二项分布与超几何分布的区别
超几何分布和二项分布
超几何分布和二项分布超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。
它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。
本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。
一、超几何分布的定义、特点和性质超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。
具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。
其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k) * (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。
超几何分布的特点有以下几点：1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。
3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。
超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。
二、二项分布的定义、特点和性质二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。
二项分布的特点有以下几点：1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。
二项分布与超几何分布的区别
（1）从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球 次数X的分布列和数学期望。 3k k k 解：由已知X~B(3,0.4)， PX k C3 0.4 1 0.4 , (k 0,1,2,3)
X 所以，X的分布列为: p
0
1
2
3
27 54 36 8 E X 3 0.4 1.2 125 125 125 125
k n－ k P(X＝k)＝Ck p (1 － p ) ，k＝0,1,2，…，n. n
则称随机变量 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记 作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率．
2．超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
E X 3 0.6 1.8
0
1
2
3
8 36 54 27 125 125 125 125
变式：（3）把（2）改为：若随机在样本不赞成高考改革的家长中 抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为Y，试求Y的分布列 及数学期望E(Y). k 3 k C15 C10 解：由已知Y服从超几何分布， PY k , (k 0,1,2,3) 3 C25 所以，Y的分布列为: Y
2018届南宁市摸底考试18题
摸底考试18题第（1）问
（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家 长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为X，试求X的分 布列及数学期望E(X). 用样本的频率估计概率应怎样理解？ 概率定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事 件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为 事件A的概率。 在样本中，不赞成高考改革的家长中是城镇户口的频率为0.6，因 此，估计全省从不赞成高考改革的家长中随机抽取1个，他是城镇 户口的概率为0.6，抽取3个，即进行3次独立重复试验，所以， X~(n,p)
二项分布与超几何分布区别
123510 15 20 25 参加人数活动次数二项分布与超几何分布辨析超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........例1 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．例2．某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面的频率分布表，求①，②，③，④处的数值； （2）根据上面的频率分布表,在所给的坐标系中画出在区间[]80,150上的频率分布直方图;（3）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从总体中任意抽取3个个体,成绩落在[]100,120中的个体数为ξ,求ξ的分布列和数学期望．练习2.为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年广州亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次,得出茎叶图如图所示（Ⅰ）从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑,你认为选派哪名运动员合适?（Ⅱ）若将频率视为概率,对甲运动员在今后3次比赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ。
例3．按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参 加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高一· 一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如条形图所示．（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ； （II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；（III ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参分组 频数 频率 ①② 0．0500．20036 0．300 0．275 12 ③ 0．050合计④加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．（要求：答案用最简分数表示）练习3．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40,50]、[50,60]、…、[90,100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80]内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60]记0分，在[60,80]记1分，在[80,100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望。
【数学】高考复习点拨：二项分布与超几何分布辨析
二项分布与超几何分布辨析二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求: （1）有放回抽样时,取到黑球的个数Ｘ的分布列； (2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时,取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴;12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样． 超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别： 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要; 超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布....。
