离散数学26 前束范式
6-前束范式推理
§2.5 推理理论(1)
约定: A(x)表示x是A中的自由变元,
»例题1-2 »例题2 »例题3
A(y)表示用y取代A中自由变元x所有出现所得的结果. 例:设A(x)：xP(x)Q(x)R(x,y),则A(y)为xP(x)Q(y)R(y,y)
与量词有关的规则:
这些规则只能对前束范式使用！ 全称指定规则US： xA( x ) , 个体词y不在A(x)约束出现(pp.50例)
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x)) x(A(x)∧B(x))xA(x)∧x B(x)
-吴扬扬-
(对∧可分配）
(对∨可分配）
13
6
§2.5 推理理论(2)
例1: 证明苏格拉底论证：x(M(x)→D(x)), M(a)D(a) 证明: (1) M(a) (2) x(M(x)→D(x)) (3) M(a)→D(a) 前提 前提 (2)US
»
(4) D(a) (1)(3)假言推论 例2: 证明 x(P(x)Q(x))xP(x)→xQ(x). x P(x) 附加前提 证明: (1) (2) P(c) (1)ES (3) x(P(x)Q(x)) 前提 (4) P(c)Q(c) (3)US (5) Q(c) (2)(4)析取三段论 (6) xQ(x) (5)EG (7) xP(x)→xQ(x) CP
主要内容：
范式
前束范式 Skolem范式
推理理论
与量词有关的规则
-吴扬扬-
1
§2.4 范式(1)
前束范式： 前束词 母式 形为Q1x1…QrxrB(r≥0)的公式,其中:Qi为量词,B不含量词的公式 * 所有量词均非否定地出现在公式开头且量词的辖域均延伸到 整个公式的末尾。 例1: xyz(P(x,y)Q(y,z))
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
前束范式推理
范式 前束范式 Skolem范式 推理理论 与量词有关的规则
-吴扬扬-
1
§2.4 范式(1)
前束范式： 前束词 母式 形为Q1x1…QrxrB(r≥0)的公式,其中:Qi为量词,B不含量词的公式 例1: ∀x∃y∀z(P(x,y)→Q(y,z)) R(x,y)? (∀x)P(x)∧(∃y)Q(y) ? * 所有量词均非否定地出现在公式开头且量词的辖域均延伸到整个 公式的末尾。 前束析取范式 前束合取范式 设A为合式公式,B为前束范式,若A
∀xA ( x ) ,个体词y不在A(x)约束出现(pp.50例) 全称指定规则US： ∴ A ( y)
存在指定规则ES：∃ xA ( x ) , c不在A(x)或其前推导中出现的个 ∴ A ( c ) 体符号,且A(x)中无其他自由变元 全称推广规则UG：
A ( y) ,若A(y)对任意的y均成立(例2.5.5) ∴ ∀xA ( x )
»
(4) D(a) (1)(3)假言推论 例2: 证明 ∀x(P(x)∨Q(x))⇒∃x¬P(x)→∃xQ(x). ∃x ¬P(x) 附加前提 证明: (1) (2) ¬P(c) (1)ES (3) ∀x(P(x)∨Q(x)) 前提 (4) P(c)∨Q(c) (3)US (5) Q(c) (2)(4)析取三段论 (6) ∃xQ(x) (5)EG (7) ∃x¬P(x)→∃xQ(x) CP
10
第一篇小结
知识点 命题逻辑 谓词逻辑 命题常元、命题变元 个体常元变元、个体域、函数 命题符号化 联接词 谓词符号、量词、联接词 公式的真值 公式间的关系 公式 标准化 合式公式、公式的解 释、公式分类 (永真永假可满足) 等价、永真蕴含、 对偶原理 合取、析取范式 主合取、析取范式 项、原子公式、合式公式 约束变元、自由变元、 公式的解释、公式的分类 等价、永真蕴含、含有 量词的基本恒等蕴含式 前束范式、斯柯莱范式
离散数学26 前束范式
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
4
一、前束范式
例：化为前束范式
x (y A (x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
解：原式
x(y A(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
x (yA(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y)))) x (yA(x, y) u r (B(u, r) z (A(z, u) B(u, z)))) x y u rz(A(x, y) (B(u, r) (A(z, u) B(u, z))))
8
三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
1
一、前束范式
例如 x y(F(x, y) G(x, y)) , xyz(F(x, y, z) G(x, y, t)) 等都是前束范式。 而 x F(x) x G(x, y) x (F(x) y (G(y) H(x))) 等不是前束范式。 定理2.-6.1：任何一个谓词公式均等价于某个前束范式。 在一阶逻辑中，任何合式公式都存在前束范式。 具体做法：总是利用德摩根律及量词与否定间关系把 否定符号放在谓词之前，有必要时进行换名或代替， 再利用量词作用域扩张的等值式，求出前束范式。一 般前束范式并不唯一。
离散数学23.前束范式
例如(y)(x)(z)(A(x)→(B(x,y)∨C(x,y,z))) ,
(x)(A(x)→B(x)),就是前束范式.
而(x)A(x)∧(y)B(y),
(x)(y)(A(x)→(B(x,y)∧(z)C(z))),
学情分析
学生已经学习了变元的约束，能够利用谓词演算的等价公式进行演算。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
与命题公式的范式类似，谓词公式也有规范形式。这里主要介绍前束范式--所有量词都在公式前边约束变元.
