黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

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【黑龙江省哈尔滨师大附中】2017届高三上学期期中考试(文)数学试卷-答案

黑龙江省哈尔滨师大附中2017届高三上学期期中考试（文）数学试卷答案1~5．DAABD 6~10．DACAC11~12．DB13．177,178 14．2(2,2)33k k k ππππ-+∈Z 15．3 16．417．（1）由(,)a a c =r (12cos ,2cos 1)b A C =--r 且//a b r r得(2cos 1)(12cos )a C c A -=-由正弦定理得sin (2cos 1)sin (12cos )A C C A -=-化简为2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C +=+，即2sin()sin sin A C A C +=+ABC △中A B C π++=，所以2sin sin sin B A C =+由正弦定理得2b a c =+，由5b =，得10a c +=；（2）1tan22B =得4tan 3B =，ABC V 中43sin ,cos 55B B ==，所以43sin(),cos()55A C A C +=+=-又2sin sin sin B A C =+，[]843sin sin ()sin cos sin 555A A C A A A A =++-=++化简为22sin cos A A =+，所以2cos sin 2AA -=，代入22sin cos 1A A +=得cos 0A =或4cos 5A =又A 为ABC △的最大内角，所以cos cos A B <，所以cos 0A =，所以2A π=．18、（122n a +=，得2844,n n n S a a =++ 所以2n ≥时，11()(4)0n n n n a a a a --+--= 数列{}n a 各项为正数，所以140n n a a ---=，又1n =时218448n n n S a a a =++=，所以12a =，所以通项公式为42n a n =-．（2）1111111()(42)(42)4(21)(21)82121n n n b a a n n n n n n +====--+-+-+11111111(1)(1)83352121821n T n n n =-+-++-=--++L19．（1）根据题意，样本中应抽取女士11002002000⨯=110人，男士20011090-=人；∴110(10253535)5x =-+++=，90(1530253)17y =-+++=；∴消费金额在8000,1[0000]（单位：元）的网购者有女士5人，男士3人，从中任选2名，基本事件为2828C =种，其中选出的2名都是男士的基本事件为3种， ∴所求的概率为328P =；（2）2200(28001400) 4.714 3.841110906040k -=≈>⨯⨯⨯可以在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”． 20．（1）222(1)(),()1(1)x x e e x x f x f x x x x x -'==++++()00f x x '>⇒<或1x >；()001f x x '<⇒<<函数()f x 在(,0),(1,)-∞+∞单调递增，在(0,1)单调递减．（2）当1x ≥时，()1f x ≥总成立，即当1x ≥时11xe bx ≥+恒成立，因为0x e >，所以10bx +>在1x ≥恒成立，所以0b ≥所以只需1x ≥时1xe bx ≥+恒成立，需1x e b x-≤在1x ≥时恒成立，设1(),x e g x x -=则2(1)1()x e x g x x-+'=， 1x ≥时，2(1)1()0xe x g x x -+'=>，所以1()x e g x x-=在[)1,+∞单调递增，1x ≥时，()(1)1g x g e ≥=-，所以1b e ≤-，综上01b e ≤≤-21．（1）()1cos2,f x x '=-[]0,π时()03f x x ππ'>⇒<≤；()003f x x π'<⇒≤<函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减增．[]0,π时，min ()()33f x f ππ==(0)0,(),f f ππ==max ()()f x f ππ==（2）存在(0,)2x π∈，不等式()f x ax <成立存在(0,)2x π∈，2sin x x ax -<成立设()()2sin ,(0)0()12cos g x f x ax x x ax g g x a x '=-=--==--则且．(0,)2x π∈时，12cos (1,1)x -∈-所以()()12cos 1,1g x a x a a '=--∈--- 若10,a --<即1a >-时，(0)10g a '=--<因为()12cos g x a x '=--在(0,)2π单调递增，所以存在区间()0,(0,)2t π⊂，使()0,x t ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,t 单调递减，()0,x t ∈时()0g x <即()f x ax <所以1a >-22．（1）若1a =，()230+232f x x x a x +->-->即解集为2+3⎛⎫-∞∞ ⎪⎝⎭U ，（2，）；（2）恒成立()3f x x <-，即32x a x ---<恒成立，3()(3)3x a x x a x a ---≤---=-，所以只需32a -<，需15a <<23．（1）由柯西公式222()(49)(23)x y x y ++≥+，则2323x y x y +≤+≤所以．（2）由2222220a b c a b c ++---=，得222(1)(1)(1)3a b c -+-+-=，有柯西公式[]2222(1)(1)(1)(411)2(1)(1)(1)a b c a b c ⎡⎤-+-+-++≥++-+-⎣⎦得求证：218(2)a b c ≥--，所以2a b c --≤黑龙江省哈尔滨师大附中2017届高三上学期期中考试（文）数学试卷解析1．【专题】转化思想；数系的扩充和复数。

