第三章插值

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插值法(3)

第三章插值法在观察或总结某些现象时，往往会发现所关心变量之间存在着某种联系，但是这种联一般很难用解析式表达。

有时即便找出了其解析表达式，由于表达式过于复杂，使用或计算起来也可能十分困难。

于是就想到能否用形式比较简单的函数去近似原来很困难得到或应用起来不便的函数。

本章所讨论的插值法就是函数近似表达的一种方法。

这里介绍的插值方法本身也是以后介绍的方法如：数值积分，数值微分，以及微分方程的数值解的基础。

本章主要介绍插值函数的构造，误差估计及简单介绍方法的收敛性和稳定性。

§1.插值的基本概念插值定义：设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n 10x ,,x ,x 为［a,b ］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：n ,,2,1,0i ),x (f )x (y i i ==(3—１)则称y(x)为f(x)关于节点n 10x ,,x ,x 在Ｙ上的插值函数，点n 10x ,,x ,x 称为插值节点,f(x)称为被插值函数。

包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。

关于函数插值，我们要回答以下几个问题：(1)给定了被插函数（即f(x)），插值节点n 10x ,,x ,x 及插值函数类Ｙ，那么满足插值条件的插值函数是否存在？若存在，是否唯一？即插值的存在性与唯一性问题。

(2)如若插值函数存在唯一，如何构造插值函数?即采用何种插值方法问题。

(3)y(x)作为f(x)的近似函数，存在误差R(x)=f(x)-y(x)。

如何估计其误差？当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。

现在首先回答第一个问题：由于我们这里介绍的插值函数类Ｙ是多项式类。

故要求插值函数是多项式的情况下，来回答存在性与唯一性问题。

定理：设)x (M n 表示次数不超过n 次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x (M n 的插值多项y(x)存在且唯一。

计算方法第三章(插值法)解答

Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章插值法
第一节插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2

xn
y2

有限元第三章最小势能原理和分片插值

解法２：基函数取正弦函数
1 L P EI (v ) 2 dx P v( ) 20 4
L
2x 1 ( x) sin , 2 ( x) sin L L
x
4 2 2 4 2 1 2 EIL 1 1 P 2 P 2 4 L L 2
第三章最小势能原理和分片插值
(有限单元方法的核心内容之一)
在这一章中我们将介绍： • 最小势能原理及具体应用； • 同一力学问题的几种不同的表达方式及它们之间的联系； • Ritz方法在单元内的应用 • 两种最常用的插值形式（Lagrange型和 Hermite型）； • 协调的位移型单元的收敛条件。
y, v
n
q(x) A
n
D (fx, fy)
P(x)
n
(能量泛函)
T
u f x u p tdxdy tdx f v v q y AD
u∣AB=v∣AB=0 x 1 1 T E T E T E T E 0 2 2 y dxdy dxdy L X ds
LX LY -1 0 0 -1 1 0 0 1
T
T
以及沿边AB：δu=δv=0 则(3-1-5)对任意δu,δv都成立的充分必要条件为：
x 0 y
0 y x
T
x fx y 0 f y yx
u f x u p E tdxdy) tdxdy tdx v f y v q AD (3-1-5) T 0 T x L 0 T x X f u u p x y tdxdy 0 LY y tds tds 0 v q y f y v AD L L Y X yx yx 略去了积分过程 x AB BC CD DA ，外法线 n的方向余弦为

数字信号处理第三章7 序列的抽取与插值

0.5
2 f / f s f ' f / fs
数字信号处理
2019/2/3
数字信号处理
2019/2/3
数字信号处理
序列域直接抽取：
p ( n)
k
(n kD)
时域序列乘脉冲串

x p (n) x(n) p(n)
1 X p (e ) 2
j

2
2019/2/3
s X a ( j jk ) D k
k
X

a
(j
2 k
DT
)
数字信号处理
fs fs / 2
0
fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
fs
2 1
f 2 f
s s / 2 0 0 2 1 0.5 0
2019/2/3
s / 2 s
'
1 1 2 k j X (e ) X a ( j jk s ) X a ( j ) T k T k T 1 X d (e j ) ' X a ( j jk s ' ) T k
T
1 DT 1 DT
八、序列的抽取与插值
信号时间尺度变换（抽样频率的变换）
抽取：减小抽样频率
插值：加大抽样频率
2019/2/3
数字信号处理
1、序列的抽取
将x(n)的抽样频率减小D倍每D个抽样中取一个，D为整数，称为抽样因子
2019/2/3
数字信号处理
相当于抽样间隔增加D倍后对时域连续信号的抽样
T DT
'
2 2 s s ' T DT D

