指派模型

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运筹学课件ch5指派问题[全文]

运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。

指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。

其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。

指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。

指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。

88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。

数学建模模版之指派问题2

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 x (xij ) 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
三. 求最大化指派问题 (max cx) 1. 可以将之最小化 min - cx . 2. 为方便起见，可令
c~ij M cij 0 , M max { cij } 转化为 min c~x.
对第5行打√, 检查第5行，对第1列打√，检查第一列
对第3行打√, 检查第3行，打√操作终止。
画线：没打√的行划横线和打√的列划竖线。
Step 4. 变换新矩阵 B (bij ), 使零元素增加 : ①在B中没被直线覆盖的各元素中找出最小元素 ;
②对B中没被画直线的各行减去;对B中已画直线的各列加上
⑤ 对于没有√的行画横线，对所有打√号的列画竖线，产生覆盖所有零元素的最少直线，直线数目应等于
0 的个数。
例： 5 0 2 0 2 2 3 0 0 0
B 0 10 5 7 5 9 8 0 0 4 0 6 3 6 2
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 5√ 9 8 0 0 4 0√ 6 3 6 2√
1, (i, j) J xij
0, (i, j) J
为指派问题的最优指派决策.
二、匈牙利法的步骤
Step 1. 将C零元素化,得到矩阵B，使B中每行每列中均有零元素 ① C中的各行减该行最小元素； ② C中的各列减该列最小元素；
例： (本章例3，n=4)
-4 -2
3 14 10 5 -3
k (可正、可负)后，形成新矩阵 B (bij )nn ,则以B为效益矩阵的指派问题与原问题有相同的最优解 , 但新问题的最优值 ~z *与原问题的最优值 z *满足~z * k z * ( 你能证明吗？)

第四讲指派型及匈牙利方法

第四讲指派模型及匈牙利方法§ 4.1 引言将不同的任务分派给若干人去完成，由于任务有难易，人员素质有高低，因此各人去完成不同的任务的效率就有差异。

我们的问题是：应分派何人去完成哪种任务使得总效率最高（或所花费的时间最少，或所需的费用最低）？这一类问题称为指派问题或分配问题。

指派问题的一般提法是：用最佳方法按照一对一的原则把“任务”指派给“人”。

具体地就是：设有n 个人A 1，A 2，…，A n ，被分派去完成n 项工作B 1，B 2，…，B n ，要求每项工作需且仅需一个人去完成，每个人需完成且仅需完成一项工作。

已知A i 完成B j 工作的效率（如工时、成本或价值等）为c ij 。

问应如何指派，才能使总的工作效率最好？指派问题本质上是0—1规划问题。

设X ij 表示A i 完成B j 工作，并令⎪⎩⎪⎨⎧=工作去完成当不指派工作去完成当指派j i j i ij B A B A X 0 1，则指派模型的标准形式为), ,2 ,1,( }1 ,0{ ) , ,2 ,1( 1 ), ,2 ,1( 1s.t.)0( min 1111n j i X n j X n i Xc X c Z ij n i ij nj ijij ni nj ij ij ΛΛΛ=∈====≥=∑∑∑∑====由c ij 组成的方阵C = (c ij )n ⨯n 称为效率矩阵。

只要效率矩阵C 给定，指派问题也就相应确定。

若0ij x 为指派模型的最优解，则n 阶方阵X = (0ij x ) 称为指派模型的最优解方阵。

事实上，方阵X 为一置换方阵，即该矩阵中的每一行、每一列只有一个“1”。

显然，指派问题是运输问题的特例。

§ 4.2 匈牙利方法除了求解0—1规划外，解决指派问题还有其特殊的方法，它是由匈牙利数学家柯尼格（D. Köngig ）提出的，因此得名匈牙利方法（The Hungarian Method of Assignment ）。

