理论力学(运动学)
理论力学—点的运动学
O
二.点的速度
⒈ 平均速度
⒉ t 时刻的速度 r dr v lim r t 0 t dt
1.1 矢量法
三.加速度
速度矢端 曲线---速度端图
v ⒈ 平均加速度 a t
*
a
⒉ t 时刻的加速度
v dv d r a lim r 2 t 0 t dt dt
v y r sin t
2 2
v v
2
x
v
2
y
cos( v, i )
vx t MB sin sin v 2 2 MD v t BD cos( v, j ) y cos cos v 2 2 MD
t r (1 cos t ) sin t 2r sin 2
大小
a a x a
2Leabharlann 2ya2
z
方向
d x d y d z dt 2 dt 2 dt 2
2 2 2
2
2
2
ay ax az cos(ai ) , cos(aj ) , cos(ak ) a a a
解：由点M的运动方程，得
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y 0 vz j 4, a z
z
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay az2 32m s 2
α
at v M
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
理论力学第二篇运动学形式与目
运动学模型及其运动形式
运动学模型
图片
运动学模型及其运动形式
运动学模型
运动学模型及其运动形式
运动学模型
接触轨道之前， 保龄球可以看作一个 点；
接触轨道之后， 保龄球在摩擦力作用 下发生滚动，这时保 龄球不再是一点，而 应看作刚体。
运动学模型及其运动形式 点的运动形式
（2）点的运动形式 点的运动可分为直线运动和曲线运动。
3. 学习运动学目的
学习运动学除了为学习动 力学打基础外，另一方面又有 其独立的意义，为分析机构的 运动打好基础。
引论
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
理论力学
第二篇 运动学形式和目的
引论
1.运动学主要内容 2.运动学模型及其运动形式 3.学习运动学的目的
1.运动学的主要内容
运动学是从几何观点描述物体的机械运动,只 阐明运动过程的几何特征及其各运动的要素之间 的关系,而不涉及运动的物理原因。
运动学的任务是： 研究物体在空间的位置随 时间变化的几何性质。如：
运动学模型及其运动形式
平移
刚体的运动形式
运动学模型及其运动形式 刚体的运动形式
平移
图片
运动学模型及其运动形式
平移
刚体的运动形式
图片
运动学模型及其运动形式 刚体的运动形式
定轴转动
图片
运动学模型及其运动形式
定轴转动
刚体的运动形式
运动学模型及其运动形式 刚体的运动形式
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
理论力学--运动学总结
速度瞬心位置的确定总结
瞬时平动
几点注意 1、基点法是速度分析的基本方法；
2、速度投影法 应用起来简单，但必须知道待求速度 点的方位，致命的弱点—是不能求图形的角速度 2、当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法； 瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动 的角速度； 4、确定速度瞬心的速度是该点的绝对运动速度； 5、具体分析时三种方法灵活运用；
（1）刚体的基本运动 平动
v A vB
aA aB
各点的轨迹相同；
可简化为一个点的运动。
定轴转动
v R
a R
an R 2
轮系的传动比：
1 n1 R1 Z 2 i12 2 n2 R2 Z1
各处不打滑时： 接触点有相同的线速度和相同的切向加速度。
（2）刚体的平面运动 1. 定义 任一点到某固定平面的距离保持不变。
B点的加速度分析
D
C
a a 2 a a 2 ae 2 ar 2
n
aa 2 ae 2
O1
30°
ar 2
B
aa 2cos60 aa2cos30 ae 2
n
aa 2
1
30° O2
n
A
a a2 O2 B 2
n 2 aa2 O2 B2
ae2 657mm/ s
2
三、刚体的运动
va=v
vCA
动点：滑块C 动系：固结于AE
u=vA
vr
vC' A
ωAE
分析三种运动
牵连运动：刚体的平面运动
牵连转动
va ( vA vCA ) vr
va cos vCA v A sin
理论力学运动学基础
第五章运动学基础一、是非题1．已知直角坐标描述的点的运动方程为X=f1（t），y=f2（t），z=f3（t），则任一瞬时点的速度、加速度即可确定。
（）2．一动点如果在某瞬时的法向加速度等于零，而其切向加速度不等于零，尚不能决定该点是作直线运动还是作曲线运动。
（）3．切向加速度只表示速度方向的变化率，而与速度的大小无关。
（）4．由于加速度a永远位于轨迹上动点处的密切面内，故a在副法线上的投影恒等于零。
（）5．在自然坐标系中，如果速度υ=常数，则加速度α=0。
（）6．在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置，这种刚体的运动就是平动。
（）7．刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。
（）8．若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。
（）9．定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示为v=w×r，其中w是刚体的角速度矢量，r是从定轴上任一点引出的矢径。
