离散数学(1.7对偶与范式)
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对偶公式离散数学
对偶公式离散数学对偶公式是离散数学中的一种重要概念，它与图形的对称性有关，可以帮助我们更好地理解图形的结构特征和性质。
在本文中，我将讨论对偶公式的定义、证明、应用等方面，以帮助读者更好地理解这一概念。
对偶公式的定义对偶公式是指将一个平面图形的所有面和所有点互换得到的另一个平面图形，两个图形互为对偶关系。
具体来说，对于一个给定的平面图形G=(V，E)，我们可以定义它的对偶图G某=(V某，E某)，使得G和G某满足以下两个条件：1.G和G某的所有面和所有点一一对应。
2.对于G中的任意两个面，它们相邻当且仅当它们对应的点在G某中相邻；对于G某中的任意两个面，它们相邻当且仅当它们对应的点在G中相邻。
对偶公式的证明对于平面图形G=(V，E)，我们可以通过以下步骤来证明它的对偶图G 某=(V某，E某)存在：1.根据欧拉公式，我们有：，V，-，E，+，F，=2，其中，V，E，F，分别表示G中的点数、边数和面数。
2.我们将G中的每一个面向外“翻面”，得到一个新图形G'，它的每个面都是由原来的面与周围的边所围成的一块区域。
3.我们将G'中的每个交点都插入一个新的点，得到一个新图形H。
4.我们将H中每个面都向外“翻面”，得到一个新图形H'，它的每个面都是由原来的面与周围的点所围成的一块区域。
5.我们可以发现，H'中的每个面都对应着G中的一个点，且H'中的每个点都对应着G中的一个面。
因此，我们可以定义G某=(V某，E某)，其中V某为H'中的点集，E某为H'中的边集，且G某为G的对偶图。
通过上述证明，我们可以看出，对偶公式的存在并不依赖于G是否为平面图形，而只与G中的面、点、边之间的关系有关。
对偶公式的应用对偶公式在离散数学中有着广泛的应用，包括图论、拓扑学、计算几何等领域。
以下是一些典型的应用场景：1. 图论中常常使用对偶公式来证明定理或推导算法。
例如，通过对偶公式可以证明Planar Graph的最大独立集大小小于等于4/3 某最小顶点覆盖大小。
离散数学第一章
常称为“非”运算，所有可能的运算结果可用下表
（真值表）表示。
P
┒P
T F
F T
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P： 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q： 4 不是质数。或 “说4 是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨并且今天下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者今天不下雪。
以上命题， (a)的真值取决于今天的天气，(b)和(c)是真， (d)
已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 将它归属于命题。 (e)目前尚未确定其真假， 但它是有真值的，应归属于命题。
例 2 下述都不是命题: (a) x+y＞4。 (b) x=3。 (c) 真好啊！ (d) 你去哪里？
(a)和(b)是陈述句， 但不是命题， 因为它的真值取决于x和
∨为析取联结词。 P∨Q为真当且仅当P和Q中至少
一个为真。
P∨Q的逻辑关系是P与Q中至少有一个成立，因而， 只有P与Q同时为假时， P∨Q 才为假，其他情况 下， P∨Q 均为真。
“∨”代表的运算是二元运算，常称为“或”运 算，所有可能的运算结果用真值表表示为： P∨Q
P
Q
T T F F
T F T F
1-1 命题及其表示法
• 命题的概念
能够判断真假的陈述句，有确定真值。
例： 1、 1+1=2； 2、 明天开会吗？ 3、 我正在说谎。 4、我学英语，或者我学日语。
• 命题的表示
