数值分析实验——数值积分
1_数值分析4-数值积分与微分
回忆定积分的定义
b
I f (x)dx lim In,
a
n
n
In
f
(k
)
b
n
a
k 1
n充分大时In就是I的数值积分
各种数值积分方法研究的是
k 如何取值，区间 (a,b)如何划分， 使得既能保证一定精度，计算量又小。
（计算功效：算得准，算得快）
5
数值积分
y
1.梯形公式
h
Tn
h
k 1
fk
2 ( f0
fn )
b
f (x)dx
a
b
R( f ,Tn ) I Tn f (x)dx Tn
a
梯形公式在每小段上是用线性插值函数T(x)代替 f(x)
f (x) T(x)
f
(k
2
)
(
x
xk
)(x
xk
1
),
k (xk , xk1)
(
f0
fn)
(3)
k 1
非等距分割梯形公式
Tn
n1 k 0
fk
fk 1 2
(xk 1
xk
)
(4)
8
数值积分 2.辛普森(Simpson)公式
（抛物线公式）
梯形公式相当于用分段线性插值函数代替 f (x)
提高精度
分段二次插值函数
抛物线 公式
y
y=f(x)
每段要用相邻两小区间
数值积分
数值 积分
为什么要作数值积分
• 积分是重要的数学工具，是微分方程、概率 论等的基础；在实际问题中有直接应用。
数值分析 第二章 数值积分
（Numerical Integration）
2.1 机械求积 2.2 牛顿-柯特斯公式 2.3 龙贝格算法 2.4 高斯公式 2.5 数值微分
2013-10-2
1
2.1 机械求积
内容提纲
数值积分的必要性 求积公式及其代数精度 插值型求积公式
2013-10-2
2
1. 数值积分的基本思想(必要性)
0001?mknkkxriimkxixixri201310318求积公式0fxdxnbakkkafx具有m次代数精度的条件0220110fx112fx1fx1nkknkkknmmkmmkkabaxaxbaxaxbam??????????????????201310319梯形公式和中矩形公式具有一次代数精度辛普森公式具有三次代数精度
这是关于 Ak 的线性方程组， 其系数矩阵是范德蒙矩 阵，当节点
xk 互异时， Ak , k 0,1, , n 有唯一解。即
2 n
b a n k 0
对 f ( x) 1, x, x , , x 求 积 公 式 f ( x )dx Ak f ( xk ) 准 确 成立，所以求积公式至少有 n 次的代数精度。
2013-10-2 11
I( f )≈(b-a)[ f(a)+f(b)]/2
和 Simpson公式:
I( f )≈(b-a)[ f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6 [ f(a)+f(b)]/2
则分别可以看作用 a, b, c=(a+b)/2 三点高度的加权
几何意义:
梯形
I f ( x)dx (b a)
本章主要讨论如下形式的一元函数积分
数值积分法
数值积分法
数值积分法是一种对积分形式进行数值求解的方法，也常称数值积分技术。
数值积分是在计算技术及数学运算中非常重要的一种技术，它主要应用于定积分、不定积分和高维积分的求解，它广泛地应用于工程科学技术中，为工程实践提供了技术支持。
数值积分的基本思想是采用一定的数值方法对积分方程进行步进运算，把不容易精确求解的积分问题变为若干个步进步长固定的离散状态的积分状态，从而利用问题的离散和近似性来求解积分问题。
数值积分包括定积分、不定积分和高维积分等。
定积分可以采用梯形公式、Simpson公式和三点高斯公式等。
梯形公式是最常用的积分公式，原理是把定积分看作一个多边形；Simpson公式是二阶精度的数值积分公式，它的变化灵活；三点高斯公式是基于三个节点（3和4阶）的积分解法。
不定积分采用Gauss-Legendre三点、Gauss-Lobatto七点、Newton-Cotes三、四点和Maszkarinow公式等。
Gauss-Legendre三点公式主要用于正态分布函数的积分——其精度为2阶； Gauss-Lobatto七点公式采用一系列不同权重值，用于求解非线性三次方程，精度为3阶；Newton-Cotes三点、四点和Maszkarinow公式也通常用于积分运算。
高维积分主要包括Monte-Carlo方法和偏微分法。
Monte-Carlo法将积分区间映射到概率空间，在概率空间中设定采样点，然后求解相应的积分值；偏微分法是用一系列多项式做有限元函数，以计算机代替定积分的积分算法。
因此，数值积分法是一种重要的数值分析工具，它能够在有限时间精确地解决复杂的积分问题。
熟练掌握数值积分法，有助于提高计算效率，进而更好地解决实际问题。
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
数值分析之插值型数值积分
x1=b x
25
数值分析
梯形公式的余项和精度
梯形公式的余项为
R1
=
(b
− a)3 2
1 f ''( )t(t −1)dt, = (a + th) (a,b)
0
由第二积分中值定理得到 R1
= − (b − a)3 12
f
''(), (a,b)
注意到，此时的余项与代数精度保持一致。
26
数值分析
a j=0 xk − x j
n n t− j
(
h)dt
0 j=0 k − j
jk
jk
n
= h(
1
)
n
[
n
(t − j)]dt =
(−1)n−k h
nn
[ (t − j)]dt
j=0 k − j 0 j=0
k !(n − k )! 0 j=0
jk
jk
jk
= (b − a)ck(n) k = 0,1, , n
出定积分的近似值，即
b
b
a f ( x)dx a ( x)dx
6
数值分析
求积公式与代数精度
7
数值分析
6.1 求积公式及代数精度
数值求积公式的一般形式为
b
f (x)dx
a
n
k f (xk )
k =0
式 中 的 xk ( k= 0 , 1 , n称, 为) 求 积 节 点 并 且 有
a x0 x1 xn b，k (k = 0,1, , n) 称为求积系数，
28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350
数值积分算法误差分析
实验名称：数值积分算法误差分析1.实验原理1)欧拉法原理在数学和计算机科学中，欧拉方法（Euler method）命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉，是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解。
