电路第六章-储能元件

电容
C
实际电容元件的介质总有微弱的导电性 能，因此其电路模型由R、C串连组成。
6
电容元件的特点
*电压有变化，才有电流。
i (t)
+
du( t ) i (t ) C dt
C
u(t) -
*具有隔直流作用，在直流稳态电路中，电容 可视作开路。
8Ω 2Ω 10V
8Ω 2Ω 10V
C
7
*电容电压具有记忆性和连续性。
*电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
1 2 wL (t ) L i (t ) 2
16
例：已知电感两端电压波形
如图所示，i(0)=0，求 电感的电流及功率 。
i(t) + 1mH
u(t) -
解：
1 t i (t ) i (0) u( )d L 0
p (t ) i (t ) u (t )
3 3

1d 4 10 3 t A 0d 1 A 1d 8 10 3 t A
3
510 t
i (t ) i (7 10 ) 10
3

710 3
19
方法2：求面积法 。 求出特殊时间点上的电流值，再绘制其波形图。
20
由于
1 t 1 t i (t ) i (0) u( )d u( )d L 0 L 0
1. 电容的串联
n个电容相串联的电路，各电容的端电 流为同一电流 i。
i + +
C1
u1 -
C2
+ u 2
Cn
+ un -
i
+
u -
u
-
Ceq
22
根据电容的伏安关系，有
1 u1 C1 1 id , u 2 C 2
t
1 id ,......, u n C nu1 -
L2 + u 2
Ln + un -
i
+
u -
u -
Le q
n个电感相串联的电路，流过各电感的电流为同 一电流 i。
根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,…,n)电感
的端电压 uk Lk di 和KVL，可求得n个电感相
dt
串联的等效电感
Leq
L
k 1
n
k
27
3. 电感的并联
id
Ceq可称为n个电容串联的等效电容。
23
2. 电容的并联 n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同 一电压 u。
i
+
i
i1 i2
C2 Cn
in
+
u
-
C1
u
-
Ceq
24
根据电容的伏安关系，有
du du du i1 C1 , i2 C 2 ,..., in C n dt dt dt
当u，i为非关联方向时，伏安特性为:
dq du i C dt dt
1 u( t ) u( t 0 ) C

t
t0
i ( )d
4
电容的功率和储能
• 功率:
du p ui Cu dt
t t
>0 吸收 <0 发出
C i
• 电容的储能:
u
du 1 2 1 2 1 2 WC Cu d Cu Cu t Cu d 2 2 2
t (ms)
9
解：
d u(t ) i (t ) C dt
p (t ) i (t ) u (t )
1 wC (t ) C u 2 (t ) 2
10
6-2 电感元件（inductance）
实际电感元件
L,L
A i ＋
用导线绕成的线圈
B
u
i －
原理: 通以变化电流，将在线圈两端 产生感应电压。
n
1 Lk
28
例：如图所示电路，给定 L1 1H , L2 2 H , L3 3H , i2 0 2 A, i3 0 3 A 试确定其最简单的等值电路。 解：在t=0-，应用KCL于A点，得L1 中的初始电流为
L
i1
L1 L2
A i2 L3 i3
L23
i1 0 i2 0 i3 0 2 3 5 A
u
• 电容的元件特性(库伏特性)：
q Cu
C —— 电容 (法拉,F)
3
电容的伏安特性
dq( t ) du( t ) C 微分形式： i dt dt
积分形式：
1 u( t ) u( t 0 ) C
C
i “动态” 元 件 隔直作用 “记忆”元件
u

t
t0
i ( )d
电压不能跃变
电感元件的特点
*电流有变化，才有电压。
i(t) +
L
di ( t ) u( t ) L dt
u(t) -
*在直流稳态电路中，电感可视作短路。
8Ω 2Ω 10V 6Ω L
8Ω 2Ω 10V
6Ω
15
*电感电流具有记忆性和连续性。
1 i (t ) i (t0 ) L

t
t0
u ( )d
由KVL，端口电流
du du i i1 i2 ... in (C1 C 2 ... C n ) Ceq dt dt
式中 C eq C1 C 2 ... C n Ceq为n个电容并联的等效电容。
25
C
k 1
n
k
例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零， 给定 C1 1F , C2 2 F , C3 3F , C4 4 F试求ab间的等 值电容C C4 C1 a
3
0 t 1ms 1ms t 3ms 3ms t 5ms 5ms t 7ms 7ms t 8ms
i (t ) i (10 ) 10
3

t
10 3 3
0d 1 A
t 310 3 t
3
i (t ) i (3 10 ) 10 i (t ) i (5 10 ) 10
t
t
1 2 Li t 0 2 • 电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变， 反映了储能不能跃变； • 电感储存的能量一定大于或等于零。
若i(－∞)＝0
13
从t1到t 2，电感元件吸收的磁场能量：
WL
t2
t1
di 1 2 1 2 Li d Li t 2 Li t1 W t 2 W t1 d 2 2
电容充电时，u(t2)>u(t1),WC(t2)> WC(t1),元件吸收能量；反之，元件释放 能量。元件在充电时吸收并存储起来的能量一定在放电完毕时全部释放， 它不消耗能量。所以它是储能元件。同时电容元件也不会释放出多于它 吸收或存储的能量，所以它又是一种无源元件。
注意：今后，理想电容元件
电容元件
1 u(t ) u(t0 ) C

t
t0
i ( )d
*电容可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式 为
1 2 wC (t ) C u (t ) 2
8
例：已知电容两端电压波形 如图所示，求 电容的 电流、功率及储能 。
i (t)
+
1 F
u(t) -
0.5
wC ( J )
1 3 5 7 9
电
路
任课老师：杨仕伟 电子邮箱: 21778603@
1
第六章 储能元件
6－1 电容元件 6－2 电感元件 6－3 电容、电感元件的串联与并联
2
6-1
电容元件（capacitance）
电容器都是由间隔以介质（如云母、绝缘纸、空气等） 的两块金属极板组成。 工作原理：
+q
C
-q
电容器是一种能储存电荷或 者说储存电场能量的部件。
电路符号
• 电感的元件特性（韦安特性）:
L Li
11
L —— 电感 (亨利, H)
电感的伏安特性
d L di 微分形式： u L dt dt (电磁感应定律)
积分形式： 动态元件
1 t i ( t ) i ( t 0 ) u( )d L t0
“记忆”元 件
当u，i为非关联方向时，伏安特性为:
L2 L3 2 3 图中 L23 1.2 H L2 L3 2 3 L L1 L23 1 1.2 2.2 H
29
习题 P134,135
6-1 6-4 6-7
30
若u(－∞)＝0

1 2 Cu t 0 2
（1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压不能跃变， 反映了储能不能跃变； （2）电容储存的能量一定大于或等于零。
5
从t1到t2 ,电容元件吸收的能量：
WC
t2
t1
du 1 2 Cu d Cu d 2 t1
t2
1 2 1 2 Cu t 2 Cu t1 WC t 2 WC t1 2 2
17
方法1：分段积分求表达式 。
1 0 t 1ms 0 1ms t 3ms u (t ) 1 3ms t 5ms 0 5ms t 7ms 1 7ms t 8ms
18
i (t ) i (0) 10
3
3

t
0
1d 10 3 t A