命题通常使用大写字母A，B，„，Z或带下标的 大写字母或数字表示，如Ai，[10]，R等，例如 A1：我是一名大学生。 [10]：我是一名大学生。 R：我是一名大学生。
离散数学---范式
西 华 大 学
例如：求A=p∧(q→r)→s的析(合)取范式 解:A p∧(q∨r)→s 化掉→ (p∧(q∨r)) ∨ s 化掉→ p∨ (q∨r)∨ s 否定深入 p∨ (q∧ r) ∨ s 否定深入 析取范式 p∨ s∨ (q∧ r) ( p∨ s∨ q)∧( p∨ s∨ r) 分配律 合 取范式 课堂作业： 求( p→q)→(q∨p)的析（合）取范式。
例如：求A=p∧(q→r)的主析、合取范式
法一：Ap∧(q∨r)
西 华 大 学
合取范式
……
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r)
∧
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r) ∧
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r)
1 1 0 1 0 M 0∧M1 ∧M2 ∧M3 ∧M6（主合取范式 (0,1,2,3,6) ） 0 0 1 0 0 1 1
~ ~ ~ ~ 1.简单合取式（基本积）: P ∧ P2 ∧… ∧ Pn ,（ Pi 为Pi 1 或Pi） ~ ~ ~ 2 ∨… ∨P n 1∨P 西简单析取式（基本和）： P
华 大 2. 析取范式：基本积的析取式 学
合取范式：基本和的合取式
3. 任何公式A都存在与之等价的 析(合)取范式 证(构造法)：1）将A中的→、化掉，使其只含 ∨ ∧； 2）将否定深入到变元前面； 3）使用分配律将公式化为析（合）取范式
q∨p
~ ~ ~ ~ 1. 极小项： P ∧P2 ∧… ∧Pn ,（Pi 为Pi或Pi）中， 1 1) n个变元全部出现； 2) n个变元的位置有序； 西 华 2) Pi、Pi不同时出现； 大 ~ ~ ~ 学 极大项： P ∨… ∨ Pn 1∨ P 2 极小项、极大项的足标与形式的对应
2. 主析取范式：极小项的析取式 主合取范式：极大项的合取式 3. 任何公式A都存在与之等价的主析(合)取范式 方法 1)：真值表法 2)：先求析(合)取范式，再求主析、合取范式
离散数学(1.7对偶与范式)
14
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例1：求((PQ)R)P的析取范式与合取范式。
解: 原式┐(┐(P∨Q)∨R)∨P ((P∨Q )∧┐R)∨P (P∧┐R )∨(Q∧┐R)∨P (析取范式) P∨(P∧┐R )∨(Q∧┐R) P∨(Q∧┐R) (析取范式) (P∨Q ∨P )∧(┐R∨P ) (合取范式)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例3：求┐(PQ)(PQ)的析取范式与合取范式。
解: ┐(PQ)(PQ)
(┐(PQ)(PQ))((PQ)┐(PQ)) ((PQ)┐P┐Q))((PQ)(┐P┐Q)) （P┐Q）（Q┐P） (析取范式) (P∨Q)∧(┐P∨┐Q) (合取范式)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式(The Principal
Disjunctive & Conjunctive Normal Form of a Propositional Formula) 由于一个命题公式的析(合)取范式不是唯一, 因而它们不 能作为命题公式的规范形式(标准形式), 为了使任意命题 公式化为唯一的标准形式, 下面引入主范式的概念. 1.命题公式的主析取范式 定义1.7.4：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个 命题变元和它的否定不同时出现，而二者之一必出现且 仅出现一次，称这样的简单合取式为小项.
因此 A*B* .
