值的析取范式或合取范式.任何命题公式的析取范式和合取范式 Nhomakorabea不是唯一的
7
2、主范式-主析取范式与主合取范式
1. 小项
设有 n 个命题变元 命题公式称为由 ~ ~ ~ P1 , P2 , P n , 形如 P1 P2 P n 的 P1 , P2 , P n 产生的小项，
合取范式
4
1、范式---析取范式与合取范式
范式存在定理
定理1：任意一个命题公式A都存在与之等价的 析取范式和合取范式。
5
1、范式---析取范式与合取范式
常用公式 1)、化成限定性公式；A中→，化成 ¬ ，∧，∨；
E 14 : P Q P Q E 15 : P Q ( P Q ) ( Q P ) ( P Q ) (P Q ) (P Q ) ( P Q )
10
2、主范式
2.主析取范式: 若干个极小项的析取,若与公式A等价，则称 它为A 的主析取范式。
例2. 求命题公式(P∧Q)∨R的主析取范式。
求命题公式A′的主析取范式的步骤：
1) 求公式A 的析取范式A′ 2) 展开：若A′的某简单质合取式B中不含命题变项pi或其否定 pi,则将 B展成如下形式： B B∧T B∧(Pi∨Pi) (B∧Pi)∨(B∧Pi) 3) 消去：将重复出现的命题变项、矛盾式及重复出现的极小项都“消 去”,如P∧P用P代,P∧P用F代,mi∨mi用mi代。
(1)求出A的主析取范式中没包含的极小项mj1,mj2,··m j ·, (2)求出与(1)中极小项下标相同的极大项Mj1,Mj2,··M j ·, (3)由以上极大项构成的合取式为A的主合取范式.
n
n 2 k
.
.
2 k
18
2、主范式
一个命题公式的真值表是唯一的, 因此一个命题公式的主 析取范式(主合取范式)也是唯一的。 定理2：在真值表中使一个命题公式A的真值为真(假)的 指派所对应的小项(大项)的析取(合取)，即为A的主析取 范式(主合取范式) 。 两个命题公式如果有相同的主析取范式(主合取范式), 那么两个命题公式是逻辑等价的。
离散数学---范式
西 华 大 学
例如：求A=p∧(q→r)→s的析(合)取范式 解:A p∧(q∨r)→s 化掉→ (p∧(q∨r)) ∨ s 化掉→ p∨ (q∨r)∨ s 否定深入 p∨ (q∧ r) ∨ s 否定深入 析取范式 p∨ s∨ (q∧ r) ( p∨ s∨ q)∧( p∨ s∨ r) 分配律 合 取范式 课堂作业： 求( p→q)→(q∨p)的析（合）取范式。
例如：求A=p∧(q→r)的主析、合取范式
法一：Ap∧(q∨r)
西 华 大 学
合取范式
……
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r)
∧
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r) ∧
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r)
1 1 0 1 0 M 0∧M1 ∧M2 ∧M3 ∧M6（主合取范式 (0,1,2,3,6) ） 0 0 1 0 0 1 1
~ ~ ~ ~ 1.简单合取式（基本积）: P ∧ P2 ∧… ∧ Pn ,（ Pi 为Pi 1 或Pi） ~ ~ ~ 2 ∨… ∨P n 1∨P 西简单析取式（基本和）： P
华 大 2. 析取范式：基本积的析取式 学
合取范式：基本和的合取式
3. 任何公式A都存在与之等价的 析(合)取范式 证(构造法)：1）将A中的→、化掉，使其只含 ∨ ∧； 2）将否定深入到变元前面； 3）使用分配律将公式化为析（合）取范式
q∨p
~ ~ ~ ~ 1. 极小项： P ∧P2 ∧… ∧Pn ,（Pi 为Pi或Pi）中， 1 1) n个变元全部出现； 2) n个变元的位置有序； 西 华 2) Pi、Pi不同时出现； 大 ~ ~ ~ 学 极大项： P ∨… ∨ Pn 1∨ P 2 极小项、极大项的足标与形式的对应
2. 主析取范式：极小项的析取式 主合取范式：极大项的合取式 3. 任何公式A都存在与之等价的主析(合)取范式 方法 1)：真值表法 2)：先求析(合)取范式，再求主析、合取范式
范式--离散数学
蕴含等值式 等价等值式 蕴含等值式 双重否定律
德.摩根定律
11
(P Q R ) Q ( P R ) 分配律
范式的表达式不唯一。
例3
PQ PQ （R R) P （Q R) (Q R)
P (Q R) P Q P R ( P Q P) ( P Q R) ( P P) (Q P) ( P R) (Q R)
8
（4）范式求解步骤
求公式A的范式的步骤：
(1) 消去A中的蕴涵词和等价词 。
ABAB， AB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A，(AB)AB，(AB)AB (3) 使用分配律进行化简、整合。 A(BC)(AB)(AC) 求合取范式 A(BC) (AB)(AC) 求析取范式
(3) 消去重复出现的极大项, 即用Mi代替MiMi；
(4) 将极大项按下标从小到大排列。
21
例5 求(pq)r 的主合取范式。
(pq)r (pr)(qr) pr p0r p(qq)r (pqr)(pqr) M1M3 qr (pp)qr (pqr)(pqr) M3M7 得 (pq)r M1M3M7 可记作 (1,3,7)
13
说明:
(1) n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项。 (2) 2n个极小项(极大项)均互不等值。 (3) 用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十 进制表示；用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋 值的十进制表示，mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称。
14
2个变元的极大项与极小项
同一律 矛盾律 分配律 同一律, 矛盾律 分配律
离散数学第三章习题详细答案
3.9解：符号化：p：a是奇数. q：a是偶数. r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：确。
方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔((p∧r) ∨¬p)∨((q∧¬r) ∨¬q)⇔(r∨¬p) ∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r) ∨¬q⇔1即证得该式为重言式，则原结论正确。
方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔m0+ m1+ m2+ m3+ m4+ m5+ m6+ m7可知该式为重言式，则结论推理正确。
3.10. 解：符号化：p：a是负数. q：b是负数. r：a、b之积为负前提： r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：不正确。
方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) →(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬ (¬r∨(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) ∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只含5个极小项，课件原始不是重言式，因此推理不正确3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
离散数学第三讲范式和主范式
Q∧R
P∧Q∧R ∨ P∧Q∧ R ∨ P∧ Q ∧ R ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m6 ∨ m7
Σ(1 , 3 , 5 , 6 , 7)
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2、主范式
主析取范式与真值表的关系 例如： 极小项 m5 --- P Q R 极小项的性质： 1).极小项之间彼此不等价； 足标 101 指 派 1 ，0，1
第三讲
范式与主范式
1.为什么引入范式？ 命题公式千变万化，不易于研究其性质和应用。 2.解决办法：将命题公式转化为逻辑等价的标准形。
范式----逻辑等价的标准形式
1
第三讲
讲授内容：
1. 范式
范式与主范式
析取范式 合取范式
2. 主范式
主析取范式 主合取范式 3. 主析取范式的个数
讲授重点：范式与主范式的求法 讲授难点：主范式的求法
则称它为A 的合取范式。 合取式---称为积 析取式---称为和
3
1、范式---析取范式与合取范式
析取范式:
A A1 A 2 A n (n 1), A：质合取式 i n1 时，单个质合取式也是 析取范式
合取范式:
A B1 B2 Bm (m 1) B：质析取式 i m1 时，单个质析取式也是 合取范式
极大项： 1. P1,P2 ,Pn的顺序确定；
2. Pi与Pi不同时存在，二者之一 必出现一次，且仅出现 一次
~ ~ ~ P1 P2 Pn M1 2 n M r (r 0,1,,2 n 1) ~ 1, Pi 为Pi i ~ 0 P i 为Pi
P P P, P P F
4) 排序：小项的序号从小到大。
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离散数学笔记总结
离散数学笔记总结一、命题逻辑。
1. 基本概念。
- 命题：能够判断真假的陈述句。
例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。
- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。
2. 逻辑联结词。
- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。
- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。
- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。
- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。
- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。
3. 命题公式。
- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。
- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。
- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
4. 逻辑等价与范式。
- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。
例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。
- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。
- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。
- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。
- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。
二、谓词逻辑。
1. 基本概念。
- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。
- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。
例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。
- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。
- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。
离散数学知识点
离散数学知识点(总23页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法:绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(，，，，)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则， CP规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，-规则（US），+规则（UG），-规则(ES)，+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, , , , 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
离散数学(第3讲)
2018/11/12
计算机学院
27
（6）若析取范式的某一个短语中缺少该命题公式中所 规定的命题变元P ，则可用公式： （～Ｐ∨Ｐ）∧Q=Q 将命题变元 P 补进去，并利用分配律展开，然后合并 相同的短语，此时得到的短语将是标准的极小项； （7）若合取范式的某一个子句中缺少该命题公式中所 规定的命题变元P ，则可用公式： （～Ｐ∧Ｐ）∨Q=Q 将命题变元 P 补进去，并利用分配律展开，然后合并 相同的子句，此时得到的子句将是标准的极大项。 （8）利用幂等律将相同的极小项和极大项合并，同时 利用交换律进行顺序调整，由此可转换成标准的主析 取范式和主合取范式。
2018/11/12 计算机学院 8
求一个命题公式的与之等价的析取范式和合取 范式，其步骤如下： （1）利用等价公式中的等价式和蕴涵式将公式 中的→、用联结词～ 、∧、∨来取代； （ 2 ）利用德 摩根定律将否定号┐移到各个命 题变元的前端； （3）利用结合律、分配律、吸收律、幂等律、 交换律等将公式化成其等价的析取范式和合取范 式。
demorgan定律可知对公式的否定可以直接作用到原子本身并且把公式中的变成把变成即得201521计算机学院结合律分配律该式正好是b左端的对偶式由a及对偶原理得证该式正好是右端的对偶式201521计算机学院一个命题公式可有无穷多个和它等价的命题公式用真值表或等价变换证明它们是否等价往往比较困难甚至连计算机也不能解决
2018/11/12
计算机学院
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主（特异、正则）合取范式
定义1-4.4 在n个变元的基本和（子句）中，若每一个变 元与其否定并不同时存在，且二者之一必出现且仅出现一 次，则这种基本和称为极大项。 由有限个极大项组成的合取式称为 主合取范式。 以下是由两个原子构成的极大项的真值表 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∨Q 1 1 1 0 P∨～Q 1 1 0 1
离散数学 主析取范式主合取范式
实验二实验题目：生成主析取范式和主合取范式实验目的：1.熟悉地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算；通过实验提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力；使学生具备程序设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析。
2.掌握命题逻辑中的联接词、真值表、主范式等，进一步能用它们来解决实际问题。