运筹学工作指派问题

n
n
n
n
ij
) xij
n n
= M ∑∑ xij − ∑∑ cij xij = nM − ∑∑ cij xij
i =1 j =1
14
1 甲乙丙丁 10 5 5 2 2 9 8 4 3 3 7 7 6 4 4 8 7 5 5
12
例1-15 求最大效率问题
上海港务局装卸队安排五个班组进行五条作业线的配工，以往各班组完成某项作业的实际效率的具体数据如下表所示。
项目班组甲乙丙丁戊 400 435 505 495 450 315 295 370 310 320 220 240 320 250 310 120 220 200 180 190 145 160 165 135 100 13 1 2 3 4 5
9
(4)画0元素的最少覆盖线：要用最少的覆盖线将矩阵表格中的所有0元素都覆盖住。如果覆盖线的条数少于矩阵的阶数，说明找不到最优解，要转下步（继续变换矩阵，使0元素增加）。如果覆盖线的条数等于矩阵的阶数，则说明可以从矩阵表格的0元素中找出最优解。画最少覆盖线的具体方法： ①对没有◎的行打√； ②对打√的行中，所有有0元素的列打√； ③对打√的列中，对有◎的行打√； ④重复②、③步直到得不出新的打√的行和列； ⑤对没有打√的行画横线，对打√的列画纵线，这些横线和纵线就是能把全部0元素都覆盖的最少覆盖线。
第一章线性规划的基本理论及其应用
1
第九节
工作指派问题
工作指派问题是这样一类问题：有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的费用为 cij (i, j = 1, 2, , n),要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n件事的总费用最少。

指派问题的数学模型

指派问题的数学模型
数学中有多种指派问题模型，以下是几个常见的：
1. 二分图匹配模型：将指派问题看作是二分图中的最大匹配问题。

将待分配的任务和接受任务的对象分别看作是二分图中的两个部分，将每个待分配任务和每个对象之间连一条边，并赋予权值表示在该情况下指派此任务给此对象的效果。

最终目标是找到一种方案，使得总权值最大。

2. 匈牙利算法：是解决二分图匹配问题的经典算法，能够在多项式时间内求解最大匹配问题。

3. 线性规划模型：将指派问题转化为线性规划模型，通过最小化或最大化某个目标函数的方式，得到满足约束条件的最优解。

4. 费用流模型：将指派问题看作是最小费用最大流问题，将待分配的任务看作源点，接受任务的对象看作汇点，建立相应的网络流模型，并加入相应的约束条件，通过找到最小费用最大流的方式得到最优解。

基于PremiumSolver Platform软件的毕业生论文导师指派模型

ｔｏｒ．Ｏｎｏｔｈｅｒｈａｎｄ，ｔｒｉｅｓｔｏｂｅｂｌａｅｔｏｆｕｌｌｙｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｍａｊｏｒｉｆｅｌｄｓｏｒｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｃｈｏｉｃｅｓｏｆｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ，ａｌｓｏｔｈｅ
ｏｖｅｒｌｌａｆａｉｒｎｅｓｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｓｕｃｈａｄｅｍａｎｄ，ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｕｓｉｎｇＰｒｅｍｉｕｍＳｏｌｖｅｒＰｌａｔｆｏｒｍＳｏｔｆｗａｒｅ，ｄｅｓｉｇｎｅｄａＳｔｕ－ｄｅｎｔ－ＴｕｔｏｒＡｓｓｉｎｍｅｇｎｔＭｏｄｅｌ，ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｍａｋｅｈｅｔｐｒｏｃｅｓｓｏｆａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｍｏｒｅｅｑｕｉｔａｂｌｅａｎｄｅｉｃｆｉｅｎｔ．
ａｓｓｉｇｎｔｈｅｉｒｓｔｕｄｅｎｔｓｔｏｔｈｅｉｒｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎｔｕｔｏｒ．Ｔｈｅｃｏｌｌｅｇｅｍａｎａｇｅｒｗｉｓｈｅｓａｔｏｎｅｈａｎｄ，ｔｏｍａｉｎｔａｉｎａｎｅｑｕｉｔａｂｌｅｄｉｓｔｒｉ－
ＫｅｙｗｏｒｄｓＡｓｓｉｇｎｍｅｎｔｍｏｄｅｌ