数学丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷及答案

哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。

黑龙江省哈师大附中20172018高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案

黑龙江省哈师大附中20172018高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案2017年哈师大附中学业水平考试（理科）数学试卷分满分：150分钟考试时间：120 第Ⅰ卷分）共60（选择题分，在每小题给出的四个选项中，只有60小题，每小题5分，共一．选择题：（本题共12 一项是正确的）22yx31PP到另一焦点距离为上的一点，则到椭圆一个焦点的距离为1. 已知椭圆1625 （）5372 B.D.C.A.2y?20x ）2．抛物线的焦点坐标为（，55,005?5,00,?C.D.B.A.224xy?4? ）的渐近线方程是（3.双曲线11x?xy?yxy?2x?4y A. C. B. D. 4222yx a211a?0?已知双曲线4. 的值为（的离心率为，则）22a1?a 1132 B.C.D.A.*****yx?1FPF?F,F60PFFP则若已知是其左、上一点，5.，是椭圆右焦点，）的面积为（ C.A. D.B. 3322ll1?x?y),0(?2 ．设直线过点，且与圆相切，则）的斜率是（*****? B.C.D.A. 232M(0,2)A,BOCCy?2x为坐标原点，则,，过点于7.已知抛物线若：的直线交抛物线OA,OB的斜率之积为（）直线?1?210 ．D．C ．B．A．01y?x0?y?2x?y2xzyx, 8.如果）的最大值是（满足约束条件，则02yx?5105?5 ．BD．A．C．23?FF?PFQPQ，则，9．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦是另一焦点，若∠ 2112 双曲线的离心率等于（）22?221?22 C.B.D.A.112CD、AB10.x?y4 过抛物线，则的焦点作两条互相垂直的弦）（CDAB11 12D.C.B.A.422CCllx?y8PFFPQ的，准线为11.已知抛物线上一点，：，与是是直线的焦点为|QF|?FQ?3FP（），则一个交点，若85A.B.C.3D. 2 232CCxy10?PP向圆过点任意一点，点物为抛知12．已抛物线线：，上22PADBB,A0x?xD:35?y12面积的最小值为作切线，切点分别为，则四边形（）34 ***-***** B．．．C DA．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）22yx1的实轴长为．13．双曲线*****yx1P,QPQl的中点为点14．已知双曲线：，若直线两点，且线段交该双曲线于54A(1,1)l 的斜率为．,则直线?FF?FPF?P，是椭圆和双曲线的公共焦点，15.已知，是它们的一个公共点，且***-*****ee．，则，双曲线的离心率椭圆的离心率为2122ee21．22yxCCC1MM：的两焦点的对称点16. 与的焦点不重合，若已知椭圆，点关于1216 分别为CMNP?QN||PN|?|Q 的中点在，．，线段上，则分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）三．解答题：（本题共6小题，共70 分）17.（本小题满分10 x?yCC3)(1，?A(2,0),B 且圆心已知圆上．经过点在直线C （Ⅰ）求圆的方程；3 ）1（，Cll32 截圆所得弦长为，求直线（Ⅱ）过点的直线的方程． 3（本小题满分12分）18．C B CABC?AB 中，侧棱垂直于底面，如图，三棱柱111 A1?AABC?AC?D90?ACB?AA. 是棱，的中点，112DBDCBDC （Ⅰ）证明：平面；⊥平面1BCDCBC. （Ⅱ）求异面直线所成角的余弦值与1A19．（本小题满分12分）22yx10)?b?1(a?:C?线曲点端与双已知椭为圆，椭圆的短轴离的心率22ab22y2xlC1?x?AP(4,0),B两点相交于且不垂直于轴的直线的焦点重合，过点. 与椭圆2C的方程；（Ⅰ）求椭圆OA?OB的取值范围（Ⅱ）求.．（本小题满分12分）20 PABCD?P1 的底面是边长为如图，四棱锥的正方形，ABCD?PAPC,FABE,.底面分别为，的中点//PADEF 平面；（Ⅰ）求证：EF?2PAQDAP?Q? ，上是否存在点若，试问在线段使得二面角（Ⅱ）F 5Q.？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由的余弦值为5E BA（本小题满分21.12分）C D22yx0)1(a?b的左、右焦点已知椭圆22ba,FF，分别为12BAFF2,,BA是边长为短轴两个端点为且四边形21 的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；MDC, 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点（Ⅱ）若满足*****CDMD．证明：，连接，交椭圆于点为定值．（本小题满分12分）22.22yx2CC1pxy?2：：在第一象限如图，抛物线与椭圆AB?OBA. 为坐标原点，，为椭圆的右顶点，的面积为的交点为3C （Ⅰ）求抛物线的方程；1ODCl*****A两点，于（Ⅱ）过、点作直线交于分别交、两点，射线、21lOCD?OEF?77?SSS3::S？若的面积分别为，使得记和和，问是否存在直线2112l 存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．2017年哈师大附中学业水平考试数学答案（理科）一．选择题1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB二．填空题4 15.4 16.16 13.4 14. 5三．解答题．17.（Ⅰ）设圆心4的方程为分所以，圆．……………，的斜率不存在，方程为，此时直线（Ⅱ）若直线截圆所得弦长为符合题意；．的斜率存在，设方程为，即若直线由条件知，圆心到直线的距离直线．的方程为．……………10 或分综上，所求方程为1AC?2AA? ，，则18.不妨设1222*****A?DC?2?***** ，所以中点，从而,（Ⅰ）因为故是，*****?DC?BC?平面DCC,?***** ，所以，又因为侧棱垂直于底面，11BDCC,?DC?平面BCDC ，1BDC 平面平面BDC?BDCDC?平面, 分……………6;111CCCB,CA,z,x,yC （Ⅱ为原点，轴正向建立空间直角坐标系，为）以如图，以 1 0,0,2,C,0,11,B,00,1C0,0,0,D则1 ?1,2BC1,0,1CD?,?0,?1．BCCD?10 1?cosCD,BC? 15BCCD1 10BC DC5与……………12分所成角的余弦值是所以直线*****bcc1?a2,?e?e （Ⅰ）由题意知解：，19.224a2aa4 *****?4,b?a?ba?33),b(0, .，，又双曲线的焦点坐标为322yx1?椭圆的方程为分.……………434l04?OBBA(?2,0),(2,0),OA ，则（Ⅱ）若直线，的倾斜角为?ll04?x?my 的倾斜角不为可设为，当直线时，直线4?x?my?220?my?(3m4)y36?24 ，由?*****y3x?2224m4?(3m4)?36?0(240?m)3624m)my?4,y),ymy?4,B(A(?,y?yyy 6分设，……………，***-*****2243m?3m?42y16?y?y4myy?my?OAOB?(my?4)(?4)?yym?y 8分……………***-********** 分……………*****m*****))[?4,(m?4,?OA?OB4,? 分……………12，综上所述：范围为44 的中点，PC，20.证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MFMA在ΔCPD中，F为11DC///DC?AE/?MF ，且,MF=且，正方形ABCD中E为AB中点，AE=DCDC 22MF=AEEF/?AM/?AE//MF……2 且，故：EFMA为平行四边形，分y?2xz PADAD，AM又平面EF平面P 分……4 //EF平面PAD为坐标原点建立空间直角坐标系：（Ⅱ）如图：以点A111 ，，，，(1,1,0)PC(0,0,2)(0,1,0)B,1),0)(F,(0,E 222? 分，由题易知平面PAD 的法向量为……6,0)?(0,1n5?y,x1? 假设存在Q满足条件：设，，EFEQ?,0,1)?(EF 2?11 ，，，[0,1]?(0,0,2)AP?)(,,Q(,,AQ) 2222 设平面PAQ的法向量为，)y,zm?(x,?1?0zx?y ? 分……10 ,0)m?(1,220z 5?mn? ?cos?mn,，由已知：52?2nm1?11? ……12 分解得：，所以：满足条件的Q存在，是EF中点。