二项分布与超几何分布的区别
二项分布与超几何分布
的区别
Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
二项分布与超几何分布的区别：
定义：若有N 件产品，其中M 件是废品，无返回．．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从超几何分布的。
概率为()k n K M N M n N
C C P X k C --==. 若有N 件产品，其中M 件是废品，有．返回．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从二项分布的。
概率为()()1n k k k n P X k C p p -==-，其中M p N
=. 区别：（1）二项分布是做相同的n 次试验（n 次独立重复试验），
（2）当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布的对应概率就相等，换而言之超几何分布的极限就是二项分布。
在废品为确定数M 的足够多的产品中，任意抽取n 个（由于产品个数N 无限多，无返回与有返回无区别，故可看作n 次独立重复试验）中含有k 个废品的概率当然服从二项分布。
在这里，超几何分布转化为二项分布的条件是①产品个数应无限多，否则无返回地抽取n 件产品是不能看作n 次独立试验的.②在产品个数N 无限增加的过程中，废品数应按相应的“比例”增大，否则上述事实也是不成立的。
（3）实际上，在以样本估计总体时，从样本中无返回地任意抽取n 件，当然废品件数X 服从超几何分布的；而从总体中无返回地任意抽取n 件，理想认为．．．．
废品件数X 服从二项分布的。
超几何分布和二项分布的联系和区别
超几何分布和二项分布的联系和区别超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中 张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、 两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。
1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解,而不能按照超几何分布去处理【正解】(1) (1)由茎叶图可知,抽取的16人中“幸福”的人数有12人,其他的有4人;记“从这16人中随机选取3人,至少有2人是“幸福”,”为事件A.由题意得140121709140111)(3161122431634=--=⨯--=C C C C C A P 2)由茎叶图知任选一人,该人幸福度为“幸福”的概率为43，ξ的可能取值为0,1,2,3,显然)43,3(B ~ξ则64141)0(3=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ；6494143)1(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==C P ξ； 64274143)2(223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C P ξ；642743)3(3=⎪⎭⎫⎝⎛==ξP ；从以上解题过程中我们还发现,错解中的期望值与正解中的期望值相等,好多学生都觉得不可思议,怎么会出现相同的结果呢?其实这还是由于前面解释过的原因,超几何分布与二项分布是有联系的,看它们的期望公式：(1)在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,随机变量Ⅹ服从超几何分布,超几何分布的期望计算公式为EX=NnM(可以根据组合数公式以及期望的定义推导);(2)随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p), EX=np;当超几何分布中的∞→N 时,p NM→,此时可以把超几何分布中的不放回抽样问题,近似看作是有放回抽样问题,再次说明∞→N 时,可以把超几何分布看作是二项分布。
二项分布和超几何分布
二项分布和超几何分布二项分布和超几何分布是统计学中比较常见的两个概率分布，它们都是很重要的知识点，被应用在许多领域，尤其是生物和药物研究等统计分析中。
在本文中，我们将对这两个概率分布进行介绍和比较，包括定义、性质、应用、关系以及如何求解这两个概率分布。
一、二项分布二项分布是一种偏态分布，也被称为二项概率分布，它以独立的事件进行描述，用来描述一个独立的试验或该试验的结果。
它形成了一种定义精确的概率模型，用来对实际问题进行分析、预测和解决。
二项分布中有两个参数，即n（试验次数）和p（每次试验成功的概率）。
假设有一个试验，该试验有n次，每次试验成功的概率为p，则最终成功的次数X服从二项分布：X~B(n,p)。
其性质如下：（1）二项分布的期望值E[X] = np。
（2）二项分布的方差 D[X]= npq=np（1-p）。
（3）当n趋于无穷大，p趋于某一定值时，此时X服从泊松分布。
（4）二项分布的n和p均大于0，当n=1时，二项分布即成为伯努利分布。
二项分布的应用非常广泛，常被应用在质量控制、生物学、总体调查中。
比如，在质量检验中，二项分布被应用在检验样本中不良品率检验；在生物学中，可以用二项分布研究DNA分子的突变率；在总体调查中，也可用二项分布来描述一个样本是否属于某一总体。
求解二项分布的方法：一般通过概率计算和抽样模拟的方法。
概率计算方法是对二项分布概率的精确计算，即在已知成功的概率p和试验次数n的情况下，可以精确算出在n次试验中成功m次出现的概率。
而抽样模拟方法是通过实际模拟事件，用实际上发生的次数来估计概率，为此可以用计算机模拟，从而统计概率出现的次数。
二、超几何分布超几何分布也称为无限取样分布，是一种古典的概率分布，用来描述一系列独立事件中指定类型的成功次数的分布情况。
它和二项分布很相似，但它的背后的模型是不同的。
超几何分布有三个参数，即n（试验次数）、N（总体样本数）和p（每次试验成功的概率）。
二项分布与超几何分布的区别与联系
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例题解析
1、从含有 2 件优等品的 5 件产品中，随机抽取 2 件，求
抽取的 2 件产品中的优等品数 的分布列及其均值。
解： 可能的取值为 0,1,2，
P( i) C2i C32i
C52
(i 0, 1, 2) ，
的分布列为
012
P
3 10
3 5
1 10
均值
E( )
1
3 52 1 10源自4 5结论：在实际应用 时，只要N≥10n， 不放回抽取可以近 似看成是放回抽取， 可用二项分布近似 描述不合格品个数 ， 即当超几何分布计 算非常困难时应考 虑用二项分布近似 代替。
练习：
[2009 广东理 17 题部分]对某城市一年（365 天）的空 气质量进行监测，发现一年中有 219 天空气质量为良或 轻度污染，求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为轻 微污染的概率.
超几何分布一般地在含有m件次品的n件产品中任取n件其中恰有x件次品则事件xk发生的概率为服从参数为nmn的超几何分布1从含有2件优等品的5件产品中随机抽取2抽取的2件产品中的优等品数10均值2011广东理17部分从含有2件优等品的5件产品中随机抽取2件求抽取的2件产品中的优等品数的分布列及其均值
二项分布与超几何分布的区别与 联系
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何 分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
3、二项分布、超几何分布的均值、方差 (1)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． ※(2)若 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布， 则 E(X)＝nNM.