第七章整数规划模型

L2
x1 x2 7
( L2 ) max s .t .
Z 7 x1 9 x2
x1 3 x 2 6 7 x1 x 2 35 x1 , x 2 0 x1 x 2 7 x2 3
x1 x2 7
x 0 ( 4. 5, 3. 5 ) T
x2
3 2
x2 3
§1 整数规划模型及穷举法一、整数规划模型建立整数规划模型的过程也与建立线性规划模型一样，有“设立决策变量”、“明确决策目标函数”和“寻找限制条件”三个过程。例一（投资模型）某工厂有资金13万元，用于购置新机器，可在A、B两种机器中任意选购。已知机器A、B的购置费每台分别为2万元和4万元。该厂维修能力只能修7台机器B；若维修机器A，1 台折算B为2台。已知1台机器A可增加产值6万元， 1台B可增加产值4万元，问应购置机器A和B各多少台，才能使产值增加最多？解设购买机器A和B的台数分别为台，则模型为：
7 x1 x 2 35 x1 , x 2 0 x1 , x 2 为整数
解图7.3作出了整数规划的线性松弛模型（记为 L0 0 T ）的可行解，其最优解为 x ( 4.5,3.5) ，增加新的约束条件：
32 T 得新模型 L1 ，图7.4给出了 L1 的最优解为 x ( ,3) 。 7
模型最优值的初始上界。最初下界一般认为负无穷。 2.从任何一个模型或子模型中不满足整数要求的变量中选出一个进行分支处理。分支通过假如一对互斥的约束将一个（子）模型分解为两个受到更多约束的子模型，并强迫不为整数的变量进一步逼近整数值。例如，如果选中的变量 xi =q ，q的整数部分为k，则在一个子模型中增加约束为 xi k 1 ，在另一个子模型中增加的约束为 xi k 。分支过程砍掉了在 xi k 和 xi k 1 之间的非整数区域，缩小了搜索的区域。每个子模型都是一个线性规划模型，如果它的最优解不满足整数要求，对该模型还必须继续向下进行分支，所有分支可以形成一个树形图。树形图上面为线性松弛模型，它有两个分支，每个分支又会有两个分支，焚之可以继续进行下去，直到找到一个有整数

5-02 指派问题

i j
例求下表所示效率矩阵的指派问题的最小解。表
任务人员甲乙丙丁戊 A 12 8 7 15 4 B 7 9 17 14 10 C 9 6 12 6 7 D 7 6 14 6 10 E 9 6 9 10 9
解
按上述第一步，将这系数矩阵进行变换。
min 12 7 9 7 9 7 5 0 2 0 8 9 6 6 6 6 2 3 0 0 7 17 12 14 9 7 0 10 5 7 15 14 6 6 10 6 9 8 0 0 4 10 7 10 9 4 0 6 3 6 2 0 2 4 5
• 经第一步变换后，系数矩阵中每行每列都已有了0元素；但需找出n个独立的0元素。若能找出，就以这些独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。当n较小时，可用观察法、试探法去找出n个独立0元素。若n较大时，就必须按一定的步骤去找，常用的步骤为：
• (1) 从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0 元素加圈，记作◎。这表示对这行所代表的人，只有一种任务可指派。然后划去◎所在列(行) 的其他0元素，记作Φ 。这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。 • (2) 给只有一个0元素列(行)的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作Φ 。 • (3) 反复进行(1)，(2)两步，直到所有0元素都被圈出和划掉为止。
• 令这直线数为l。若l＜n，说明必须再变换当前的系数矩阵，才能找到n个独立的 0元素，为此转第四步：若 l=n ，而 m＜n ，应回到第二步(4)，另行试探。 • 在上例中，对矩阵①按以下次序进行： • 先在第五行旁打√，接着可判断应在第1 列下打√，接着在第3行旁打√。经检查不再能打√了。对没有打√行，画一直线以覆盖0元素，已打√的列画一直线以覆盖0元素。得

