【精品】2015年浙江省衢州一中高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)

2014-2015学年浙江省衢州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a∈R，且a≠0，则a＞1是的（）A．既不充分也不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．充分但不必要条件2．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．平面α内所有的直线都与a异面B．平面α内不存在与a平行的直线C．平面a内所有的直线都与α相交D．直线α与平面α有公共点3．（5分）已知ABCD 是空间四边形，M、N 分别是AB、CD 的中点，且AC=4，BD=6，则（）A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10 C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜54．（5分）设P（a，b）是函数f（x）=x3图象上的任意一点，则下列各点中一定在该图象上的是（）A．P1（a，﹣b）B．P2（﹣a，﹣b）C．P3（﹣|a|，b）D．P4（|a|，﹣b）5．（5分）已知{a n}满足a1=a2=1，=1，则a6﹣a5的值为（）A．0 B．18 C．96 D．6006．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（）A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条7．（5分）已知AO为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，直线OC在平面α内，且∠AOB=∠BOC=45°，则∠AOC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）将一个真命题中的“n个平面”换成“n条直线”、“n条直线”换成“n个平面”，若所得到的新命题仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，下列四个命题①垂直于同一个平面的两条直线平行；②垂直于同一个平面的两个平面平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一个平面的两条直线平行．其中是“可换命题”的是（）A．①②B．①④C．①③D．③④9．（5分）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则点C1到原点O的最远距离为（）A．B．C．5 D．4二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）各项均为实数的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4，则a3=．12．（4分）将函数f（x）=sin（2x﹣）图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是．13．（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是．14．（4分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC=CD=DB，AB=AC=AD；E，F为棱BD，AD的中点，若EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为．15．（4分）已知函数f（x）=4x+（x＞1）在x=a处取得最小值，则a=．16．（4分）已知异面直线a，b，过不在a，b上的任意一点，下列三个结论：①一定可作直线l与a，b都相交；②一定可作直线l与a，b都垂直；③一定可作直线l与a，b都平行；其中所有正确命题的序号是．17．（4分）若不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数k 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共14+14+14+15+15=72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．19．（14分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN 的方程．20．（14分）已知函数，数列{a n}满足a1=1，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令，b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若对一切n∈N*成立，求最小正整数m．21．（15分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．22．（15分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈R．（Ⅰ）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．2014-2015学年浙江省衢州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a∈R，且a≠0，则a＞1是的（）A．既不充分也不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．充分但不必要条件【解答】解：若a＞1，则0＜成立．当a=﹣1时，满足，但a＞1不成立．∴a＞1是的充分不必要条件．故选：D．2．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．平面α内所有的直线都与a异面B．平面α内不存在与a平行的直线C．平面a内所有的直线都与α相交D．直线α与平面α有公共点【解答】解：∵直线a不平行于平面α，∴直线a与平面α相交，或直线a⊂平面α．∴直线α与平面α有公共点．故选：D．3．