它是一种解决常微分方程数值积分的最基本的一类显型方法(Explicit method)。
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。
实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。
欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。
所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。
对于常微分方程：0 )(],[ ),,(y aybaxyxf dxdy=∈=可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第x i点有y'(x i) =f(x i,y(x i))，再用向前差商近似代替导数则为：，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。
因此可以根据xi点和yi点的数值计算出y i+1来：1，i=0,1,2,L这就是欧拉格式，若初值y i+ 1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1,y2,L。
1)龙哥库塔法原理数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。
这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。
龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。
该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。
令初值问题表述如下。
则，对于该问题的RK4由如下方程给出：其中这样，下一个值(y n+1)由现在的值(y n)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。
数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析领域中两个重要的概念。
它们在计算机科学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理以及一些常用的方法和技巧。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的工具，它在物理学、经济学和生物学等领域中具有重要的作用。
1. 前向差分法（Forward Difference）前向差分法是一种简单而常用的计算导数的方法。
它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h为步长，为了提高精度，需要选择足够小的步长。
2. 后向差分法（Backward Difference）后向差分法与前向差分法类似，不同之处在于它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h同样地，步长h需要选择足够小。
3. 中心差分法（Central Difference）中心差分法是一种更加准确的数值微分方法，它利用函数在某一点上的前后两个点的值来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法而言，具有更高的精度。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的积分。
积分在物理学、经济学和统计学等领域中起着重要的作用，它可以用来计算面积、体积以及概率等。
1. 矩形法（Rectangle Method）矩形法是一种简单的数值积分方法，它利用多个矩形来逼近曲线下的面积。
具体来说，将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为高度，从而构造出多个矩形。
最后，将各个矩形的面积相加，即可得到近似的积分值。
2. 梯形法（Trapezoidal Method）梯形法是一种更加准确的数值积分方法，它利用多个梯形来逼近曲线下的面积。
数值分析--数值积分与数值微分
n 1 ( x )
(a, b)
(2―2)
第4章 数值积分与数值微分
这里yi=f(xi),对式(2―1)两边积分得
《 数 值 分 析 》
b a
f ( x )dx
n
b a
pn ( x )dx
b n
b a
Rn ( x )dx dx ] yi
[
i0 a
x xk xi xk f
《 数 值 分 析 》
相当复杂。例如定积分
的被积函数
b a
dx 1 x
4
4
1 1 x
的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左
矩形公式
b a
《 数 值 分 析 》
f ( x )dx (b a ) f (a )
k 0 k i
第4章 数值积分与数值微分
称C(n)i为柯特斯求积系数。
很显然,当n=1时,可算得
C0
《 数 值 分 析 》
(1 )
1 0
( s 1) d s 1 2
ba 2
1 2
C1
(1 )
1 0
sd s
此时式(2―5)为
b a
f ( x )dx
[ f ( a ) f ( b )]
于是
b a
f ( x )dx
ba 6
[ f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b )]
(2―8)
第4章 数值积分与数值微分
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数学与计算科学学院实验报告
实验室： 06406 实验日期： 2021 年 11 月 21 日
院〔系〕
数学与应用数学
年级、专业、班
成绩
课程
名称
数值分析实验
实验工程
名 称
实验积分
指导
教师
光云
一 、实验目的
通过实验掌握利用Matlab进展数值积分的操作，掌握Matlab中的几种置求积分函数，进一步理
五、实验过程原始记录〔数据，图表，计算等〕
一、
复化Simpson公式程序：
function s=Simpson(a,b,n)
%输出s为积分的数值解，输入(a,b)为积分区间，n为等分区间的个数.
