高二数学下学期第二次月考习题(理奥赛)
高二数学第二次月考试题理试题
智才艺州攀枝花市创界学校隆回一中2021年下期高二第二次月考数学〔理科〕试题试题卷 时量：120分钟总分：150分一、选择题(本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分，在每一小题给出的四个选项里面只有一个是符合题目要求的，请把答案写在答题卷上) 1．函数()f x 在1x =处的导数为1，那么0(1)(1)3lim x f x f x x→--+=()A ．3B ．23-C ．13D ．32- 2定点12,F F ，且128F F =，动点P 满足128PF PF +=，那么点P 的轨迹是〔〕3.过点P 〔2，4〕且与抛物线y 2=8x 有且只有一个公一共点的的直线有〔〕 A.0条B.1条C.2条D.3条a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，那么与向量a ＋b 方向相反的单位向量e 的坐标是〔〕 A.(0，1，2)B.(0，－1，－2)C.D.12(0,,)555．a <0,b <0的一个必要条件为() A.a +b <0 B.a －b >0 C.b a >1D.ba>－1 6.①假设a 、b 一共线，那么a 、b 所在的直线平行；②假设a 、b 所在的直线是异面直线，那么a 、b 一定不一共面；③假设a 、b 、c 三向量两两一共面，那么a 、b 、c 三向量一定也一共面；④三向量a 、b 、c ，那么空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c 〔〕. A ．0B.1 C.2D.37、假设函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．),3(+∞B ．),3[+∞-C ．),3(+∞-D ．)3,(--∞ 8．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是〔〕) “存在x ∈R,x 2+2x+2≤0〞的否认是。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
高二数学下学期第二次月考试题 理含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。
高二数学(理)下学期第二次月考试题(含答案)
上学期第二次月考高二数学卷（理）考试时间：120分钟 满分：150一、选择题（每小题5分，共12题）1、已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)( = （ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2、 5()a x x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．12 C ．1 D ．23、某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种4、计算888281808242C C C C ++++ ＝（ ）A 、62B 、82C 、83 D 、63 5、一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.796、已知△ABC 的重心为P ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．67、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ）A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8、35(1(1+的展开式中x 的系数是（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）49、某体育彩票规定: 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B. 1052元C. 2100元D. 2102元10、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅11、已知,)(为偶函数x f x x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当，若*,(),n n N a f n ∈=则2011a = ( )A ．1B ．21C ． 14D ．1812、如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 （ ）A ．10B ．13C ．12D ．15二、填空题（每小题5分，共4小题）13、已知(1-2x)n的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第_____________项.14、乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.15、同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是_____________ (结果要求写成既约分数）.16、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_______种不同的涂色方案。
2021年高二下学期第二次月考数学(理奥赛)试题 含答案
考试时间：xx年4月28—29上饶县中学xx届高二年级下学期第二次月考数学试卷(理奥赛)2021年高二下学期第二次月考数学（理奥赛）试题含答案1.设是实数，且是实数，则（）A．B．C．D．2．下列命题中是假命题的是（）A．B．C．D．3．若a，b∈R，则＞成立的一个充分不必要的条件是（）A．b＞a＞0 B．a＞b＞0 C．b＜a D．a＜b 4．椭圆的离心率为b，点（1，b）是圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（）A．3x+2y﹣4=0 B．3x﹣2y﹣2=0 C．4x+6y﹣7=0 D．4x﹣6y﹣1=0．5．若曲线在点处的切线方程是，则（）A．B．C．D．6．已知直线与椭圆相交于、两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是() A．B．C．D．27．在R上可导的函数的图象如图示，为函数的导数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．8．已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF.当A 1，E ，F ，C 1共面时，平面A 1DE与平面C 1DF 所成二面角的余弦值为( )A. B. C. D.10．若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,满足则下列不等式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）A. B . C. D.12．已知椭圆C 1： =1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2=b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得∠BPA=，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．计算定积分（）dx= ．14．设命题：（），命题：（），若命题是命题的充分非必要条件，则的取值范围是 .15．设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且，，则该椭圆的离心率为 ．16．已知椭圆方程+=1（），当+的最小值时，椭圆的离心率= .三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．18.（本小题12分）已知数列满足，且（1）用数学归纳法证明：；（2）设，求数列的通项公式.19.（本小题12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.（1）证明PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.20．（本小题12分）已知椭圆C ：的一个顶点为A （2，0），离心率为，过点G （1，0）的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当△AMN 的面积为时，求直线的方程．21.（本小题满分12分）已知函数(1)求函数的单调区间和极值；(2)若对于任意的及，不等式恒成立，试求m 的取值范围.BD22．（本小题满分12分）已知椭圆C：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．上饶县中学xx 届高二年级下学期第二次月考数学试卷(理奥)答案1—5 BBACA 6--10 BACBB 11--12 BA13. 14. 15. 16.17．（本小题满分12分）解: 由条件知，a ≤x 2对∀x ∈[1,2]成立，∴a ≤1；∵∃x 0∈R ，使x 02＋(a －1)x 0＋1<0成立，∴不等式x 2＋(a －1)x ＋1<0有解，∴Δ＝(a －1)2－4>0，∴a >3或a <－1； ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．①p 真q 假时，－1≤a ≤1；②p 假q 真时，a >3.∴实数a 的取值范围是a >3或－1≤a ≤1.18.解：（1）证明时，假设 时 成立当 时在(0，1)递增（2）19证明 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB.同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD.（Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD.知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而（3）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以设点F是棱PC上的点，则令得解得即时，亦即，F是PC的中点时，、、共面.又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.20．（1）；（2）±y=0．解：（1）由题意可得：，解得a=2，c=，b2=2．∴椭圆C的方程为．（2）设直线l的方程为：my=x﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为（m2+2）y2+2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=．∴|MN|===．点A到直线l的距离d=，∴|BC|d==，化为16m4+14m2﹣11=0，解得m2= 解得m=．∴直线l的方程为，即±y=0．21.解：(1)由题知，函数的定义域为，且2分令可得当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，在时取得极小值，在定义域内无极大值. 6分（2）由（1）知，函数在上单调递增，故在区间上的最小值为. 8分因此，只需在上恒成立即可，即在上恒成立.设，，由二次函数的图像和性质可得且即：且解得：，即实数m的取值范围是22.解：（Ⅰ）由已知可得解得所以椭圆C的标准方程是.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).设直线的方程为，将直线的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得，其判别式设则于是设为的中点，则点的坐标为.因为，所以直线的斜率为，其方程为.当时，，所以点的坐标为，此时直线OT的斜率为，其方程为.将点的坐标为代入，得. 解得.（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T的坐标为. 于是，20686 50CE 僎t*Q27106 69E2 槢30232 7618 瘘22110 565E 噞€39077 98A5 颥U20855 5177 具p25151 623F 房。
