2014年新课标高考数学最后一卷押题卷(文科)
2014年海南省高考数学压轴试卷(文科)
2014年海南省高考数学压轴试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|-4＜x＜1}，则A∩B等于（）A.（0，1）B.（1，+∞）C.（-4，1）D.（-∞，-4）【答案】A【解析】解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，解得：x＞0，即A=（0，+∞），∵B=（-4，1），∴A∩B=（0，1）．故选：A．求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知i为虚数单位，复数z=i（2-i）的模|z|=（）A.1B.C.D.3【答案】C【解析】解：∵z=i（2-i）=2i+1，∴|z|=，故选：C．根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念的计算，比较基础．3.进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的．一般而言，发电子邮件要分以下几个步骤：a..打开电子信箱；b．输入发送地址；c．输主主题；d．输入信件内容；e．点击“写邮件”；f．点击“发送邮件”，则正确的流程是（）A.a→b→c→d→e→fB.a→c→d→f→e→bC.a→e→b→c→d→fD.b→a→c→d→f→e【答案】C【解析】解：发电子邮件的操作步骤：第一步a..打开电子信箱；第二步：e．点击“写邮件”；等．依次操作，不能颠倒．则正确顺序为：a→e→b→c→d→f故选C．发电子邮件的操作步骤：第一步a..打开电子信箱；第二步：e．点击“写邮件”；等．依次操作，不能颠倒．本题主要考查绘制简单实际问题的流程图，注意发电子邮件的步骤，步骤不能颠倒．4.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=-4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．5.设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且-2≤x-y≤0，则z的最大值是（）A.21B.24C.28D.31【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+5y，得y=x+表示，平移直线y=x+，当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，由得，即A（3，5），此时z max=2×3+5×5=31．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．6.如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=，即π12÷1=∴π=（π的估计值）即执行框内计算的是．故选D．由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A.4+2B.4+C.4+2D.4+【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形，过D作AB的垂线交AB于E，连SE，则SE⊥AB，在直角三角形ABD中，DE==，在直角三角形SDE中，SE===，于是此几何体的表面积S=S△SAC+S△ABC+2S△SAB=×2×2+×2×2+2×××=4+2．故选A．由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC 都是底边长为2，高为2的等腰三角形．据此可计算出表面积．由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键，属于基础题．8.一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是（）A.12πcm3B.36πcm3C.64πcm3D.108πcm3【答案】B【解析】解：球的半径为=3（cm），球的体积为33=36π（cm3）故选：B．由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式求球的体积．本题考查球的体积公式，注意球心距，圆的半径，球的半径，三条线段构成直角三角形，可用勾股定理．9.如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）A.mB.mC.mD.m【答案】D【解析】，解：由正弦定理得∠∠==50，∴AB=∠∠∴A，B两点的距离为50m，故选：D．依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．10.设P是双曲线x2-=1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，△PF1F2的内切圆与边F1F2相切于点M，则•=（）A.5B.4C.2D.1【答案】B【解析】解：不妨设P是双曲线x2-=1右支上一点，则|PF1|-|PF2|=2，∵△PF1F2的内切圆与边F1F2相切于点M，∴|F1M|-|F2M|=2，∵|F1M|+|F2M|=2，∴|F1M|=+1，|F2M|=-1，∴•=|F1M||F2M|=4，故选：B．利用双曲线的定义，结合△PF1F2的内切圆与边F1F2相切于点M，可得|F1M|-|F2M|=2，利用|F1M|+|F2M|=2，求出|F1M|=+1，|F2M|=-1，即可求出•．本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，正确运用圆的性质是关键．11.已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x-1），且当x∈[-1，0]时，f（x）=3x+，则f（lo5）的值等于（）A.-1B.C.D.1【答案】D【解析】解：∵偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），周期为：2，∵当x∈[-1，0]时，f（x）=3x+，∴lo5=-∈（-2，-1），2-∈（0，1）f（lo5）=f（2-）=f（-2）===1．故选D．通过已知条件判断求出函数的周期，判断对数值的范围，利用偶函数与周期转化自变量的值满足已知函数表达式，求出函数值即可．本题考查函数的周期奇偶性以及函数的解析式的应用，考查计算能力．12.已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=当为偶数时当为奇数时，若a6=1，则m的所有可能值为（）A.2或4或8B.4或5或8C.4或5或32D.4或5或16 【答案】C【解析】解：a6=1，由a n+1=当为偶数时当为奇数时，得a5=2或a5=0，a5=0是由第二段函数解出的，与a n为奇数矛盾；由a5=2，得a4=4或，是由第二段函数解出的，不符合整数要求；由a4=4，得a3=8或a3=1．以下分两种情况：a3=1时，a2=2或a2=0（舍），则a1=4；a3=8时，a2=16或，不符合整数要求；由a2=16得a1=5或a1=32．∴m的所有可能值为4或5或32．故选：C．由已知给出的a6=1，利用递推式逆推逐次求出前一项的值，符合题意的保留，不符合题意得舍掉，最后可求得m的所有可能取值．本题考查了数列递推式，考查了逆向思维方法，考查了学生的计算能力，是中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若曲线y=x3+ax在原点处的切线方程是2x-y=0，则实数a= ______ ．【答案】2【解析】解：函数的导数为f′（x）=3x2+a，因为在原点处的切线方程是2x-y=0，所以切线的斜率k=2，即f′（0）=2，即a=2．故答案为：2．根据切线是2x-y=0，得到切线的斜率k=2，然后利用导数得a的数值．本题主要考查导数的几何意义，利用切线方程得到切线斜率是解决本题的关键．14.在R t△ABC中，C=，B=，CA=1，则|2-|= ______ ．【答案】2【解析】解：∵在R t△ABC中，C=，B=，CA=1，∴=1，=2，＜，＞=，∴2=1，2=4，•=1，∴|2-|2=（2-）2=42+2-4•=4，∴|2-|=2，故答案为：2由已知可得=1，=2，＜，＞=，进而利用平方法，可得|2-|2=4，开方可得答案．本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，当已知中没有坐标时，经常采用平方法进行计算．15.设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=-2，则a9= ______ ．【答案】-6【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S8=4a3，a7=-2，∴8a1+d=4（a1+2d），a7=a1+6d=-2，解得a1=10，d=-2，∴a9=10+8（-2）=-6故答案为：-6设等差数列{a n}的公差为d，代入已知可解得a1和d，代入通项公式可得答案．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．16.已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则n+m= ______ ．【答案】【解析】解：∵f（x）=|log2x|，且f（m）=f（n），∴mn=1∵若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2∴|log2m2|=2∵m＜n，∴m=∴n=2∴n+m=故答案为：先结合函数f（x）=|log2x|的图象和性质，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒数关系，再由“若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2”，求得m．n的值得到结果．本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设平面向量=（cos2，sinx），=（2，1），函数f（x）=•．（Ⅰ）当x∈[-，]时，求函数f（x）的取值范围；（Ⅱ）当f（α）=，且-＜α＜时，求sin（2α+）的值．【答案】解析：（Ⅰ）∵=（cos2，sinx），=（2，1），∴，，==．当，时，，，则，，∴f（x）的取值范围是[0，3]；（Ⅱ）由，得，∵＜＜，∴＜＜，得，∴==．【解析】（Ⅰ）由向量数量积的坐标运算求得函数f（x）并化简，然后结合x的范围求得函数f （x）的取值范围；（Ⅱ）由f（α）=，且-＜α＜求得，的值，再由倍角公式求得sin（2α+）的值．本题考查平面向量数量积的运算，考查了三角函数中的恒等变换的应用，训练了由已知三角函数的值求其它三角函数值，是中档题．18.如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=CD=2，M是线段AE上的动点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面MDF将几何体ADE-BCF分成的两部分的体积之比．【答案】解析：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF．证明如下：连结CE，交DF于N，连结MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，由于MN⊂平面MDF，又AC⊈平面MDF，所以AC∥平面MDF．（Ⅱ）如图，将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF，三棱柱ADE-B′CF的体积为，则几何体ADE-BCF的体积V ADE-BCF=V三棱柱ADE-BCF-V F-BB'C=．三棱锥F-DEM的体积V三棱锥M-DEF=，故两部分的体积之比为：（答1：4，4，4：1均可）．【解析】（Ⅰ）首先，根据所给图形，得到当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF．然后，根据线面平行的判定定理进行证明即可；（Ⅱ）利用补图法，将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF，然后，借助于柱体和椎体的体积公式进行求解即可．本题综合考查了线面平行的判定定理、柱体和椎体的体积公式等知识，属于中档题，在解题中，如果求解不规则几何体的体积时，一般用割补法进行运算和求解，这就是转化思想在解题中的应用．19.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元；（1）试写出是S（ω）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：K2=【答案】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=，，，，，，∞；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A；由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，∴P（A）=；（2）根据以上数据得到如表：K2的观测值K2=≈4.575＞3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．【解析】（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；（2）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．20.