运筹学指派问题

• 一个人可做几件事的指派问题
若某个人可做几件事，则可将该人看做相同的几个人来接受指派。这几个人作同一件事的费用系数当然都一样。
• 某事一定不能由某人作的指派问题
若某事一定不能由某个人做，则可将相应的费用系数取做足够大的数 M。
例3：对于例2的指派问题，为了保证工程质量，经研究决定，舍弃建筑公司A4和A5，而让技术力量较强的建设公司A1，A2，A3参加招标承建，根据实际情况，可允许每家建设公司承建一项或二项工程。求使总费用最少的指派方案。
步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。若独立0元素已有n个，则已得出最优解；若独立0元素的个数少于n个，转步3。
确定独立0元素的方法：当n较小时，可用观察法、或试探法；当n较大时，可按下列顺序进行 • 从只有一个0元素的行（列）开始，给这个0元素加圈，记作，然后划去所在的列（行）的其它0元素，记作。 •给只有一个0元素的列（行）的0加圈，记作，然后划去所在行的0元素，记作。 •反复进行，直到系数矩阵中的所有0元素都被圈去或划去为止。 •如遇到行或列中0元素都不只一个（存在0元素的闭回路），可任选其中一个0元素加圈，同时划去同行和同列中的其它0元素。被划圈的0元素即是独立的0元素。
第二步：确定独立0元素, 即加圈元素的个数m=4，而n=5，进行第三步。
第三步：作最少的直线覆盖所有的0元素，目的是确定系数矩阵的下一个变换。
第四步：对上述矩阵进行变换，目的是增加独立0元素个数。方法是在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素，然后在打“”行各元素中都减去这一元素，而在打“”列的各元素都加上这一最小元素，以保持原来0元素不变（消除负元素）。得到新的系数矩阵。（它的最优解和原问题相同，为什么？因为仅在目标函数系数中进行操作）

指派问题

x11 x12 ... x1n 1 ... xn1 xn 2 ... xnn 1 x11 x21 ... xn1 1 ... x1n x2 n ... xnn 1
与模型1相比：
1. 约束相同；
2 寻找独立0元素
若看作第三列上的惟一0元素
用一直线覆盖所在行
0 0 0 0 0
3 1 2 0 2
0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 3 4 0
只圈出4个0，即：只有4个独立的0元素，少于系数矩阵的阶数5。
第二列只有惟一0元素
若C=(cij)n×n的第一行各元素分别加上一个常数k，得到一个新矩阵C’=(c’ij) n×n
c11 k c C ' 21 cn1 c12 k ... c1n k c22 ... c2 n ... ... cn 2 ... cnn
效率矩阵C’
练习有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄法五种文字。分别记作E、J、G、R、F。现有甲、乙、丙、丁、戊五人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需时间如下表。问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少？
任务人
E 12 8 7
J 7 9 17
G 9 6 12
R 7 6 14
F 9 6 9
第五节指派问题
assignment problem
• • • • 指派问题的数学模型指派问题解的特点指派问题的求解方法——匈牙利法非标准形式的指派问题
一、指派问题的数学模型
例、有四项任务需分派给甲、乙、丙、丁四个人去做，这四个人都能承担上述四项任务，但完成各项任务所需时间如下表所示。问应如何分派任务可使完成任务的总工时最少？

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5 1 0 2
4 2 4 2 0 3 2 1 3 4 3 5 1 4 3 0 5