高二下学期第二次月考(6月)数学(理)试题(解析版)
高二年级下学期第二次月考数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效．第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．1.已知集合{}2|3100A x x x =-++≥，{|121}B x m x m =+≤≤-，若A B ⋂≠∅，则m 的取值范围是（ ） A. 1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,(4,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U C. [2,4] D. (2,4)【答案】C 【解析】 【分析】化简出集合[]2,5A =-，由题意先说明B 不是空集，再解A B ⋂≠∅. 【详解】解：∵集合{}[]2|31002,5A x x x =-++≥=-，又∵{|121}B x m x m =+≤≤-，A B ⋂≠∅， 则121m m +≤-，即2m ≥； 此时，15m +≤，解得，4m ≤； 故m 的取值范围为[2,4]. 故选：C.【点睛】本题考查了集合的交集的应用，注意A B ⋂≠∅的前提是,A B 都不是空集，属于基础题. 2.在复平面内，复数12iz i+=，则z 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，求出共轭复数，可得对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】解：复数122iz i i+==-， 共轭复数2z i =+， 对应的点()2,1位于第一象限. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的运算，正确化简复数是关键. 3.下列命题中，真命题的是（ ） A. 00,0x x R e∃∈≤B. 2,2x x R x ∀∈>C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题和特称命题的定义判断A ，B.利用充要条件和必要条件的定义判断C.利用反证法证明D ． 【详解】解：A ，根据指数函数的性质可知x e 0>恒成立，所以A 错误． B.当x 1=-时，1212(1)12-=<-=，所以B 错误． C.若a b 0==时，ab无意义0，即充分性不成立，所以C 错误． D.假设x ，y 都小于1，则x 1<，y 1<，所以x y 2+<与x y 2+>矛盾，所以假设不成立，所以D 正确． 故选D ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4.若函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩ 则函数()f x 的值域是（ ）A. (,2)-∞B. (,2]-∞C. [0,)+∞D. (,0)(0,2)-∞U【答案】A 【解析】 【分析】画出函数的图像，由此确定函数的值域.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为(),2-∞，故选 A.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的图像，考查分段函数的值域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2log 1f x x =-，则()()7f f =( )A .1-B. 2-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 为定义在R 上的奇函数，先求出()7f ，进而可求出()()7ff .【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()2log 1f x x =-，所以()()()277log 173f f =--=-+=-；所以()()()()273log 132ff f =-=+=.故选D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，根据函数的奇偶性求函数的值，熟记奇函数的定义即可求解，属于基础题型.6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A. 0.7 B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B 【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-Qp 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p Q ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题． 7.用数学归纳法证明：()()*222111112(2)232121n n n n N +++⋅⋅⋅+<-≥∈--时第一步需要证明（ ） A. 11221<-- B. 21112221n+<-- C. 22111122321++<-- D. 222211*********+++<-- 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到()22121-，不要漏掉项.【详解】解：用数学归纳法证明()()*222111112(2)232121n n n n N +++⋅⋅⋅+<-≥∈--，第一步应验证不等式为：222111122321++<--. 故选：C.【点睛】在利用数学归纳法证明问题中，第一步一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误.8.若极坐标方程()ρρθ=满足()()ρθρπθ=-，则()ρρθ=表示的图形关于（ ）对称． A. 极轴 B. 极点C. 射线2πθ=D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】由()()ρρθρπθ==-，可得22θπθπ+-=，即可判断出结论.【详解】解：∵()()ρρθρπθ==-， ∴22θπθπ+-=，因此方程()ρρθ=表示的图形关于射线2πθ=对称.故选：C.【点睛】本题考查了极坐标方程的意义，考查了推理能力，属于基础题. 9.函数||4cos x y x e =-的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项. 【详解】解：当0x >时，4cos xy x e =-，则'4sin x y x e =--，若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0,0x x e >>，'4sin 0x y x e =--<，若,2x π⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，44sin 4x -≤≤，()3222.74x e e π≥>>，则'4sin 0xy x e =--<恒成立， 即当0x >时，'4sin 0xy x e =--<恒成立， 则4cos x y x e =-在()0,∞+上单调递减，故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.10.已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A.1B.1C.1D.2【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A 的坐标，将A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数,,a b c 的关系，则双曲线的离心率可求.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线的焦点坐标为(),0c ， 2p c ∴=，Q 点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，将x c =代入双曲线方程得到2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，将A 的坐标代入抛物线方程可得,422222444b pc c a b a===+，即4224440a a b b +-=，解得ba= 222222b c a a a -∴==+)22231c a=+=解得1ce a==，故选A .【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．11.已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 12-B.13C.12D. 1【答案】C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----=-=-='， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.12.定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x e f x f x -<-的解为( ) A. 1(,)4+∞ B. 1(,)2+∞C. (1,)+∞D. (2,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由()()f x f x '>，构造函数()()exf xg x =，对其求导可知()()()0e xf x f xg x -''=>，所以函数()()exf xg x =是R 的单调递增函数，不等式()()121x ef x f x -<-可化为()()2121eexx f x f x --<，由()g x 的单调性可知21x x <-，解不等式即可得到答案． 【详解】构造函数()()e xf xg x =，则()()()()()2e e 0e e x x xxf x f x f x f xg x ''--='=>，则函数()()exf xg x =是R 的单调递增函数，对不等式()()1e21x f x f x -<-的两端同时除以21e x -得()()2121e e xx f x f x --<，则21x x <-，解得1x >. 故答案为C.【点睛】由()()f x f x '>，构造增函数()()exf xg x =，是本题的一个难点，需要学生在平常的学习中多积累这样的方法．第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置．13.设1x ≥，则函数()()231x x y x ++=+的最小值是______．【答案】6 【解析】【分析】根据题意，令1t x =+，则函数(1)(2)2=3t t y t t t ++=++（2t ≥），进行求导可得出函数2=3y t t++的单调性，进而即可求出最小值. 【详解】令1t x =+，则函数(1)(2)2=3t t y t t t++=++（2t ≥），因为2t ≥，所以2210y t'=->， 即函数23y t t=++为增函数， 所以23y t t=++在2t =时取到最小值， 代入可得最小值为6. 故答案为：6.【点睛】本题考查了换元法以及用导数求函数单调性，考查了转化思想，属于中档题. 14.若0sin a xdx π=⎰，则9a x ⎛- ⎝的展开式中常数项为______．【答案】672 【解析】 【分析】先由微积分基本定理求出a ，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为()sin 020a xdx cosx cos cos πππ==-=-+=⎰；所以92x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为：()()39999221992121k k kkkkk k kk T C xx C x----+=-=-，令3902k -=，则6k =，所以常数项为()6637921672T C =-=. 故答案为672【点睛】本题主要考查微积分基本定理和二项式定理，熟记公式即可求解，属于基础题型.15.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260. 