设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由题意易知，，所以，，，，设P（x，y），则，，=因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，整理得：∴，由＞得：＜或＞，…①又°＜∠＜°∠＞＞∴＞又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4==∵＞，即k2＜4，∴-2＜k＜2…②故由①、②得：＜＜或＜＜．【解析】（Ⅰ）根据题意，求出a，b，c的值，然后设P的坐标，根据PF1•PF2的表达式，按照一元二次函数求最值方法求解．（Ⅱ）设出直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出k的取值范围．本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．21.已知函数f（x）=e x+2x2-3x（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证函数f（x）在区间[0，1）上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e0.3≈1.3）．【答案】解：（1）∵f（x）=e x+2x2-3x，∴f′（x）=e x+4x-3，∴f′（1）=e+1，∵f（1）=e-1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e+1=（e+1）（x-1），即（e+1）x-y-2=0；（2）x≥1时，不等式f（x）≥ax，可得a≤，令g（x）=，∴g′（x）=，∵x≥1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数，∴g（x）min=g（1）=e-1，∴a≤e-1；（3）∵f'（0）=e0-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，∴f'（0）•f'（1）＜0令h（x）=f'（x）=e x+4x-3，则h'（x）=e x+4＞0，f'（x）在[0，1]上单调递增，∴f'（x）在[0，1]上存在唯一零点，f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点．取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下由上表可知区间[0.3，0.6]的长度为0.3，所以该区间的中点x2=0.45，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x的值∴函数y=f（x）取得极值时，相应x≈0.45．【解析】（1）求导数，可得切线斜率，求出切点的坐标，即可得出切线方程；（2）分离参数，构造函数求最值，即可求实数a的取值范围；（3）证明f'（0）•f'（1）＜0，f'（x）在[0，1]上单调递增，可得f'（x）在[0，1]上存在唯一零点，f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点，再利用二分法求出x的近似值．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值与零点，正确分离参数求最值是关键．22.如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【答案】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12【解析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．23.圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|=10，|AC|=|BD|=4，P为圆上一点，求|PC|+|PD|的最大值．【答案】解：如图建立平面直角坐标系，∵|AB|=10，∴圆的参数方程为（θ为参数），∵|AC|=|BD|=4，∴C（-1，0），D（1，0），∵点P在圆上，∴P坐标为（5cosθ，5sinθ），∴（|PC|+|PD|）2=（+）2=52+2，当cosθ=0时，（|PC|+|PD|）2max=104，则（|PC|+|PD|）max=2．【解析】如图建立平面直角坐标系，根据|AB|的长，表示出圆的参数方程，由|AC|=|BD|=4，求出C与D坐标，根据P在圆上，表示出P坐标，利用两点间的距离公式表示出|PC|+|PD|，利用余弦函数的值域即可求出最大值．此题考查了圆的参数方程，两点间的距离公式，余弦函数的值域，表示出圆的参数方程是解本题的关键．24.已知a，b均为正数，且a+b=1，证明：（1）（ax+by）2≤ax2+by2（2）（a+）2+（b+）2≥．【答案】证明：（1））（ax+by）2-（ax2+by2）=a（a-1）x2+b（b-1）y2+2abxy，因为a+b=1，所以a-1=-b，b-1=-a，又a，b均为正数，所以a（a-1）x2+b（b-1）y2+2abxy=-ab（x2+y2-2xy）=-ab（x-y）2≤0，当且仅当x=y 时等号成立；（2）==．当且仅当a=b时等号成立．【解析】（1）将所证的关系式作差（ax+by）2-（ax2+by2）=a（a-1）x2+b（b-1）y2+2abxy利用a+b=1，整理，可得a（a-1）x2+b（b-1）y2+2abxy=-ab（x-y）2≤0，当且仅当x=y 时等号成立；（2）将所证的不等式左端展开，转化为，进一步整理后，利用基本不等式即可证得结论成立．本题考查不等式的证明，着重考查作差法的应用，突出考查等价转化思想与逻辑推理能力，属于难题．。
广东省2014高考数学压轴卷试题 文(含解析)
2014广东省高考压轴卷文科数学本试卷共4页，21小题，总分为150分。
考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，总分为50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．假设集合{}1,0A =-，{}0,1B =，如此AB =A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．函数()f x =的定义域是A ．(,1)-∞B ．(],1-∞C ．()(),11,1-∞--D ．()(],11,1-∞--3．假设复数11i z =+，22i z =，如此21z z =A ．1i -+B ．1i +C ．22i -+D ．22i +4．如下函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．sin y x =B ．12x y =C ．3y x =D．y =5．平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，如此2+a b = A ．(5,6)-B ．(3,6)C ．(5,4)D ．(5,10)6．阅读如图1的程序框图，假设输入4m =，如此输出S 等于 A ．8 B ．12 C ．20 D ．307．“0x >〞是“2430x x ++>〞成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件8．以点(3,1)-为圆心且与直线340x y +=相切的圆的方程是A ．()()22311x y ++-= B ．()()22311x y -++= C ．()()22312x y ++-= D ．()()22312x y -++=9．某几何体的三视图如图2所示，如此该几何体的体积是A ．36a πB ．33a πC ．323a πD ．3a π10．变量x ，y 满足约束条件1440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，目标函数z mx y =+仅在点()0,1处取得最小值，如此m 的取值范围是 A ．(),4-∞B ．()4,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每一小题5分，总分为20分． 〔一〕必做题〔11～13题〕 11．在等差数列{}n a 中，33a =，2810a a +=，如此n a =_________．12．某校高三年级共1200人．学校为了检查同学们的健康状况，随机抽取了高三年级的100名同学作为样本，测量他们的体重〔单位：公斤〕，体重的分组区间为[40,45〕，[45,50〕，[50,55〕，〔55,60〕，[60,65]，由此得到样本的频率分布直方图，如图3．根据频率分布直方图，估计该a正视图左视图俯视图图2校高三年级体重低于50公斤的人数为_________．13．a b c ，，分别是ABC △的三个内角A B C ，，所对的边，假设1a =，b =，60B ∠=，如此AB =_________．〔二〕选做题〔14-15小题，考生只能从中选做一题〕14．〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系(,)ρθ 0,02πρθ⎛⎫≥≤< ⎪⎝⎭中，曲线4cos 3ρθ=-与(cos sin )1ρθθ+=的交点的极坐标为________．15．〔几何证明选讲选做题〕如图4，圆1O 和圆2O 相交于,A B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，5,8,4AC AD AB ===，如此BD =_________．三、解答题：本大题共6小题，总分为80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分为13分〕函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∈x R . 〔1〕求(0)f 的值；〔2〕求()f x 的最小正周期；〔3〕设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，6235f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，4242313f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭．求()sin αβ-的值．图4体重/公斤频率组距图317．〔本小题总分为13分〕某校高二年级在3月份进展一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：在全体考生中随机抽取1名，抽到理科考生的概率是0.6. 〔1〕求x 的值；〔2〕图5是文科考生不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名文科考生的语文成绩的平均分、中位数；〔3〕在〔2〕中的6名文科考生中随机地选2名考生，求恰有一名考生的语文成绩在130分以上的概率．18．〔本小题总分为14分〕如图6，四棱锥P ABCD -中，PB ABCD ⊥底面，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，AD =，3PB =，E 为CD 上一点，3EC =，1DE =．(1) 证明：BE PBC ⊥平面； (2) 求三棱锥B PAC -的体积．19．〔本小题总分为12分〕 数列{}()0n n a a >的首项为1，且前n 项和n S ()12n =≥．2 4 0 5 8 113 12 11 图5PABCDE 图6〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记()122nn n a b n ==，，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．〔本小题总分为14分〕点(0,1)F ，点M 是F 关于原点的对称点．〔1〕假设椭圆1C 的两个焦点分别为F ，M ，且离心率为12，求椭圆1C 的方程；〔2〕假设动点P 到定点F 的距离等于点P 到定直线:1l y =-的距离，求动点P 的轨迹2C的方程；〔3〕过点M 作〔2〕中的轨迹2C 的切线，假设切点在第一象限，求切线m 的方程．21．〔本小题总分为14分〕函数()3143f x x ax =++．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕求函数()f x 在区间[]0,3上的最小值()g a ．2014广东省高考压轴卷数学〔文科〕试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，总分为50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】{}0A B =．2．【答案】D【解析】∵1010x x -≥⎧⎨+≠⎩，∴11x x ≤⎧⎨≠-⎩，∴函数()f x 的定义域是()(],11,1-∞--．3．【答案】B【解析】()()()212i 1i 2i1i 1i 1i 1i z z -===+++-．4．【答案】C【解析】A 是奇函数但不是增函数；B 既不是奇函数也不是偶函数；C 既是奇函数又是增函数；D 是偶函数． 5．【答案】D【解析】 ∵//a b ，∴220y -⨯=，∴4y =，∴()()()21,222,45,10++=a b =．6．【答案】C【解析】根据程序框图，246820S =+++=． 7．【答案】A【解析】∵2430x x ++>，∴3x <-或1x >-，∴“0x >〞是“2430x x ++>〞成立的充分非必要条件． 8．【答案】B【解析】∵圆心到直线的距离为1d ==，∴所求圆的方程是()()22311x y -++=．9．【答案】A【解析】根据三视图，该几何体为14个圆锥，且底面半径为a ，高为2a ．∴体积是32112436a V a a ππ⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭． 10．【答案】D【解析】画出可行域〔如图〕，目标函数向上平移至点()0,1A 时，取得最小值，∴ABm k -<，∴1m >．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每一小题5分，总分为20分． 11．