h=(b-a)/(n*2);
s1=0;
s2=0;
s=h*(f(a)+f(b))/3;%先计算特殊两点相加.
解复化梯形，复化辛普生公式，并编程实现求数值积分
二、实验原理
Matlab中，有置函数计算积分：
>> z = trapz(x,y)
其中，输入x，y分别为数据的自变量和因变量构成的向量，输出为积分值。
>> z = quad(fun,a,b)
这个命令是使用自适应求积的方法计算积分的命令。其中，fun为被积函数，a，b为积分区间。
for k=1:n
x1=a+h*(2*k-1); %利用循环计算其他点的相加.
s1=s1+f(x1);
end
for k=1:(n-1)
x2=a+h*2*k; %利用循环计算其他点的相加.
s2=s2+f(x2);
end
s=s+h*(4*s1+2*s2)/3;
画图程序
format long;
% k为等分区间个数，t存储积分值.
21.213 22.644 23.075 23.506
Columns 37 through 40
24.936 25.366 25.798 26.228
Columns 41 through 44
27.659 27.090 28.520 29.952
Columns 45 through 48
29.383 30.813 30.244 31.674
4.000 3.871
5.000 3.922
6.000 3.538
7.000 3.065
8.000 3.482
9.000 3.317
10.000 3.979
11.000 3.981
12.000 3.215
13.000 3.134
14.000 3.745
15.000 3.536
16.000 3.284
k=2:1:40;
for i=1:length(k)
t(i)=Simpson(0,1,k(i));
disp([k(i),t(i)]);
end
plot(k,t,'.','MarkerSize',20)
二、
Simpson(0,1,26)
ans =
3.779
>> Untitled6
2.000 3.098
3.000 3.604
三、
b=2:1:50;
>> y=tixing(1,b,26)
Warning: Colon operands must be real scalars.
> In tixing at 3
y =
Columns 1 through 4
0.431 1.861 1.292 2.723
Columns 5 through 8
Columns 21 through 24
13.045 14.476 15.906 15.337
Columns 25 through 28
16.768 17.198 17.629 18.060
Columns 29 through 32
19.491 19.921 20.352 21.782
Columns 33 through 36
3.153 3.584 4.015 5.446
Columns 9 through 12
5.876 6.307 7.738 7.169
Columns 13 through 16
8.599 9.030 9.461 10.891
Columns 17 through 20
11.322 11.753 12.183 13.614
30.000 3.894
31.000 3.909
32.000 3.922
33.000 3.931
34.000 3.939
35.000 3.946
36.000 3.951
37.000 3.955
38.000 3.959
39.000 3.962
40.000 3.964
由图形可以知道，复化Simpson求积公式的收敛速度比复化梯形求积公式收敛速度快
Column 49
32.105
>> x=1:1:49;
>> plot(x,y)
六、实验结果分析或总结
通过这次实验，学会了如何使用Matlab进展数值积分的操作以及几种置求积分函数的方法，
但编程一直都是自己的弱势，一些程序的代码还是无法自己编译出来。
教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手411
18.000 3.156
19.000 3.661
20.000 3.011
21.000 3.256
22.000 3.432
23.000 3.560
24.000 3.655
25.000 3.725
26.000 3.779
27.000 3.819
28.000 3.851
29.000 3.875
我们还可以利用复化梯形公式
三、使用仪器，材料
电脑 MATLAB
四、实验容与步骤
1. 编写复化辛普生公式的Matlab的程序。
2. 利用复化梯形法程序计算 ，记录下计算结果随着n增加的变化情况，画图与复化梯形公式的情况比拟收敛速度。
3. 积分 的原函数无法用初等函数表达，结合Matlab复化梯形程序，用描点法绘制其原函数 在区间 的图形。