离散数学---范式
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离散数学---范式
3. 对偶原理
若AB，则A * B * 证：设因则故永P为真1.AA, A((P(P┐2P1,…P1, P,1,P,P2┐2,n…是,…P,出P2,P,n…现)n),于┐BAB(P和(PnP1)B,1中P, P2B的,2(…,┐所…,PP,有Pn1)n,原)永┐子真P变2.,…元,.┐Pn)
由定理1.7.1得 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn)┐B*(P1 , P2 ,…,Pn )
( p∨ s∨ q)∧( p∨ s∨ r) 分配律 合 取范式
课堂作业： 求( p→q)→(q∨p)的析（合）取范式。 q∨p
1. 极小项： P~1 ∧P~2 ∧… ∧P~n ,（P~i 为Pi或Pi）中， 1) n个变元全部出现；
西 2) n个变元的位置有序；
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极大2)项P：i、P~1P∨i不P~同2∨时…出∨现；P~n
法一：Ap∧(q∨r) 合取范式
西
……
华
大 学
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r) ∧
(p∨q∨0r) ∧0 (p0∨q∨0 0r) 1∧
(p0∨1q∨0r) ∧(0 p∨1 q∨1 r)
0
10
1
10
M 0∧M1 ∧M2 ∧M3 ∧M6（主合取范式 (0,1,2,3,6)）
m4∨m5∨m7
（主析取范式 (4,5,7) ）
§1.5范式
从前面的讨论可知,存在大量互不相同的命题公式，实
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际上互为等价,因此,有必要引入命题公式的标准形式, 使得相互等价的命题公式具有相同的标准形式。这无 疑对判别两个命题公式是否等价以及判定命题公式的 类型是一种好方法,同时对命题公式的简化和推证也是
十分有益的.
命题公式的标准形式： • （主）析取范式 • （主）合取范式
离散数学——范式
14
❖ 例:求((p∨q) r) p的主析取范式.
❖ ((p∨q) r) p
❖ p∨(q∧ r)
(析取范式)
❖ [p∧(q∨q)∧ (r∨r) ]∨ [(p∨p)∧(q∧ r) ]
❖ (p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ∨
(p∧ q ∧ r)∨(p∧ q ∧ r)∨
❖ 1.推理法 ❖ 2.利用真值表法
1）列出公式的真值表； 2）将真值表最后一列中的1的左侧的二进 制数所对应的极小项写出； 3）将这些极小项用析取词∨联结起来.
17
❖ 例 :试由p∧q∨r的真值表求它的主析取范式.
p
❖ 例4.3.5 教材 P103 解此类问题分以下几步： 1.先将简单命题（或语句）符号化； 2.写出复合命题（或公式）； 3.求成真赋值； 4.求解方法：观察法、等值演算法、主析取范式法等
③ 利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取 范式。
3
例1.14 求下面命题公式的合取范式和析取范式.
((p∨q) r) p
解 (1)求合取范式
((p∨q r) p
❖ ( (p∨q)∨r) p
(消去第一个→)
❖ ((p∨q)∨r)∨p
(消去第二个→)
❖ ((p∨q)∧ r)∨p
(p∧q∧r)∨(p∧ q ∧r)
❖ m4∨ m5 ∨ m6∨m7∨m2∨m6 ❖ m2∨m4∨m5∨m6∨m7
15
例：解 p ∨ (q∧ r) ❖ 用p∧(q∨q)∧(r∨r)取代p. ❖ 用(p∨p)∧(q∧ r)取代(q∧ r). ❖ 然后展开得极小项.
16
主析取范式的求法
❖ 能够证明，n个命题变元共有2n个极大项。
21
❖ 例:求((p∨q) r) p的主析取范式.
❖ ((p∨q) r) p
❖ p∨(q∧ r)
(析取范式)
❖ [p∧(q∨q)∧ (r∨r) ]∨ [(p∨p)∧(q∧ r) ]
❖ (p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ∨
(p∧ q ∧ r)∨(p∧ q ∧ r)∨
❖ 1.推理法 ❖ 2.利用真值表法
1）列出公式的真值表； 2）将真值表最后一列中的1的左侧的二进 制数所对应的极小项写出； 3）将这些极小项用析取词∨联结起来.
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❖ 例 :试由p∧q∨r的真值表求它的主析取范式.
p
❖ 例4.3.5 教材 P103 解此类问题分以下几步： 1.先将简单命题（或语句）符号化； 2.写出复合命题（或公式）； 3.求成真赋值； 4.求解方法：观察法、等值演算法、主析取范式法等
③ 利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取 范式。
3
例1.14 求下面命题公式的合取范式和析取范式.