【答案】n【解析】∵31281232810a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，∴111a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)n a n n =+-=．12．【答案】480【解析】估计该校高三年级体重低于50公斤的人数为()12000.0350.055480⨯⨯+⨯=．13．【答案】2【解析】根据余弦定理可得221cos602AB AB +=，解得2AB =．14．【答案】()10，【解析】(cos sin )1ρθθ+=化为直角坐标方程1x y +=，4cos 3ρθ=-化为直角坐标方程2243x y x +=-．联立解方程组22143x y x y x +=⎧⎨+=-⎩，解得1201x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（舍），∴1,tan 01ρθ====，又02πθ≤<，∴0θ=．∴交点的极坐标为()10，．15．【答案】325【解析】由AC 与圆2O 相切于A ，得CAB ADB ∠=∠，同理ACB DAB ∠=∠，所以ACB ∆∽DAB ∆，∴AC AB AD BD =，即483255AB AD BD AC ⋅⨯===.三、解答题：本大题共6小题，总分为80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分为13分〕解：〔1〕1(0)2sin2sin21662fππ⎛⎫=-=-=-⨯=-⎪⎝⎭．…………………………………2分〔2〕()f x的最小正周期是2412Tππ==．……………………………………………4分〔3〕∵1622sin22sin32365fπππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴3sin5α=∵41424 22sin22sin2cos3236213fππππββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴12cos13β=∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，∴4cos5α===，5sin13β===∴()sin sin cos cos sinαβαβαβ-=-312451651351365=⨯-⨯=．………………………13分17．〔本小题总分为13分〕解：〔1〕依题意905590.6603519690559xx+++=+++++++，∴26x=．…………………3分〔2〕这6名文科考生的语文成绩的平均分为1111201251281321341256x+++++==中位数为125128126.52x+==……………………………………………………………7分〔3〕从6名文科考生中随机地选2名考生，根本事件有：〔111,120〕，〔111,125〕，〔111,128〕，〔111,132〕，〔111,134〕，〔120,125〕，〔120,128〕，〔120,132〕，〔120,134〕，〔125,128〕，〔125,132〕，〔125,134〕，〔128,132〕，〔128,134〕，〔132,134〕．共15种．记“恰有一名考生的语文成绩在130分以上〞为事件A，其中有〔111,132〕，〔111,134〕，〔120,132〕，〔120,134〕，〔125,132〕，〔125,134〕，〔128,132〕，〔128,134〕．共8种．∴恰有一名考生的语文成绩在130分以上的概率为()815P A=．………………………13分18．〔本小题总分为14分〕〔1〕证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，如此BF AD ==1EF AB DE =-=，2FC =在Rt BFE ∆中，BE ===，在Rt BFC ∆，BC === 在BCE ∆，∵222BE BC EC +=，∴BE BC ⊥∵PB ABCD ⊥底面，BE ABCD ⊂平面，∴PB BE ⊥又PBBC B =∴BE PBC ⊥平面……………………………………………………………………………8分 〔2〕解：∵//AB CD ，AD AB ⊥， ∴四边形ABCD 是梯形，∴()1=2+42ABCD S ⨯梯形142ADC S ∆=⨯=∴ABC ADC ABCD S S S ∆∆=-==梯形∴13B PAC P ABC ABC V V S PB --∆==⋅⋅133==…………………………………14分19．〔本小题总分为12分〕 解：〔11=．∴数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列1(1)1n n=+-⨯=∴2n S n =当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-当1n =时，111a S ==，符合上式∴21n a n =-． …………………………………………………………………………………6分〔2〕∵2122n n n n a n b -==PABCDE F∴123135212222n n n T -=++++① ①×2得21352121222n n n T --=++++②②－①得2211121112222n n n n T --=++++-111212221212n nn ---=+--2121122n n n --=+-…………………………………………………12分20．〔本小题总分为14分〕解：〔1〕依题意，设椭圆1C 的方程为22122:1(0)y x C a b a b +=>>∵222112c c e a c a b =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩∴224,3a b == ∴椭圆1C 的方程为221:1(0)43y x C a b +=>>……………………………………………5分〔2〕依题意，动点P 的轨迹为焦点(0,1)F 的抛物线， ∴抛物线2C 的方程为24x y =．……………………………………………………………………8分〔3〕设切点2000(0)4x Q x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ， ∴所求切线方程2000()42x xy x x -=-， 即20024x x y x =-． ∵22:4C x y=的焦点(0,1)F 关于原点的对称点(0,1)M -．∴点(01)M -，在切线上，∴2014x -=-， ∴02x =或02x =-〔舍去〕．∴所求切线方程为1y x =-．……………………………………………………………………14分21．〔本小题总分为14分〕解：〔1〕()2f x x a '=+．①0a ≥时，()20f x x a '=+≥，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②0a <时，()(2f x x a x x '=+=+． 令()0f x '=，得10x =，20x =>． ∴()1,x x ∈-∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；()2,x x ∈+∞时，()0f x '>． ∴()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减．…………………8分 〔2〕①0a ≥时，由(1)知()f x 在(,)-∞+∞上单调递增， ∴()f x 在[]0,3上单调递增， ∴()f x 在0x =处取得最小值，且()04f =． ②0a <时，〔i 〕当203x <<，即90a -<<时，由〔1〕知()f x 在[)20,x 上单调递减，()2,x +∞上单调递增， ∴()f x 在2x x =处取得最小值，且3144433f a =++=+． 〔ii 〕当23x ≥，即9a ≤-时，由〔1〕知()f x 在[]0,3上单调递减，∴()f x 在3x =处取得最小值，且()()3133341333f a a =+⋅+=+． 综上所述，()4,044,903133,9a g a a a a ≥⎧⎪⎪=+-<<⎨⎪+≤-⎪⎩…………………………………………………14分。
2014年安徽省高考数学押题试卷(一)(文科)
2014年安徽省高考数学押题试卷（一）（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合A={a，b}，B={b，c，d}，则A∪B=（）A.{b}B.{b，c，d}C.{a，c，d}D.{a，b，c，d}【答案】D【解析】解：由题意A={a，b}，B={b，c，d}，∴A∪B={a，b，c，d}故选D．由题意，集合A={a，b}，B={b，c，d}，由并运算的定义直接写出两集合的并集即可选出正确选项．本题考查并集及其运算，是集合中的基本计算题，解题的关键是理解并能熟练进行求并的计算．2.i是虚数单位，复数的虚部为（）A.2B.-1C.1D.-2【答案】B【解析】解：∵复数===-i（1-i）=-1-i，故此复数的虚部为-1，故选：B．由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，求出复数，可得它的虚部．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3.下列命题是真命题的是（）A.∃x0∈R，lnx0≤0B.∀x∈R，3x＞x3C.a•b=0的充要条件是=0D.若p∧q为假，则p∨q为假【答案】A【解析】解：当0＜x0≤1时，lnx0≤0，∴选项A为真命题；当x=3时，3x=x3，∴选项B为假命题；由a•b=0⇒a=0或b=0，若b=0，则=0不成立．由=0⇒a=0⇒a•b=0．∴a•b=0是=0的必要不充分条件．∴选项C为假命题；若p∧q为假，则p、q中至少有一个为假，当p、q中一真一假时，则p∨q为真．∴选项D为假命题．故选：A．由对数函数的值域判断A；举特值判断B；由a•b=0不一定得到=0，由=0一定得到a•b=0判断C；利用复合命题的真值表判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查了充要条件的判断方法，属基础题．4.函数f（x）=的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：当x＞0时，f（x）＞0；当x＜0时，f（x）＜0．B、C、D三项均不符，只有A项相符．故选：A．根据函数的性质，选择与之匹配的选项．本题考查函数的性质与识图能力，一般先观察四个选项的区别，再研究函数的对应性质，排除三个错误选项．5.已知向量=（5，0），=（-2，1），⊥，且=t+（t∈R），t=（）A.-2B.-1C.0D.2【答案】A【解析】解：∵向量=（5，0），=（-2，1），⊥，且=t+（t∈R），∴，∴-10=5t，解得t=-2．故选：A．由已知得，从而-10=5t，由此能求出t=-2．本题考查t的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且=5，=25，则=（）A.125B.85C.45D.35【答案】C【解析】解：∵=5，∴S25=5a23，∴，∴，同理，得，∴，而=，故选：C．首先，根据等差数列的性质和求和公式，得到，，然后，利用合比定理，得到∴，然后，求解即可．本题重点考查了等差数列的性质，等差数列的求和等知识，属于中档题．7.已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=-kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A.k1＜k＜k2B.k1＜k＜k3C.k1≤k≤k3D.k＜k1或k＞k3【答案】B【解析】解：A是l1与l3的交点，目标函数z=-kx+y仅在点A处取到最大值，∴直线y=kx+z的倾斜角比l1的要大，比l3的要小，即有k1＜k＜k3，故选：B．根据z的几何意义，结合直线斜率之间的关系，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系，比较基础．8.将参加冬季越野跑的600名选手编号为：001，002…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，把编号分50组后，在第一组的001至012这12个编号中随机抽得的号码为004，这600名选手分穿着三种颜色的衣服，001到301穿红色衣服，从302到496穿白色衣服，从497到600穿黄色衣服，若从样本中任意抽取一个，则抽到穿黄色衣服的选手概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知，间隔为，故抽到的号码为12k+4（k=0，1，2，…，49），可列出不等式1≤12k+4≤301，302≤12k+4≤496，解得，-≤k≤，≤k≤41，所以穿红色衣服抽到25人，穿白色衣服抽到17人，穿黄色衣服抽到50-42=8人，故所求事件的概率为．故选B．由系统抽样抽取样本，确定样本中各种颜色的人数，从而用古典概型求概率．考查了系统抽样的方法及古典概型求概率公式．9.若直线l被圆C：x2+y2=2所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（）A.（x-1）2+y2=1B.+y2=1C.y=x2D.x2-y2=1【答案】B【解析】解：∵直线l被圆C：x2+y2=2所截的弦长不小于2，∴原点到直线的距离小于等于1，∴直线上有一点到原点的距离小于等于1，在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上，∴l与椭圆一定有公共点故选B．由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于1，即直线上有一点到原点的距离小于等于1，在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上，得到结果．本题考查直线与圆锥曲线之间的关系问题，本题解题的关键是当有一个点在一个封闭图形内部，则过这个点的直线一定与封闭曲线有交点．10.