函数的单调性与最值(含解析)新人教A版

函数的单调性与最值
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是
( )．
A ．y ＝x 2
B ．y ＝|x |＋1
C ．y ＝－lg|x |
D ．y ＝2|x | 解析 对于C 中函数，当x >0时，y ＝－lg x ，故为(0，＋∞)上的减函数，且y ＝－lg |x |为偶函数．
答案 C
2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)＜f (1)的实数x 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 ∵f (x )在R 上为减函数且f (|x |)＜f (1)，
∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1.
答案 D
3．若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2
＋bx 在(0，＋∞)上是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减
D ．先减后增 解析 ∵y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b 2a
<0， ∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．
答案 B
4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，
g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是
( )． A ．(－∞，0]
B ．[0,1)
C ．[1，＋∞)
D ．[－1,0]
解析 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2，x >1，0，x ＝1，
－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B. 答案 B 5．函数y ＝－x 2
＋2x －3(x ＜0)的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，1]
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，－1] 解析 二次函数的对称轴为x ＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．
答案 C
6．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K ，取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间 为
( )． A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(1，＋∞) 解析 f 12(x )＝⎩⎨⎧ 2－|x |，2－|x |≤12，12，2－|x |>12⇔ f 12(x )＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫12|x |，x ≤－1或x ≥1，12，－1<x <1.
f 12(x )的图象如右图所示，因此f 12
(x )的单调递增区间为(－∞，－1)． 答案 C
二、填空题
7．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________. 解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1.
当－2≤a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－
1.
综上，g (a )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－2a ，－2≤a <1－1，a ≥1 8．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是_______．
解析 y ＝－(x －3)|x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋3x x >0 ，x 2－3x x ≤0 .
作出该函数的图像，观察图像知递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32. 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32 9．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是
________．
解析 ①当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a ＞0时，要使f (x )
＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x ＝3－a a
必在x ＝3的右边，即3－a a ≥3，故0＜a ≤34
；③当a ＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34. 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题： ①函数
f (x )的最小值是－1；
②函数f (x )在R 上是单调函数；
③若f (x )>0在⎣⎡⎭
⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有
f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<
f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是____________．
解析 根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；
函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )>0在
⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12
－1>0，a >1，故③正确；
由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确．
答案 ①③④
三、解答题
11．求函数y ＝a 1－x 2
(a >0且a ≠1)的单调区间．
解 当a >1时，函数y ＝a 1－x 2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；
当0<a <1时，函数y ＝a 1－x 2在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．
12．已知函数f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0，a ∈R )． (1)判断函数f (x )的奇偶性；
(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．
解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数；
当a ≠0时，f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，
∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设x 2>x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]， 由x 2>x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)>16，x 1－x 2<0，
x 1x 2>0.
要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，
只需f (x 1)－f (x 2)<0，
即x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0恒成立，则a ≤16.
13．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.
(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；
(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．
解 (1)当a >0，b >0时，因为a ·2x ，b ·3x 都单调递增，所以函数f (x )单调递增；当a <0，b <0时，因为a ·2x ，b ·3x 都单调递减，所以函数f (x )单调递减．
(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0.
(i)当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b
， 解得x >log 32⎝⎛⎭
⎫－a 2b ；
(ii)当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b
， 解得x <log 32⎝⎛⎭
⎫－a 2b . 14．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.
(1)求证：f (x )是R 上的增函数；
(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2
－m －2)<3.
解 (1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，
则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1. f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)
＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0.
∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数．
(2) ∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5，
∴f (2)＝3，
∴原不等式可化为f (3m 2
－m －2)<f (2)，
∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，
解得－1<m <43，故解集为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，43.。