5 1 0 2
4 2 4 0 3 1 3 3 5 1 3 0 5
记下这4个0 所在的行号1，2，3，5。（3）在 CC中找出不在1，2，3，5行的0(不是0 ）的列号 2，并将第2列划竖线，在CC划去竖线后剩下的0划横线；则这些直线构成覆盖方阵CC内所有零元素的最少直线:（下一页）
分析
• • • • 这是线性规划模型；也是整数规划模型；0-1规划模型；更是运输模型。共有n*n个变量，实际上只需找n个变量为1即可，因此这是高度退化的线性规划模型。
例1
• 设有5个人被分配去做5件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只由一个人做。已知第i个人做第j件工作的费用如下表所示。问：应如何分配工作才能使总费用最省？
ห้องสมุดไป่ตู้指派模型
宋海洲
一：指派问题
• 设有n个人被分配去做n件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只由一个人做。已知第i个人做第j件工作的效率（时间或费用)为 C ，并假设C 0。 •问：应如何分配才能使总效率（总时间或总费用）最高？
ij ij
引进变量
• 设
1, 分配第i个人做第j件工作； xij 0，不分配第i个人做第j件工作（其中i, j 1,2,...,n)
CC 3 2 2 0 4 0 2 4 0 3 0 3 6
返回第二步，此时per(D)~=0,转第五步得：
0 0 3 3 1 6 0 2 CC 3 2 0 3 2 2 3 0 4 4 0 6
四：不平衡指派问题
min Z Cij xij
i 1 j 1 n xij 1, i 1,2,...,l j 1 n s.t. xij 1, j 1,2,...,m i 1 （ xij 0或1 i 1,...,l , j 1,2,...,m） l m
2 2 4 4 0

5 1 0 2
4 2 4 2 0 3 0 2 0 1 3 4 3 5 1 4 3 0 5 0

5 1 0 2
4 2 4 2 0 3 0 2 1 3 4 3 5 1 4 3 0 5 0
工作人甲乙
a
b
c
d
e
7 9
5 12
9 7
8 11
11 9
丙
8
5
4
6
8
丁
7
3
6
9
6
戊
4
6
7
5
11
二：匈牙利法
• 定义：指派问题的效益矩阵：
c11 c21 C cij c n1
c12 c22 cn 2

c1n c2 n cnn
积和式
• 定义： per(D) d d ...d 1i 2i ni
i 2 n
积和式的性质
• • • • • • 按行展开性；转置不变性；换行不变性；倍法变换增倍性；单行可加性； Laplace法则。
补矩阵
• 定义：
B bij 的补矩阵定义为 : D 1, bij 0; D d ij , 其中d ij 0, bij 0
• 第三步：（1）在CC中找0元素最少的一排（行或列），选中其中一个0，记为 0，将该0所在的行及列划去。（2）对上述划去一行及一列的矩阵，重复（1）的做法。 ……. 一共得到m个0 。(m<n) 记下这m个0 所在的行号i1,i2,…,im及列号j1,j2,…,jm. (则CC所有的0或0必在i1,i2,…,im行中或在j1,j2,…,jm中） (3)①：在 CC中找出不在i1,i2,…,im行的0，记下他们的列号r1,r2,…; 并将这些列划竖线； ②：在划去竖线的CC中找出不含0的列的0，记下他们的行号s1,s2,…; 并将这些列划横线；重复① ②，则这些直线构成覆盖方阵CC内所有零元素的最少直线。
2 4 2 5 0 4 1 4 0 3 2 3
2 4 3 1 3 5 1 0 5
2 4 2 5 0 4 1 4 0 3 2 3
2 4 3 1 3 5 1 0 5
• 第四步：调整CC ,使之增加一些0，为此按如下方法进行：（1）在没有直线覆盖的元素中，找出最小元素x=1; （2）在未划线的行减去最小元素x；（3）在划线的列加上最小元素x；得到新的CC，返回第二步。
令Cij’=maxCij-Cij,则模型等价为：
min Z ' Cij xij
n n i 1 j 1
n xij 1, i 1,2,...,n jn1 s.t. xij 1, j 1,2,...,n i 1 （ xij 0或1 i, j 1,2,...,n）
1 2 CC 4 3 0 0 6 2 0 3 3 0 0 2 3 1 3 1 4 0 3 0 3 0 5
• 返回第二步：计算CC的补矩阵D,计算D的积和式 per(D)=0。再进行第三步得：
1 2 CC 4 3