设函数f（x）=，，＞，若对任意给定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=ma2+2m2a，则正实数m的最小值是（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】解：由已知条件知：ma2+2m2a＞0；∴若x≤0，则f（x）=e x＞0，∴f（f（x））=lne x=x≤0，∴这种情况不存在；若0＜x≤1，则f（x）=lnx≤0，∴f（f（x））=e lnx=x≤1，x＞1时，f（x）=lnx＞0，f （f（x）=ln（lnx）∈R；∴只有f（f（x））＞1，即ma2+2m2a＞1时，对任意给定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=ma2+2m2a；∵a∈（1，+∞），∴m+2m2≥1，即2m2+m-1≥0，∵m＞0，∴解得m；∴正实数m的最小值是．故选A．讨论x的取值，求出f（（x））：0＜x≤1时，f（f（x））=x≤1，x＞1时，f（f（x））=ln （lnx）∈R，则要满足对任意给定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=ma2+2m2a，需要ma2+2m2a＞1，因为a＞1，所以只需m+2m2≥1，解该不等式即可得m的最小值．考查根据分段函数求在某一区间上的函数解析式及复合函数解析式，解一元二次不等式．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.函数y=的定义域为______ ．【答案】（0，10）【解析】解：要使原函数有意义，则1-lgx＞0，即lgx＜1．解得：0＜x＜10．∴函数y=的定义域为（0，10）．故答案为：（0，10）．直接由分母中根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．12.运行如图所示的程序框图，若输入n=4，则输出S的值为______ ．【答案】11【解析】解：由图知运算规则是对S=S+i，故若输入n=4，则第一次进入循环体后S=0+1=1，第二次进入循环体后S=1+1=2，第三次进入循环体后S=2+2=4，第四次进入循环体后S=4+3=7，第五次进入循环体后S=7+4=11，此时i=5，退出循环．则输出S的值为11故答案为：11．由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是S加上i，故由此运算规律进行计算，经过5次运算后输出的结果是11即可．本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题，是算法中一种常见的题型．13.已知函数f（x）=ln（-x）（其中e为自然数对数的底数），则f（tan）+2f （tanπ）+f（tan）= ______ ．【答案】1【解析】解：∵函数f（x）=ln（-x），∴f（-x）=ln（+x）=-ln（-x）=-f（x），函数是奇函数，∵tan=-tan，∴f（tan）+2f（tanπ）+f（tan）=2f（tanπ）=2f（0）=2ln=1．故答案为：1．判断函数的奇偶性，然后求解表达式的值．本题考查函数的值的求法，函数的奇偶性的判断与应用，基本知识的考查．14.如图1是一个正三棱柱零件，面AB1平行于正投影面，则零件的左视图（如图2）的面积为______ ．【答案】4【解析】解：几何体的左视图是一个矩形，矩形的一边长是棱柱的高2，另一边长是底面三角形的一条边上的高线是2，∴左视图的面积是2×2=4，故答案为：4几何体的左视图是一个矩形，矩形的一边长是棱柱的高2，另一边长是底面三角形的一条边上的高线是2，根据矩形的面积公式写出面积的值．本题考查简单空间图形的三视图，考查根据所给的直观图得到要求的三视图，考查几何图形的面积，本题是一个基础题，又是一个易错题．15.对于函数f（x）=sinx，下列命题正确的有______ ．（写出所有正确命题的序号）①函数f（x）任意两个零点之间的距离为kπ（k∈Z）；②存在x0＞0，x0≤f（x0）；③曲线f（x）=sinx关于x轴对称的图形与关于y轴对称的图形重合；④l1，l2是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，则l1，l2斜率之和为0；⑤设④中l1，l2交于P点，则P点坐标可以是（，）．【答案】①③④⑤【解析】解：①由函数f（x）的图象可知，任意两个零点之间的距离为kπ（k∈Z）；故①正确，②任意x0＞0，x0≤f（x0）；故②错误，③曲线f（x）=sinx关于x轴对称的图形与关于y轴对称的图形均为y=-sinx，重合；故③正确，④由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l1，l2是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，则cosx1cosx2=-1，不妨设cosx1≤cosx2，则必有cosx1=-1，cosx2=1，则l1，l2斜率之和为0；故④正确．⑤由④知，x1=（2m+1）π，x2=2nπ，（m，n∈Z），∴切线的交点P（x0，y0）=（，）=（（m+n）π+，（m-n）π+），可见x0，y0都不是π的整数倍，但x0+y0是π的整数倍，则P点坐标可以是（，），满足条件，故⑤正确．故正确的是①③④⑤，故答案为：①③④⑤分别根据三角函数的图象和性质，进行判断即可得到结论．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求数列掌握三角函数的图象和性质，综合性较强，有一定的难度．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC面积S=，（1）求C；（2）当a=1，c=时，求B．【答案】解：（1）∵c2=a2+b2-2abcos C，即c2-a2-b2=-2abcos C，S=absin C，且S=，∴-=absin C，即sin C=-cos C，∴tan C=-1，则C=；（2）∵a=1，c=，sin C=，∴由正弦定理=得：sin A===，又0＜A＜，∴A=，则B=π-A-C=．【解析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式分别列出关系式，代入已知等式求出tan C的值，即可确定出C的度数；（2）利用正弦定理列出关系式，将a，c，sin C的值代入求出sin A的值，确定出A的度数，再由C的度数，利用三角形内角和定理即可求出B的度数．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17.安徽某所学校高三年级有10名同学参加2014年北约自主招生，学校对这10名同学进行了辅导，并进行了两次模拟考试，检测成绩的茎叶图如图所示．（1）求预测卷的平均分和方差；（2）若从押题卷考试成绩中随机抽取两名成绩不低于103分的同学，求成绩为106分的同学被抽中的概率．【答案】解：（1）+113=-3+113=110，s2==97.2．（2）押题卷成绩不低于103的同学有8个，随机抽取2个如下：（103，106），（103，108），（103，109），（103，112），（103，115），（103，129），（103，118），（106，108），（106，109），（106，112），（106，115），（106，118），（106，129），（108，109），（108，112），（108，115），（108，118），（108，129），（109，112），（109，115），（109，118），（109，129），（112，115），（112，118），（112，129），（115，118），（115，129），（118，129）．则成绩为106分的同学被抽中的概率为P=．【解析】（1）由平均数与方差的公式代入求的；（2）列出所有可能的基本事件，由古典概型概率公式直接求出．本题考查了平均数与方差的公式，同时考查了古典概型的概率求法．18.已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx，若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，e）处公共切线．（I）求a，b的值；（II）记h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）的单调性．【答案】解：（I）由已知可得f′（x）=2ax，g′（x）=3x2+b，，即，由题意可得′′解得a=b=3．（II）由（I）可得f（x）=3x2+1，g（x）=x3+3x，∴h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2+3x+1，∴h′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，因此h（x）在R上单调递增．【解析】，解出即（I）利用导数的运算法则可得f′（x），g′（x），由题意可得′′可；（II）利用（I）即可得到h（x），利用导数的运算法则即可得到h′（x），即可得到其单调性．熟练掌握导数的运算法则与几何意义、利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．19.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF．（1）求证：EF⊥A1C1；（2）在棱C1C上确定一点G，使A、E、G、F四点共面，并求此时C1G的长；（3）求几何体ABFED的体积．【答案】（1）证明：连结B1D1，BD，∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴B1D1⊥A1C1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴A1C1⊥DD1．∵B1D1∩DD1=D1，B1D1，DD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D．∵EF⊂平面BB1D1D，∴EF⊥A1C1．（2）解：以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则A（a，0，0），A1（a，0，a），C1（0，a，a），E（0，0，a），F（a，a，a），∴=（-a，a，0），=（-a，a，0），=（a，a，-a）．设G（0，a，h），∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ADD1A1∩平面AEGF=AE，平面BCC1B1∩平面AEGF=FG，∴存在实数λ，使得．∵=（-a，0，a），=（-a，0，h-a），∴λ=1，h=a∴C1G=a．∴当C1G=a时，A，E，G，F四点共面．（3）解：几何体ABFED的体积为•a=．【解析】（1）连结B1D1，BD，由已知条件推导出A1C1⊥DD1，从而得到A1C1⊥平面BB1D1D．由此能证明EF⊥A1C1．（2）以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当C1G=a时，A，E，G，F四点共面．（3）以BFED为底，A到平面的距离为高，即可求出几何体ABFED的体积．本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（a n2+a n），a n＞0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若bn=，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得m≤T n＜m+3，对任意正整数n恒成立，若存在，求出m值，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由S n=（a n2+a n），得，当n≥2时，，∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，又a n＞0，∴a n-a n-1=1．当n=1时，，∴a1=1．∴a n=1+（n-1）=n；（2）∵，∴．∴，故．∴．易知T n＜4，又∵=＞．∴T n≥T1=1，故存在正整数m=1满足题目要求．【解析】（1）把题目给出的数列递推式变形，取n=1时求得首项，取n=n-1时得到另一递推式，作差后整理得到数列{a n}是等差数列并求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）由错位相减法求得数列{b n}的前n项和为T n，求出T n是单调增函数，得到T n的取值范围，则答案可求．本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．21.如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为，又椭圆内接四边形ABCD（点A、B、C、D在椭圆上）的对角线AC，BD相交于点P（1，），且=2，=2．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率．【答案】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为，∴=，∴a=2，b=1，∴椭圆的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵=2，∴C（，），代入椭圆方程，整理可得x1+y1=-①，同理可得x2+y2=-②，①-②，可得直线AB的斜率为-1．【解析】（1）利用椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；（2）确定C的坐标，代入椭圆方程，整理可得x1+y1=-，同理可得x2+y2=-，两试相减，即可求直线AB的斜率．本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2014年组合教育高考数学密押卷(一)文科答案
1 c 1. 2
1 x y mx m 1 联立 ，得 . x y 1 y m m 1
所以 zmax
解得 m 3 .故选 C.