((p∨q) r) p
解 (1)求合取范式
((p∨q r) p
❖ ( (p∨q)∨r) p
(消去第一个→)
❖ ((p∨q)∨r)∨p
(消去第二个→)
❖ ((p∨q)∧ r)∨p
(p∧q∧r)∨(p∧ q ∧r)
❖ m4∨ m5 ∨ m6∨m7∨m2∨m6 ❖ m2∨m4∨m5∨m6∨m7
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例：解 p ∨ (q∧ r) ❖ 用p∧(q∨q)∧(r∨r)取代p. ❖ 用(p∨p)∧(q∧ r)取代(q∧ r). ❖ 然后展开得极小项.
16
主析取范式的求法
❖ 能够证明，n个命题变元共有2n个极大项。
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离散数学第三讲-范式与主范式
Mj mj
n 2 k
n 2 k
17
极小项与极大项之间的关系
3.
主析取范式与主合取范式的关系
例题： A (P Q ) R m1 m3 m5 m 6 m7 主合取范式 3 5 6 7 （ 1，，，，） 主析取范式
M0 M2 M4 （ 0 ，，） 2 4
(0,2,4) 其中表示合取.
16
极小项与极大项之间的关系
1.
极小项与极大项的关系
一个命题公式的主析取范式和主合取范式紧密相关, 在它们的简 记式中, 代表极小项和极大项的足标是互补的,
mi Mi,
2.
M i m i.
原命题A与其否命题A的关系
设命题公式A中含n个命题变元，且设A的主析取范式中含k个极 小项mil,mi2,…,mik则 A的主析取范式中必含2n-k个极小项,设为 mjl,mj2, …, ,
则称它为A 的合取范式。 合取式---称为积 析取式---称为和
3
1、范式---析取范式与合取范式
析取范式:
A A 1 A 2 A n ( n 1), n 1时，单个质合取式也是 A ：质合取式 i
析取范式
合取范式:
A B 1 B 2 B m ( m 1) m 1时，单个质析取式也是 B ：质析取式 i
(1)求出A的主析取范式中没包含的极小项mj1,mj2,··m j ·, (2)求出与(1)中极小项下标相同的极大项Mj1,Mj2,··M j ·, (3)由以上极大项构成的合取式为A的主合取范式.
n
n 2 k
.
.
2 k
18
2、主范式
离散数学第三讲范式和主范式
Q∧R
P∧Q∧R ∨ P∧Q∧ R ∨ P∧ Q ∧ R ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m6 ∨ m7
Σ(1 , 3 , 5 , 6 , 7)
12
2、主范式
主析取范式与真值表的关系 例如： 极小项 m5 --- P Q R 极小项的性质： 1).极小项之间彼此不等价； 足标 101 指 派 1 ，0，1
第三讲
范式与主范式
1.为什么引入范式？ 命题公式千变万化，不易于研究其性质和应用。 2.解决办法：将命题公式转化为逻辑等价的标准形。
范式----逻辑等价的标准形式
1
第三讲
讲授内容：
1. 范式
范式与主范式
析取范式 合取范式
2. 主范式
主析取范式 主合取范式 3. 主析取范式的个数
讲授重点：范式与主范式的求法 讲授难点：主范式的求法
则称它为A 的合取范式。 合取式---称为积 析取式---称为和
3
1、范式---析取范式与合取范式
析取范式:
A A1 A 2 A n (n 1), A：质合取式 i n1 时，单个质合取式也是 析取范式
合取范式:
A B1 B2 Bm (m 1) B：质析取式 i m1 时，单个质析取式也是 合取范式
极大项： 1. P1,P2 ,Pn的顺序确定；
2. Pi与Pi不同时存在，二者之一 必出现一次，且仅出现 一次
~ ~ ~ P1 P2 Pn M1 2 n M r (r 0,1,,2 n 1) ~ 1, Pi 为Pi i ~ 0 P i 为Pi
P P P, P P F
4) 排序：小项的序号从小到大。
11
离散数学-1-7对偶与范式
对偶式的应用
总结词
对偶式在离散数学中广泛应用于公式推导和证明。
详细描述
对偶式在离散数学中具有广泛的应用价值。在公式推导和证明中，通过对偶式可 以将复杂的逻辑公式简化，使得推导和证明过程更加简洁明了。同时，对偶式也 是范式的一个重要组成部分，可以帮助我们更好地理解和应用范式。
02
范式的定义与性质
范式的定义
离散数学-1-7对偶与 范式
目录
• 对偶式的定义与性质 • 范式的定义与性质 • 对偶式与范式的关系 • 对偶式与范式在离散数学中的应用 • 离散数学中的其他概念
01