离散数学14
（1）将公式中的联结词化归成∧、∨、及┐。 （2）利用德•摩根定律将否定符号直接移到各个命题变元之前。 （3）利用分配律、结合律将公式归纳为合取范式或析取范式。
例题5 求(P ∧( Q → R)) →S的合取范式。
解
(P ∧( Q → R)) →S
┐(P ∧ (┐Q ∨R)) ∨S ┐P ∨(Q ∧┐R) ∨S (┐P ∨S) ∨ (Q ∧┐R)
定义1-7.1 在给定的命题公式中，将联结词∨换 成∧，将∧换成 ∨，若有特殊变元F和T亦相互 取代，所得公式A*称作A的对偶式。
例题1 写出下列表达式的对偶式。
A
（a）(P∨Q) ∧R （b）(P∧Q) ∨T （c）┐(P ∨Q) ∧ (P∨ ┐(Q ∧ ┐S))
A*
(P ∧ Q) ∨ R (P ∨ Q) ∧ F ┐(P ∧ Q) ∨ (P ∧ ┐(Q ∨ ┐S))
如┐(P∧Q )∧(P∨Q)的主合取范式为 (┐P∨┐Q ) ∧(P∨Q)
10、求一个命题公式的主合取范式的方法
（1） 真值表法 定理1-7.4 在真值表中,一个公式的真值为F的指 派所对应的大项的合取,即为此公式的主合取范式。 证明与定理1-7.3相同。
定理1-7.2 设P1， P2 ，…，Pn是出现在公式A和B中的 所有原子变元，如果A B，则A* B*。
证明 因为A B，即
A(p1,p2,…,pn)
B(p1,p2,…,pn)
是一个重言式，故 A(┐p1, ┐p2,…, ┐pn)
B(┐p1, ┐p2,…, ┐pn)
也是一个重言式。即
定理1-7A.(2的p1,作p用2, ：,为pn )AB(Bp又1,提p2,供,了p一n ) 种方法。 其（由他1定）方理真1法-值7：.1表得法 （2）利用A命*(题p1,定p2律, 推, p导n )证明B *( p1, p2, , pn ) （3）证明AB为永真式 （因4此）证明A=>BA且* B=B>*A
例题5 求(P ∧( Q → R)) →S的合取范式。
解
(P ∧( Q → R)) →S
┐(P ∧ (┐Q ∨R)) ∨S ┐P ∨(Q ∧┐R) ∨S (┐P ∨S) ∨ (Q ∧┐R)
定义1-7.1 在给定的命题公式中，将联结词∨换 成∧，将∧换成 ∨，若有特殊变元F和T亦相互 取代，所得公式A*称作A的对偶式。
例题1 写出下列表达式的对偶式。
A
（a）(P∨Q) ∧R （b）(P∧Q) ∨T （c）┐(P ∨Q) ∧ (P∨ ┐(Q ∧ ┐S))
A*
(P ∧ Q) ∨ R (P ∨ Q) ∧ F ┐(P ∧ Q) ∨ (P ∧ ┐(Q ∨ ┐S))
如┐(P∧Q )∧(P∨Q)的主合取范式为 (┐P∨┐Q ) ∧(P∨Q)
10、求一个命题公式的主合取范式的方法
（1） 真值表法 定理1-7.4 在真值表中,一个公式的真值为F的指 派所对应的大项的合取,即为此公式的主合取范式。 证明与定理1-7.3相同。
定理1-7.2 设P1， P2 ，…，Pn是出现在公式A和B中的 所有原子变元，如果A B，则A* B*。
证明 因为A B，即
A(p1,p2,…,pn)
B(p1,p2,…,pn)
是一个重言式，故 A(┐p1, ┐p2,…, ┐pn)
B(┐p1, ┐p2,…, ┐pn)
也是一个重言式。即
定理1-7A.(2的p1,作p用2, ：,为pn )AB(Bp又1,提p2,供,了p一n ) 种方法。 其（由他1定）方理真1法-值7：.1表得法 （2）利用A命*(题p1,定p2律, 推, p导n )证明B *( p1, p2, , pn ) （3）证明AB为永真式 （因4此）证明A=>BA且* B=B>*A
离散数学-1-7对偶与范式
对偶式的应用
总结词
对偶式在离散数学中广泛应用于公式推导和证明。
详细描述
对偶式在离散数学中具有广泛的应用价值。在公式推导和证明中，通过对偶式可 以将复杂的逻辑公式简化，使得推导和证明过程更加简洁明了。同时，对偶式也 是范式的一个重要组成部分，可以帮助我们更好地理解和应用范式。
02
范式的定义与性质
范式的定义
离散数学-1-7对偶与 范式
目录
• 对偶式的定义与性质 • 范式的定义与性质 • 对偶式与范式的关系 • 对偶式与范式在离散数学中的应用 • 离散数学中的其他概念
01
对偶式的定义与性质
对偶式的定义
总结词
对偶式是指将一个逻辑公式中的所有运算符进行替换，从而得到的新公式。
详细描述