（）10、在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。
（）二、选择题1、已知某点的运动方程为S=a+bt2（S以米计,t以秒计，a、b为常数），则点的轨迹。
①是直线；②是曲线；③不能确定。
2、一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量。
①平行；②垂直；③夹角随时间变化。
3、刚体作定轴转动时，切向加速度为，法向加速度为。
①r×ε②ε×r③ω×v④v×ω4、杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度α分别如图（a）、（b）、（c）所示。
则该瞬时的角速度为零，的角加速度为零。
①图（a）系统；②图（b）系统；③图（c）系统。
三、填空题1、点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？①aτ=0，a n=0（答）：；②aτ≠0，a n=0（答）：；③aτ=0，a n≠0（答）：；④aτ≠0，a n≠0（答）：；2、杆O1B以匀角速ω绕O1轴转动，通过套筒A带动杆O2A绕O2轴转动，若O1O2=O2A=L，α=ωt，则用自然坐标表示（以O1为原点，顺时针转向为正向）的套筒A 的运动方程为s=。
理论力学期末考试运动学习题
一、碾压用的机构如图所示。
已知曲柄OA 长为r, 以匀角速度ω转动。
某瞬时曲柄的转角是600, 且曲柄与连杆AB 垂直, 试求此瞬时圆滚的角速度。
设圆滚的半径为R, 且作无滑动的滚动。
AB 杆A 端沿墙下滑, 同时举动套筒O 转动。
在图示位置时, θ＝60o, VA ＝10cm/s, aA=1cm/s2, OA=40cm 。
试用点的合成运动方法求该瞬间套筒O 的角速度和角加速度, 并指明其方向。
如图所示, 细长杆A 端沿半径为R 的半圆槽底运动时, 杆子紧靠着槽边, 以匀角速度ω倒下。
求杆端A 点的速度、加速度。
运动开始时, A 端位于槽的最低点Ao 处。
B
A O V A
a A θO
R
A
A o
B
ω
在如图所示的机构中, 曲柄OA长, 以作等角速度转动。
连杆AB长, 带动滚轮B沿直线轨道作无滑动的滚动, 滚轮半径。
求当时:
（1）滚轮B的角速度及轮上E, D点的速度, 。
（2）滚轮B的角加速度
B。
在图示机构中, 已知OA＝R, 以匀角速度ωo逆时针方向转动, AB＝L, 纯滚动轮B的半径为r。
试求当OA处于水平位置时, 且φ＝30o时: （1）AB杆的角速度ωAB；（2）圆轮的角
速度ωB。
B D r
O
ωo
A
30。
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
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第2篇 运动学
第6章 点的运动学
一、目的要求
1．能用矢量法建立点的运动方程，求点的速度和加速度。
2．能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求点的轨迹、速度和加速度。
3．能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确理解切向加速度和法向加速度的物理意义。
二、基本内容
点的运动矢量表示法，直角坐标表示法，自然法表示法。
（1）基本概念
在已有物理知识的基础上，重点强调切向和加速度，法向加速度与密切面的概念。
（2）主要公式
n
n n a a tg a a a v a dt v d dt dv a τττθρ=+==== , , ,222
22 三、重点和难点
1．重点
（1）点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程，点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影。
（2）点的曲线运动的自然法（以在平面内运动为主），点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度和法向加速度。
2．难点：
自然轴系的几何概念，速度与加速度在自然轴上投影的推导。
四、教学建议
1．教学提示
（1）在已有物理学的相关知识基础上，引导学生理解，消化并熟练掌握点的运动方程、点沿空间任意曲线运动速度、加速度等新知识。
（2）讲清基本概念，区分点的路程和位移、平均速度与瞬时速度、平均加速度和瞬时加速度、dt r d 与dt dr ，dt
v d 与dt dv 等概念。
（3）对描述点的运动学的三种方法加以总结，比较它们的联系及如何应用，介绍点的运动学的问题的大致类型及求解时有关的注意事项。
2.例题
（1）一个可以分别用直角坐标法与自然法均可求解的例题（第一类问题）。
（2）一个已知加速度求运动的例子（第二类问题）。
（3）一个已知直角坐标的运动方程，求自然法中轨迹曲率半径的例子。
3.建议学时
课内（3学时）课外（4.5学时）
3．作业布置
习题：6-9，5-13，5-18
第7章 刚体的基本运动学
一、目的要求
1．明确刚体平行移动（平动）和刚体绕定轴转动的特征，能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。
2．对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要清晰的理解，熟知匀速和匀变速转动的定义与公式。
3．能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。
4．掌握传动比的概念及其公式的应用。