（5分）已知ABCD 是空间四边形，M、N 分别是AB、CD 的中点，且AC=4，BD=6，则（）A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10 C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5【解答】解：取BC的中点E，连接ME，NE，∴ME=2，NE=3根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴1＜MN＜5故选：A．4．（5分）设P（a，b）是函数f（x）=x3图象上的任意一点，则下列各点中一定在该图象上的是（）A．P1（a，﹣b）B．P2（﹣a，﹣b）C．P3（﹣|a|，b）D．P4（|a|，﹣b）【解答】解：∵f（x）=x3是奇函数，∴f（x）=x3图象关于原点对称，∵P（a，b）是函数f（x）=x3图象上的任意一点，∴P2（﹣a，﹣b）一定在该图象上．故选：B．5．（5分）已知{a n}满足a1=a2=1，=1，则a6﹣a5的值为（）A．0 B．18 C．96 D．600【解答】解：∵a1=a2=1，=1，∴，a3=2．，a4=6，，a5=24，，a6=120，∴a6﹣a5=120﹣24=96．故选：C．6．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（）A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条【解答】解：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行，故选：D．7．（5分）已知AO为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，直线OC在平面α内，且∠AOB=∠BOC=45°，则∠AOC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：在OA取一点A'，过A'作A'B'⊥α，再作B′C′⊥OC，垂足为C′，连接A′C′，由A′B′⊥OC，易得OC⊥A′C′．则cos∠AOB=，cos∠BOC=，cos∠AOC=，故有cos∠AOB•cos∠BOC=cos∠AOC．由于∠AOB=∠BOC=45°，则cos∠AOC=cos45°•cos45°=×=，则∠AOC=60°．故选：C．8．（5分）将一个真命题中的“n个平面”换成“n条直线”、“n条直线”换成“n个平面”，若所得到的新命题仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，下列四个命题①垂直于同一个平面的两条直线平行；②垂直于同一个平面的两个平面平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一个平面的两条直线平行．其中是“可换命题”的是（）A．①②B．①④C．①③D．③④【解答】解：①垂直于同一个平面的两条直线平行是真命题，垂直于同一个直线的两个平面平行也是真命题，故是“可换命题”；②垂直于同一个平面的两个平面平行，是假命题，故不是“可换命题”③平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，平行于同一平面的两个平面平行是真命题，故是“可换命题”；④平行于同一个平面的两条直线平行，是假命题，故不是“可换命题”故选：C．9．（5分）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：将其还原成正方体ABCD﹣PQRS，连接SC，AS，则PB∥SC，∴∠ACS（或其补角）是PB与AC所成的角∵△ACS为正三角形，∴∠ACS=60°∴PB与AC所成的角是60°故选：B．10．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则点C1到原点O的最远距离为（）A．B．C．5 D．4【解答】解：由题意可知，C1与AB和O在同一个平面时，C1到O的距离比较大，如图：设∠BAO=α，则C1坐标为（），|OC1|===，其中tan，显然|OC1|，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）各项均为实数的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4，则a3=2．【解答】解：∵各项均为实数的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4，∴1•q4=4，∴q2=2，∴=2．故答案为：2．12．（4分）将函数f（x）=sin（2x﹣）图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是g（x）=sin2x．【解答】解：函数f（x）=sin（2x﹣）图象上的所有点向左平移个单位长度．得到：g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin2x即：g（x）=sin2x故答案为：g（x）=sin2x13．（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是100．【解答】解：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．因此该几何体的体积=3×6×6﹣=108﹣8=100．故答案为：100．14．（4分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC=CD=DB，AB=AC=AD；E，F为棱BD，AD的中点，若EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为．【解答】解：由题意可建立如下空间直角坐标系．其中点O为底面△ABC的中心，AO⊥平面ABC．不妨设BC=6，AB=2a．则OB==2．=．∴B，C，D，A，E，F．∴=，=．∵，∴==0，解得a=．∴A．又=（0，6，0），=．设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，﹣1）．=．设直线BD与平面ACD所成的角为θ．则sinθ====．∴．故答案为：．15．（4分）已知函数f（x）=4x+（x＞1）在x=a处取得最小值，则a=．【解答】解：由于x＞1，∴x﹣1＞0，故函数f（x）=4x+=4（x﹣1）++4≥2+4=8，当且仅当4（x﹣1）2=1，即x=时，等号成立，故x=时函数取得最小值为8．故答案为：16．