对偶式的定义与性质
对偶式的定义
总结词
对偶式是指将一个逻辑公式中的所有运算符进行替换，从而得到的新公式。
详细描述
在离散数学的逻辑公式中，对偶式是通过将公式中的所有运算符进行替换而得 到的。具体来说，如果原公式中的运算符是"¬"，则替换为"→"；如果是"∧"， 则替换为"∨"；如果是"∨"，则替换为"∧"。
对偶式的性质
总结词
对偶式的性质包括交换律、结合律和分配律。
详细描述
对偶式的性质包括交换律、结合律和分配律。交换律是指对偶式的运算顺序可以交换，即运算结果不受顺序影响； 结合律是指对偶式的运算可以任意组合，即运算结果不受组合方式影响；分配律是指对偶式的运算可以分配到其 他运算中，即运算结果不受分配方式影响。
VS
范式则用于表示概率分布的性质，例 如表示概率分布的期望、方差等。
05
离散数学中的其他概念
离散概率论中的其他概念
离散概率
研究离散随机事件的数学分支，主要涉及概率空间、 随机变量、概率分布等概念。
离散数学范式
离散数学范式随机知识点1.什么是随机现象？离散数学是对非连续（离散）的数学对象和结构进行研究的学科。
离散数学中主要涉及离散对象的表示、操作和分析，包括集合、关系、图论、组合数学和逻辑等。
在离散数学中，有不同的范式和方法，下面将分别介绍。
1.集合论范式集合论是离散数学的一个基础学科，它主要研究集合的基本概念、关系和操作。
在集合论范式中，我们主要研究由数学对象（元素）组成的集合，以及它们之间的关系和操作。
集合论最初是建立在自然数集合基础之上的，但后来逐渐发展为一种更一般的数学语言和方法，可用于描述任何类型的对象。
2.图论范式图论是离散数学的一个重要分支，主要研究图的结构、性质和算法。
图论范式中，我们主要关注由节点和边组成的图结构，以及它们之间的关系和操作。
图论可以用于许多领域，包括计算机科学、网络分析和社会网络分析等。
3.组合数学范式组合数学是离散数学的一个分支，主要研究离散结构的计数和组合问题。
组合数学范式中，我们主要关注由对象组成的集合的计数问题，以及这些对象之间的排列和组合问题。
组合数学可以用于各种领域，例如统计学、物理学和计算机科学等。
4.逻辑学范式逻辑学是离散数学的一个分支，主要研究逻辑语言和推理。
逻辑学范式中，我们主要关注命题、谓词和命题逻辑等基本概念，以及它们的语法和语义。
逻辑学可用于任何需要进行推理和推断的领域。
总之，离散数学范式是离散数学中的不同领域和方法，它们用于描述和分析离散对象和结构，包括集合、图论、组合数学和逻辑学等。
每个范式都有各自的特点和应用，因此在具体问题中需要根据需求选择合适的范式和方法。
离散数学-1-7 对偶与范式
(P →Q) ∧(Q →P)(┐P ∨Q) ∧(┐ Q ∨ P)
(2)利用双重否定律消去否定联结词“¬”或利用德摩根 律将否定联结词“¬”移到各命题变元前(¬内移)
⑶利用分配律、结合律将公式归约为合取范式或析取
范式。 P ∧(Q ∨R) ?
13
二、析取范式与合取范式
例：求命题公式(P∨Q)↔P的合取范式和析取范式。
10
二、析取范式与合取范式
定义（补充）仅有有限个命题变元或其否 定构成的合(析)取式称作简单合(析)取式。 如：
┐P,Q等为一个文字(一个命题变元或它的否定称为文字)构成的简 单合取式，┐P∧P，P∧┐Q等为2个文字构成的简单合取， P∧Q∧┐R,┐P∧P∧Q等为3个文字构成的简单合取式
P,┐Q等为一个文字（一个变元或变元的否定）的简单析趋式， P∨┐P，┐P∨Q等为2个变元（或变元的否定）简单析取式， ┐P∨┐Q∨R,P∨┐Q∨R等为3个文字构成的简单析取式。
所以，¬A(P,Q,R) A*(¬P,¬Q,¬R)
⑵验证 A(¬P,¬Q,¬R)¬A*(P,Q,R) A(¬P,¬Q,¬R)(¬P∨¬Q)∧¬R ¬((P∧Q)∨R)¬A*(P,Q,R)
6
一、对偶式与对偶原理
定理1-7.2 设P1，P2，…，Pn是出现在公式A和B中 的所有原子变元，如果AB，则A*B*。
11
二、析取范式与合取范式
定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅 当它具有形式：
A1∧A2∧……∧An (n 1)
其中A1，A2，……，An 都是简单析取式。 如: (P∨┐Q∨R)∧(┐P∨Q)∧┐Q 定义1-7.2 一个命题公式称为析取范式，当且仅 当它具有形式：
A1∨A2 ∨…… ∨An (n 1)
(2)利用双重否定律消去否定联结词“¬”或利用德摩根 律将否定联结词“¬”移到各命题变元前(¬内移)
⑶利用分配律、结合律将公式归约为合取范式或析取
范式。 P ∧(Q ∨R) ?