在离散数学的逻辑公式中，对偶式是通过将公式中的所有运算符进行替换而得 到的。具体来说，如果原公式中的运算符是"¬"，则替换为"→"；如果是"∧"， 则替换为"∨"；如果是"∨"，则替换为"∧"。
对偶式的性质
总结词
对偶式的性质包括交换律、结合律和分配律。
详细描述
对偶式的性质包括交换律、结合律和分配律。交换律是指对偶式的运算顺序可以交换，即运算结果不受顺序影响； 结合律是指对偶式的运算可以任意组合，即运算结果不受组合方式影响；分配律是指对偶式的运算可以分配到其 他运算中，即运算结果不受分配方式影响。
VS
范式则用于表示概率分布的性质，例 如表示概率分布的期望、方差等。
05
离散数学中的其他概念
离散概率论中的其他概念
离散概率
研究离散随机事件的数学分支，主要涉及概率空间、 随机变量、概率分布等概念。
离散数学13.主析取范式
F∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)∨F
(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
补充说明
学情分析
学生已经掌握了析取(合取)范式的方法，掌握是小项、大项的意义，思考如何寻找范式的“标准”形式。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
由于一个命题公式的析(合)取范式不是唯一,因而它们不能作为命题公式的规范形式(标准形式),为了使任意命题公式化为唯一的标准形式,下面引入主范式的概念.
1．定义：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅有小项的析取所组成。则该等价式称作原式的主析取范式。
2.求主析取范式
方法1：真值表法
（1）列出给定公式的真值表。
（2）定理1-7.3在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对用的小项的析取，即为此公式的主析取范式.
找出真值表中每个“T”对应的小项。(如何根据一组指派写对应的为“T”的项：如果变元P被指派为T，P在小项中以P形式出现；如变元P被指派为F,P在小项中以P形式出现(因要保证该小项为T)).
（3）用“∨”联结上述小项，即可.
例1求PQ和PQ的主析取范式.
PQm0∨m1∨m3(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)
PQm0∨m3(P∧Q)∨(P∧Q)
方法2：用等价变换求主析取范式.
⑴先写出给定公式的析取范式
A1∨A2∨...∨An.
⑵除去析取范式中所有永假的析取项，合并出现的相同变元和合取项.
方法1用真值表法
令A(P,Q,R)(P(Q∧R))∧(P(Q∧R))
其真值表如下图：
A(P,Q,R)m0∨m7(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
补充说明
学情分析
学生已经掌握了析取(合取)范式的方法，掌握是小项、大项的意义，思考如何寻找范式的“标准”形式。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
由于一个命题公式的析(合)取范式不是唯一,因而它们不能作为命题公式的规范形式(标准形式),为了使任意命题公式化为唯一的标准形式,下面引入主范式的概念.
1．定义：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅有小项的析取所组成。则该等价式称作原式的主析取范式。
2.求主析取范式
方法1：真值表法
（1）列出给定公式的真值表。
（2）定理1-7.3在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对用的小项的析取，即为此公式的主析取范式.
找出真值表中每个“T”对应的小项。(如何根据一组指派写对应的为“T”的项：如果变元P被指派为T，P在小项中以P形式出现；如变元P被指派为F,P在小项中以P形式出现(因要保证该小项为T)).
（3）用“∨”联结上述小项，即可.
例1求PQ和PQ的主析取范式.
PQm0∨m1∨m3(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)
PQm0∨m3(P∧Q)∨(P∧Q)
方法2：用等价变换求主析取范式.
⑴先写出给定公式的析取范式
A1∨A2∨...∨An.