实验内容：利用计算机构造真值表来建立主析取范式和主合取范式实验原理：1.合取：二元命题联结词。
将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P ∧Q。
这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P 为真, Q为真时方可P∧Q为真, 而P、Q只要有一为假则P∧Q 为假。
2.析取：二元命题联结词。
将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P ∨Q。
这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P为假, Q为假时方可P∨Q为假, 而P、Q只要有一为真则P∨Q为真。
3.真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。
列出命题公式真假值的表。
通常以1表示真，0 表示假。
命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定，命题联结词的真值表给出了真假值的算法。
真值表是在逻辑中使用的一类数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效。
4.主析取范式：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单合取式为小项。
由若干个不同的小项组成的析取式称为主析取范式;与A等价的主析取范式称为A的主析取范式。
任意含n个命题变元的非永假命题公式A都存在与其等价的主析取范式,并且是惟一的。
5.主合取范式：在含有n个命题变元的简单析取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单析取式为大项。
由若干个不同的大项组成的合取式称为主合取范式;与A等价的主合取范式称为A 的主合取范式。
任意含n个命题变元的非永真命题公式A都存在与其等价的主合取范式,并且是惟一的。
离散数学-范式
全体极大项的合取式 永为0
P Q R PQR
求公式的主合取范式
0 000
0
1 001
1
2 010
0
例：求公式A的主合取范式(恒等变换法) 3 0 1 1 1
APQR
4 100
0
5 101
1
PQ(R┐R)(P┐P)(Q┐Q) R 6 1 1 0 1
对偶性
主析取范式 基本积 析取范式(基本积之和) 极小项
n个变元有2n个极小项 其下标使该极小项为真 求主析取范式的方法 主析取范式是极小项的和 其中的所有的极小项的下标 对应使该公式为真的解释
主合取范式 基本和 合取范式(基本和之积) 极大项
n个变元有2n个极大项 其下标使该极大项为假 求主合取范式的方法 主合取范式是极大项的积 其中的所有的极大项的下标 对应使该公式为假的解释
性质
极小项性质
N个命题变元可构成 2n个极小项
每个极小项当其真值 指派与其下标编码相 同时，其值为1，其 余为0
任意两个极小项的合 取式永为0
全体极小项的析取式 永为1
极大项性质
N个命题变元可构成2n 个极大项
每个极大项当其真值 指派与其下标编码相 同时，其值为0，其余 为1
基本积 是合式公式中的变元或变元的否定的合取； 基本和 是合式公式中的变元或变元的否定的析取。
例：给定命题变元P、Q，则：
P
基本积
┐PQ Q ┐P P ┐P
基本和
Q P┐P
P ┐PQ Q┐P P┐P QP┐P
析取范式
析取范式的定义 定义：一个形为基本积的析取的公式，如果与命题
离散数学——范式
公式的主范式
范式基本解决了公式的判定问题。但由于范式 不具有唯一性，对识别公式间是否等价带来一定困 难，而公式的主范式解决了这个问题。下面将分别 讨论主范式中的主析取范式和主合取范式。
8
１.主析取范式
(1) 极小项的概念和性质 ❖ 定义4.3.3 (教材P100)在含有n个命题变元的简单
合取式中， 若每个命题变元与其否定不同时存在， 而二者之一出现一次且仅出现一次，则称该简单合 取式为极小项。
B∨(pi∧ pi) (B∨pi)∧(B∨ pi).
24
❖ 用推理法求p∧q∨r的主合取范式.
解 (p∧q) ∨r
(p∨r)∧(q∨r)
(合取范式)
(p∨(q∧ q)∨r)∧((p∧ p)∨q∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨ q∨r)
∧(p∨q∨r) ∧( p∨q∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨ q∨r)∧(p∨q∨r)
(消去)
❖ (p∨q∨p)∧(r∨p),
(∨对∧分配律)
❖ (p∨q)∧(r∨p)
4
(2)求析取范式
用∧对∨的分配律就可得到析取范式, 接上面倒数第三步
❖ ((p∨q)∧r)∨p ❖ (p∧r)∨(q∧ r)∨p (∧对∨分配律) ❖ 最后结果为原公式的析取范式.利用交换律和吸收m7.
一般情况下,n个命题变项共产生2n个极小项,分别记
为m0,m1,...m2n-1.
12
主析取范式定义与存在定理 ❖ 定义:在给定公式的析取范式中，若其简
单合取式都是极小项，则称该范式为主析 取范式。（教材P101定义4.3.4） ❖ 定理:任意公式G都存在唯一的与之等价 的主析取范式。 （教材P101定理4.3.4）
4.3 范式