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)及解析

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.复数z=1+i 的虚部（）A.iB.﹣iC.1D.﹣12.已知集合A={x|xx−1≥0,x∈R},B={y|y=3x2+1,x∈R}，则A∩B=（）A.（1，+∞）B.[1，+∞）C.（﹣∞，0]∪（1，+∞）D.[0，1]3.在区间[0，π]上随机取一个数x，使−√32<cosx<√32的概率为（）A.13 B.23 C.38 D.584.二项式（x2﹣1x ）11的展开式中，系数最大的项为（）A.第五项B.第六项C.第七项D.第六和第七项5.数列{an }的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（）A.3×44B.3×44+1C.44D.44+16.已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{an }是以π4为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则a2016a2=（）A.2016B.2015C.2014D.2013第II 卷（非选择题）二、解答题7.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量 m →=（a ，c ）， n →=（1﹣2cosA ，2cosC ﹣1）， m →∥n →（Ⅰ）若b=5，求a+c 值；（Ⅱ）若 tanB 2=12，且角A 是△ABC 中最大内角，求角A 的大小．8.中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A 与非种子选手B 1 ， B 2 ， B 3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A 获胜的概率分别为 34,23,12 ，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A 至少获胜两场的概率大于 23 ，则A 入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A 是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A 获胜场数X 的分布列和数学期望．9.已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 √2S n =a n +22（Ⅰ）求证：{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 b n =1an +a 1+1an +a 2+⋯+1an +a n+1an +a n+1(n ∈N ∗) ，求证： b n ≤38． 10.已知函数f （x ）=x ﹣2sinx ．（Ⅰ）求函数f （x ）在 [−π2,π2] 上的最值；（Ⅱ）若存在 x ∈(0,π2) ，使得不等式f （x ）＜ax 成立，求实数a 的取值范围．11.已知函数 f(x)=e x ax 2+bx+1，其中a ，b ，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f （x ）≥1总成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）若a ＞0，b=0，若f （x ）存在两个极值点x 1 ， x 2 ，求证；f （x 1）+f （x 2）＜e ．12.已知函数f （x ）=|x ﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f （x ）+|2x ﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）＜|x ﹣3|恒成立，求实数a 的取值范围． 13.（Ⅰ）已知x 2+y 2=1，求2x+3y 的取值范围；2222a ﹣2b ﹣2c=0，求证： 2a −b −c ≤3√2 ．三、填空题14.已知 (1−x)a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 9x 9 ，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|= ．15.袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为．16.已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为．参考答案1.D【解析】1.解：复数z=21+i = 2(1−i)(1+i)(1−i)=1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．【考点精析】掌握复数的乘法与除法是解答本题的根本，需要知道设则；．2.A【解析】2.解：∵集合A={x|xx−1≥0,x∈R},B={y|y=3x2+1,x∈R}，∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，∴A∩B=（1，+∞）．故选：A．【考点精析】利用集合的交集运算对题目进行判断即可得到答案，需要熟知交集的性质：（1）A∩B A，A∩B B，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则A B，反之也成立．3.B【解析】3.解：∵0≤x≤π，−√32<cosx<√32，∴ π6≤x≤ 5π6π，区间长度为23π，则对应的概率P= 23ππ= 23，故选：B．【考点精析】解答此题的关键在于理解几何概型的相关知识，掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．4.C【解析】4.解：二项式（x2﹣1x ）11的展式的通项公式为 Tr+1= C11r•x22﹣2r•（﹣1）r•x﹣r = (−1)r⋅C11r•x22﹣3r，故当r=6时，展开式的系数(−1)r⋅C11r = C116最大，故选：C．5.A【解析】5.解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an =a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和等比数列的前n项和公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；前项和公式：才能正确解答此题．6.B【解析】6.解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵数列{an }是以π4为公差的等差数列，∴an =a1+（n﹣1）× π4，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+ 3π2﹣cosa2﹣cos(a2+π4)﹣cos(a2+π2)=3π，∴6a2﹣cos(a2+π4) = 3π2．令g（x）=6x﹣cos (x+π4)﹣3π2，则g′（x）=6+sin (x+π4)在R上单调递增，又g(π4) =0．∴a2= π4．则a2016a2 =π4+2014×π4π4=2015．故选：B．【考点精析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)，还要掌握等差数列的通项公式（及其变式）(通项公式：或)的相关知识才是答题的关键．7.解：（Ⅰ）因为：，所以，2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，所以，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得2b=a+c=10．（Ⅱ），又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（π﹣A﹣B），则，2sinA+cosA=2，又sin2A+cos2A=1，所以，解得，由于A是最大角，所以，．【解析】7.（Ⅰ）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解．（Ⅱ）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值．【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)．8.解：（Ⅰ）记“种子A与非种子B1、B2、B3比赛获胜”分别为事件A1、A2、A3=所以，A入选最终名单 (6)（Ⅱ）X的可能值为0、1、2、3所以，数学期望：【解析】8.（Ⅰ）利用相互独立事件的概率公式，结合条件，即可求解；（Ⅱ）据题意，X的可能值为0、1、2、3，求出概率，列出分布列，然后求解期望．【考点精析】利用离散型随机变量及其分布列对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．9.证明：（Ⅰ）∵满足，当n=1时，a1=2．当n≥2时，由（1）﹣（2）得（an +an﹣1）（an﹣an﹣1﹣4）=0（an＞0）则an ﹣an﹣1=4，∴{an}是以4为公差的等差数列．an=4n﹣2．（Ⅱ）证明：设，则f（n+1）﹣f（n）＜0所以，{f（n）}递减，即：．【解析】9.（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）通过放缩，利用数列的单调性即可证明．【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an }的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．↗（Ⅱ）f（x）＜ax，∴2sinx﹣（1﹣a）x＞0设g（x）=2sinx﹣（1﹣a）x，则g'（x）=2cosx﹣（1﹣a）由①1﹣a≥2即a≤﹣1，此时g'（x）＜0得出g（x）在单调递减，g （x）＜g（0）=0不成立②1﹣a≤0即a≥1，此时g'（x）＞0得出g（x）在单调递增，g（x）＞g（0）=0成立③0＜1﹣a＜2即﹣1＜a＜1，令，存在唯一）时，g'（x）＞0得出g（x），使得．当x∈（0，x＞g（0）=0，∴存在，有g（x）＞0成立综上可知：a＞﹣1【解析】10.（1）求出导函数，得出极值点，根据极值点求闭区间函数的最值；（2）不等式整理得出2sinx﹣（1﹣a）x＞0，构造函数，根据导函数进行分类讨论，即最大值大于零即可．11.解：（Ⅰ），f'（x）＞0⇒x＞1或x＜0，f'（x）＜0⇒0＜x＜1，∴f（x）增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），减区间为（0，1）．（Ⅱ）在[0，+∞）恒成立⇒b≥0当b≥0时，f（x）≥1⇔e x﹣bx﹣1≥0．设g（x）=e x﹣bx﹣1，g'（x）=e x﹣b ①当0≤b≤1时，g'（x）≥0⇒g（x）在[0，+∞）单调递增，⇒g（x）≥g（0）=0成立②当b＞1时，g'（x）=0⇔x=lnb，当x∈（0，lnb）时，g'（x）＜0⇒g（x）在（0，lnb）单调递减，⇒g（x）＜g（0）=0，不成立综上，0≤b≤1（Ⅲ）有条件知x1， x2为ax2﹣2ax+1=0两根，，且，由成立，作差得：，得∴f（x1）+f（x2）＜e (12)或由x1+x2=2，，（可不妨设0＜x1＜1）设（0＜x＜1），在（0，1）单调递增，h（x）＜h（1）=e，∴f（x1）+f（x2）＜e成立．【解析】11.（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为bx+1≥0在[0，+∞）恒成立，通过讨论b的范围集合函数的单调性从而求出b的范围即可；（Ⅲ）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可．【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．12.解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化为：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．当x≥ 时，3x＞6．解得x＞2，当x∈（1，）时，可得﹣x+2＞2，不等式无解；当x≤1时，不等式化为：4﹣3x＞2，解得x ．不等式的解集为：（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，所以，f（x）max=|a﹣3|即：|a﹣3|＜2所以，a的取值范围为（1，5）【解析】12.（Ⅰ）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可．（Ⅱ）设f （x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，转化不等式为a的不等式，求解即可．【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．13.解：（Ⅰ）由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，则|2x+3y| ，∴﹣≤2x+3y≤ ．（Ⅱ）证明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2得证：18≥（2a﹣b﹣c）2，所以【解析】13.（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，即可求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2，即可证明结论．【考点精析】利用不等式的证明对题目进行判断即可得到答案，需要熟知不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．14.512【解析】14.解：已知(1−x)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|，即（1+x）9展开式的各项系数和，令x=1，可得（1+x）9展开式的各项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=29=512，所以答案是：512．15.2027【解析】15.解：∵袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，∴每次摸到红球的概率都是13，摸到白球的概率都是23，∴至少有2次摸出白球的概率为：p= C32（13）（23）2+ C33（23）3= 2027，故选答案为：2027．16.[4，12]【解析】16.解：x 2+2xy+4y 2=6变形为 (x +y)2+(√3y)2 =6，设 x +y =√6cosθ ， √3y =√6sinθ ，θ∈[0，2π）．∴y= √2 sinθ，x= √6cosθ−√2sinθ ， ∴z=x 2+4y 2== +6=2×（1﹣cos2θ）﹣ 2√3sin2θ +6 = 8−4sin(2θ+π6) ，∵ sin(2θ+π6) ∈[﹣1，1]． ∴z∈[4，12]．所以答案是：[4，12]．【考点精析】解答此题的关键在于理解三角函数的最值的相关知识，掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．。