第三章 2等距节点插值和差分

§2 等距节点插值和差分摘要：在等距节点情况下，通过使用差分可减少Newton 插值公式的计算量。

本节首先介绍等距节点下的差分公式、差分与差商之间关系，根据待估值点x 的位置不同，引入表初公式、表末公式和Bessel 公式，最后说明在使用差分计算插值时需注意的两点：（1）不宜用高阶差分公式；（2）差分公式是一个不稳定的计算公式。

等距节点：1,1,2,,i i x x h i n +-==，h 称为步长2.2.1 差分概念一阶差分：()()()1i i i f x f x f x +∆=- 二阶差分：()()()21i i i f x f x f x +∆=∆-∆ … … … …k 阶差分：()()()111k k k i i i f x f x f x --+∆=∆-∆()()()()()()()()()123110231(1)(1)ki i k i k i k i k k k i i kk jk j j k k f x f x kf x f x x kf x f x k f x j ++-+-+--+-+=⎛⎫⎛⎫∆=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2.2.2 差分与差商关系定理2.2.1 在等距节点的情况下 ()()1121,,,,!k k k k f x f x x x x h k +∆=.利用归纳法证明这个公式是在Newton 公式中使用差商的基础 2.2.3 差分表()()()()()()()()()()()()()()()11221233212344321234554321x f x x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x x f x f x f x f x f x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆2.2.4 根据待估值点x 的位置不同选择不同的计算公式给定等距节点组：{}12,,,n x x x● 表初公式：如果x 在节点中最小的那个节点附近节点选取：1213111,,2,,.k x x x h x x h x x kh +=+=+=+x 的表示：1x x ph =+牛顿公式：()(1)(1)(1)2111112!!10.p p p p p k k k kjj P x ph f p f f f p f j --⋅⋅-+=+=+∆+∆++∆⎛⎫=∆ ⎪⎝⎭∑例2.2.1 有函数表x 0.5 0.6 0.7 0.8 f(x) 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 求f(0.54).解：差分表(1)(1)(2)23!0.540.5,0.1,0.4(0.54)0.47940.0852(0.0056)(0.0008)0.5142p p p p p x ph h p P p ---==+===+⨯+-+-=● 表末公式：如果x 在最大节点附近节点选取与编号：010200(max),,2,,.k x x x h x x h x x kh ---=-=-=-x 的表示：0x x ph =-牛顿公式：()()(1)(1)(1)200122!!0()(1)1.p p p p p k kk kk kjjj j P x ph f x p f f f p f j --⋅⋅-+----=-=-∆+∆++-∆⎛⎫=-∆ ⎪⎝⎭∑● 贝塞尔(Bessel)公式：如果x 在中间节点附近节点选取与编号：121012,,,,,,,,k k k x x x x x x x -+-+-第一种组序：01122(1),,,,,,k k x x x x x x x ----，Newton 公式1：()1121200011212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--==++-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 第二种组序：()10211,,,,,,k k x x x x x x ---Newton 公式2：()112120110111212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--+==+-+-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ Bessel 公式：（Newton1+Newton2）/2()12101002211111/222211.22k j j j j jk j j j p j f f p P x ph f j j f f p j j -+-=---+=+-⎛⎫+-+=+∆+ ⎪+⎝⎭∆+∆+-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑Bessel 公式适合计算01,01x x x p <<<<，特别是12p =.()2244011021102132821282f f f f f f P x h ---+∆+∆∆+∆+=-++ 例 2.2.2 表2.10求()f 0.525Bessel 公式的截断误差：取2n 个节点()()22(2)22(1)11111(1),2!2222n n n nf R x n n h n x x ξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<< 2.2.5 差分公式的缺点1）高阶差分容易造成有效数字的丢失，见表2.10 原因？2）差分容易扩大传播误差3322321123230012323411012332422110232433201123364x y x y y x y y y x y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y εεεεεεεεεεεεε------------------∆∆∆+∆+∆+∆+∆-∆-∆-∆-∆∆+∆-∆+∆∆-∆∆-。