1 5m 4， m 1 m 1
图3
8. B 解析 根据题目条件中 “可平行性” 的定义，可得若对于 y f x 的导函数 y f ' x 上任意一点 M ，总存在异于点 M 的点 N ,使得在 N 点的导函数值等于在 M 点的导函数值， 即导函数的图像与 y ' b （ b 是导函数值域中的任意值）总有两个不同的交点，则满足这一 条件的曲线 y f x 具有“可平行性”.①，②，③，④中的函数的导函数依次为： ① y ' 3x 2 1 ， ② y ' 1
（2）将平面 SAB 与平面 SAD 沿 SA 翻折，使平面 SAB 与平面 SAD 共面.如图 7 所示.
在 Rt△SAD 中， AH
5 2 5 ， DH ， 5 5
cos DAH
2
AD 2 AH 2 DH 2 2 AD AH
2
2 5 5 1 5 5 3 5. 10 2 5 2 1 5
（3）连接 EH ，因为 △SAB △SAD ，且 AE SB ， AH SD ，所以
SE SH ， SB SD
所以 EH //BD . 因为 EH 平面 AEKH ， BD 平面 AEKH ，所以 BD // 平面 AEKH . 又因为平面 AEKH 与平面 ABCD 的交线为 l ，所以 BD //l . ------------14 分
------------2 分
将①代入 2b cos C 2a c 中得 2b
2014年全国高考数学文科(压轴题)解析汇编
【全国新课标I ·第20题】已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2-8y =0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积 解：（1）设M （x ，y ），由P （2，2）得：PM JJJ G=（x -2，y -2）由x 2+y 2-8y =0得：222(4)4x y +−= ∴圆心C （0，4）连接CM ，则CM JJJ J G=（x ，y -4）∵M 是AB 的中点 ∴CM ⊥AB∴PM CM ⋅JJJ G JJJ J G=0∴(2)(4)(2)0x x y y −+−−= 整理得22(1)(3)2x y −+−=∴M 的轨迹方程为22(1)(3)2x y −+−= （2）易得OP=M （x ，y ）由|OP|=|OM|得：228x y += 联立M 的轨迹方程，解得：22x y =⎧⎨=⎩ 或 25145x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为当M （2，2）时，点P 与点M 重合，不能构成△POM ，故舍去∴M （25−，145） ∴直线l 的斜率为14215325k −==−+∴直线l 的方程为12(2)3y x −=−−即380x y +−=设点O 到直线l 的距离为d ，则5d∵=∴△POM 的面积为：11|MP |22d ⋅⋅=【全国新课标I ·第21题】设函数21()ln 2a f x a x x bx −=+−（a ≠1），曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的斜率为0 （1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得0()1a f x a <−，求a 的取值范围。
解：（1）函数()f x 的定义域为（0，+∞）'()(1)af x a x b x=+−− 由题意得：'(1)(1)10f a a b b =+−−=−= ∴b =1（2）由（1）得：21()ln 2a f x a x x x −=+−则'()(1)1a f x a x x=+−−(1)[(1)]x a x a x−−−=令'()0f x =，由a ≠0得：x =1或1a x a =−① 当a ＞1时，011a a<<−，则当x ＞1时，'()0f x <，()f x 单调递减 ∴1()(1)2a f x f −−<=∵212(1)0212(1)a a a a a −−−+−=<−−∴121a a a −−<−∴()1a f x a <−，满足条件② 当11a a>−，即112a <<时，则当11a x a <<−时，'()0f x <，()f x 单调递减当1a x a>−时，'()0f x >，()f x 单调递增∴2min 2()()ln 112(1)a a a a f x f a a a a −==+−−−令22()ln 12(1)1a a a a g a a a a a −=+−−−−[ln12(1)a aa a a =+−− 设1a m a =−＞1，令()ln 2m h m m =+∵11'()02h m m =+>∴()h m 在m ＞1时单调递增 ∴1()(1)02h m h >=>∴22()ln 012(1)1a a a a g a a a a a −=+−>−−−∴22ln 12(1)1a a a a a a a a −+>−−− 即min ()1a f x a >−故，不存在满足条件的x 0③ 当11a a ≤−，即12a ≤时，则当x ＞1时，'()0f x >，()f x 单调递增 ∴min 1()(1)21a a f x f a −−==<−整理得：2210a a +−<解得：11a −<−综上所述，a 的取值范围为：(11−−∪(1，+∞)1=（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．解：（1）易得，点F 1（-c ，0），点F 2（c ，0） 其中c ，则F 1F 2=2c∵直线MN 的斜率为34∴点M 在第一象限∵MF 2⊥x 轴 ∴点M 坐标为（c ，2b a）∴MF 2=2b a∴2212123tan 24MF b MF F F F ac ∠=== 即22232b ac a c ==− 解得12a c =−（负值舍去）或2a c =∴C 的离心率为12c e a ==（2）∵点O 是F 1F 2的中点，OB ∥MF 2，OB=2∴MF 2=2b a=2OB=4，即24b a = ……①过点N 作NA ⊥x 轴于A ，由|MN|=5|F 1N|得1112121114F A F N F N NA MF F F F M MN F N ====−∵MF 2=4，F 1F 2=2c∴NA=1，F 1A=2c ∴OA=OF 1+F 1A=32c∴点N （32c −，-1）或（32c−，1）代入C 方程得：2229114c a b+=将222c a b =−代入上式得：22291544b a b −= ……②由①②解得：7a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【全国新课标II ·第21题】已知函数32()32f x x x ax =−++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为-2． （1）求a ；（2）证明：当k ＜1时，曲线()y f x =与直线y =kx -2只有一个交点解：（1）∵2'()36f x x x a =−+ ∴'(0)f a =∴曲线()y f x =在点（0，2）处的切线方程为：2y ax −= ∵当y =0时，2x a =−∴22x a =−=−∴a =1（2）由(1)得：32()32f x x x x =−++令32()32(2)g x x x x kx =−++−− 323(1)4x x k x =−+−+∵k ＜1∴1-k ＞0① 当x ≤0时，2'()3610g x x x k =−+−> 则()g x 在（-∞，0]上单调递增 ∵max ()(0)40g x g ==> ∴()g x 在（-∞，0]上只有一个零点∴曲线()y f x =与直线y =kx -2在（-∞，0]上有一个交点② 当x ＞0时，令32()34h x x x =−+ 则()()(1)()g x h x k x h x =+−> ∵2'()363(2)h x x x x x =−=−∴当x ∈（0，2）时，'()0h x <，()h x 单调递减 当x ∈（2，+∞）时，'()0h x >，()h x 单调递增 ∴min ()(2)0h x h == ∴()0g x >∴()g x 在（0，+∞）上没有零点∴曲线()y f x =与直线y =kx -2在（0，+∞）上没有交点综上，当k ＜1时，曲线()y f x =与直线y =kx -2只有一个交点【全国大纲版·第21题】函数32()33f x ax x x =++（a ≠0）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围解：（1）2'()363f x ax x =++令'()0f x =，则2210ax x ++= ∴Δ=4(1)a −① 当a ＞1时，即Δ＜0，则'()0f x > ∴()f x 在R 上单调递增 ② 当a =1时，即Δ=0，则'()0f x ≥ ∴()f x 在R 上单调递增③ 当a ＜1时，即Δ＞0，则2'()210f x ax x =++=有两个不相等的实数根解得：11x a −=或21x a −=当0＜a ＜1时，12x x <则当x ∈（-∞，1x ）∪（2x ，+∞）时，'()f x ＞0，()f x 单调递增；当x ∈（1x ，2x ）时，'()f x ＜0，()f x 单调递减当a ＜0时，12x x >则当x ∈（-∞，2x ）∪（1x ，+∞）时，'()f x ＜0，()f x 单调递减；当x ∈（2x ，1x ）时，'()f x ＞0，()f x 单调递增（2）由（1）的结论知：① 当a ≥1时，()f x 在区间（1，2）是增函数 ② 当0＜a ＜1时，要使()f x 在区间（1，2）是增函＜2，即2450a a +>，显然成立③ 当a ＜0时，要使()f x 在区间（1，2）是增函数，则应有121a ⎧−≥⎪⎪≤，解得504a −≤< 综上所述，a 的取值范围为[54−，0）∪（0，+∞）【全国大纲版·第22题】已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|=54|PQ|． （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程． 解：（1）设点Q 坐标为（m ，4）则|QF|=2pm +，|PQ|=m∵|QF|=54|PQ| ∴524p m m +=，得m =2p 将点Q （2p ，4）代入C 得： 2164p =，解得p =2或-2（舍去） ∴C 的方程为24y x = （2）由(1)得，点F （1，0）设l 的方程为1x ky =+代入C 方程，得2440y ky −−= 则4A B y y k +=，4A B y y =−∴242A B x x k +=+，1A B x x =∴线段AB 的中点D 为（221k +，2k ） 则l ’的方程为2121(2)x k y k k−−=−−∴2123x y k k=−++ 代入C 方程得：2248120y y k k+−−= 则4M N y y k +=−，2812M N y y k =−−∴22446M N x x k k+=++ ，22(23)M N x x k =+ ∴线段MN 的中点E 为（22223k k ++，2k−） ∵A 、M 、B 、N 四点在同一圆上 且MN 垂直平分AB∴MN 是圆的直径，点E 为圆心∴AD 2+DE 2=AE 2，即14AB 2+DE 2=14MN 2 ∵AB 2=22()()A B A B x x y y −+−22()4()4A B A B A B A B x x x x y y y y =+−++− 222(42)41616k k =+−++ 2216(1)k =+同理可得MN 2=222416(1)(21)m m k++ DE 2=22222(2)(2)k k k+++∴224(1)k ++22222(2)(2)k k k+++ =22244(1)(21)m m k ++化简整理得21k =，解得1k =± ∴l 的方程为1x y =+或1x y =−+【北京市·第19题】已知椭圆C ：x 2+2y 2=4。
山东省2014高考数学压轴卷 文(含解析)
2014山东省高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ． 0 B ． 0 B.1 C.2 D.32. 复数21i z ()i=-，则复数1z +在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ） A ． 8 B ． 7 C ． 6 D ． 55．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ． 4B ． 8C ． 16D ． 206.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x 的值为2014，则输出的i 的结果为（ ）A．3 B．5 C．6 D．87．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)8．在约束条件121y xy xx y≤⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩下，目标函数12z x y=+的最大值为( )(A) 14(B)34(C)56(D)539. 直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（）A．5 B．6 C．7 D．810. 已知函数f（x）=ln（e x﹣1）（x＞0）（）A．若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＞b B．若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＜bC．若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＞b D．若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＜b二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是[40，50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90) ,[90,100]．则成绩在[80 ,100]上的人数为__________. 12.设函数f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是 ________________.．13. 设数列是公差为1的等差数列，且a 1=2，则数列{lga n }的前9项和为_______________．14. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f（3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是________________． 15.若正数x ，y 满足3x+y=5xy ，则4x+3y 的最小值是__________________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 16.在△ABC 中，已知A=4π，255cos B =． (I)求cosC 的值；(Ⅱ)若BC=25，D 为AB 的中点，求CD 的长．17.如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2． （1）求证：B 1B∥平面D 1AC ；（2）求证：平面D 1AC⊥平面B 1BDD 1．18.某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为整数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题： （Ⅰ）求a b 、的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线312y x =-上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T .20. 给定椭圆C ：，称圆心在坐标原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是．（1）若椭圆C 上一动点M 1满足||+||=4，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P （0，t ）（t ＜0）作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为2，求P 点的坐标.21. 已知函数f （x ）=alnx+1（a ＞0）组号 分组 频数 频率第1组 [)50,60 5 0.05 第2组 [)60,70 a0.35 第3组 [)70,8030 b第4组 [)80,90 200.20第5组 [)100,9010 0.10 合计1001.00（Ⅰ）若a=2，求函数f （x ）在（e ，f （e ））处的切线方程； （Ⅱ）当x ＞0时，求证：f （x ）﹣1≥a.2014山东省高考压轴卷 文科数学参考答案 1. 【答案】C.【解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}， 所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A∩B 中元素的个数为2． 故选C ．2. 【答案】D.【解析】因为22211()1(1)22i i z i i i i -====----，所以1112z i +=-，所以复数1z +在复平面上对应的点位于第四象限.3. 【答案】A.【解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。