【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 16.已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________． 【答案】10【解析】 【分析】过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ．则可求得AM ＝，BM ＝，CN ＝，DN ＝，MN ＝1．再求出＝＋＋，平方即得||＝．【详解】过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ．则可求得AM ＝，BM ＝，CN ＝，DN ＝，MN ＝1．由于＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝， ∴||＝． 故答案为【点睛】（1）本题主要考查空间向量的线性运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)空间向量a r的模2||a a =rr 三、解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在平面直角坐标系中，以原点为极点.以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ-=.（1）写出曲线C 和直线1l 的直角坐标方程；（2）设直线2l 过点()10P -，与曲线C 交于不同两点A B ，，AB 的中点为M ，1l 与2l 的交点为N ，求PM PN ⋅.【答案】（Ⅰ）C: ()()22129x y -++= ；直线1l 的直角坐标方程30x y --= （Ⅱ）8【解析】【分析】（Ⅰ）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可直接得出结果；（Ⅱ）先写出直线2l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，得到PM ，再由直线2l 的参数方程代入30x y --=，得到PN ，进而可得出结果.【详解】（Ⅰ）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+； 即()()22129x y -++= ()1:cos sin 3l ρθθ-=的直角坐标方程为：30x y --=（Ⅱ）直线2l 的参数方程1x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 将其代入曲线C 的普通方程并整理得()24cos sin 10t t αα---=，设,A B 两点的参数分别为12,t t ，则()124cos sin t t αα+=-因为M 为AB 的中点，故点M 的参数为()122cos sin 2t t αα+=-， 设N 点的参数分别为3t ，把1x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=整理得34cos sin t αα=- 所以12342cos sin 82cos sin t t PM PN t αααα+⋅=⋅=-⋅=-. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型.18.已知函数()||f x x a =-.(1)若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 2a =;(2) m 的取值范围(5]-∞，. 【解析】【详解】（1）∵|x-a|≤3 ，∴a-3≤x≤a+3，∵f （x ）≤3的解集为[-1,5] ，∴，∴a=2．（2）∵f （x ）+f （x+5）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5又f （x ）+f （x+5）≥m 恒成立 ,∴m≤5．19.每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似地等于样本平均数x ，2σ近似地等于样本方差2s ，233.6s ≈.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数. 33.6 5.8≈.若随机变量Z 服从正态分布()2N μσ，，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）45； （2）6826人.【解析】【分析】(I)结合题表,计算期望,得到平均数,即可.(II)结合题意,得到该区间位于距离平均数一个标准差之内,计算概率,计算人数,即可.【详解】(Ⅰ)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245 x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈；(Ⅱ)由题意得，39.250.8，μσμσ-≈+≈，()39.250.80.6826P t<<=，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.250.8，的人数约为100000.68266826⨯=(人)；【点睛】本道题考查了正态分布曲线,考查了期望计算公式,难度中等.20.如图，在正三棱柱111ABC A B C-中，11AB BC⊥，P是1AA的中点．（1）求平面1PBC将三棱柱分成的两部分的体积之比；（2）求平面1PBC与平面ABC所成二面角的正切值．【答案】（1）1:1；（22【解析】【分析】（1）设1,AB a AA b==，分别求出111ABC A B CV-，1B ACC PV-，即可得体积比；（2）取BC的中点M，连接1,AM B M，通过11AB BC⊥及11AB BC⊥，可得1BC⊥面1AMB，根据计算可得222a b=，不妨设2b=，则22a=由题可得1PBCV在面ABC上的投影为ABCV，设平面1PBC与平面ABC所成二面角的大小为θ，求出1BPCSV，ABCSV，可得1cos ABCBPCSSθ=VV，进而可得正切值.【详解】解：（1）设1,AB a AA b==，则1112213sin 6024ABC AB C V a b a b -=⋅⋅=o ， 12113332228B ACC P b V b a a a b -⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭， 则平面1PBC 将三棱柱分成的两部分的体积之比为1:1；（2）如图：取BC 的中点M ，连接1,AM B M ， 由已知得面ABC ⊥面11BCC B ，又AM BC ⊥，则AM ⊥面11BCC B ，又1BC ⊂面11BCC B ，1AM BC ∴⊥，又11AB BC ⊥，且1AM A AB =I ，则1BC ⊥面1AMB ，11BC B M ∴⊥，则111BMB B BC V :V ，1111BB BM BB B C ∴=， 2ab b a ∴=，222a b ∴=， 不妨设2b =，则22a = 则()212213BP PC ==+=，()2212223BC =+=， 则1212333322BPC S =⨯-=V (2132322ABC S =⨯⨯=V由题可得1PBC V 在面ABC 上的投影为ABC V ，设平面1PBC 与平面ABC 所成二面角的大小为θ，则1cos 3ABC BPC S S θ===V V ，sin tan cos 2θθθ∴=== 所以平面1PBC 与平面ABC. 【点睛】本题考查棱柱，棱锥体积的求解，考查利用面积的射影法求二面角的大小，是中档题. 21.已知椭圆222:2(0)C x y a a +=>，过原点O 且斜率不为0的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点． （1）若(1,0)F 为椭圆C 的一个焦点，求椭圆C 的标准方程；（2）若经过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线OP 的方程，若不能，说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）0x = 【解析】【分析】（1）变形2222:12x y C a a+=，根据,,a b c 的关系求解即可； （2）设直线l 的方程为2x my a =+，代入椭圆方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，求得P 点坐标，代入椭圆方程，即可求得m 的值，进而可得直线OP 的方程.【详解】解：（1）由已知得2222:12x y C a a +=，则2212a a -=，解得22a =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，椭圆C 的右焦点,02F a ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭,当直线l 的斜率为0时，,,O A B 三点共线，不符合题意，所以可设直线l的方程为x my =， 联立2222x y a +=，可得()222202a m y ++-=， 显然，>0∆，则1222y y m +=-+， 若四边形OAPB 为平行四边形，则OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以，01222y y y m =+=-+， ()0121222x x x m y y m =+=++=+， 因为P 在椭圆上，所以222002x y a +=，即()()222222228422a a m a m m +=++，解得m =，所以四边形OAPB能为平行四边行，此时002OP y m k x ==-=， 直线OP的方程为y x =即0x ±=. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，计算能力，属于中档题.22.设函数()ln f x x x =-，() 21xg x xe x =--. （1） 关于x 的方程()2103f x x x m =-+在区间[1,3]上有解,求m 的取值范围； （2） 当0x >时，()()g x a f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1) m 的取值范围为35[ln 32,ln]24-+；(2) a 的取值范围为0a ≤. 【解析】试题分析：（1）方程()2103f x x m =-+等价于()27ln 3h x x x x m =-+=，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得m 的取值范围；（2）()()g x a f x -≥恒成立等价于()()()ln 1x F x g x f x x e x x a =-=⋅---≥恒成立，两次求导，求得()F x 的最小值为零，从而可得实数a 的取值范围.试题解析：（1）方程()2103f x x x m =-+即为27ln 3x x x m -+=，令()()27ln 03h x x x x x =-+>，则()()()312317'233x x h x x x x+-=-+=-，∴当[]1,3x ∈时，()()',h x h x 随x 变化情况如表：()()443351,3ln 32,ln 33224h h h ⎛⎫==-<=+ ⎪⎝⎭Q ，∴当[]1,3x ∈时，()35ln 32,ln 24h x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，m ∴的取值范围是35ln 32,ln24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. （2）依题意，当0x >时，()()g x f x a -≥恒成立，令()()()()ln 10x F x g x f x x e x x x =-=⋅--->，则()()()()11'111x x x F x x e x e x x +=+⋅--=⋅⋅-，令()1x G x x e =⋅-，则当0x >时，()()'10x G x x e =+⋅>，∴函数()G x 在()0,∞+上递增，()()010,110G G e =-<=->Q ，()G x ∴存在唯一的零点()0,1c ∈，且当()0,x c ∈时，()0G x <，当(),x c ∈+∞时，()0G x >，则当()0,x c ∈时，()'0E x <，当(),x c ∈+∞时，()'0F x >，()F x ∴在()0,c 上递减，在(),c +∞上递增，从而()()2ln 1F x F c ce c c ≥=---，由()0G c =得10,1c c ce ce -==，两边取对数得ln 0c c +=，()()()0,0,0F c F x F c a ∴=∴≥=∴≤，即实数a 的取值范围是0a ≤.。