（4分）已知异面直线a，b，过不在a，b上的任意一点，下列三个结论：①一定可作直线l与a，b都相交；②一定可作直线l与a，b都垂直；③一定可作直线l与a，b都平行；其中所有正确命题的序号是②．【解答】解：如图所示，∵a，b是异面直线，∴存在唯一一对平面α∥β，且a ⊂α，b⊂β．设不在a，b上的任意一点为P．①若点P∈α或P∈β，则不能够作直线l与a，b都相交，因此①不正确；②过点P一定可作直线l⊥α，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，则l⊥a，l⊥b．因此正确．③假设过点P可作直线l∥a，l∥b，则a∥b，这与已知a，b是异面直线相矛盾．因此假设不成立，即不存在过点P的直线l与a，b都平行．因此③不正确．综上可知：只有②正确．故答案为：②．17．（4分）若不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数k 的取值范围是1≤k≤4．【解答】解：设原不等式的解集为A，当k=0时，则x＞4，不合题意，当k＞0且k≠2时，原不等式化为[x﹣（）]（x﹣4）＜0，∵，∴，要使不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，须，解得：1≤k≤4；当k=2时，A=∅，合题意，当k＜0时，原不等式化为[x﹣（）]（x﹣4）＞0，∴A=（﹣∞，）∪（4，+∞），不合题意，故答案为：1≤k≤4．三、解答题：本大题共5小题，共14+14+14+15+15=72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．【解答】解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．∴BD⊥PA．又，．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC．…．．（6分）（Ⅱ）连接PE．∵BD⊥平面PAC．∴BD⊥PE，BD⊥AE．∴∠AEP为二面角P﹣BD﹣A的平面角．在Rt△AEB中，，∴，∴∠AEP=60°，∴二面角P﹣BD﹣A的大小为60°．…．．（12分）解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，3），∴，，，∴．∴BD⊥AP，BD⊥AC，又PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）设平面ABD的法向量为m=（0，0，1），设平面PBD的法向量为n=（x，y，1），则n，n∴解得∴．∴cos＜m，n＞==．∴二面角P﹣BD﹣A的大小为60°．19．（14分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN 的方程．【解答】（本题满分14分）（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．…（3分）得圆O的方程为x2+y2=4．…（6分）（2）由题意，可设直线MN的方程为2x﹣y+m=0．…（8分）则圆心O到直线MN的距离．…（10分）由垂径分弦定理得：，即．…（12分）所以直线MN的方程为：或．…（14分）20．（14分）已知函数，数列{a n}满足a1=1，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令，b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若对一切n∈N*成立，求最小正整数m．【解答】解：（1）∵∴∴数列{a n}是以为公差，首项a1=1的等差数列∴（2）T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）===﹣（3）当n≥2时，当n=1时，上式同样成立∴s n=b1+b2+…+b n==∵恒有成立，∵，即对一切n∈N*成立，∴，解得m≥2011，∴m=2011最小21．（15分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，∴AD⊥DE，可得A1D⊥DE．又∵A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．∵BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．∵BC⊥CD，CD∩BC=C，∴BC⊥面A1DC．…（4分）（Ⅱ）以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．…（5分）可得D（2，0，0），E（2，2，0），B（0，3，0），A1（2，0，4）．设=（x，y，z）为平面A1BC的一个法向量，∵，，∴，令x=2，得y=0，z=﹣1．所以=（2，0，﹣1）为平面A1BC的一个法向量．…（7分）设BE与平面A1BC所成角为θ，则．所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为．…（9分）（Ⅲ）设D（x，0，0），则A1（x，0，6﹣x），∴=…（12分）根据二次函数的图象与性质，可得当x=3时，A1B的最小值是，由此点D为AC的中点即D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为．…（14分）22．（15分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈R．（Ⅰ）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．【解答】解：（1）∵a=1，x∈[1，6]，∴f（x）=|x﹣1|﹣+1=x﹣，∴f′（x）=1+＞0，∴f（x）是增函数；（2）因为1＜a＜6，所以f（x）=，①当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，所以当x=6时，f（x）取得最大值为．②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，而f（3）=2a﹣6，f（6）=，当3＜a≤时，2a﹣6≤，当x=6时，f（x）取得最大值为．当≤a＜6时，2a﹣6＞，当x=3时，f（x）取得最大值为2a﹣6．综上得，M（a）=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。