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哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学试题（理科）考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}|3A x x =<，{}|20B x x =-≤，那么集合=B A Y A ．(],3-∞B ．(),3-∞C ．[)2,3D ．(]3,2-2．已知不共线的向量,a b ，||2,||3==a b ，()1⋅-=a b a ，则||-=a b A 3B ．227D 233．等差数列{}n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则这个数列的前13项和为 A ．13B ．26C ．52D ．1564．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是A ．133π B ． 7π C ．11π D ． 12π 5．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度，所得图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值是 A ．13B ．1C ．53D ． 2 6．设tan()2πα+=，则sin()cos()sin()cos()αππααππα-+-=+--A ．13B ．1C ．3D ． -17．设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知241a a =，37,S =则5S = A ．152 B ．314 C ．334D ．1728．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(),f x f x +=-且(1)2f =，则(2013)(2015)f f += A ． -2 B ．0 C ．2D ．49．已知函数()3sin ,f x x x π=-命题:(0,),()02p x f x π∀∈<，则A ．p 是真命题，00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥ B ．p 是真命题，:(0,),()02p x f x π⌝∀∈> C ．p 是假命题，:(0,),()02p x f x π⌝∀∈≥ D ．p 是假命题，00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥ 10．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是A ．(],1-∞-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC ∆的形状是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值为 A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等差数列{}n a 中，12342,4a a a a +=+=，则56a a += ． 14．设α为锐角，若3cos(),65πα+=则sin()12πα-= ． 15．已知向量)2,2(=OA ，)1,4(=OB ，在x 轴上存在一点P 使BP AP ⋅有最小值，则点P 的坐标是．16．在平面直角坐标系xoy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．已知点(),P x y 是角θ终边上一点，()0OP r r =>，定义()ryx f -=θ．对于下列说法：①函数()f θ的值域是⎡⎣； ②函数()f θ的图象关于原点对称；③函数()f θ的图象关于直线34x π=对称； ④函数()f θ是周期函数，其最小正周期为2π； ⑤函数()fθ的单调递减区间是32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦其中正确的是．（填上所有正确命题的序号）PA BCDE三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1110,910n n a a S +==+. （Ⅰ）求证：{lg }n a 是等差数列；（Ⅱ）设12(lg )(lg )n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）已知向量m 2(2cos x =n (1,sin 2),x =函数()f x =⋅m n ．（Ⅰ）求函数()f x 的图象的对称中心和单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()3,1,f C c ab ===且a b >，求,a b 的值．19．（本题满分12分）四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，PA =CD =2PD =2AB =2，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面BDE 所成角的大小． 20．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=1，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：C 1D ⊥D 1E ；（Ⅱ）在棱AA 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ? 明理由；（Ⅲ）若二面角B 1-AE -D 1的大小为90°，求AD 的长． 21．（本题满分12分）设函数()()1ln 2++=x a x x f ，其中0≠a ．（Ⅰ）当1-=a 时，求曲线()x f y =在原点处的切线方程；（Ⅱ）试讨论函数()x f 极值点的个数；（Ⅲ）求证：对任意的*N n ∈，不等式()3112ln +>⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n 恒成立．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲已知AB 是半圆O 的直径，AB =4，点C 是半圆O 上一点，过C ⊥CD 于D ，交半圆于E ，DE =1．（Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ；（Ⅱ）求BC 的长．23．(本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 极坐标方程为2sin ,0,.2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C在D 处的切线与直线:20l x --=垂直，根据（Ⅰ）中的参数方程，确定点D 的坐标．24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）已知不等式28x t t +-≤的解集是{}54x x -≤≤，求实数t 的值；（Ⅱ）已知实数,,x y z 满足22211249x y z ++=，求x y z ++的最大值．哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学（理科）答案1-6：BABADC 7-12：BAACDB13、 6 14、1015、（3，0） 16、 ①③④ 17．（1）当2≥n 时，由1091+=+n n S a ，得1091+=-n n S a ，相减得：n n a a 101=+当1=n 时，11210100109a S a ==+=，∴)(10*1N n a a n n ∈=+，n n n a a a lg 1)10lg(lg 1+==∴+， 1lg lg 1=-∴+n n a a ，又1lg 1=a {}n a lg ∴是首项为1，公差为1的等差数列. L L 6‘ （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=111212n n n n b n ，则11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L =12+n n L L 12‘18、解：（1）2()2cos 2cos 212==+f x x x x x 2sin(2)16π=++x L L 2‘令2,6ππ+=∈x k k Z ，,212ππ∴=-∈k x k Z ，∴对称中心为,1212ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭k k Z L L 4‘ 令222,262πππππ-≤+≤+∈k x k k Z ，∴,36ππππ-≤≤+∈k x k k Z∴增区间：,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z L L 6‘（2）()2sin 2136π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭f C C ，sin 216π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭C ， 0π<<Q C ，132,666πππ∴<+<C 262ππ∴+=C 6π∴=C ， L L 8‘ ()2222222cos 2=+-=+=+-c a b ab C a b a b ab 1,==Q c ab ，2∴+=a b =ab >a b ，2,∴==a b L L 12‘19、解：（1）2,1,60,==∠=oQ PA PD PAD2222cos 3∴=+-⋅∠=AD PA PD PA PD PAD ，∴=AD ，222∴=+PA AD PDED CBAD1C1B1A1MNzyxMA1B1C1D1ABCDE∴⊥PD AD，又⊂Q PD平面PDA，平面PDA I平面=ABCD AD，平面PDA⊥平面ABCD，∴⊥PD平面ABCD L L6‘（2）⊥Q AD CD，∴以,,DA DC DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系1(0,0,0),(0,0,1),(0,1,),2D P EB1(0,1,),2∴==uuu r uu u rDE DB，设平面BDE的一个法向量为(,,)=rn x y z，则12⎧+=⎪+=y zy，令1=x，(1∴=rncos,∴〈〉==uu u r rDP n，设直线PD与平面BDE所成的角为θ，sinθ=，∴直线PD与平面BDE所成的角为60.o L L12‘20．方法一：证明：（1）连D1C，长方体中，EC⊥平面DCC1D1，∴EC⊥DC1∵AB=AA1，∴正方形DCC1D1中，D1C⊥DC1又EC∩D1C=C，∴DC1⊥平面ECD1∵D1E⊂面ECD1，∴C1D⊥D1E L L4‘解：（2）存在点M为AA1中点，使得BM∥平面AD1E．证明：取A1D1中点N，连BM∵E为BC中点，∴ND1∴四边形BED1N是平行四边形，∴BN∥D1E又BN⊄平面AD1E，D1E⊂平面AD1E∴BN∥平面AD1E∵AD1，MN⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E∴MN∥平面AD1E∵BN∩MN=N，∴平面BMN∥平面AD1E∵BM⊂平面BMN，∴BM∥平面AD1E此时，112AMAA=L L8‘方法二：n n n n nn n n m m m m m m 证明：（1）以D 为原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz ，设AD=a ，则D(0,0,0)，A(a ,0,0)，B(a ,1,0)，B 1(a ,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E(2a,1,0)， ∴11(0,1,1),(,1,1)2aC D D E =--=-uuu r uuu r ，∴110C D D E ⋅=uuu r uuu r ，∴C 1D ⊥D 1E L L 4‘解：（2）设1AM h AA =，则(,0,)M a h ，∴(0,1,)BM h =-uuu r ，1(,1,0),(,0,1)2aAE AD a =-=-uu u r uuu r ，设平面AD 1E 的法向量 (,,)x y z =，则1020a AE x y AD ax z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩uu ur uuu r ， ∴平面AD 1E 的一个法向量 (2,,2)a a =∵BM ∥平面AD 1E ，∴BM ⊥uuu r ，即20BM a ah ⋅=-=u u u r ，∴12h = 即在存在AA 1上点M ，使得BM ∥平面AD 1E ，此时112AM AA =．L L8‘ 解：（3）设平面B 1AE 的法向量 (,,)x y z '''=，1(,1,0),(0,1,1)2aAE AB =-=uu u r uuu r则1020a AE x y AB y z ⎧''⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩uu u r uuu r，∴平面B 1AE 的一个法向量 (2,,)a a =-∵二面角B 1-AE-D 1的大小为90°，∴⊥ ，∴ 22420a a ⋅=+-= ∵a >0，∴a =2，即AD=2． L L 12‘21．解：（1）当1-=a 时，()()1ln 2+-=x x x f ，则()112'+-=x x x f ，()10'-=∴f ∴曲线()x f y =在原点处的切线方程为x y -= L L 2‘（２）()1,122122'->+++=++=x x ax x x a x x f ，令()1,222->++=x a x x x g 当21>a 时，0<∆，所以()x g >０，则()x f '>０，所以()x f 在()+∞-,1上为增函数，所以无极值点；当21=a 时，0=∆，所以()x g ≥０，则()x f '≥０，所以()x f 在()+∞-,1上为增函数，所以无极值点；当21<a 时，0>∆，令()x f '=０，则22111a x ---=，22112a x -+-=当210<<a 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈21,11x ，⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∈,212x ，此时有２个极值点；当0<a 时，()1,1-∞-∈x ，()+∞∈,02x ，此时有１个极值点；综上：当21≥a 时，无极值点；当210<<a 时，有２个极值点；当0<a 时，有１个极值点； L L 8‘（３）对于函数()2ln(1)f x x x =-+，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++则()32213(1)3211x x h x x x x x +-'=-+=++，()[0,)0x h x '∈+∞>当时，，所以函数()h x 在[0,)+∞上单调递增，又(0)0,(0,)h x =∴∈+∞时，恒有()(0)0h x h >= 即23ln(1)<++x x x 恒成立.取11+=n x ，则有()()321111111ln +-+>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n 恒成立，即不等式()3112ln +>⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n 恒成立. L L 12‘ 22.解：(1)连接OC, 因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA因为CD 为半圆O 的切线,所以OC ⊥CD, 因为AD ⊥CD,所以OC ∥AD, 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD, 所以AC 平分∠BAD………………5分 (2)连接CE,有(1)知∠OAC=∠CAD,所以BC=CE. 因A,B,C,D 四点共圆,故∠ABC=∠CED, 因为AB 是半圆O 的直径, 所以∠ACB 是直角, Rt △CDE 相似于Rt △ACB,DE:CE=CB:AB,BC=2.………………10分23. 解 (I)半圆C 的普通方程为; []2220,0,1,x y y x +-=∈ ………………2分半圆C 的参数方程为cos ,,1sin .22x y αππαα=⎧⎛⎫⎡⎤∈-⎨⎪⎢⎥=+⎣⎦⎝⎭⎩为参数 ………………5分 (II)设点D 对应的参数为α,则点D 的坐标为()cos ,1sin αα+且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 由(1)可知半圆C 的圆心是C(0,1),因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直,故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等,(1sin )1tan cos 33ααα+-==即,,,226πππαα⎡⎤∈-∴=⎢⎥⎣⎦Q ………………8分所以点D的坐标为3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭………………10分 24.解 (I)28,80,8+≤++≥≥-x t t t t 得所以 ,828,44,t x t t t x --≤+≤+--≤≤由()8f x ≤的解集是{}54,x x -≤≤得45,1t t --=-=(II)由柯西不等式得()()222221491234923y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++++≥++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g g ()228,x y z x y z ≥++-≤++≤当且仅当320123zy x ==>即22224949y z y z x x ==++=>0且,亦即x y z ===时(()max x y z ++=。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三上学期期中