⑵除去析取范式中所有永假的析取项，合并出现的相同变元和合取项.
方法1用真值表法
令A(P,Q,R)(P(Q∧R))∧(P(Q∧R))
其真值表如下图：
A(P,Q,R)m0∨m7(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
对偶式离散数学
对偶式离散数学
对偶式离散数学是一种研究离散结构的数学分支，它主要关注离散结构中的对偶性和对称性。
对偶性是指将一个数学结构中的某些概念和操作进行转换，得到另一个相对应的数学结构，两个结构之间存在一种相似性或者映射关系。
对偶性的概念在离散数学中具有广泛的应用，可以用来研究图论、集合论、代数结构等多个领域。
对偶式离散数学的一个重要方面是对偶图（dual graph）。
在图论中，对偶图是指将原始图中的节点和边进行转换，得到一个新的图。
对偶图与原始图具有一一对应的关系，并且它们在某些性质上是相同的。
通过对偶图的研究，可以更好地理解原始图的特征和结构。
另一个重要的概念是对偶算子（dual operator）。
对偶算子是指将一个向量空间中的线性算子转化为另一个向量空间中的线性算子。
对偶算子可以用来描述向量空间中的对称性和共轭性质。
在代数结构中，对偶算子的概念也得到广泛的应用，特别是在线性代数和泛函分析中。
对偶式离散数学还包括对偶关系的研究。
对偶关系是指两个数学结构之间的一种对应关系，通过这种对应关系可以建立两个结构之间的联系。
对偶关系可以用来研究不同领域中的相似性和等价性，进而推导出一些结构和性质之间的等价关系。
总之，对偶式离散数学是一门研究离散结构中对偶性和对称性的数学学科。
它通过对偶图、对偶算子和对偶关系的研究，揭示了离散结构中的一些隐藏规律和性质，为离散数学的发展提供了新的视角和方法。
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12
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
求命题公式的范式的基本步骤： （1）将公式中的联结词化归成┐,及. （2）将否定联结词消去或内移到各命题变元之前。 利用下列等价式： ┐┐A A ┐( A∨B) ┐A∧┐B ┐( A∧B) ┐A∨┐B （3）利用分配律、结合律将公式转化为合取范式或析 取范式. C ∧( A ∨ B) （C∧ A）∨（C ∧ B） C ∨( A ∧ B) （C ∨ A）∧（C ∨ B）
3
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对
偶与范式(Dual & Normal Form)
例1.(┐P(QR))*=┐P(QR) ((PQ)T)*=((PQ)F) 由 P↑Q ┐(P∧Q) 和 P↓Q ┐(P∨Q) 可知 * (P↑Q) = P↓Q
4
10
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定义1.7.3: (1)析取范式：一个命题公式称为析取范式,当且仅当 它具有形式: A1∨A2∨……∨An (n大于等于1) 其中Ai(i=1,2,3,…n)为简单合取式. 如：P∨┐Q ，(P ∧ Q) ∨(P ∧┐Q∧R), Q∨┐A2∧……∧An (n大于等于1) 其中Ai(i=1,2,3,…n)为简单析取式. 如：P ∧ ┐Q ，(P ∨ Q) ∧(P ∨┐Q ∨R), Q∧┐P. (3)范式：析取范式与合取范式统称为范式。 显然, 任何合(析)取范式的对偶式是析(合)取范式.
7
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定理1.7.3:设A,B为两个仅含有联结词┐,,的命题 公式, 若AB，则B*A*。 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)→B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 ┐B(P1 , P2 ,…,Pn)→┐A(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 即 B*(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)→A*(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 以 Pi代┐Pi， i=1，2………n 得 B*(P1 , P2 ,…, Pn)→A*(P1 , P2 ,…, Pn)永真. 所以 B* A* .