高二数学下学期第二次月考试题理含解析试题
智才艺州攀枝花市创界学校第四中二零二零—二零二壹高二数学下学期第二次月考试题理〔含解析〕本卷须知：2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在套本套试卷上无效.第I 卷选择题〔60分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.z 满足：(1)4i z -=，那么z 的虚部是〔〕A.－2B.2C.2i -D.2i【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化为(,)a bia b R +∈的形式，那么答案可求．【详解】解：由(1)4i z -=，得44(1)4(1)221(1)(1)2i i z i i i i ++====+--+， 那么复数z 的虚部是2， 应选B ．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，是根底题． 2.函数f 〔x 〕在x 0处的导数为1，那么000(2x)()limx f x f x x∆→+∆-∆等于〔〕A.2B.﹣2C.1D.﹣1【答案】A 【解析】分析：与极限的定义式比较，凑配出极限式的形式：0000()()lim'()x f x x f x f x x∆→+∆-=∆．详解：000000(2)()(2)()lim 2lim2x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆02'()212f x ==⨯=， 应选A ． 点睛：在极限式0000()()lim'()x f x x f x f x x∆→+∆-=∆中分子分母中的增量是一样的，都是x ∆，因此有000000(m )()(m )()lim m limm x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆0'()mf x =． 22:1y E x n-=的一条渐近线方程为2y x =，那么E 的两焦点坐标分别为A.(B.(0,C.(D.(0,【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得4n =,以此求出焦点坐标.【详解】解析：双曲线22:1y E x n-=的渐近线方程为y =或者y =，所以2=即4n =，故21a =，24b =，25c =，所以E 的两焦点坐标分别()),，应选C.【点睛】此题考察双曲线的焦点的求法，注意运用渐近线方程，考察运算才能，属于根底题．(1,1)a x =-，(1,3)b x =+，那么“2x =〞是“//a b →→〞的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 【分析】利用充要条件的判断方法进展判断即可. 【详解】假设2x =，那么()1,1a =，()3,3b =，那么//a b ；但当//a b 时，2,x =±故“2x =〞是“//a b 〞的充分但不必要条件.选A.【点睛】此题考察充分不必要条件条件的判断，属根底题.X ～N (1,σ2),其正态分布密度曲线如以下图,且P (X,那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点,那么落入阴影局部的点的个数的估计值为()(附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，那么P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝66%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝94%) A.6038 B.6587C.7028D.7539【答案】B 【解析】 分析：求出()10110.682610.34130.65872Px <≤=-⨯=-=，即可得出结论. 详解：由题意得，P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.0228，∴P (－1＜X ＜3)＝1－0.0228×2＝0.9544，∴1－2σ＝－1，σ＝1， ∴P (0≤X ≤1)＝P (0≤X ≤2)＝0.3413， 故估计的个数为10000×(1－0.3413)＝6587， 应选B.点睛：此题考察正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考察正态分布中两个量μ和σ的应用，考察曲6.在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有〔〕 A.233197C C 种 B.()5142003197CC C -种C.233198C C 种D.()233231973197C CC C +种【答案】D 【解析】分析：据题意，“至少有2件次品〞可分为“有2件次品〞与“有3件次品〞两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．详解：根据题意，“至少有2件次品〞可分为“有2件次品〞与“有3件次品〞两种情况， “有2件次品〞的抽取方法有C 32C 1973种， “有3件次品〞的抽取方法有C 33C 1972种， 那么一共有C 32C 1973+C 33C 1972种不同的抽取方法， 应选D ．点睛：此题考察组合数公式的运用，解题时要注意“至少〞“至多〞“最多〞“最少〞等情况的分类讨论．2yx 在(1,1)A 处的切线与y 轴及抛物线所围成的图形面积为〔〕A.1B.12C.13D.2【答案】C 【解析】 【分析】先求切线方程，再用定积分求图形面积，求出被积函数的原函数即可． 【详解】解：函数的导数为()2f x x '=， 那么在()1,1处的切线斜率()12k f ='=，那么对应的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，那么由积分的几何意义可得阴影局部的面积()12321001121()|33Sx x dx x x x ⎡⎤=--=-+=⎣⎦⎰， 应选：C ．【点睛】此题主要考察导数的应用，利用导数的几何意义求出切线方程，以及利用积分求区域面积是解决此题的关键．220x y +-=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点与右焦点，那么椭圆的方程为()A.22415x y +=B.2215x y +=C.22194x y +=D.22164x y += 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与坐标轴的交点，推出椭圆的,a b ，即可得到椭圆的方程.【详解】由题意，直线2x y 20+-=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与右焦点， 可得1,2cb ==，可得a ==所以椭圆的HY 方程为22415x y +=，应选A.【点睛】此题主要考察了椭圆的HY 方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的额HY 方程的形式和简单的几何性质是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.3222y x ax ax =-+上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 等于〔〕A.0B.1C.2-D.1-【答案】B 【解析】 【分析】求出原函数的导函数,由导函数大于0恒成立转化为二次不等式对应二次方程的判别式小于0,进一步求解关于a 的不等式得答案. 【详解】解:由3222y x ax ax =-+,得2342y x ax a '=-+,曲线32:22C y x ax ax =-+上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,∴对任意实数23420x x ax a -+>，恒成立,2(4)4320a a ∴=--⨯⨯<.解得:302a<<. ∴整数a 的值是1.故答案为B【点睛】此题考察了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率,考察了数学转化思想方法,是中档题.()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，如图是函数()()'g x xf x =的图象，那么()f x 的极值点是()A.极大值点2x =-，极小值点0x =B.极小值点2x =-，极大值点0x =C.极值点只有2x =-D.极值点只有0x=【答案】C 【解析】 结合图象，2x <-时，()0g x <，故()'0,20f x x >-<<时，()0g x >，故()'0,0f x x 时，()0g x <，故()'0f x <，故()f x 在(),2-∞-递增，在()2,-+∞递减，故()f x 的极值点是2x =-，应选C.()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上动点，P 是x 轴上动点，那么PN PM -的最大值是()A.4C.4【答案】D 【解析】 【分析】 作出图形，由23PN PC ≤+，11PM PC ≥-，得出214PN PM PC PC -≤-+，利用1C 、P 、2C 三点一共线可得出PN PM-的最大值.【详解】如以下图所示： 圆1C 的圆心()12,3C ，半径为11r =，圆2C 的圆心()23,4C ，半径为23r =，12C C ==由圆的几何性质可得2223PN PC r PC ≤+=+，1111PM PC r PC ≥-=-，2112444PN PM PC PC C C -≤-+≤+=，当且仅当1C 、P 、2C 三点一共线时，PN PM-4.应选：D.【点睛】此题考察折线段长度差的最大值的计算，考察了圆的几何性质的应用以及利用三点一共线求最值，考察数形结合思想的应用，属于中等题. 12.a ，b R ∈，且(1)xea xb ≥-+对x ∈R 恒成立，那么ab 的最大值是〔〕A.32e B.32C.312e D.3e【答案】C 【解析】分析：先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a ＜0，a ＞0的情况，从而得出ab 的最大值．详解：令f 〔x 〕=e x -a 〔x-1〕-b ，那么f′〔x 〕=e x-a ， 假设a=0，那么f 〔x 〕=e x-b≥-b≥0，得b≤0，此时ab=0；假设a ＜0，那么f′〔x 〕＞0，函数单调增，x→-∞，此时f 〔x 〕→-∞，不可能恒有f 〔x 〕≥0． 假设a ＞0，由f′〔x 〕=e x -a=0，得极小值点x=lna ，由f 〔lna 〕=a-alna+a-b≥0，得b≤a〔2-lna 〕，ab≤a 2〔2-lna 〕．令g 〔a 〕=a 2〔2-lna 〕．那么g′〔a 〕=2a 〔2-lna 〕-a=a 〔3-2lna 〕=0，得极大值点a=32e．而g 〔32e〕=312e ∴ab 的最大值是312e 应选C 点睛：此题考察函数恒成立问题，考察了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，浸透了分类讨论思想，是中档题．第II 卷非选择题〔90分〕二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.O xyz -中，(1,2,1)A -，(0,1,2)B ，(1,1,1)C ，那么异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为__________．