一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。

1--8题为单选题，只有一个答案是正确的；9--12为多选题，全部正确得4分，选不全得2分，有错选的得0分）1、一物体做初速度为零的匀加速直线运动到达位移为x 、2x 、3x 处的速度之比是（）A ．1：2：3B ．1：3：5C ．D ．1：4：9 【答案】C 【解析】试题分析：由题，物体做初速度为零的匀加速直线运动，速度与位移关系为v 2=2ax ，则有ax v 2=由于加速度a 一定，则有速度之比为v 1：v 2：v 3=321::x x x =1：2：3故选C 。

考点：匀加速直线运动【名师点睛】对于初速度为零的匀加速直线运动，速度与位移关系为：v 2=2ax ，运用比例法，已知位移之比即可求解速度之比。

2、如图甲所示，一定质量理想气体的状态沿1→2→3→1的顺序作循环变化。

若改用V T -或P V -图象表示这一循环，乙图中表示可能正确的选项是（）【答案】D 【解析】试题分析：由图示图象A 可知，1→2过程，V 与T 成正比，是等压变化，不符合题意，故A 错误；由图示图象B 可知，1→2过程是等容变化，温度降低，不符合题意，故B 错误；由图示图象C 可知，2→3过程是等压变化，体积变大，不符合题意，故C 错误；由图示图象D 可知，1→2过程，p 与T 成正比，是等容过程，p 与T 均增大，2→3过程，是等压变化，压强p不变，温度T降低，由理想气体状态方程可知，体积V减小；3→1过程，是等温变化，温度T不变，压强p减小，由玻意耳定律可知，体积V变大；符合题意，故D正确；故选：D．考点：理想气体状态方程、玻意耳定律【名师点睛】由图示图示可知，1→2过程，p与T成正比，是等容过程，p与T均增大；2→3过程，是等压变化，压强p不变，温度T降低，由理想气体状态方程可知，体积V减小；3→1过程，是等温变化，温度T不变，压强p减小，由玻意耳定律可知，体积V变大。