13
二、析取范式与合取范式
例：求命题公式(P∨Q)↔P的合取范式和析取范式。
10
二、析取范式与合取范式
定义（补充）仅有有限个命题变元或其否 定构成的合(析)取式称作简单合(析)取式。 如：
┐P,Q等为一个文字(一个命题变元或它的否定称为文字)构成的简 单合取式，┐P∧P，P∧┐Q等为2个文字构成的简单合取， P∧Q∧┐R,┐P∧P∧Q等为3个文字构成的简单合取式
P,┐Q等为一个文字（一个变元或变元的否定）的简单析趋式， P∨┐P，┐P∨Q等为2个变元（或变元的否定）简单析取式， ┐P∨┐Q∨R,P∨┐Q∨R等为3个文字构成的简单析取式。
所以，¬A(P,Q,R) A*(¬P,¬Q,¬R)
⑵验证 A(¬P,¬Q,¬R)¬A*(P,Q,R) A(¬P,¬Q,¬R)(¬P∨¬Q)∧¬R ¬((P∧Q)∨R)¬A*(P,Q,R)
6
一、对偶式与对偶原理
定理1-7.2 设P1，P2，…，Pn是出现在公式A和B中 的所有原子变元，如果AB，则A*B*。
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二、析取范式与合取范式
定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅 当它具有形式：
A1∧A2∧……∧An (n 1)
其中A1，A2，……，An 都是简单析取式。 如: (P∨┐Q∨R)∧(┐P∨Q)∧┐Q 定义1-7.2 一个命题公式称为析取范式，当且仅 当它具有形式：
A1∨A2 ∨…… ∨An (n 1)
离散数学-范式
.
范式
△1.3 联结词的扩充与归约
◆定义1.9
称n元联结词h是用m 个联结词g1, g2,…, gm
可表示的，如果
h(p1, p2,. . ., pn ) ┝┥A 而A中所含联结词仅取自g1, g2,. . ., gm。
.
范式
△1.3 联结词的扩充与归约
◆定义1.10
当联结词组g1, g2,. . ., gm可表示所有
指形如L，┐L（L为文字）的一对字符。
.
范式
1.1 析取范式和合取范式
◆定义1.6 命题公式A‘称为公式A的析取范式
（disjunctive normal form），如果
（1）A'┝┥A
（2）A'为一合取子句或若干合取子句的析取。
◆定义1.7 命题公式A‘称为公式A的合取范式
（conjunctive normal form）如果
一元、二元联结词时，称其为完备联结 词组（complete group of connectives）。
离散数学导论
离散数学导论
.
范式
1.1 析取范式和合取范式
文字(letters)：指命题常元、变元及它们的否定， 前者又称正文字，后者则称负文字。
析取子句(disjunctive clauses)：指文字或若干文字
的析取。
合取子句(conjunctive clalemental pairs of letters) ：
（1）A'┝┥A （2）A'为一析取子句或若干析取子句的合取。
.