2014年高考数学压轴题(文科)定稿
2014年包九中数学压轴模拟卷一（文科）（试卷总分150分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{1},{0,1,2,4}A x x B =>=，则()R C A B =( )A ．{0,1}B ． {0}C ． {2,4}D ．∅2． 在复平面内，复数311z i i =--，则复数z 对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题：①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ；②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ；④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ．其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=233)(的导函数，则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是（ ）5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于（ ）A ．2B ．3C ．—3D ． —26．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <7． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）A ．2160B ．2880C ．4320D ．86408．—个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 48D ． 809． 已知函数()f x 在x R ∈上恒有()()f x f x -=，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[0,2)x ∈时， 2()log (1)f x x =+，则(2012)(2013)f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．210． 如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a 、b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．14a ＋34b B ． 34a ＋14b C ．14a ＋14b D ．a ＋34b 11．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“密切函数”，[],a b 称为“密切区间”，设2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[],a b 上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是 （ ）A ．[1,4]B ． [2,4]C ． [3,4]D ． [2,3]12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =，则此双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．在A B C △中，3A π∠=，3B C=，A B ，则C ∠= ． 14．若c b a ,,是直角三角形ABC ∆的三边的长（c 为斜边），则圆4:22=+y x C 被直线0:=++c by ax l 所截得的弦长为 ．15． 已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩， 表示的平面区域的面积为4，点(,)P x y 在所给平面区域内，则2z x y =+的最大值为．16． 已知函数,0()2,0x e x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，则关于x 的方程()[]0=+k x f f 给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是 （把所有满足要求的命题序号都填上）．三．解答题：本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． (本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的公差不为零，且53=a ，521,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足n n n a b b b b =++++-13221222 ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．18． (本小题满分12分)为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛． 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛．（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率．19． (本小题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D -中90A D B C A B C ∠=，∥°，P D A B C D⊥平面，A D =1，A B ，4B C =． （Ⅰ）求证：B D ⊥P C ；（Ⅱ）当1P D =时，求此四棱锥的表面积．20．（本小题满分12分）已知点M 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>上一点，12,F F 分别为C 的左右焦点，12||F F =，01260F MF ∠=，12F MF ∆的面积为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设过椭圆右焦点2F 的直线l 和椭圆交于两点,A B ，是否存在直线l ，使得△2OAF 与△2OBF 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21． (本小题满分12分)设函数2()(1)e ()x f x x kx k =--∈R ，()e x g x =-．（Ⅰ）当0x >时，设()()(1)()h x g x a x a =--+∈R ，讨论函数()h x 的单调性； （Ⅱ）证明：当1(1]2k ∈，时，()(0)f k g ≥．请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
福建省2014届高三高考压轴文科数学试卷(带解析)
福建省2014届高三高考压轴文科数学试卷（带解析）1．设全集U ={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，集合B={3，5}，则A C B U =( ) A ．{5} B ．{1，2，3，4，5} C ．{1，3，5} D ．∅ 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可得{1,5}U C A =.所以A C B U {5}=.故选A. 考点：1.集合的概念.2.集合的运算.2．已知i 为虚数单位，则i1i+＝（ ）A ．1i 2-B ．1i 2+C .1i 2-- D.1i 2-+【答案】B 【解析】试题分析：i 1i +(1)11222i i i -==+.故选B. 考点：复数的运算.3．已知平面向量(1,2),(2,)m ==-a b , 且//a b , 则=b ( )A ．． 【答案】C 【解析】试题分析：由向量(1,2),(2,)m ==-a b , 且//a b .所以4m =-.即(2,4),416b b =--∴=+=故选C.考点：1.向量平行的性质.2.向量的模的运算4．已知命题p ：∃x ∈R ，2340-+≤x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．p ⌝：∃x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题 B ．p ⌝：∃x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题 C ．p ⌝：∀x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题 D ．p ⌝：∀x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题【答案】D 【解析】试题分析：由于特称命题的否定要改成全称命题，原命题与命题的否定的真假是相反的.由命题p 可知91670=-=-<.所以命题p 为假命题.所以p ⌝为真命题.故选D 考点：1.二次函数的根的问题.2.特称命题与全称命题的否定. 5．如图给出的是计算11113511++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．12i <B ．11i >C ．11i <D ．6i ≤【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图可知，i 的变化是以2i i =+的形式改变.由于原题中是六个数的和,i 的值分别是1,3,5,7,9,11.故选A.考点：1.程序框图.2.递推的数学思想.6．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( )A.y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 【答案】D 【解析】试题分析：设直线l 为y kx =，联立圆22430x y x +-+=的方程.可得22(1)430x k x +-+=.由直线与圆相切，所以得21612()0,k k =-+=∴=由于切点在第四象限，所以直线l 的方程为y x =.故选D. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.二次方程的判别式.7．记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为( ) A ．12π B ．112π- C ．14 D ．24ππ- 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可得1Ω为圆心在原点，半径为4的圆面．2Ω是一个直角边为4的等腰三角形，顶点是坐标原点．若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为21441242P ππ⨯⨯==⨯.故选A. 考点：1.集合的概念.2.概率问题.8．若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且x y 4z -=的最大值为a ,最小值为b ，则b a +的值是( )A ．10B ．20C ．4D ．12【答案】C 【解析】试题分析：变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，如图所示，目标函数过点A 时z 最小，目标函数过点B 时z 取最大.所以4a b +=.故选C.考点：1.线性规划.2.数形结合.9．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的部分图象如下：则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（ ）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 【答案】A 【解析】试题分析：第一个图象是关于y 轴对称，所以只能对①的解析式.第二个图象是递增，所以只能对④个解析式.第三个图象在x>0部分的图象有大于零的也有小于零的，所以只能对②个解析式.所以顺序为①④②③.故选A.考点：1.函数图象.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.10． 若某多面体的三视图（单位: cm ）如图所示, 则此多面体的体积是 （ ） A ．21cm 3 B ．32cm 3 C ．65cm 3 D ．87cm 3【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可得，该几何体相当于一个正方体切去一个三个侧棱长为1的三棱锥.所以该几何体的体积为115111326-⨯⨯⨯=.故选C. 考点：1.三视图.2.空间想象力.3.几何体的体积.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的一条渐近线与函数1ln ln 2y x =++的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于（ ） AB． CD【答案】D 【解析】侧视图俯视图x试题分析：由函数1ln ln 2y x =++，(0)x >.可得1'y x=.假设渐近线与函数的切点为00(,)P x y .则渐近线的斜率为y a b x =所以可得0001ln ln 21x x x ++=.解得012x =.所以可得12,212b b a a ==∴=.又因为222c a b =+.即可解得c a =故选D.考点：1.双曲线的性质.2.函数的导数的几何意义.3.算两次的一个等式的数学思想. 12．已知函数)(x f y =的定义域为A ，若常数C 满足：对任意正实数ε，总存在A x ∈，使得ε<-<C x f )(0成立，则称C 为函数)(x f y =的“渐近值”．现有下列三个函数：① 1)(-=x x x f ；② ⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 01)(；③ x x x f sin )(=．其中以数“1”为渐近值的函数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：依题意函数)(x f y =的“渐近值” 对任意正实数ε，总存在A x ∈ε<-<C x f )(0，即可理解为函数的值域趋近一个常数.由1)(-=x x x f 111x =+-.所以()(,1)(1,)f x ∈-∞+∞.