插值法(拉格朗日插值)讲解

因此, Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).
Taylor展开方法就是一种插值方法.
泰勒插值要求提供 f(x) 在点x0处的各阶导数,这仅仅适用于 f(x) 相当简单的情况.
§1.2 Lagrange插值
• 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出一系列点上的函数值yi=f(xi) (i=0,1,2,…,n)，求作n次多项式pn(x) 使得
定理 (插值多项式的存在唯一性) 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n
的 n 阶插值多项式是唯一存在的。
证明： ( 利用Vandermonde 行列式论证)
a0 a1x0 ... an x0n y0 a0 a1x1 ... an x1n y1 ...
1 xj)
j0
li ( x)
n ji
(x xj) (xi x j )
j0
n
Ln ( x) li ( x) yi i0
插值余项 /* Remainder */
用简单的插值函数L n(x)代替原复杂函数f(x),其精度取决于截断误差,即插值余项.
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) f ( x) Ln( x)
Rn(x)
f (n1) ( )
(n 1) !
n
(x xi )
i0
即Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x

x0
)(
x

x1
)(
x

第三章参数多项式的插值与逼近

第三章参数多项式的插值与逼近2009年8月29日10时35分 1本章内容•几何不变性与参数变换•参数多项式插值与逼近的基本概念•参数多项式插值曲线与逼近曲线•张量积曲面•参数双三次曲面片2009年8月29日10时35分 22009年8月29日10时35分 3第一节几何不变性和参数变换 • 一、几何不变性：1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的选择，或者说在旋转与平移变化下不变的性质。

2、曲线曲面的基表示： 0 n i i i P a j = = å r r 其中：为矢量系数，修改它可以改变曲线曲面的形状i a r i j 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时）的基函数，决定曲线曲面的几何性质2009年8月29日10时35分 43、基表示的分类：（1）规范基表示：即满足Cauchy 条件也称权性。

这种表示下，曲线（面）上的点是矢量系数的一个重心组合，重心坐标是基函数。

其中一、几何不变性：0 1n i i j = º å 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。

（2）部分规范基表示：即满足 0 1,0 ki i k n j = º£< å 如： 01 () p u a a u =+ r r r 0 1j =一、几何不变性：（3）非规范基表示：除规范基表示和部分规范基表示以外的其它基表示。

4、基表示与几何不变性的关系：曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性，其余两种只具有几何不变性。

5、几何不变性的意义：（1）方便局部坐标与整体坐标之间的转换；（2）便于平移和旋转变换；（3）节省了计算量。

2009年8月29日10时35分 5• 1、概述• 曲线的参数域总是有界的。

• 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没有。

• 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中的参数值之间的一种对应关系。

• 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是一一对应的，后者称为奇点（Singularpoint），如曲线的自交点。

第三章多项式插值方法习题

4、经过点(0,1)，(1,2)，(2,5)的插值多项式 P(x) （ D ）
（A） x
（B） x 1
（C） 2x 1 （D） x2 1
x 0 2 51
5、已知函数 y f (x) 的数据表
，
y 3 6 9 0
则 y f (x) 的拉格朗日插值基函数 l2 (x) （ A ）
（A） x(x 2)( x 1) （B） (x 2)( x 5)( x 1)
第三章习题
1、 n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A )
(A) Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n1
(
x)
(B) Rn (x)
f
(n)
n
(
!
)
n
(
x)
f (n1) ( )
(C) Rn (x) (n 1)!
(D)
Rn (x)
f (n) ( )
n!
x 0 0.5 1 1.5 2 1 1 x x 1 x 2 1 x3 3 x2 1。
2
2
22
又： R3 x f x px 满足： R0 1, R1 2, R2 3, R0 0 ，
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
x
i
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (

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3.1构造Lagrange 插值多项式p(x)逼近f(x)=3x ,要求（1）取节点1,110=-=x x 作线性插值；（2）取节点10,1210==-=x x x ，作抛物插值；（3）取节点2,10,13210===-=x x x x ，作三次插值；解：(1)将节点代入f(x)=3x 得1y ,100-=-=x ，1,111==y x p(x)=)(001010x x x x y y y ---+代入1y ,100-=-=x ，1,111==y x p(x)=x(2)将节点代入f(x)=3x 得1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p ----+----+----=代入1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x 得： p 2(x)=x（3）将节点代入f(x)=3x 得1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x ，8,233==y x32313033102321212310131210132003020103213))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------=代入1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x ，8,233==y x 得： p 3(x)= 3x3.2给定三个数据点（0,1），（1,2），（2,4），求过这些点的插值多项式p(x)。