离散数学(Discrete Mathematics)
1
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
1.7.1 对偶式与对偶原理(Dualistic Formula &
Duality Principle)
1.7.2命题公式的析(合)取范式(The Disjunctive &
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
关于对偶式我们有如下两个定理: 定理1.7.1:设A，A*是对偶式， P1 , P2 ,…,Pn是出现于A 和A*中的所有原子变元,则 (1) ┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） (2) A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)┐A*（P1 , P2 ,…,Pn） 证明:因为 ┐(PQ)┐P┐Q ┐(PQ)┐P┐Q 所以┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） 同理 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn )A（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn）
(P∨Q)∧(┐R∨P ) (合取范式)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例2：求(P Q) R的析取范式与合取范式。 解: 原式((PQ) R)∧(R(PQ) )
(┐(PQ)∨R)∧(┐R ∨(PQ) ) (┐(┐P∨Q)∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) ((P∧ ┐Q)∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) ((P∨R)∧(┐Q∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) (合取范式) ((P∧┐Q)∧(┐R∨┐P∨Q ) )∨(R ∧(┐R∨┐P∨Q ) (P∧┐Q∧┐R)∨(R∧┐P)∨(R∧Q) (析取范式)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定义1.7.2: (1)文字：命题变元及其否定统称为文字(如P , ┐P). (2)简单析取式：仅有有限个文字组成的析取式。 如:P，┐PQ,P┐P，QP┐P , P┐QR┐S. (3)简单合取式：仅有有限个文字组成的合取式。 如:P, ┐Q , Q┐P，P┐P，QP┐P, p∧┐Q∧R. 从定义不难看出: （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有 某个命题变元及其否定式。 （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有 某个命题变元及其否定式。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
析取范式与合取范式的性质: (1) 一个析取范式是矛盾式,当且仅当它的每一 个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式 ,当且仅当它的每一 个简单析取式都是重言式. 定理1.7.4 (范式存在定理) 任一个命题公式都存在着与之等价的析取范 式与合取范式。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定理1.7.2(对偶原理):设A,B为两个仅含有联结词┐,,的 命题公式, 若AB，则A*B*. 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)B(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 由定理1.7.1得 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn)┐B*(P1 , P2 ,…,Pn )
Conjunctive Normal Forms of a Propositional Formula)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式(The Principal
Disjunctive & Conjunctive Normal Form of a Propositional Formula)
2
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
考虑：n个命题变元可产生多少个小（大） 项？(2n) n个变元的小项: m0 ┐P1┐P2………….┐Pn m1 ┐P1┐P2………….Pn ………………………………… m2n-1P1P2………….Pn 小项的真值表：P33 表1-7.1,表1-7.2
13
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例1: 求((PQ)R)P 的析取范式与合取范式. 例2: 求(P Q) R的析取范式与合取范式. 例3: 求 ┐(PQ)(PQ)的析取范式与合取范式. 注意： （ 1 ）单个命题变元既是简单合取式，又是简单析取式； 公式P∧Q∧R既可以看成是合取范式，也可以看成是 析取范式。 （2）一个命题公式的析(合)取范式不是唯一的。
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与范式(Dual & Normal Form)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式(The Principal
Disjunctive & Conjunctive Normal Form of a Propositional Formula) 由于一个命题公式的析(合)取范式不是唯一, 因而它们不 能作为命题公式的规范形式(标准形式), 为了使任意命题 公式化为唯一的标准形式, 下面引入主范式的概念. 1.命题公式的主析取范式 定义1.7.4：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个 命题变元和它的否定不同时出现，而二者之一必出现且 仅出现一次，称这样的简单合取式为小项.
因此 A*B* .
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与范式(Dual & Normal Form)
例1：因为： P(PQ)P 由对偶原理: P(PQ) P 例2: 若AT 则 A*(T)* 即 A*F. 例3: 设A为 (PQ)(┐P(┐PQ)),B为 ┐PQ, 且AB,则 A*B*┐PQ.