6 2 0 3
• 令 • 令
n max( , m) l
Cij 0(i max(l , m), j 1,...,n) Cij 0( j max(l , m), i 1,...,n)
模型转化为：
min Z Cij xij
i 1 j 1 n n
n xij 1, i 1,2,...,n jn1 s.t. xij 1, j 1,2,...,n i 1 （ xij 0或1 i, j 1,2,...,n）
•
0 0 最优解为X 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
三：极大指派问题模型：
max Z Cij xij
i 1 j 1 n n
n xij 1, i 1,2,...,n jn1 s.t. xij 1, j 1,2,...,n i 1 （ xij 0或1 i, j 1,2,...,n）
例2：用匈牙利法求解例1
• 第一步：将原指派问题的效益矩阵C进行变换
7 9 c 8 7 4 5 12 5 3 6 9 7 4 6 7 8 11 5 2 11 9 7 2 6 9 4 4 9 6 3 4 5 11 4 0 0 4 3 6 2 5 0 4 2 2 1 0 2 5 4 0 3 6 3 4 2 3 1 7 0 0 4 2 4 5 0 3 0 1 0 1 3 CC 0 3 5 1 2 3 0 5
• 第四步：调整CC ,使之增加一些0，为此按如下方法进行：（1）在没有直线覆盖的元素中，找出最小元素x; （2）在未划线的行减去最小元素x；（3）在划线的列加上最小元素x；得到新的CC，返回第二步。
• 第五步：（1）在CC中找0元素最少的一排（行或列），选中其中一个0，记为0，将该0所在的行及列划去。（2）对上述划去一行及一列的矩阵，重复（1）的做法。 ……. 一共得到n个0 。（3）将n个0 所在位置对应的变量赋“1”，其他变量赋 “0”，得到最优解。
效益矩阵的性质
• 定理1：从效益矩阵C的第k行（或第k列）的每一个元素中减去一个常数a得到的矩阵C’所表示的指派问题具有相同的最优解。（ C’称缩减效益矩阵） • 定义：如果这些0元素分布在效益矩阵的不同的行和不同的列上，则称这些0元素为独立的0元素。 • 定理2：若方阵的一部分元素为0，一部分元素不为0，则覆盖方阵内所有0元素的最少直线数，等于矩阵中独立的0元素的最多个数（匈牙利：konig）
匈牙利法解指派模型算法
• 第一步：将原指派问题的效益矩阵C进行变换得矩阵 CC，使得CC的各行各列均出现0元素，其方法是：（1）从效益矩阵C的每行元素减去该行最小元素；（2）在从所得的效益矩阵的每列元素减去该列最小元素。第二步：计算CC的补矩阵D,计算D的积和式per(D)。判断per(D)是否不等于0，如果per(D)不等于0，转第五步；如果per(D)等于0，转第三步。
• 第二步：计算CC的补矩阵D,计算D的积和式per(D)。
0 0 D 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 , per( D) 0 1 0 0 0 0 0 1 0
• 第三步：（1）在CC中找0元素最少的一排（行或列），选中其中一个0，记为0，将该0所在的行及列划去。（2）对上述划去一行及一列的矩阵，重复（1）的做法。 …….。一共得到4个0 。(4<n=5)
建立模型
min Z Cij xij
i 1 j 1 n n
n xij 1, i 1,2,...,n jn1 s.t. xij 1, j 1,2,...,n i 1 （ xij 0或1 i, j 1,2,...,n）
3
1 3 1 4 0

0 2 3
3 0 3 5
• 返回第四步：调整CC ,使之增加一些0，为此按如下方法进行：（1）在没有直线覆盖的元素中，找出最小元素x=1; （2）在未划线的行减去最小元素x；（3）在划线的列加上最小元素x； 3 0 3 得到新的CC， 0 6 2 0 1