二项分布与超几何分布知识点
二项分布与超几何分布知识点
二项分布与超几何分布都是概率论中的重要分布，下面为你介绍两者的知识点：
- 定义不同：
- 超几何分布：描述的是不放回抽样问题。
- 二项分布：描述的是放回抽样问题。
- 概率计算不同：
- 超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题。
- 二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题。
- 联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布。
二项分布和超几何分布在概率论中有广泛的应用，包括试验设计、数据分析和决策制定等。
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二项分布和超几何分布
二项分布和超几何分布1. 引言二项分布和超几何分布是统计学中常见的两种离散概率分布。
它们在很多实际问题中都有应用，特别是在概率统计、质量控制、可靠性工程等领域。
本文将介绍二项分布和超几何分布的基本概念、性质和应用。
2. 二项分布2.1 定义：二项分布是指在n次独立重复试验中，成功的次数X 服从的概率分布。
每次试验都有相同的成功概率p，失败概率为1-p。
2.2 参数和符号：二项分布的参数为试验次数n和成功概率p。
用X~B(n,p)表示服从二项分布的随机变量X。
2.3 概率质量函数：二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)是组合数。
2.4 期望和方差：二项分布的期望E(X) = np，方差Var(X) =np(1-p)。
2.5 应用举例：二项分布常用于二元分类问题的建模和预测，例如投硬币的结果、产品合格率等。
3. 超几何分布3.1 定义：超几何分布是指在从有限总体中抽取固定大小的样本，统计成功的次数X服从的概率分布。
总体中有M个成功元素和N-M个失败元素。
3.2 参数和符号：超几何分布的参数为总体大小N、成功元素个数M和样本大小n。
用X~H(N,M,n)表示服从超几何分布的随机变量X。
3.3 概率质量函数：超几何分布的概率质量函数为P(X=k) =C(M,k) * C(N-M,n-k) / C(N,n)，其中C(m,k)是组合数。
3.4 期望和方差：超几何分布的期望E(X) = nM/N，方差Var(X) = nM/N * (1-M/N) * (N-n)/(N-1)。
3.5 应用举例：超几何分布常用于抽样调查和质量抽检中，例如从一批产品中抽取部分样本进行检验。
4. 二项分布与超几何分布的比较4.1 性质对比：二项分布和超几何分布的相同之处在于都是离散概率分布，描述独立重复试验的结果。
不同之处在于二项分布适用于试验的抽样分布，即每次试验结果相互独立；而超几何分布适用于样本抽取过程，即每次抽取后总体元素的数量会改变。
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专题: 超几何分布与二项分布，正态分布[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --==（0,1,2,,k m =）进行处理就可以了. 二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.超几何分布典型例题（不放回抽取）1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为 “高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人, 再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ （Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.二项分布典型例题（放回抽取）二项分布性质研究二项分布定义：二项分布（Binomial Distribution ），即重复n 次的伯努利试验（Bernoulli Experiment ），用ξ表示随机试验的结果。
如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p ，N 次独立重复试验中发生K 次的概率是P(ξ=k)=,二项分布数字特征.（1） 二项分布的数学期望为E ξ=np证明：设随机变量),(~p n B ，则应用组合公式得（2） 二项分布的方差D ξ=npq 证明故D ξ=npq频率组距 岁 4、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？5、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，）岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．分组（单位：岁）频数 频率 [)20,25 5 050.0 [)25,30 ① 200.0 [)30,35 35 ② [)35,40 30 300.0 []40,45 10 100.0 合计100 00.1126、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E (X ).7、张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．专题正态分布【高考会这样考】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【复习指导】掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率．基础梳理1．正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数()()Rxex fx∈⋅=--,21222σμσπx∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈(－∞，＋∞)．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为－(x－μ)2 2σ2.六条性质 正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈R 有以下性质：(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；(3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴围成的图形的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．2．正态分布(1)正态分布的表示X 为正态分布，记作N (μ，σ2)．(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.双基自测1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe－(x－10)28，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()．A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10解析由18πe－(x－10)28＝12πσe－(x－μ)22σ2，可知σ＝2，μ＝10.2．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于()．A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2解析由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3.故选C.3．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于()．A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X＞4)＝0.5－12P(2≤X≤4)＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7.故选B.4．(2010·山东)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)等于()．A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977解析P(－2≤X≤2)＝1－2P(X>2)＝0.954.5．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于()．A．1 B．2 C．3 D．4解析∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.考向一正态曲线的性质【例1】►若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4,4]的概率．[审题视点] 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．【训练1】设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()．A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.答案 A。