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与范式(Dual & Normal Form)
例1：求((PQ)R)P的析取范式与合取范式。
解: 原式┐(┐(P∨Q)∨R)∨P ((P∨Q )∧┐R)∨P (P∧┐R )∨(Q∧┐R)∨P (析取范式) P∨(P∧┐R )∨(Q∧┐R) P∨(Q∧┐R) (析取范式) (P∨Q ∨P )∧(┐R∨P ) (合取范式)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对
偶与范式(Dual & Normal Form)
1.7.1 对偶式与对偶原理(Dualistic Formula & Duality Principle) 在第四节(1.4)中我们给出了命题定律(P15 表1-4.8), 其中 多数等价公式都是成对出现的, 每一对公式的不同之处 是将与互换,我们把这样的公式称为是对偶的. 定义1.7.1:设命题公式A仅含有联结词┐,,,在A中将,， F，T分别换以，，T，F得出公式A*，则A*称为A的对偶 公式。 说明:(A*)*=A
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求命题公式的范式的基本步骤： （1）将公式中的联结词化归成┐,及. （2）将否定联结词消去或内移到各命题变元之前。 利用下列等价式： ┐┐A A ┐( A∨B) ┐A∧┐B ┐( A∧B) ┐A∨┐B （3）利用分配律、结合律将公式转化为合取范式或析 取范式. C ∧( A ∨ B) （C∧ A）∨（C ∧ B） C ∨( A ∧ B) （C ∨ A）∧（C ∨ B）
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偶与范式(Dual & Normal Form)
例1.(┐P(QR))*=┐P(QR) ((PQ)T)*=((PQ)F) 由 P↑Q ┐(P∧Q) 和 P↓Q ┐(P∨Q) 可知 * (P↑Q) = P↓Q
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与范式(Dual & Normal Form)
定义1.7.3: (1)析取范式：一个命题公式称为析取范式,当且仅当 它具有形式: A1∨A2∨……∨An (n大于等于1) 其中Ai(i=1,2,3,…n)为简单合取式. 如：P∨┐Q ，(P ∧ Q) ∨(P ∧┐Q∧R), Q∨┐A2∧……∧An (n大于等于1) 其中Ai(i=1,2,3,…n)为简单析取式. 如：P ∧ ┐Q ，(P ∨ Q) ∧(P ∨┐Q ∨R), Q∧┐P. (3)范式：析取范式与合取范式统称为范式。 显然, 任何合(析)取范式的对偶式是析(合)取范式.
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与范式(Dual & Normal Form)
定理1.7.3:设A,B为两个仅含有联结词┐,,的命题 公式, 若AB，则B*A*。 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)→B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 ┐B(P1 , P2 ,…,Pn)→┐A(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 即 B*(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)→A*(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 以 Pi代┐Pi， i=1，2………n 得 B*(P1 , P2 ,…, Pn)→A*(P1 , P2 ,…, Pn)永真. 所以 B* A* .