黑龙江省哈师大附中2017届高三上学期期中考试数学理(含答案)word版

黑龙江省哈师大附中 2017届高三上学期期中考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分） 1．已知i 是虚数单位，()()3i 2+i =i--1（）A ．3+iB ．3i --C ．3+i -D ．3i -2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB = ,(1,3)AC =，则BD 等于）A ．(2,4)--B ．(3,5)--C ．(3,5)D ．(2,4) 3．等差数列{}n a 中，35791120a a a a a ++++=，则8912a a -= （）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数1112xy +⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（）A ．(),1-∞B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．已知向量,a b 均为单位向量，若它们的夹角为60，则3a b - 等于（）ABCD ．46．函数2()25f x lnx x x =-++的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37．已知=2tan α，则22sin 1sin 2αα+= （）A ．53B ．134-C ．135D ．1348．等比数列{}n a 中，2580a a +=，则62S S = （）A ．10-B ．10C ．20D ．219．函数2()12sin ()4--f x x π=是（）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数10．等差数列{}n a 的前n 项和满足1020:S S =，下列结论正确的是（） A ．15S 是n S 中最大值 B ．15S 是n S 中最小值C ．150S =D ．300S =11．设函数()2cos(2)4f x x π=-，将()y f x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，使得到的图像关于原点对称，则ϕ的最小值为（）A ．8πB ．38π C ．4π D ．34π12．设A ．B ．C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅的最大值为（）A ．B ．32C ．3D 二、填空题（每小题5分）13．已知角α的终边经过点P (,6)x -，且35tan α=-，则__________x =．14．已知(1,2),(2,)a b λ=-=，若a 与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围为__________．15．在ABC ∆中，E ．F 分别为边AB ．AC 上的点，且,2AE EB AF FC ==，若BC mCE nBF=+，则__________m n +=． 16．在,90Rt ABC C ∆∠=中，且A ∠．B ∠．C ∠所对边分别为,,a b c ，若a b cx +=，则实数x 的取值范围为__________．三、解答题（共70分）17．（10分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为A ∠．B ∠．C ∠的对边，已知-tanB tanA tanB=-⋅，c =ABC ∆面积为2．（1）求C ∠的大小; （2）求a b +的值．18．（12分）数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设*11()n n n b n N a a +=∈⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）设a R ∈,cos 2f x x(asinx -cosx)+cos (-x)2π（）=，满足()(0)3f f π-=．（1）求()f x 的最大值及此时x 取值的集合; （2）求()f x 的增区间．20．（12分）在数列{}n a 中，*112,21,n n a a a n n N +==-+∈．（1）证明数列{}n a n -是等比数列;（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求使12n n S S +>的最小n 值．21．（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．22．（12分）已知函数2()2()f x x x alnx a R =++∈．（1）当4a =-时，求()f x 的最小值;（2）若函数()f x 在区间(0,1)上为单调函数,求实数a 的取值范围; （3）当1t ≥时,不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立,求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题13．10 14．{}14-λλλ<≠且 15．1416．(1三、解答题 17．解：（1）由已知得：tan tan 1tan tan A Btan(A+B)=A B+=- t a n C 3∴()0,C π∠∈3C =π∴∠（2）由余弦定理得：2222cos 1sin 25.c a b ab CS ab C a b =+-=∴+=18．解:（1）由已知：当1n =时 112a S == 当2n ≥时 121n n n a S S n -=-=-∴数列{}n a 的通项公式为2(1)21(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．（2）由（1）知: 1(1)61111(2)(21)(21)22121n n b n n n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪-+-+⎝⎭⎩当1n =时 1116T b == 当2n ≥时1211111111623557212111342n n T b b b n n n =++=⎛⎫+-+-++- ⎪-+⎝⎭=-+∴{}n b 的前n 项和11342n T n =-+． 19．解:（1）22()cos sin cos sin 1sin 2cos 22()(0)3f x a x x x x a x x f f a π=-+=--=∴=()cos 2sin()6f x x x x π∴=-=-当22()62x k k Z πππ-=+∈时 sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ()f x ∴的最大值为2,取最大值时x 的集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．(2)222()262k x k k Z πππππ-<-<+∈所以，函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 20．（1）证明：由已知 1110a -=≠由 121n n a a n +=-+，得1(1)2(2n n n n a n a n a (n+1)a n+-+=--∴=-）{}n a n ∴-是等比数列．（2）解：由（1）知：1122n n n n a n a n ---=∴=+ n (1)=212n n n S +-+215202n n n n S S +---=>使12n n S S +>的最小n 值为3．21．解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为222214y x r r+= 设(,)C x y则y = （1）1(22)2(2S x r r x =+⋅=+ 定义域为 {}0x x r <<．（2）由（1）知2(S r x =+=设222g(x)=(r+x)(r -x ) 则22()(2)g (x)x r x r '=-+- 由0g (x)'=得2r x =当02r x << 0g (x)'> 当2rx r << 0g (x)'< ∴当2r x =时g(x)取最大值,S 取最大值,22．解:（1）当4a =-时, 2()24ln f x x x x =+- 2(2)(1)()x x f x x+-'=当1x =时函数()f x 取最小值3．（2） 222()(0)x x af x x x++'=> 设222g(x)=x x a ++ 依题意 00(1)0g()g ≥≤或得 04a a ≥≤-或．（3）当1t ≥时 (21)2()3f t f t -≥-恒成立⇔ 当1t ≥时 2221242ln0t t t a t --++≥ 恒成立设2221()242lnt g t t t a t-=-++ 则 []1()2(1)222(21)(21)(21)a t g t t t t a t t t t ⎡⎤-'=--=--⎢⎥--⎣⎦1(1)1t t t ≥∴-≥（1）当2a ≤时，1()0t g t '≥≥则 ()g t 在[)1,+∞单调递增1()(1)0t g t g ∴≥≥=时（2）当2a >时，设()2(21)h t t t a =--(1)20h a =-< ()0h t = 有两个根，一个根大于1，一个根小于1．不妨设 121t t <<当()21,t t ∈时 ()0h t < 即()0g t '< ()g t ∴在()21,t 单调递减 ()(1)0g t g <= 不满足已知条件．综上:a 的取值范围为{}2a a ≤．。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三数学上学期期中试题理