故①存在C=1符合条件.由⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 01)(，(){0,1}f x ∈.假设存在C ，对任意正实数ε，总存在A x ∈使得ε<-<C x f )(0即0C ε<<或01C ε<-<.对于一个常数C 没办法满足任意的正数ε.所以②不符合．xxx f sin )(=的图象如图所示.所以存在C=0，符合条件.所以①③正确.故选C.x考点：1.新定义.2.函数的范围.3.函数图象.13．某校有高中学生2000人，其中高三学生800人，高一学生的人数与高二学生人数之比为3:2，为了解高中学生身体素质，采用分层抽样，共抽取一个100人的样本，则样本中高一学生人数为__ ____人. 【答案】24 【解析】试题分析：由题意得高一高二高三人数为480 ，720 ，800 三者的比为6：9:10 则样本中高一人数为61002425⨯=人 考点：1.统计知识.2.分层抽样.14．已知()()()()1233,33log 6,3,x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则的值为__________. 【答案】3【解析】试题分析：由分段函数(3)f =1 , (1)f =3 所以((3))f f =3 考点：1.分段函数的知识.2.对数指数函数的运算. 15．已知sin =+)6(απ31，则2cos(2)3πα-= . 【答案】79- 【解析】 试题分析：2cos(2)3πα-=227cos 2()2(cos())12(sin())13369πππααα-=--=+-=-. 考点：1.三角恒等变换.2.二倍角的公式.16．设a 是已知的平面向量，向量a ，b ,c 在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④若→a =2，存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,使λμ=+a b c ，则633≥+μλ其中真命题是____________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ，即a b c -=.显然存在c .所以①正确.由平面向量的基本定理可得②正确．给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ，当a 分解到c 方向的向量长度大于μ时，向量a 没办法按,b c 分解，所以③不正确.存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,由于λμ=+a b c ，向量b 、c 的模为1，由三角形的三边关系可得2λμ+>..由336λμ+≥>.所以④成立.综上①②④.考点：1.向量的运算.2平面向量的基本定理.3.基本不等式.17．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：（1）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；（2）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率；（3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均成绩． 【答案】（1）0.016;（2）0.6;（3）73.8 【解析】 试题分析：（1）有茎叶图以及频率分布直方图，可知在50-60段的人数和所占的频率，即可求出该班参加数学测试的人数.80-90段的人数有总人数减去其他四段的人数和，计算出频率以及频率除以组距的值，即得到频率直方图的高.（2）由（1）可得在[90,100]的人数总共为6人，从中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率的计算，可通过计算没有一份在[90,100]内，再用总数1减去即可.（3）计算出各段的频率，再将各段的中点值乘以本段的频率相加即可.（1）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=， 2分 ∴分数在[80,90)之间的人数为25214-=人，则对应的频率为40.1625=． 3分所以[80,90)间的矩形的高为4100.01625÷=． 4分 （2）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4， [90,100]之间的2个分数编号为5,6， 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，(5,6)共15个． 6分其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是90.615=． 8分. 25所以估计这次测试的平均成绩为：550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分考点：1.茎叶图.2.概率问题.3.频率直方图估算平均数.18．已知实数0a >，且3,1,22+a a 按某种顺序排列成等差数列． （1）求实数a 的值；（2）若等差数列}{n a 的首项和公差都为a ，等比数列}{n b 的首项和公比都为a ，数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，且23822->+n nn S T ，求满足条件的自然数n 的最大值． 【答案】（1）2a =；（2）14 【解析】试题分析：（1）由3,1,22+a a 按某种顺序排列成等差数列，通过分类判断值的大小得到两类，再根据等差数列中项的性质，即可得到结论.（2）由于等差数列}{n a 的首项和公差都为a ，等比数列}{n b 的首项和公比都为a ，所以分别求出数列}{n a ，}{n b 的通项公式.根据通项公式分别求出两个数列的前n 项和的公式.再由23822->+n nn S T 求出结论. （3）解法一：由已知三个数有：2231,32a a a +>+>， 1分不妨设排列成递增的等差数列，则①3,2,12+a a 依次成等差数列，则有442+=a a 解得2=a ，符合题意； 3分②若3,1,22+a a 依次成等差数列，则有3222++=a a 解得1-=a ，由0a >不符合题意； 5分综上得2a =. 6分解法二：分三种情况讨论：①若2a 为等差中项，则有442+=a a 解得2=a ，符合题意； 2分②若1为等差中项，则有3222++=a a 解得1-=a ，由0a >不符合题意； 4分③若23a +为等差中项，则有22(3)21a a +=+，即22250a a -+=，0∆<方程无解； 6分综上得2a =．（2）解：由（1）知n n a n 22)1(2=⨯-+=，n n b 2=， 8分22),1(1-=+=+n n n T n n S ， 10分由已知23822->+n nn S T 可得238)1(2-+>n n ，即240)1(<+n n , 11分 即1615n -<<，又n N +∈，故n 的最大值为14． 12分考点：1.等差等比数列的通项公式.2.求和公式.3.不等式的交汇.19．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点分别为)0,2(),0,2(B A -，离心率23=e ．（1）求椭圆的方程；（2）若点C 为曲线E :422=+y x 上任一点（C 点不同于B A ,），直线AC 与直线2=x 交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）2214x y +=；（2）相切【解析】试题分析：（1）由椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点分别为)0,2(),0,2(B A -，离心率23=e ，即可求出,a b 的值.即可得到结论.（2）依题意假设点C 坐标，以及点R 的坐标，由点A ，C ，R 三点共线即可求得点R 的坐标表示.从而表示出点D 的坐标，写出直线CD 的方程，再计算圆心到该直线的距离，再根据点C 在圆上，即可判断直线与圆的位置关系. （1）由题意可得2a =，c e a ==， ∴c = 2分 ∴2221b a c =-=， 3分所以椭圆的方程为2214x y +=． 4分 （2）解法一：曲线E 是以(0,0)O 为圆心，半径为2的圆. 设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ， 5分 ∵A C R 、、三点共线， ∴//AC AR ， 6分 而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+，∴42nt m =+， 7分 ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2nm +， 8分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244n n m n n mn m k m m m -+-+===---， 而224m n +=，∴224m n -=-，∴2mn mk n n==--， 10分 ∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=，∴圆心O 到直线CD的距离2d r ====， 11分所以直线CD 与曲线E 相切． 12分 解法二：同解法一得2mn mk n n==--， 10分 又OC nk m=，故1OC k k ⋅=-，即CD OC ⊥， 所以直线CD 与圆E 相切． 12分考点：1.待定系数法求椭圆方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.方程的思想.20．如图，1AA ，1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，D ，E 分别是1AA ，1CB 的中点，1DE CBB ⊥面．（1）证明：//DE ABC 面；（2）证明：AC A B A 111面⊥；（3）假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥11C ABB A - 内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.【答案】（1）参考解析；（2）参考解析；（3） 23π【解析】试题分析：（1）由于点E 是A 1C 是的中点，点O 是BC 的中点，连接OE ，OA ，由三角形的中位线可得OE ∥BB 1，并且OE=112BB .又DA ∥1BB ,并且112DA BB =.所以EO 与DA 平行且相等.所以四边形EOAD 是平行四边形.所以DE ∥AO.即可得到结论.（2）由1A A 是母线，所以1A A ⊥平面ABC.所以可得1A A AB ⊥,又BC 是圆得直径，所以090BAC ∠=.由此可得结论.（3）由1DE CBB ⊥面，即可得到AO ⊥面1CBB .即AO BC ⊥.所以AC AB =.设圆的半径为r ，圆柱的高为h ，所以1121233C ABB A hr V -==.圆柱的体积为2V r h π=.所以鱼被捕的概率为23π. （1）证明：连结EO ，OA ，O E , 分别为BC C B ,1的中点，∴1//BB EO ．又1//BB DA ，且121BB EO DA ==.∴四边形AOED 是平行四边形， 即ABC DE OA DE 面⊄,//．∴ABC DE 面//． 4分（2） 证明：1AA ，1BB 为圆柱1OO 的母线，所以11//B A AB 因为1AA 垂直于圆O 所在平面，故AB AA ⊥1，又BC 是底面圆O 的直径，所以AC AB ⊥，A AA AC =1 ，所以AC A AB 1面⊥， 由11//B A AB ，所以AC A B A 111面⊥. 8分（3）解：鱼被捕的概率等于四棱锥11A ABB C -与圆柱1OO 的体积比， 由1CBB DE 面⊥，且由（1）知OA DE //.∴1CBB AO 面⊥， ∴ BC AO ⊥，∴AB AC =．因BC 是底面圆O 的直径，得AB CA ⊥，且CA AA ⊥1， ∴B B AA CA 11面⊥，即CA 为四棱锥的高．设圆柱高为h ，底半径为r ，则h r V 2π=柱，232)2()2(31hr r r h V =⋅=锥， ∴锥V ：=柱V π32，即23P π= . 12分 考点：1.线面平行.2.线面垂直.3.体积的计算.。
安徽省合肥168中学2014届高三数学最后一卷试题 文 新人教A版
安徽省合肥168中学2014届高三最后一卷 文科数学试题一选择题（50分）1. 若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为A ．0或2B ．2C ．0D ．1或22．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的弹道导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的5枚导弹的编号可能是A ．5,10,15,20,25B ．3,13,23,33,43C ．1,2,3,4,5D ．2,4,6, 16 ,32 3．“m=-1"是“直线mx+（2m －l ）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则S 15:S 5为 A ． 1:2 B ． 1:3 C ． 2:3 D ． 3:4 5.命题‘‘若a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =”的逆否命题是(A)若a ，b ，c 成等比数列，则2b ac ≠ (B)若a ，b ，c 不成等比数列，则2b ac ≠ (C)若2b ac =，则a ，b ，c 成等比数列 (D)若2b ac ≠，则a ，b ，c 不成等比数列6．已知A ，B 是单位圆上的动点，且O ，则OA uu r ·AB uu u r=A ．BC ．32-D ．327．函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ） A ．2，－π3 B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π38．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为ABC D 9. 若32()132x a f x x x =-++函数在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点,则实数a 的取值范围是( ) A.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．设P 是双曲线2214y x -=上除顶点外的任意一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，△12PF F 的内切圆与边12F F 相切于点M ，则12F M MF ⋅=A ．5B ．4C ．2D ．1 二．填空题（25分）11．某一个班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是12.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的i 值为13.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =14. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则实常数=k/分 频率15．给出下列四个命题： （1）“cos α=”是“52,6k k z παπ=+∈”的必要不充分条件； （2）终边在y 轴上的角的集合是{a|a=Z k k ∈π,2|. （3） 函数)32sin(π-=x y 的一个单调增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-125,12ππ； （4）设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是()'00f =（5）.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个长度单位其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 三．解答题（75分）16. （本小题满分12分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c，且4b . （1）求sinB 的值；（2）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求-cosA cosC 的值. 17.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA 1 C 1C ；（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF ⊥A 1C.18（本小题满分12分）已知正项数列}{n a 中，t a =1，其前n 项和为n S ，满足12+⋅=n n n a a S（1）如果数列}{n a 为等差数列，求t 的取值，并求出数列}{n a 的通项公式 （2）如果数列}{n a 为单调递增数列，求t 的取值范围。