5．对角速度矢、角加速度矢以及用矢积表示定轴转动刚体上任一点的速度和加速度有初步了解。
二、基本内容
刚体的平动；刚体绕定轴转动；转动刚体内各点的速度和加速度；轮系的转动比；以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度。
（1）基本概念
刚体平动与定轴转动的定义，刚体在作这两种运动时刚体上各点速度、加速度的分布规律。
（2）主要公式
平动刚体上，任意两点之间均有
B A v v =，B A a a =
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度为
ωr v =，ατr a =，2ωr a n =，22n a a a +=τ，n a a tg τ
θ=
以矢积表示的刚体上一点的速度与加速度为 r v ⨯=ω v r a ⨯+⨯=ωα
三、重点和难点
1．重点
（1）刚体平动及其运动特征。
（2）刚体的定轴转动，转动方程，角速度与角加速度。
（3）转动刚体内各点的速度与加速度。
2．难点：
用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。
四、教学建议
1．教学提示
（1）对刚体平动强调“三相同”。
（2）对刚体绕定轴转动的特征及其上点的速度，加速度分布规律要讲透，让学生熟练掌握已知刚体转动规律会求其上一点的运动规律，反之，已知转动刚体上一点的运动规律要会求其上各点的运动规律及整体的转动规律。
（3）对轮系传动比作一般介绍。
（4）对ω ，α 方向的确定要介绍练习，对速度和加速度用矢积表示只作一般介绍以供推导公式用。
2.建议学时
课内（3学时）课外（4.5学时）
2.作业
习题：7-1，7-6，7-10，7-12
第8章 点的合成运动
一、目的要求
1．深刻理解三种运动、三种速度和三种加速度的定义、运动的合成与分解以及运动相对性的概念。
2．对具体问题能够恰当地选择动点、动系和定系进行运动轨迹、速度和加速度分析，能正确计算科氏加速度的大小并确定它的方向。
3．会推导速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理，理解并掌握牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
并能熟练地应用上述三个定理。
二、基本内容
1．基本概念
点的合成运动的概念；绝对运动、相对运动、牵连运动，以及由此引出的绝对速度、相对速度、牵连速度和绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度的概念；点的速度合成定理和加速度合成定理。
2．基本公式
速度合成定理：r e a v v v +=
加速度合成定理：r e a a a a
+=（牵连运动为平动） c r e a a a a a ++=（牵连运动为转动）
r c v a ⨯=ω2
三、重点和难点
1．重点
（1）动点和动系的选择；
（2）运动的合成与分解；
（3）速度合成定理和加速度合成定理的应用和计算。
2．难点
（1）动点和动系的选择；
（2）加速度合成定理的运用与计算；
（3）牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念。
四、教学建议
1．教学提示
（1）讲清动点、动系的选取原则，通过举例归纳常见机构动点、动系的选取方法。
（2）强化牵连点的概念，熟练掌握牵连速度、牵连加速度的计算。
（3）举例阐明速度合成定理的应用和解题步骤（多用几何法）。
（4）讲清如何用解析法求解加速度合成问题，强调科氏加速度产生的原因与计算（多用投影法）。
本章是运动学重点，也是难点，要求多举例，熟练掌握。
2.建议学时
课内（7学时）课外（10.5学时）
3．作业
习题：8-4，8-8，8-10，8-13，6-15，8-17，8-18，8-19，8-21，8-24，8-25，8-27
第9章 刚体的平面运动
一、目的要求
1．明确刚体平面运动的特征，掌握研究平面运动的方法（运动的合成与分解），能够正确地判断机构中作平面运动的刚体。
2．能熟练地应用各种方法——基点法、速度瞬心法和速度投影定理求平面图形上任一点的速度。
3．能熟练地用基点法分析平面图形内一点的加速度。
4．会求解运动学综合问题中的速度，了解求加速度。
二、基本内容
刚体平面运动的概述和运动的分解；求平面图形内各点速度的基点法（BA A B v v v +=）、速度投影定理)][]([AB B AB A v v
=和瞬心法；用基点法求平面图形内各点的加速度
)()()(τBA n BA A B a a a a ++=；运动学综合问题。
三、重点和难点
1．重点
（1）以运动的分解与合成为出发点，研究求平面图形上各点的速度和加速度的基点法，明确速度投影定理和瞬心法是从基点法推导而来。
（2）掌握合矢量投影定理。
2．难点：
（1）速度瞬心的概念及求法；
（2）转动部分的规律与基点的选取无关的概念；转动部分角速度和角加速度的求法。
（3）用基点法分析一点加速度的方法；
（4）运动学综合问题。
四、教学建议
1．教学提示
（1）采用对比的方法，如将平面运动的分解与点的运动分解对比，瞬时平动与平动，瞬时转动与定轴转动对比，加深对基本概念的理解。
（2）在求速度时，要讲清三种方法的特点和联系以及适合求解的问题，重点放在瞬心法。
（3）对求加速度问题，要明确各项加速度的物理意义，正确判断其大小、方向，用解析法求解。
（4）运动学综合问题会求速度即可。
本章是运动学重点，要求多举例，熟练掌握。
2.建议学时
课内（6学时）课外（9学时）
3．作业
习题：9-3，9-6，9-8，9-10，9-12，9-13，9-19，9-21
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