2018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试数学试题（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，集合，则 2{20}A x x x =+-<21{|1}B x x =>A B = A ． B ． C ． D ． (1,2)-(,1)(1,)-∞-+∞ (1,1)-(1,0)(0,1)- 2．已知，则的值2sin cos 0θθ+=2sin cos cos θθθ-A ． B ．C ．D ．65-35-35653．已知向量，向量的夹角是，，则等于=a ,a c 3π2⋅=a c ||cA ．B ．1CD ．2 124．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法中正确的是 ,m n ,,αβγA ．∥∥ B ．∥ α,,βαβ⊂⊂⇒m n m n ,αγβγα⊥⊥⇒βC ．∥∥ D ．∥∥α,βm n ,αβ⊥⇒⊥m n ,,αββγ== m n m α⇒nβ5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为 A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺6．函数（其中）的图象如图所示，为了得到()sin()ωϕ=+f x A x 0,||2πϕ><A ()cos 2=g x x的图象，则只要将的图象()f x A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度6π12πC ．向左平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度6π12π侧侧侧侧侧侧侧侧侧7．直三棱柱中，，，则直线与所成角的111ABC A B C -AB AC ⊥1AB AC AA ==1A B 1AC 大小为A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8．若函数在区间上单调递减，且，，()()20.3log 54=+-f x x x ()1,1a a -+lg 0.3=b 0.32=c 则A ．B ．C ．D ．b ac <<b c a <<a b c <<c b a <<9．已知数列的首项，数列为等比数列，且．若，则 {}n a 12a ={}n b 1n n na b a +=10112b b =21a =A ． B ． C ． D ． 9210211212210．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为ACD ．11．已知定义域为R 的奇函数，当时，， ()f x 0x >()2(+3)f x f x =当时，，则 30x -<≤3()log (1)f x x =-(2018)=f A ． B ． C ． D ． 67312-67212-672126731212．已知是定义在R 上的奇函数，满足，且当时，()f x (2)()0-+=f x f x [0,1)∈x ，则函数在区间上的所有零点之和为 ()1=-xf x x ()()2sin π=+g x f x x (3,5)-A ．12 B ．13 C ．14 D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点且与直线垂直的直线方程为．(1,2)-2390-+=x y14．已知，则． 3224sin(=-θπ=θsin 15．在△中，，，，则．ABC AD AB⊥BC = ||1AD =AC AD ⋅= 16．已知正三角形的三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，ABC 2O ABC 1点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是． E AB E O三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）在中，角所对的边分别为，且． ABC ∆,,A B C ,,a b c 1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A （Ⅰ）求的值；sin B （Ⅱ）若，,求的面积．a c +=b =ABC ∆18．（本小题12分）若数列的前项和满足，等差数列满足{}n a n n S 231(*)=-∈n n S a n N {}n b ．11323,3b a b S ==+（Ⅰ）求数列，的通项公式； {}n a {}n b （Ⅱ）设，求数列的前项和． 3nn nb c a ={}n c n n T19．（本小题12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，焦距:E )0(12222>>=+b a b y a x 12,F F 21=e 为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；E （Ⅱ）若是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，,,,A B C D 1F A 1FC 1F B 1F D，求的最小值．0AC BD ⋅= AC BD +20．（本小题12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，S ABCD -SA ⊥ABCD ABCD AD ∥，，且，，是棱的中点． BC AB AD ⊥2SA AB BC ===1AD =M SB （Ⅰ）求证：∥平面；AM SCD （Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；SCD SAB （Ⅲ）设点是线段上的动点，与平面所成的角为， N CD MN SAB θ求的最大值． sin θ21．（本小题12分）已知函数． 2()ln(1)f x x m x =++（Ⅰ）当时，求函数的单调区间； 4m =-)(x f （Ⅱ）若函数有两个极值点，且，求的取值范围． )(x f 12,x x 12x x <21()f x x考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请填涂题号．22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线与曲线（为参1:1C x y +=222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ϕ数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程；12,C C （Ⅱ）在极坐标系中，已知与,的公共点分别为,，当在区间:(0)l θαρ=>1C 2C A B α上变化时，求OB OA的最大值．[0,2π23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()352244f x x x =-++．（Ⅰ）求函数的最小值；()f x a（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设,R m n +∈，且1m n += ≤2018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试理科数学参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DADCBDBACABD二．填空题13． 14． 15 16． 3210+-=x y 1994π三．解答题 17．解：（Ⅰ）由得，,1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A 1)1cos cos sin sin (cos cos 3=-CA CA C A ，即，，1)cos cos sin sin 3=-∴C A C A （31)cos(-=+∴C A 31cos =∴B 又 , ． …………6分 0B π<<322sin =∴B （Ⅱ）由余弦定理得：，312cos 222=-+=ac b c aB 3122)(22=--+∴ac b ac c a 又，，,a c +=b =9ac =． …………12分 1sin 2ABC S ac B ∆∴==18．解：（Ⅰ）当时，1n =111231,1S a a =-∴=当时，，即2n ≥()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---13nn a a -=数列是以为首项，3为公比的等比数列， …………3分∴{}n a 11a =13n n a -∴=设的公差为{}n b 1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+= …………6分()31321n b n n ∴=+-⨯=+（Ⅱ）① 1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++ 则②， 234113572133333n n n T ++=++++由①—②得，23121112112(33333n n n n T ++=++++- 142433n n ++=-∴ …………12分223n n n T +=-19．解：（Ⅰ）由已知，，∴，∴ 1,242c e c a ===2,4c a ==22212b a c =-=故，椭圆方程为…………4分 2211612x y +=（Ⅱ）∵∥，∥，，∴直线垂直相交于点． 1F A 1FC 1F B 1F D 0AC BD ⋅=,AC BD 1(2,0)F -①直线有一条斜率不存在时，,AC BD 6814AC BD +=+=②直线斜率均存在，则斜率均不为0，不妨设方程,AC BD AC (2)y k x =+联立，得22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(34)1616480k x k x k +++-=222222(16)4(34)(1648)24(1)0k k k k ∆=-+-=+>设，则 1122(,),(,)A x y B x y 221212221616483434k k x x x x k k-+=-=++，．把， 22224(1)34k AC x k +∴=-=+ k1-2234)1(24k k ++， 222222222168(1)168(1)96(43)(34)7(43)(34)2k k AC BD k k k k ++∴+=≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭当且仅当，即时，上式取等号224334k k +=+1k =±综上可得：的最小值为． …………12分AC BD + 96720．解：（Ⅰ）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， A 则()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0,0,0,2,0,1,1A B C D S M ，()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ∴==-=--设平面的一个法向量为SCD n(),,x y z =则，令，得，∴，即 SD CD ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩00==n n 2020x z x y -=⎧∴⎨--=⎩1z =n (2,1,1)=-AM ⋅ 0=n AM ⊥ n ∵平面 ∴∥平面． …………4分AM ⊄SCD AM SCD （Ⅱ）取平面SAB 的一个法向量，则 m (1,0,0)=cos ,<>=n m ||||⋅⋅n m nm ==∴平面与平面…………8分 SCD SAB （Ⅲ）设，则，平面的一个法向量为(),22,0N x x -(12)x ≤≤(),23,1MN x x =--SAB m(1,0,0)=∴sin |cos ,θ=<MN >msin θ∴=当，即时，取得最大值，且． …………12分 135x =53x =sin θ()max sin θ=21．解：（Ⅰ）依题意知函数定义域为， …………1分()1,-+∞， …………2分 ()21mf x x x '=++2221x x m x ++=+当时，令，得；令，得4m =-2224()01x x f x x +-'=<+11x -<<()0f x '>1x >故函数的单调减区间，增区间． …………5分 ()f x (1,1)-(1,)+∞（Ⅱ）若函数有两个极值点、，且，()f x 1x 2x 12x x <知，， 102m <<12121,,2m x x x x +=-=21(,0)2x ∈-， …………7分 ()()()()22221222221122ln 12ln 11f x x x x x x x x x x x ++==+-+令，21()2ln(1),(,0)(1)2x h x x x x x =+-∈-+，令，()()()222ln 11x h x x x '∴=+++()()22()2ln 11x g x x x =+++，令， 232(31)()(1)x x g x x ++'∴=+()231x x x ϕ=++又，; 1(,0)2x ∈- 3(1)0x +>在单调递增且，，即存在使得()x ϕ1(,0)2-(0)0ϕ>1()02ϕ-<01(,0)2x ∈-()00x ϕ=即，()01(,),0,2x x g x '∈-<()()0,0,0x x g x '∈>在单调递减，在单调递增， …………10分()g x 01(,)2x -()g x ()0,0x 又，，在单调递减，()100,()02g g =-<1(,0),()02x h x '∴∈-<()h x ∴1(,0)2-又,， …………11分(0)0h = 11()ln 222h -=-故所求范围为． …………12分1(0,ln 2)2-22．解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1||,||4cos cos sin A B OA OB ρρααα====+()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭ 由，知，当242ππα+=， 02πα≤<52444πππα≤+<即8πα=时，OB OA有最大值2+． …………10分23．解：（Ⅰ）()352244f x x x =-++ 2)452()432(=+--≥x x 当且仅当，即时，上式取等号，即取得最小值2 35(2)044x x -+≤5388x -≤≤()f x 故． …………5分 2a =（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证．，2(21)32(21)32222m n m n ++++≤=+≤=+∴∴故，原不等式成立． …………10分。