(新课标1)2014高考数学压轴卷 文(含解析)
2014新课标1高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=2. 复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）3. 的值为（）22了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是（）A.4B.6C.7D.126.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.6πD.8π7. 已知函数的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（）B C D8. “”是“数列{a n}为等比数列”的（）10. 等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为B C D11.定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18．若函数y=f（x）﹣log a（x+1）至少有三个零点，则a的取值范），），12. 设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）B C D13. 函数22631y x x =++的最小值是14.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________．15.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=___________________.16. 设不等式组表示的平面区域为M ，不等式组表示的平面区域为N ．在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值是________________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且()2A f =，a =，求角A 、B 、C 的大小．18. 下表给出了从某校500名12岁男生中用简单随机抽样得出的120人的身高资料（单位：（1）在这个问题中，总体是什么？并求出x 与y 的值；（2）求表中x 与y 的值，画出频率分布直方图及频率分布折线图； （3）试计算身高在146~154cm 的总人数约有多少？19.在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点． 求证：（1）CE ∥平面PAD ； （2）平面PBC ⊥平面PAB ．20.在平面直角坐标系xOy 中，从曲线C 上一点P 做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为N M ,，点)0,(),0,(a B a A -（a a ,0>为常数），且02=+⋅λ（0≠λ） （1）求曲线C 的轨迹方程，并说明曲线C 是什么图形；（2）当0>λ且1≠λ时，将曲线C 绕原点逆时针旋转︒90得到曲线1C ，曲线C 与曲线1C 四个交点按逆时针依次为G F E D ,,,，且点D 在一象限①证明：四边形DEFG 为正方形； ②若D F AD ⊥，求λ值．21. 设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，CD ⊥AB 于点D ， 弦BE 与CD 、AC 分别交于点M 、N ，且MN = MC（1）求证：MN = MB ； （2）求证：OC ⊥MN 。
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2014高考数学押题卷最后一卷（含答案）文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{34}M x x =-<，集合2{0,}1x N xx Z x +=<∈-，那么M N =（ ）A.{11}x x -<<B. φ C ．{0} D ．{2}2. 已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos80︒，sin80︒)，则→a ·→b = （ ） A. 1 B. 32 C ．12 D ．223.复数321i z i=-，z 是z 的共轭复数，复数z 在复平面内对应的点位于 （ ）A. 第一象限B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.已知()f x 的定义域为R ，()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则 ( ) A ．()f x 在1x =处取得极小值 B ．()f x 在1x =处取得极大值 C ．()f x 是R 上的增函数D ．()f x 是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数5.下列结论错误．．的个数是 （ ） ①命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题；②命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真； ③ “若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题； ④若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．A. 0B. 1 C ．2 D ．36.奇函数()f x 在(0,)+∞上的解析式是()(1)f x x x =-，则在(,0)-∞上()f x 的函数解析式是（ ）A. ()(1)f x x x =--B. ()(1)f x x x =+ C ．()(1)f x x x =-+ D ．()(1)f x x x =-7. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ) A ．112B ．110C ．15D ．3108.已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－19.三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的体积是 （ ） A．B.6C. 350π 10. 已知双曲线的两个焦点分别为1F (－5，0)，2F (5，0)，P 是双曲线上的一点，1212PF PF PF PF 2⊥⋅且＝，则双曲线方程是( ) A.22123x y -= B. 2214x y -= C.22132x y -= D ．2214y x -= 11. 在如图所示的程序框图中，当()*N 1n n ∈>时，函数()n f x 表示函数()n 1f x －的导函数，若输入函数()1f x sinx cosx ＝＋，则输出的函数()n f x 可化为( )A. 2sin(x ＋π4) B ．－2sin(x －π2) C.x －π4) D ．2sin(x ＋π4)12. 已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 （ ）A.(－∞，1)B.(0,1)C.(－∞，1]D.[0，＋∞)>2014n第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 如图所示两个立体图形都是由相同的小正方体拼成的．图(1)的正(主)视图与图(2)的________视图相同．14.若实数x ，y 满足100x y x -+≤⎧⎨>⎩，则1yx -的取值范围是 ．15.已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆0222=-+x y x 上任意一点，则ABC ∆面积的最小值是 .16.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若向量m n ⊥，则角A 的大小为 ．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()n n S n ∈N 均在函数()y f x =的图像上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和， 求证：12n T <．18. (本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在 圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD （Ⅰ）求证：⊥AF 平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个 锥体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:19. (本小题满分12分)某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.A CPDOE F B（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？ （Ⅱ）已知,245,245≥≥z y 求高三年级女生比男生多的概率. 20. (本小题满分12分) 已知函数32()3fx x ax x =--.（Ⅰ）若()f x 在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若13x =-是()f x 的极值点，求()f x 在［1，a ］上的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x bx =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由. 21. (本小题满分12分)如图，两条过原点O 的直线21,l l 分别与x 轴、y 轴成︒30的角，已知线段PQ 的长度为2，且点),(11y x P 在直线1l 上运动，点),(22y x Q 在直线2l 上运动． (Ⅰ) 若12,x x y x ==，求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设过定点)2,0(T 的直线l 与(Ⅰ)中的轨迹C 交于不同的 两点A 、B ，且AOB ∠为锐角,求直线l 的斜率k 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE ＝AC ,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , （I ）求PF 的长度.（II ）若圆F 且与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ-=（Ⅰ）求直线l 的倾斜角；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求||AB ．24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++ （Ⅰ）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。
参考答案一、选择题： 1. 答案：C .【解析】{17}M x x =-<<，{21,}{1,0}N x x x Z =-<<∈=-，则{0}M N =2. 答案：B .【解析】由数量积的坐标表示知→a ·→b ＝cos40︒sin80︒＋sin40︒cos80︒＝sin120︒= sin60︒＝32. 3.答案：A ．【解析】3322(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i z i i i i +-+====---+，1z i =+，故选A ．4. 答案：C.【解析】由图象易知()f x '≥0在R 上恒成立，所以()f x 在R 上是增函数．故选C ． 5.答案：B.【解析】根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p q ∨为真命题，选项B 中的结论正确；当0m =时，22a b am bm <⇒=，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确．6.答案：B .【解析】当(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，由于函数()f x 是奇函数，故()()(1)f x f x x x =--=+。
7.答案：D【解析】本题主要考查古典概型.随机从袋子中取2个小球的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有10种，其中数字之和为3或6的有(1,2)，(1,5)，(2,4)，∴数字之和为3或6的概率是P ＝310.8.答案：Ｂ【解析】本题主要考查正切函数的单调性．由y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内递减知ω<0，且周期T π=≥πω，|ω|≤1，则－1≤ω<0． 9.答案：C .【解析】本题可以把三棱锥看成是长方体的一个角，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，转化为求长方体的外接球的直径，==，则长方体的外接球的半径为234(323V π=⨯=10.答案：B .【解析】∵12PF PF ⊥，∴||2221212PF PF F F ＋＝，即()||22121212PF PF 2PF PF F F －＋＝又||12PF PF 2a －＝，||12F F 2c 2＝＝5，·12PF PF 2＝，∴(2a )2＋2×2＝(25)2，解得2a 4＝，又2c 5＝，∴2b 1＝， ∴双曲线方程为2214x y -=.故选B ． 11. 答案：C ．【解析】由于()1f x ＝sin x ＋cos x ，()2f x ＝－sin x ＋cos x ，()3f x ＝－sin x －cos x ，()4f x ＝sin x －cos x ，()5f x ＝sin x ＋cos x ，…，周期为4.所以()()0140322()245f x f x f x ⨯=＋＝＝－sin x ＋cos x ＝－2sin(x －π4)． 12.答案：A【解析】函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩的图象如图所示，当a ＜1时，函数y=f （x ）的图象 与函数y=x+a 的图象有两个交点，即方程f （x ）=x+a 有且只有两个不相等的实数根。