(x)(P(x)∨R(x))∨((y)P(y)∧Q(z)) (换变元)
(x)(P(x)∨R(x))∨(y)(P(y)∧Q(z)) (扩量词辖域)
(x)(y)((P(x)∨R(x))∨(P(y)∧Q(z))) (扩量词辖域)
定义2.6.2一个谓词公式A，如果具有形式：
(v1)(v2)…(vn)((A11A12…A1l1)(A21A22…A2l2)…(Am1Am2…Amlm))
将一个谓词公式化为前束合取范式或前束析取范式时，只需在前面求前束范式的（1）～（4）四个步骤基础上再增加一个步骤：
（5）利用分配律将公式化为前束合取范式或前束析取范式.
补充说明
4)用量词辖域扩张公式提取量词，使之成为前束范式形式.
例1. (x)A(x)→(x)B(x)
(x)A(x)∨(x)B(x)
(x)A(x)∨(x)B(x)
(x)A(x)∨(y)B(y) (换元)
离散数学知识点
说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法:绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(，，，，)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则，CP规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，-规则（US），+规则（UG），-规则(ES)，+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, , , , 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补,对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包r(R),对称闭包s(R), 传递闭包t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
3.群与子群：半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集，拉格朗日（Lagrange）定理4.阿贝尔群和循环群：阿贝尔群(交换群)，循环群,生成元5.环与域：环，交换环，含幺环，整环，域6.格与布尔代数：格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格，布尔代数，有限布尔代数的表示定理图论：1.图的基本概念：无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、补图，握手定理，图的同构2.图的连通性:通路，回路，简单通路，简单回路（迹）初级通路（路径），初级回路（圈），点连通，连通图，点割集，割点，边割集，割边，点连通度，边连通度，弱连通图，单向连通图，强连通图，二部图（二分图） 3. 图的矩阵表示：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵4. 欧拉图与哈密顿图：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图，哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图5. 无向树与根树：无向树，生成树，最小生成树，Kruskal ，根树，m 叉树，最优二叉树，Huffman 算法6. 平面图:平面图，面，欧拉公式，Kuratoski 定理数理逻辑：命题：具有确定真值的陈述句。
离散数学-2-6_前束范式
三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
6
二、前束合取范式
定义2-6.2：如果一个谓词公式wff A具有 如下形式，则称其为一个前束合取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)] 其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体 变元，Aij 是原子公式或其否定。
第二章谓词逻辑
2-6 前束范式 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、前束范式
与命题逻辑类似，在谓词逻辑中也希望研 究其合式公式，即谓词公式的规范形式， 这就是前束范式。 定义2-6.1 设A为一个谓词公式，若A有形 式：Q1x1Q2x2QkxkB，则称A为前束范式， 其中Qi(1≤i≤k)为或，B为不含量词的谓 词公式。
3
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
离散数学部分概念和公式总结(精简版)
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、前束合取范式
第二步，约束变量换名： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(w)R(x,w)] 第三步，消去条件联结词： D (x)[(P(x)(z)Q(z,y)) (w)R(x,w)] 第四步，将深入： D (x)[(P(x) (z)Q(z,y))(w)R(x,w)] (x)[(P(x)(z)Q(z,y))(w)R(x,w)] 第五步，将量词提前： D (x)(z)(w)[(P(x)Q(z,y)) R(x,w)] (x)(z)(w) [(P(x)R(x,w))(Q(z,y) R(x,w) ) ]
3
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) x G(x) 2）x F(x) x G(x) 解：（1）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x (F(x) G(x)) （2）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
定理2-6.3：任何一个谓词公式都可以转化为与其
等价的前束析取范式。 任一个wff A转化成前束析取范式步骤与例4类同
9
本课小结
1.前束范式 2.前束析取范式 3.前束合取范式
10
作业
P75 （2）
11
8
三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
例： (x)(z)(y){[P(x≠a)(z=b)][Q(y)(a=b)]} 就是一个前束合取范式。
6
二、前束合取范式
定理2-6.2：任何一个谓词公式都可以转化为与 其等价的前束合取范式。 用一个例子说明定理 例4. 将谓词公式wff D: (x)[(y)P(x)(z)Q(z,y)(y)R(x,y)] 化为与之等价的前束合取范式。 解： 第一步，取消多余量词： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(y)R(x,y)] 第二步，约束变量换名： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(w)R(x,w)]
4
一、前束范式
例：化为前束范式
x (y A (x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
解：原式
x(y A(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
x (yA(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y)))) x (yA(x, y) u r (B(u, r) z (A(z, u) B(u, z)))) x y u rz(A(x, y) (B(u, r) (A(z, u) B(u, z))))
2
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
1
一、前束范式
例如 x y(F(x, y) G(x, y)) , xyz(F(x, y, z) G(x, y, t)) 等都是前束范式。 而 x F(x) x G(x, y) x (F(x) y (G(y) H(x))) 等不是前束范式。 定理2.-6.1：任何一个谓词公式均等价于某个前束范式。 在一阶逻辑中，任何合式公式都存在前束范式。 具体做法：总是利用德摩根律及量词与否定间关系把 否定符号放在谓词之前，有必要时进行换名或代替， 再利用量词作用域扩张的等值式，求出前束范式。一 般前束范式并不唯一。
5
二、前束合取范式
定义2-6.2：如果一个谓词公式wff A具有 如下形式，则称其为一个前束合取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)] 其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体 变元，Aij 是原子公式或其否定。
一、前束范式
与命题逻辑类似，在谓词逻辑中也希望研 究其合式公式，即谓词公式的规范形式， 这就是前束范式。 定义2-6.1 设A为一个谓词公式，若A有形 式：Q1x1Q2x2QkxkB，则称A为前束范式， 其中Qi(1≤i≤k)为或，B为不含量词的谓 词公式。
前束范式的量词均在全式的开头，其作用域延 伸到整个公式的未尾