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哈师大附中2017-2018学年高三上学期期中考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） ]()01+∞，，D.3. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 2+，则f （﹣1）=（） A ．﹣2B ．0C ．1D ．24．在区间[]0,π上随机取一个数x ，使cos x <<的概率为（） A. 13 B.23 C. 38D. 585. 若||2||||=-=+，则向量+与的夹角为（） A.3π B.32π C.65π D.6π 6．如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x ]=[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．在二项式1121xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（）A. 第五项B. 第六项C.第七项D.第六项和第七项 8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m 的值为（）A ．0B ．3C ．6D ．129.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1=3S n （n ≥1），则a 6=（） A ．3×44B ．3×44+1C ．44D ．44+110. 若(,)4παπ∈，且3cos 24sin()4παα=-，则sin 2α的值为（） A ．79 B ．﹣79C ．19D ．﹣1911．穿红黄两种颜色的衣服的各有两人，穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有（） A.24 B.28 C. 36 D.48若234()()()3f a f a f a π++=，则20162=a a （） A ．2016B ．2015C ．2014D ．2013第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13.将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1,2,3，L ，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 .14.已知9290129x a a x a x a x =++++L （1-），则0129a a a a ++++L =15．袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为16.已知R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，则224y x z +=的取值范围是________ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分12分）ABC∆的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，向量()(),,12cos ,2cos 1,//m a c n A C m n ==--u r r u r r（Ⅰ）若5b =，求a c +值; （Ⅱ）若1tan 22B =,且角A 是ABC ∆中最大内角，求角A 的大小.18. （本小题满分12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A 与非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A 获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响.（Ⅰ）若A 至少获胜两场的概率大于23，则A 入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A 是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A 获胜场数X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）已知各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足22n a +=.（Ⅰ）求证：{}n a 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()*1211111...+n n n n n n n b n N a a a a a a a a +=+++∈++++，求证：38n b ≤.20．（本小题满分12分）已知函数()2sin f x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最值；（Ⅱ）若存在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得不等式()f x ax <成立，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()21xe f x ax bx =++，其中,,a b c R ∈.（Ⅰ）若1,a b ==求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）若0a =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数b 的取值范围;（Ⅲ）若0,0a b >=，若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证；()()12f x f x e +<.选作题：考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. （本小题满分10分）已知函数()2f x x a =--.（Ⅰ）若1a =，求不等式()230f x x +->的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()3f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围 .23. （本小题满分10分）（Ⅰ）已知221x y +=，求23x y +的取值范围;（Ⅱ）已知2222220a b c a b c ++---=，求证：2a b c --≤.选择题13.15 14. 512 15. 202716. []412， 17、（本大题满分12分）解：（1）//(2cos 1)(12cos )m n a C c A ⇒-=-所以，sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理得210b a c =+=…………………………………………………………….6 （2）1443tantan 22355B B =⇒=、sinB=、cosB= 又因为sin sin 2sin sin sin()AC B A A B π+==+-- 则，222sin cos 2,sin cos 1A A A A +=+=3cos cos 05A A ==或,由A 是最大角所以，2A π= (12)18、（本大题满分12分）解：（1）记“种子A 与非种子123B B B 、、比赛获胜”分别为事件123A A A 、、 123123123123A A A A A A A A A A A A A =+++ 123123123123()()P A P A A A A A A A A A AA A =+++=172243> 所以，A 入选最终名单 (6)（2）X 的可能值为0123、、、1111(0)432243111211116(1)4324324322432131112111(2)432432432243216(3)43224P x P x P x P x ==⋅⋅===⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅===⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅===⋅⋅=所以，X 的分布列为所以，数学期望：623()01232424242413E X =⨯+⨯+⨯+⨯=………………..12 19、（本大题满分12分）解：（1）当1n =时，12a = 当2n ≥时，28(2)(1)n n S a =+2118(2)(2)n n S a --=+由（1）-（2）得11()(4)0(0)n n n n n a a a a a --+--=>则1=4n n a a -- ，所以，{}n a 是以4为公差的等差数列.42n a n =-…………….6 （2）由题意得证明：1211111111114444844(1)44111111()412(1)111111()4111111()41n n n n n n n b a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +=++++++++=++++++++-+=++++++++-+<+++++++++=++ 设1n()1f n n n =++，则(1)()0f n f n +-<所以，{()}f n 递减，1113()(1)4148n f n n +≤=+ 即：38n b ≤ (12)20（本大题满分12分）(1)()12cos f x x '=-，()0f x x π'=⇒=±……2分max min ()()()()3333f x f f x f =-===……6分（2）()2sin (1)0f x ax x a x <⇔-->设()2sin (1)g x x a x =--，则()2cos (1)g x x a '=--……7分由02cos (0,2)2x x π<<⇒∈○1121a a -≥⇔≤-，此时()0()g x g x '<⇒在(0,)2π单调递减，()(0)0g x g <=不成立……8分○2101a a -≤⇔≥，此时()0()g x g x '>⇒在(0,)2π单调递增，()(0)0g x g >=成立……9分○301211a a <-<⇔-<<，令1()0cos 2ag x x -'=⇔=，存在唯一0(0,)2x π∈，使得01cos 2a x -=.当0(0,)x x ∈时，()0g x '>⇒()(0)0g x g >=，∴存在(0,)2x π∈，有()0g x >成立……11分综上可知：1a >-……12分21（本大题满分12分）（1）222(1)(),()1(1)x x e e x x f x f x x x x x -'==++++ ()01f x x '>⇒>或0x <，()001f x x '<⇒<<()f x ∴增区间为(,0),(1,)-∞+∞，减区间为(0,1).……4分（2）()1101xe f x bx bx =≥⇔+≥+在[0,)+∞恒成立0b ⇒≥……5分当0b ≥时，()110x f x e bx ≥⇔--≥.设()1,()x x g x e bx g x e b '=--=-○1当01b ≤≤时，()0()g x g x '≥⇒在[0,)+∞单调递增，()(0)0g x g ⇒≥=成立 ○2当1b >时，()0ln g x x b '=⇔=，当(0,ln )x b ∈时，()0()g x g x '<⇒在(0,ln )b 单调递减，()(0)0g x g ⇒<=，不成立综上，01b ≤≤……8分（3）22222(21)(),(),()02101(1)x x e e ax ax f x f x f x ax ax ax ax -+''===⇔-+=++ 有条件知12,x x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==，且22112212,12ax ax ax ax +=+=1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ⋅+⋅+=+=+=++ 由121222112()x x x x e x e x x x e +⋅+⋅<+成立，（作差得：12122212(1)()0x x x x eex x +---<）得12222122x x e x e x e e ⋅+⋅<=12()()f x f x e ∴+< (12)或由122x x +=，11(1)1112()()()2x x e x e x f x f x -⋅+⋅+=1-，(可不妨设101x <<)设(1)()()2x x e x e xh x -⋅+⋅=1-(01)x <<2()()()0()2x x x e e h x h x -+'=>⇒1-在(0,1)单调递增，()(1)h x h e <=12()()f x f x e ∴+<成立22（本大题满分10分）解：（1）2(,)(2,)3-∞+∞ (5)（2）设()|||3||3|f x x a x a =---≤- 所以，max ()|3|f x a =- 即：|3|2a -<所以，a 的取值范围为(1,5) (10)23、（本大题满分10分）解：（1）由柯西不等式得22222()(23)(23)x y x y ++≥+所以，|23|x y +≤23x y +的取值范围为[ (5)（2）2222220a b c a b c ++---=所以，222(1)(1)(1)3a b c -+-+-= 由柯西不等式得，2222222[(1)(1)(1)][2(1)(1)](2)a b c a b c -+-+-+-+-≥--所以，2a b c --≤。