【解析】 【分析】 先求出OA =()1,2,1-，()1,0.1BC =-，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】因为()1,2,1A -，()0,1,2B ，()1,1,1C ，所以OA =()1,2,1-，()1,0.1BC =-，异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为θ.1cos 36OA BC OA BCθ⋅=== 【点睛】此题主要考察空间向量的坐标运算、异面直线所成的角以及空间向量夹角余弦公式的应用，意在考察综合应用所学知识解答问题的才能，属于中档题.14.2214(2)dt t+=⎰__________． 【答案】4 【解析】()()22124422|422441dt t t t ⎛⎫⎛⎫-=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，故答案为4. ()32f x x x =+，假设()()2330f a a f a -+-<，那么实数a 的取值范围是__________．【答案】(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f 〞，转化为详细的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内24y x =的准线与双曲线22221(00)x y a b a b，-=>>交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，假设FAB ∆为直角三角形，那么双曲线离心率的取值范围是．【答案】)+∞.【解析】试题分析：抛物线焦点(10)F ，，由题意01a <<，且090AFB ∠=并被x 轴平分，所以点(12)-，在双曲线上，得22141a b -=，即2222241a b c aa ==--，即22422224511a a a c a a a -=+=--，所以22222254111c a e a a a -===+--，2015a e <∴，，故e>故应填)+∞.考点：抛物线；双曲线.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分.17.从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进展统计，得到如以下图的频率分布直方图，从这100人中随机抽取1人，其视力在0.30.5~的概率为110. 〔1〕求,a b 的值； 〔2〕假设某大学A 专业的报考要求之一是视力在0.9以上，那么对这100人中能报考A 专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对A 专业的理解程度，现从这8人中随机抽取3人进展是否有意向报考该大学A 专业的调查，记抽到的学生中视力在1.1 1.3~的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【答案】〔1〕100a =,0.50b =〔2〕见解析【解析】分析：(1)先根据小长方形的面积等于对应区间概率得b ，再根据所有小长方形面积和为1求区间[0.9,]概率，除以组距即得a,(2)先根据分层抽样得确定视力在1.1 1.3~ 详解：解：〔1〕0.20.10.50100b b a ⨯=⇒=⇒=； 〔2〕ξ的可能取值为0，1，2，3，概率为：()()3215533388·10300,15656C C C P P C C ξξ======， ()()1235333388·1512,35656C C C P P C C ξξ======，所以其分布列如下：那么()639568Eξ==. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值〞，第二步是“探求概率〞，第三步是“写分布列〞，第四步是“求期望值〞.()22(,)x f x e ax x R a R =--∈∈.〔Ⅰ〕当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；〔Ⅱ〕当0x ≥时，假设不等式()0f x ≥恒成立，务实数a 的取值范围.【答案】〔I 〕(21)2y e x =--；〔II 〕(,2]-∞.【解析】分析：(1)先求切线的斜率和切点的坐标，再求切线的方程.(2)分类讨论求()min f x ⎡⎤⎣⎦，再解()min f x ⎡⎤⎣⎦≥0，求出实数a 的取值范围.详解：〔Ⅰ〕当1a =时，()22x f x e ax =--，()'21x f x e =-，()'121f e =-，即曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为21k e =-，又()123f e =-，所以所求切线方程为()212y e x =--.〔Ⅱ〕当0x ≥时，假设不等式()0f x ≥恒成立()min 0f x ⎡⎤⇔≥⎣⎦，易知()'2x f x e a =-，①假设0a ≤，那么()'0f x >恒成立，()f x 在R 上单调递增；又()00f =，所以当[)0,x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，符合题意.②假设0a>，由()'0f x =，解得ln2a x =， 那么当,ln2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 单调递减； 当ln,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以ln2ax =时，函数()f x 获得最小值.那么当ln 02a≤，即02a <≤时，那么当[)0,x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，符合题意. 当ln02a>，即2a >时， 那么当0,ln2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，()()00f x f <=，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是(],2-∞.点睛：〔1〕此题主要考察导数的几何题意和切线方程的求法，考察利用导数求函数的最小值，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理转化才能.(2)解答第2问由两次分类讨论，第一次是分类的起因是解不等式2xae>时，右边要化成ln 2a e ，由于对数函数定义域的限制所以要分类讨论，第二次分类的起因是ln 2ax =是否在函数的定义域{|0}x x ≥内,大家要理解掌握.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PA 是四棱锥的高，PB 与平面PAD 所成角为45º，F 是PB 的中点，E 是BC 上的动点．〔1〕证明：PE ⊥AF ；〔2〕假设BC =2AB ，PE 与AB 所成角的余弦值为17，求二面角D -PE -B 的余弦值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕42-【解析】 【分析】(1)建立空间坐标系得到两直线的方向向量，进而证得垂直关系；〔2〕建立坐标系通过题干的线线角得到()3,2,0E ，求两个面的法向量，进而得到二面角.【详解】〔1〕建立如以下图空间直角坐标系．设,,AP AB b BE a ===，那么，()()()()0,0,0,0,,0,,,0,0,0,,A B b E a b P b 于是，(),,,0,,.22b b PE a b b AF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，那么0PE AF⋅=，所以AF PE ⊥．〔2〕设2AB =那么4,BC =,()()()()4,0,0,0,2,0,,2,0,0,0,2,D B E a P()()0,2,0,,2,2,AB PE a ==-假设，那么由217ABPE AB PE=得()3,3,2,0a E=，设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =，()()4,0,2,3,2,0,PD ED =-=-由00n PD n PE ⎛⋅= ⋅=⎝，得：420,2022x xx z x y x y z x =⎧⎪-=⎧⎪=⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，于是()2,1,4,21.n n ==，而(),0,1,1, 2.AF PBC AF AF ⊥==设二面角D-PE-B 为θ，那么为钝角所以，cos n AF n AFθ=-=-=【点睛】这个题目考察了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的间隔，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是定义法，做出二面角，或者者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A B 是椭圆上的动点，1ABF 的面积的最大值为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .假设直线'l 与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.【答案】见解析. 【解析】试题分析：〔1〕由，有c a =，可得b c =.设B 点的纵坐标为()000y y ≠.可得1ABF S ∆的最大值()12a cb -=1b =，a =即可得到椭圆C 的方程； 〔2〕由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：1x my =-.设()11,Mx y ，()22,N x y ，(),P P P x y ，()2,Q Q y .联立22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得()222210m y my +--=.由弦长公式可得2212m MN m +=+PQ 22262m m +=+，由此得到PQ MN 的表达式，由根本不等式可得到PQ MN的最小值.试题解析：〔1〕由，有c a =222a c =.∵222a b c =+，∴b c =.设B 点的纵坐标为()000y y ≠.那么()1012ABFS a c y ∆=-⋅()12a cb ≤-=即)1b b -=.∴1b =，a=∴椭圆C 的方程为2212x y +=.〔2〕由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：1x my =-.设()11,Mx y ，()22,N x y ，(),P P P x y ，()2,Q Q y .联立22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=.此时()2810m∆=+>.∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+.由弦长公式，得MN =12y y -=整理，得2212m MN m +=+. 又12222P y y m y m +==+，∴1P P x my =-222m -=+.∴2P PQ =-22262m m +=+.∴2PQMN =22=22⎫=≥，=，即1m =±时等号成立.∴当1m =±，即直线l 的斜率为1±时，PQ MN获得最小值2.〔Ⅰ〕讨论()f x 的单调性； 〔Ⅱ〕假设1a =，证明：当0x>时，()1x f x e <-.【答案】〔Ⅰ〕答案见解析；〔Ⅱ〕证明见解析. 【解析】分析：〔Ⅰ〕先确定函数定义域，再求导()21x x af x x++'=+，讨论导数的正负可得单调区间； 〔2〕令()()21=ln 1-e 12x hx x x +++，求导根据单调性可得()()00h x h <=，从而得证.详解：〔Ⅰ〕、()f x 的定义域为()1,+x ∈-∞由()()21ln 12f x x a x =++得()211a x x af x x x x++=+='++ ()0f x '=令得20x x a ++=14a ∆=-.①当10,4a ∆≤≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在-1+x ∈∞（，）上单调递增. ②当0∆>时，()0f x '=的根为12x x ==1．当1-1x ≤，即0a ≤时，2-1x x ∈（，）递减，2+x x ∈∞（，）递增 2．当1-1x >，即104a <<时，12-1+x x x （，），（，）∈∞递增，12x x x ∈（，）递减.