解：由已知点数据有：1y ,000==x ，2,111==y x ,4,222==y x2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p ----+----+----=代入 1y ,000==x ，2,111==y x ,4,222==y x 得：p 2(x)=1222++x x 3.3给定节点，，4,31,13210===-=x x x x 试分别对下列函数导出Lagrange 插值余项：（1） f(x)=2x 343+-x （2） f(x)=34x 2-x 解：（1）将节点代入f(x)得1y ,100=-=x ，3,111==y x ,101,322==y x ，246,433==y x32313033102321212310131210132003020103213))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------=将1y ,100=-=x ，3,111==y x ,101,322==y x ，246,433==y x 代入上式得： p 3(x)=2x 343+-x所以： Lagrange 插值余项R(x)=f(x)-p 3(x)=0(2)将节点代入f(x)得3y ,100=-=x ，1,111-==y x ,27,322==y x ，128,433==y x32313033102321212310131210132003020103213))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------=将3y ,100=-=x ，1,111-==y x ,27,322==y x ，128,433==y x 代入上式得： p 3(x)=12711x 523+--x x 所以： Lagrange 插值余项R(x)=f(x)-p 3(x)=34x 2-x -（12711x 523+--x x ）=127117234-++-x x x x 3.5 依据数据表试用线性插值和抛物插值分别计算的近似值并估计误差。

解：(a)线性插值公式为：1010010()()y y P x y x x x x -=+-- （1）其中01010.32,0.34,0.314567,0.333487x x y y ====，将其代入（1）式，1010010()()0.3334870.3145670.314567(0.32)0.340.32y y y P x y x x x x x -==+---=+--10.3334870.314567(0.3367)0.314567(0.33670.32)0.340.320.3303652y P -==+--= 线性插值误差计算公式为：101''()()()()()2f f x P x x x x x ξ-=-- 011max ''()sin 0.3335x x x f x ξ≤≤==所以估计误差为：6101''()1()()()()0.33350.01670.00339.21022f f x P x x x x x ξ--=--≤⨯⨯⨯=⨯ (b)抛物线插值公式为：2001122020112012010210120001()()()()()()()()()()()()()()()()P x l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x =++------=++------ （2）其中0120120.32,0.34,0.36,0.314567,0.333487,0.352274,x x x y y y ======代入得 012()1250(0.34)(0.36)()2500(0.32)(0.36)()1250(0.32)(0.34)l x x x l x x x l x x x =--=---=--将012012,,,0.314567,0.333487,0.352274l l l y y y ===代入（2）可得：2001122()()()()0.330374P x l x y l x y l x y =++=抛物线插值误差计算公式为：2012'''()()()()()()6f f x P x x x x x x x ξ-=---020max '''()cos 0.949x x x f x ξ≤≤==所以估计误差20127'''()()()()()()610.9490.01670.00330.023362.0310f f x P x x x x x x x ξ--=---≤⨯⨯⨯⨯=⨯3.7 证明：对于以01,x x 为节点的一次插值多项式()P x 。

插值误差满足01210()()()max ''()8x x x x x f x P x f x ≤≤--≤。

证明：由定理3.1.5可知：01010101''()()()()()[,]21max ''()()()2x x x f f x P x x x x x x x f x x x x x ξξ≤≤-=--∈≤--因为：22201010011()((222))x x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ -⎭⎝-⎪⎝⎭= 从几何上解释上式成立！所以：010101012012101()()max ''()()()21max ''()22()max ''()8x x x x x x x x x f x P x f x x x x x x x f x x x f x ≤≤≤≤<<-≤---⎛⎫≤ ⎪⎝⎭-≤3.11 依据数据表用Neville 解：根据Neville 方法迭代公式有：1'1()(0,1,,)()()()nn ii i n ix P n x y x x x ωω+=+=-∑，代入3x = 所以01(0,1)010110()3x x x x P x y y x x x x x --=+==--21(1,2)1212213231()1 1.41421356 1.828427121221x x x x P x y y x x x x ----=+=⨯+⨯=----32(2,3)2323323432() 1.414213562 1.707106782442x x x x P x y y x x x x ----=+=⨯+⨯=----34(3.4)3434433534()2 2.23606798 1.763932024554x x x x P x y y x x x x ----=+=⨯+⨯=----02(0,1,2)(0,1)(1,2)02203230()3 1.82842712=1.242640680220x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯----31(1,2,3)(1,2)(2,3)13313431() 1.82842712 1.70710678=1.7475468931441x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯----42(2,3,4)(2,3)(3,4)24423532() 1.70710678 1.76393202 1.7260485272552x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯=----30(0,1,2,3)(0,1,2)(1,2,3)03303430() 1.24264068 1.747546893=1.621320340440x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯----41(1,2,3,4)(1,2,3)(2,3,4)14413531() 1.747546893 1.726048527 1.736797711551x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯=----04(0,1,2,3,4)(0,1,2,3)(1,2,3,4)04403530() 1.62132034 1.73679771 1.6906067620550x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯=----3.12设f(x)=7x x 323+++x ，试求差商f[1,2,3,4],f[1,2,3,4,5]的值。