范式
1.2 主析取范式与主合取范式
◆定义1.8
设A为恰含命题变元p1,…,pn的公式。
公式A,称为A的主析（合）取范式
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例如：求A=p∧(q→r)→s的析(合)取范式 解:A p∧(q∨r)→s 化掉→ (p∧(q∨r)) ∨ s 化掉→ p∨ (q∨r)∨ s 否定深入 p∨ (q∧ r) ∨ s 否定深入 析取范式 p∨ s∨ (q∧ r) ( p∨ s∨ q)∧( p∨ s∨ r) 分配律 合 取范式 课堂作业： 求( p→q)→(q∨p)的析（合）取范式。
例如：求A=p∧(q→r)的主析、合取范式
法一：Ap∧(q∨r)
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合取范式
……
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r)
∧
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r) ∧
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r)
1 1 0 1 0 M 0∧M1 ∧M2 ∧M3 ∧M6（主合取范式 (0,1,2,3,6) ） 0 0 1 0 0 1 1
~ ~ ~ ~ 1.简单合取式（基本积）: P ∧ P2 ∧… ∧ Pn ,（ Pi 为Pi 1 或Pi） ~ ~ ~ 2 ∨… ∨P n 1∨P 西简单析取式（基本和）： P
华 大 2. 析取范式：基本积的析取式 学
合取范式：基本和的合取式
3. 任何公式A都存在与之等价的 析(合)取范式 证(构造法)：1）将A中的→、化掉，使其只含 ∨ ∧； 2）将否定深入到变元前面； 3）使用分配律将公式化为析（合）取范式
q∨p
~ ~ ~ ~ 1. 极小项： P ∧P2 ∧… ∧Pn ,（Pi 为Pi或Pi）中， 1 1) n个变元全部出现； 2) n个变元的位置有序； 西 华 2) Pi、Pi不同时出现； 大 ~ ~ ~ 学 极大项： P ∨… ∨ Pn 1∨ P 2 极小项、极大项的足标与形式的对应
2. 主析取范式：极小项的析取式 主合取范式：极大项的合取式 3. 任何公式A都存在与之等价的主析(合)取范式 方法 1)：真值表法 2)：先求析(合)取范式，再求主析、合取范式
p 0 0 0 0 1 1 1 1
q 0 0 1 1 0 0 1 1
r 0 1 0 1 0 1 0 1
p∧ (q→r) 0 0 0 0
0
p
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0 0 0 0 1 1
从真值表求主析(合)取范式： 已知公式A＝ q r p∧ (q→r) p∧(q→r)的真值表， 求A的主析取、主 0 0 0 1 合取范式 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 成真赋值 100 m4 0 0 1 1 成真赋值 101 m5 0 1 1 1
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三个命题变元P,Q,R,极大项共有8个: 大项 编码 真值指派 大项的真值 P Q R M000/M0 000 0 PQ┐R M001/M1 001 0 P┐QR M010/M2 010 0 P┐Q┐R M011/M3 011 0 ┐PQR M100/M4 100 0 ┐PQ┐R M101/M5 101 0 ┐P┐QR M110/M6 110 0
0
0
0
0
0
1
m4∨m5∨m7
（主析取范式 (4,5,7) ）
从主析(合)取范式求真值表：
A=p∧(q→r) (p∨q∨r) 西 华 ∧(p∨q∨r) 大 学 ∧ (p∨q∨r) ∧(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r) =M 0∧M1 ∧M2 ∧M3 ∧M6
000 001 010 011 110
┐P┐Q┐R
M111/M7
111Leabharlann 0求主析取和主合取范式的方法（一） ——等价演算法
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1.在公式中消去→ 及 ； 2.利用∧对∨的分配律或∨对∧的分配律 得到析取或合取范式。
3. 进一步由各个基本积推出所有极小项得 到主析取范式或由各个基本和推出所有 极大项得到主合取范式。
4.由主范式可直接利用上述两个性质2判定 该命题公式是否是可满足的。
若AB，则A * B * 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)B(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 由定理1.7.1得 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn)┐B*(P1 , P2 ,…,Pn ) 因此 A*B* . 显然：如果A是永真式，则A *是永假式。
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例如,三个命题变元P,Q,R,极小项共有8个: 小项 编码 真值指派 小项的真值 ┐P┐Q┐R m000/m0 000 1 ┐P┐QR m001/m1 001 1 ┐PQ┐R m010/m2 010 1 ┐PQR m011/m3 011 1 P┐Q┐R m100/m4 100 1 P┐QR m101/m5 101 1 PQ┐R m110/m6 110 1 PQR m111/m7 111 1 n个命题变元最多可产生多少个极小（大）项？
对偶式和对偶原理
•
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• • • • • •
对偶式：将只含∨∧（如有→ ，则应该 化去）联结词公式A中的联结词 ∨------->∧, ∧------->∨, 0 ------->1, 1 -------> 0 得到的新公式A*称为A的对偶式。 例如：A = (p ∧ ( p∧q) ∨T) A*=((p ∨( p∨q))∧F)
显然：一般情况A≠A* (A*)*=A
1. 对偶式 2. 引理:A(p1,p2,…,pn) A* ( p1, p2,…, pn) A *(p1,p2,…,pn) A ( p1, p2,…, pn) 证明:
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因为 ┐(PQ)(┐P┐Q) ┐(PQ)┐P┐Q 所以┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） 同理 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn )A（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） 3. 对偶原理