综上所述：当0a ≤时，2-1x x ∈（，）递减，2+x x ∈∞（，）递增；当104a <<时，12-1+x x x （，），（，）∈∞递增，12x x x ∈（，）递减；当14a≥时()f x 在-1+x ∈∞（，）上单调递增. 〔Ⅱ〕()()211=ln 12a f x x x =++当时，所以令()()21=ln 1-e 12xh x x x +++所以只需要()()21=ln 1-e 12xh x x x +++在0+x ∈∞（，）上的最大值小于0. ()1'=-e 1x h x x x ++，∴令()'=0,0h x x =.∴令()()21(='(=1-e 01x g x h x g x x '∴-<+））.() '0h x ∴<()0+h x x ∈∞在，递减，()()00h x h <=，不等式成立.〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假设多做，那么按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数，[]0,θπ∈〕，将曲线1C 经过伸缩变换：x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线2C .〔1〕以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；〔2〕假设直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数〕与12,C C 相交于,A B两点，且1AB =，求α的值.【答案】(1)[]()2230,2cos 1ρθπθ=∈+(2)3πα=或者23π【解析】 试题分析：()1求得曲线1C 的普通方程，然后通过变换得到曲线2C 方程，在转化为极坐标方程()2在极坐标方程的根底上结合1AB =求出结果解析：〔1〕1C 的普通方程为()2210xy y +=≥，把'x x =，'y y =代入上述方程得，()22''1'03y x y +=≥， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥.令cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2C 的极坐标方程为22233cos sin ρθθ=+232cos 1θ=+[]()0,θπ∈. 〔2〕在〔1〕中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩得1A ρ=，由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩得ρ=11=，∴1cos 2α=±. 而[]0,απ∈，∴3πα=或者23π.[选修4-5：不等式选讲] 23. 函数()2F x x m x =-++的图象的对称轴为1x =.〔1〕求不等式()2F x x ≥+的解集；〔2〕假设函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求证：12924a b +≥. 【答案】(1)(,0][4,)-∞⋃+∞(2)见解析 【解析】【详解】试题分析：(1)由函数的对称性可得0m =，零点分段求解不等式可得不等式()2F x x ≥+的解集(2)由绝对值不等式的性质可得()2min f x M ==，那么2a b +=，结合均值不等式的结论：1214222a b a b +=+()11422422a b a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭94≥，当且仅当23a =，43b =时取等号.题中的不等式得证. 试题解析： 〔1〕∵函数()f x 的对称轴为1x =，∴()()02f f =∴0m =,经检验成立∴()2f x x x =+-22,02,0222,2x x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，由()2f x x ≥+，得0222x x x ≤⎧⎨-+≥+⎩或者0222x x <<⎧⎨≥+⎩或者2222x x x ≥⎧⎨-≥+⎩.解得0x ≤或者4x ≥， 故不等式()2Fx x ≥+的解集为][(),04,-∞⋃+∞.〔2〕由绝对值不等式的性质， 可知()222x x x x -+≥--=，当且仅当02x ≤≤等号成立∴()2min f x M ==，∴2a b +=，∴1214222a b a b+=+()11422422a ba b⎛⎫=++⎪⎝⎭12814422b aa b⎛⎫=+++⎪⎝⎭()195444≥⨯+=〔当且仅当23a=，43b=时取等号〕.即129 24 a b+≥.。
高二数学(理)下学期第二次月考试题及答案
高二级第二次月考试题数学（理科）一.选择题（共12小题，每小题5分） 1．复数i-12(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1+i B ．1−i C ．−1+i D ．−1−i2．正弦函数是奇函数，()()1sin 2+=x x f 是正弦函数，因此()()1sin 2+=x x f 是奇函数，以上推理（ ）A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 3．已知函数x x f x f 2)1()(2+'=，则)2(f '的值为( )A ．B ．0C ．D ．4．设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }，B ⊆A ，已知a ∈B ，且B 中含有3个元素，则集合B 有 ( )A ．A 26个 B ．C 24个 C ．A 33个 D ．C 35个5．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a,b,c 中恰有一个是偶数”正确的反设为（ ）A ．a,b,c 中至少有两个偶数B ．a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a,b,c 都是奇数D ．a,b,c 都是偶数6．某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．68种B ．70种C ．240种D ．280种7．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程( ) A ．B ．C ．D ．8．已知函数()223a bx ax x x f +++=在1=x 处取得极值为10，则=a （ ）A ．4或-11B ．4C ．4或-3D ．-3 9．若函数()x kx x f ln -=在区间()+∞,1单调递增，则k 的取值范围是（ ）A ．[)+∞,2B ．(]1,-∞-C ．[)+∞,1D ．(]2,-∞- 10．在直角坐标平面内，由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．用数学归纳法证明不等式“()11113212224n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+，不等式的左边增加的项为（ ） A ．()121k +B ．()112121k k +++C.()11121211k k k +-+++ D ．()11211k k -++12．函数()x f 的定义域为R ，()20=f ，若对任意()()1,>'+∈x f x f R x ，则不等式()1+>⋅x x e x f e 的解集为（ ）A ．()+∞,0B ．()0,∞-C ．()()+∞⋃-∞-,11,D ．()()1,01,⋃-∞- 二．填空题（共4小题，每小题5分）13．某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为___. 14．设()55221052x a x a x a a x ++=-，那么531420a a a a a a ++++的值为______.15．函数()a x x x f --=ln 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是___ _. 16．已知a ，b 为常数，b >a >0，且a ，－32，b 成等比数列，(a ＋bx )6的展开式中所有项的系数和为64，则a 等于________． 三．解答题17．（本题满分10分）设复数i m m z )4(22-+=，当实数m 取何值时，复数z 对应的点：（1）位于虚轴上; （2）位于第一、三象限.18．(本题满分12分)已知(x －2x)n的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，（1）求n ；（2）求展开式中x 的一次项的系数．19．(本题满分12分)已知是定义在上的函数，=，且曲线在处的切线与直线143--=x y 平行.（1）求的值.（2）若函数()m x f y -=在区间上有三个零点，求实数的取值范围.20．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已 知曲线C 的极坐标方程为01cos 42=+-θρρ，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ,213233⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=，设直线l 与曲线C 相交于P,Q 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求OP OQ ⋅的值．21． (本题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=,以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 231212（t 为参数） （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，曲线C '上任一点为()00,M x y，求0012y +的取值范围．22．(本题满分12分)已知函数()()012≥++=m emx x x f x，其中e 为自然对数的底数． （1）讨论函数()x f 的极值；（2）若()2,1∈m ，证明：当[]m x x ,1,21∈时，()ex x f 1121++->．第二学期高二期中考试 数学理科答案一.选择题1-5 BCDBB 6-10 ADBC A 11-12 CA 二.填空题 13.20 14. 121122- 15. 1-<a 16. 21=a 三.解答题17.详解：（1）复数对应的点位于虚轴上， 则.∴时，复数对应的点位于虚轴上.（2）复数对应的点位于一、三象限，则或.∴当时，复数对应的点位于一、三象限.18. (1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C 3n ＝C 8n ，解得n ＝11.(2)由(1)知，展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 11(x )11－k (－2x)k ＝(－2)k C k11x 11－3k 2. 令11－3k2＝1得k ＝3. 此时T 3＋1＝(－2)3C 311x ＝－1 320x ，所以展开式中x 的一次项的系数为－1 320. 19. (1)因为曲线在处的切线与直线平行，所以，所以.(2)由得令得. 当时，；当时，；当时，在，单调递增，在单调递减. 又若函数在区间上有三个零点，等价于函数在上的图象与有三个公共点.结合函数在区间上大致图象可知，实数的取值范围是.20． (1)曲线C 的直角坐标方程为：，即，直线l 的普通方程为03=-y x(2)将直线的极坐标方程()R ∈=ρπθ6与圆的极坐标方程联立得：01322=+-ρρ,1,121=⋅=OQ OP ρρ21. （Ⅰ）由（t 为参数）消去参数可得直线l 的普通方程为：x+y ﹣2﹣1=0由ρ=2，两端平方可得：曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=4 （Ⅱ）曲线C 经过伸缩变换得到曲线C′的方程为x 2+=4，即+=1 又点M 在曲线C′上，则（θ为参数）代入x 0+y 0得：x 0+y 0得=•2cos θ+•4sin θ=22os θ+2sin θ=4sin （θ+），所以x 0+y 0的取值范围是[﹣4，4]22.(1)解：()()()()xe m x x xf ----='11．当0>m 时，1-m<1，令()0='x f ，解得x=1或1-m ．则函数()x f 在()m -∞-1,上单调递减，在()1,1m -内单调递增，在()+∞,1上单调递减．m x -=∴1时，函数()x f 取得极小值；x=1时，函数()x f 取得极大值．当0=m 时，()0≤'x f ，函数()x f 在R 上单调递减，无极值． (2)证明：当[]m x x ,1,21∈时，()e x x f 1121++->，只要证明()max 2min 1)11(ex x f ++->即可，由(1)可知：()x f 在[]m x ,1∈内单调递减，()()me m mf x f 122min+==∴．e e x 111max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++- 只需要证明()2,1,1122∈>+m e e m m 令()()2,1,122∈+=m e m m g m ， ()()2,1,1422∈-+-='m e m m m g m，()0142,02=-+-='m m m g 则()()0,221,0,221,1,221<'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∈>'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈+=m g m m g m m 当当 221+=∴m 为()m g 的极大值点，仅有一个极值，则为最值，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=221max g m g ()()()e e m g e eg e g 13,392,312>>∴>==， 即()2,1,1122∈>+m e e m m证明成立 因此原命题成立．。