离散数学(Discrete Mathematics)
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与范式(Dual & Normal Form)
1.7.1 对偶式与对偶原理(Dualistic Formula &
Duality Principle)
1.7.2命题公式的析(合)取范式(The Disjunctive &
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与范式(Dual & Normal Form)
关于对偶式我们有如下两个定理: 定理1.7.1:设A，A*是对偶式， P1 , P2 ,…,Pn是出现于A 和A*中的所有原子变元,则 (1) ┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） (2) A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)┐A*（P1 , P2 ,…,Pn） 证明:因为 ┐(PQ)┐P┐Q ┐(PQ)┐P┐Q 所以┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） 同理 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn )A（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn）
(P∨Q)∧(┐R∨P ) (合取范式)
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与范式(Dual & Normal Form)
例2：求(P Q) R的析取范式与合取范式。 解: 原式((PQ) R)∧(R(PQ) )
(┐(PQ)∨R)∧(┐R ∨(PQ) ) (┐(┐P∨Q)∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) ((P∧ ┐Q)∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) ((P∨R)∧(┐Q∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) (合取范式) ((P∧┐Q)∧(┐R∨┐P∨Q ) )∨(R ∧(┐R∨┐P∨Q ) (P∧┐Q∧┐R)∨(R∧┐P)∨(R∧Q) (析取范式)
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与范式(Dual & Normal Form)
定义1.7.2: (1)文字：命题变元及其否定统称为文字(如P , ┐P). (2)简单析取式：仅有有限个文字组成的析取式。 如:P，┐PQ,P┐P，QP┐P , P┐QR┐S. (3)简单合取式：仅有有限个文字组成的合取式。 如:P, ┐Q , Q┐P，P┐P，QP┐P, p∧┐Q∧R. 从定义不难看出: （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有 某个命题变元及其否定式。 （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有 某个命题变元及其否定式。
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与范式(Dual & Normal Form)
析取范式与合取范式的性质: (1) 一个析取范式是矛盾式,当且仅当它的每一 个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式 ,当且仅当它的每一 个简单析取式都是重言式. 定理1.7.4 (范式存在定理) 任一个命题公式都存在着与之等价的析取范 式与合取范式。
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与范式(Dual & Normal Form)
定理1.7.2(对偶原理):设A,B为两个仅含有联结词┐,,的 命题公式, 若AB，则A*B*. 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)B(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 由定理1.7.1得 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn)┐B*(P1 , P2 ,…,Pn )
Conjunctive Normal Forms of a Propositional Formula)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式(The Principal
Disjunctive & Conjunctive Normal Form of a Propositional Formula)
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考虑：n个命题变元可产生多少个小（大） 项？(2n) n个变元的小项: m0 ┐P1┐P2………….┐Pn m1 ┐P1┐P2………….Pn ………………………………… m2n-1P1P2………….Pn 小项的真值表：P33 表1-7.1,表1-7.2
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例1: 求((PQ)R)P 的析取范式与合取范式. 例2: 求(P Q) R的析取范式与合取范式. 例3: 求 ┐(PQ)(PQ)的析取范式与合取范式. 注意： （ 1 ）单个命题变元既是简单合取式，又是简单析取式； 公式P∧Q∧R既可以看成是合取范式，也可以看成是 析取范式。 （2）一个命题公式的析(合)取范式不是唯一的。
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1.7.3命题公式的主析(合)取范式(The Principal
Disjunctive & Conjunctive Normal Form of a Propositional Formula) 由于一个命题公式的析(合)取范式不是唯一, 因而它们不 能作为命题公式的规范形式(标准形式), 为了使任意命题 公式化为唯一的标准形式, 下面引入主范式的概念. 1.命题公式的主析取范式 定义1.7.4：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个 命题变元和它的否定不同时出现，而二者之一必出现且 仅出现一次，称这样的简单合取式为小项.
因此 A*B* .
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例1：因为： P(PQ)P 由对偶原理: P(PQ) P 例2: 若AT 则 A*(T)* 即 A*F. 例3: 设A为 (PQ)(┐P(┐PQ)),B为 ┐PQ, 且AB,则 A*B*┐PQ.
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例1：求((PQ)R)P的析取范式与合取范式。
解: 原式┐(┐(P∨Q)∨R)∨P ((P∨Q )∧┐R)∨P (P∧┐R )∨(Q∧┐R)∨P (析取范式) P∨(P∧┐R )∨(Q∧┐R) P∨(Q∧┐R) (析取范式) (P∨Q ∨P )∧(┐R∨P ) (合取范式)
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偶与范式(Dual & Normal Form)
1.7.1 对偶式与对偶原理(Dualistic Formula & Duality Principle) 在第四节(1.4)中我们给出了命题定律(P15 表1-4.8), 其中 多数等价公式都是成对出现的, 每一对公式的不同之处 是将与互换,我们把这样的公式称为是对偶的. 定义1.7.1:设命题公式A仅含有联结词┐,,,在A中将,， F，T分别换以，，T，F得出公式A*，则A*称为A的对偶 公式。 说明:(A*)*=A