【数学】高二数学下学期第二次月考试题理
【关键字】数学安徽省宿州市泗县二中下学期第二次月考高二数学试卷（理科）一．选择题(共10题，每题4分)1.已知函数的导函数的图像如下，则（）A．函数有1个极大值点，1个极小值点B．函数有2个极大值点，2个极小值点C．函数有3个极大值点，1个极小值点D．函数有1个极大值点，3个极小值点2.对方程（其中是自然对数的底数，）根的描述正确的是( )A.对任意的实数,方程必有根B.对任意的实数,方程均无根C.必存在正数，使方程有3个根D.必存在负数，使方程有3个根3.有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是（）A.①②B. ①③C.②③D.①②③4.已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）A．B．C．D．5.已知为正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，若，则=（）A.1B.3 D.46.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（）A B C D7.点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（）A．B．C．D．8.曲线在处的切线的斜率是（）A. B. C. D.9.设、是定义域为R的恒大于零的可导函数，且，则当时有( )A. B.C. D．10.在曲线上的点是（）A B C D二．填空题(共5题，每题4分)11.在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是___ ____12. 平面、的法向量分别为=（2，3，5），=(-3,1,-4),则，的位置关系是（用“①平行”，“②笔直”，“③相交但不笔直”填空）13.已知，则=14.已知是上的增函数，则实数的取值范围是 15.已知，动点是内的点，，若四边形的面积等于，则线段的长度的最小值等于高二数学答题卷（理科）一、选择题（共10题，每题4分，共40分）二、填空题（共5题，每题4分，共20分）11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共4题，每题10分，共40分） 16.已知1ln ()xf x x+=（e 是自然对数的底数， 2.71828e ≈） （1）求()f x 的极大值；（2）若12,x x 是区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意两个实数，求证：12()()1f x f x -≤.17.正方体1AC 中2AB =，E 为1BB 的中点.（1）请在线段1DD 上确定一点F 使1,,,A E C F 四点共面，并加以证明； （2）求二面角1--C AC E 的平面角α的余弦值；（3）点M 在面ABCD 内，且点M 在平面1AEC F 上的射影恰为1AEC ∆的重心，求异面直线AC 与1MC 所成角的余弦值.A 118.已知抛物线2C 4x y =：，圆22:(2)4M x y ++=，(2,)N a （其中a 为常数）是 直线1:2l x =上的点，倾斜角为锐角．．α的直线2l 过点N 且与抛物线C 交于两点A 、B,与圆M 交于C 、D 两点.(1) 请写出直线2l 的参数方程；(2) 若88NA NB a ⋅=-，且CD =，求a 的值.19．已知函数3()f x x ax b =-+存在极值点. (1) 求a 的取值范围；(2) 过曲线()y f x =外．的点(1,0)P 作曲线()y f x =的切线，所作切线恰有两条．．．．，切点分别为A 、B.(ⅰ)证明：a b =；(ⅱ)请问PAB ∆的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围.高二（下）期中考试数学（理科卷）参考答案ACDAD ADCCB（0，-1,0） 3 34- 1a ≥ 216（1）1 （2）max min 1211,()0,()()101f f f f x f x e===-≤-=17（1）中点（2）0（3）M 511(,6618(1)2cos ()sin x t t y a t αα=+⎧⎨=+⎩为参数（2）219（1）0a >（2）（ⅰ）略（ⅱ）2716此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高二数学下学期第二次月考试题(理奥赛)-人教版高二全册数学试题
某某县中学2017届高二年级下学期第二次月考数 学 试 卷(理奥赛)时间:120分钟 总分:150分一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设a 是实数，且211ai i+++是实数，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．12D ．322．下列命题中是假命题的是（ ） A ．(0,),>2x x sin x π∀∈B ．000,+=2x R sin x cos x ∃∈C ．,3>0xx R ∀∈D ．00,=0x R lg x ∃∈3．若a ，b∈R，则21a ＞21b 成立的一个充分不必要的条件是（ ）A ．b ＞a ＞0B ．a ＞b ＞0C ．b ＜aD ．a ＜b4．椭圆的离心率为b ，点（1，b ）是圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（ ）A ．3x+2y ﹣4=0B ．3x ﹣2y ﹣2=0C ．4x+6y ﹣7=0D ．4x ﹣6y ﹣1=0． 5．若曲线2y x ax b =++在点0)b （，处的切线方程是10x y -+=，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-6．已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A 223B 423C 2．27．在R 上可导的函数()f x 的图象如图示，()f x '为函数()f x 的导数，则关于x 的不等式()0x f x '⋅<的解集为（ ）A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-考试时间：2016年4月28—29日C ．)2,1()1,2( --D ．),2()2,(+∞--∞8．已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上不是单调函数，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(3,3)-C ．(,3)(3,)-∞-+∞D ．(),33,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣9．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF.当A 1，E ，F ，C 1共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成二面角的余弦值为( )A.32B.12C.15D.26510．若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,,a b 且常数满足,b a >则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <11.已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值X 围是（ ） A.)1,(e -∞ B.),(e -∞ C.),1(e e- D.)1,(e e -12．已知椭圆C 1：2222x y a b+ =1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2=b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得∠BPA=3π，则椭圆C 1的离心率的取值X 围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．计算定积分（213x x -+）dx=．14．设命题p ：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-->-+06208201243y x y x y x （Ry x ∈,），命题q ：222r y x ≤+（0,,,>∈r R r y x ），若命题q 是命题p ⌝的充分非必要条件，则r 的取值X 围是.15．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，点在椭圆上，且120PF PF ⋅=，123tan PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． 16．已知椭圆方程22x a +22y b =1（0a b >>），当2a +()16b a b -的最小值时，椭圆的离心率e =.三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，某某数a 的取值X 围．18.（本小题12分）已知数列{}n x 满足112x =，且1()2n n n x x n x *+=∈-N （1）用数学归纳法证明：01n x <<；（2）设1n na x =，求数列{}n a 的通项公式.19.（本小题12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？P证明你的结论.20．（本小题12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为A （2，0），离心率为2，过点G （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）当△AMN 的面积为5时，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数xx x f 1ln 2)(+= (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若对于任意的），∞+∈1[x 及]2,1[∈t ，不等式22)(2+-≥mt t x f 恒成立，试求m 的取值X 围.22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为1:3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线)2,(≠∈=t t t x R 上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQ TF 最小时，求点T 的坐标．某某县中学2017届高二年级下学期第二次月考数学试卷(理奥)答案1—5 BBACA 6--10 BACBB 11--12 BA13. 14. 15. 16.17．（本小题满分12分）解: 由条件知，a ≤x 2对∀x ∈[1,2]成立，∴a ≤1；∵∃x 0∈R，使x ＋(a －1)x 0＋1<0成立，∴不等式x 2＋(a －1)x ＋1<0有解，∴Δ＝(a －1)2－4>0，∴a >3或a <－1； ∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 与q 一真一假． ①p 真q 假时，－1≤a ≤1； ②p 假q 真时，a >3.∴实数a 的取值X 围是a >3或－1≤a ≤1.18.解：（1）证明时，假设时成立当时在(0，1)递增（2）19证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而（3）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以设点F是棱PC上的点，则令得解得即时，亦即，F是PC的中点时，、、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC. 20．（1）；（2）±y=0．解：（1）由题意可得：，解得a=2，c=，b2=2．∴椭圆C的方程为．（2）设直线l的方程为：my=x﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为（m2+2）y2+2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=．∴|MN|===．点A到直线l的距离d=，∴|BC|d==，化为16m4+14m2﹣11=0，解得m2=解得m=．∴直线l的方程为，即±y=0．21.解：(1)由题知，函数的定义域为，且 2分令可得当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，在时取得极小值，在定义域内无极大值. 6分（2）由（1）知，函数在上单调递增，故在区间上的最小值为. 8分因此，只需在上恒成立即可，即在上恒成立.设，，由二次函数的图像和性质可得且即：且解得：，即实数m的取值X围是22.解：（Ⅰ）由已知可得解得所以椭圆C的标准方程是.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).设直线的方程为，将直线的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得，其判别式设则于是设为的中点，则点的坐标为.因为，所以直线的斜率为，其方程为.当时，，所以点的坐标为，此时直线OT的斜率为，其方程为.将点的坐标为代入，得. 解得. （ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T的坐标为.于是，。
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上饶县中学2017届高二年级下学期第二次月考数 学 试 卷(理奥赛)时间:120分钟 总分:150分一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设a 是实数，且211ai i+++是实数，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．12 D ．322．下列命题中是假命题的是（ ） A ．(0,),>2x x sin x π∀∈B ．000,+=2x R sin x cos x ∃∈C ．,3>0xx R ∀∈D ．00,=0x R lg x ∃∈3．若a ，b∈R，则21a ＞21b 成立的一个充分不必要的条件是（ ）A ．b ＞a ＞0B ．a ＞b ＞0C ．b ＜aD ．a ＜b4．椭圆的离心率为b ，点（1，b ）是圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（ ）A ．3x+2y ﹣4=0B ．3x ﹣2y ﹣2=0C ．4x+6y ﹣7=0D ．4x ﹣6y ﹣1=0．5．若曲线2y x ax b =++在点0)b （，处的切线方程是10x y -+=，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-6．已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B 两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB 的长是( )ABC．27．在R 上可导的函数()f x 的图象如图示，()f x '为函数()f x 的导数，则关于x 的不等式()0x f x '⋅<的解集为（ ）A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-考试时间：2016年4月28—29日C ．)2,1()1,2( --D ．),2()2,(+∞--∞8．已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．(C．(,(3,)-∞+∞D ．(),3,⎡-∞+∞⎣9．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF.当A 1，E ，F ，C 1共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成二面角的余弦值为( )A.2 B.12C.15D.510．若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,,a b 且常数满足,b a >则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <11.已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A.)1,(e -∞ B.),(e -∞ C.),1(e e - D.)1,(ee - 12．已知椭圆C 1：2222x y a b+ =1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2=b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得∠BPA=3π，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．计算定积分3x ）dx= ．14．设命题p ：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-->-+06208201243y x y x y x （Ry x ∈,），命题q ：222r y x ≤+（0,,,>∈r R r y x ），若命题q是命题p⌝的充分非必要条件，则r 的取值范围是 .15．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点在椭圆上，且120PF PF ⋅=，12tan PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． 16．已知椭圆方程22x a +22y b =1（0a b >>），当2a +()16b a b -的最小值时，椭圆的离心率e = .三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．18.（本小题12分）已知数列{}n x 满足112x =，且1()2nn nx x n x *+=∈-N （1）用数学归纳法证明：01n x <<；（2）设1n na x =，求数列{}n a 的通项公式.19.（本小题12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.20．（本小题12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为A （2，0）过点G （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程； （2）当△AMN的面积为5时，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数xx x f 1ln 2)(+= (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若对于任意的），∞+∈1[x 及]2,1[∈t ，不等式22)(2+-≥mt t x f 恒成立，试求m 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比BD为1:3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线)2,(≠∈=t t t x R 上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQ TF 最小时，求点T 的坐标．上饶县中学2017届高二年级下学期第二次月考数学试卷(理奥)答案1—5 BBACA 6--10 BACBB 11--12 BA13. 14. 15. 16.17．（本小题满分12分）解: 由条件知，a ≤x 2对∀x ∈[1,2]成立，∴a ≤1；∵∃x 0∈R，使x 02＋(a －1)x 0＋1<0成立，∴不等式x 2＋(a －1)x ＋1<0有解，∴Δ＝(a －1)2－4>0，∴a >3或a <－1； ∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 与q 一真一假． ①p 真q 假时，－1≤a ≤1； ②p 假q 真时，a >3.∴实数a 的取值范围是a >3或－1≤a ≤1.18.解：（1）证明时，假设时成立当 时在(0，1)递增（2）19证明 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD. （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而（3）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以设点F是棱PC上的点，则令得解得即时，亦即，F是PC的中点时，、、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.20．（1）；（2）±y=0．解：（1）由题意可得：，解得a=2，c=，b2=2．∴椭圆C的方程为．（2）设直线l的方程为：my=x﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为（m2+2）y2+2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=．∴|MN|===．点A到直线l的距离d=，∴|BC|d==，化为16m4+14m2﹣11=0，解得m2=解得m=．∴直线l的方程为，即±y=0．21.解：(1)由题知，函数的定义域为，且 2分令可得当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，在时取得极小值，在定义域内无极大值. 6分（2）由（1）知，函数在上单调递增，故在区间上的最小值为. 8分因此，只需在上恒成立即可，即在上恒成立.设，，由二次函数的图像和性质可得且即：且解得：，即实数m的取值范围是22.解：（Ⅰ）由已知可得解得所以椭圆C的标准方程是.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).设直线的方程为，将直线的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得，其判别式设则于是设为的中点，则点的坐标为.因为，所以直线的斜率为，其方程为.当时，，所以点的坐标为，此时直线OT的斜率为，其方程为.将点的坐标为代入，得. 解得. （ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T的坐标为.于是，。