2021-2022学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(文科)
2021-2022学年河南省郑州市新郑第一中学分校高二数学理下学期期末试题含解析
2021-2022学年河南省郑州市新郑第一中学分校高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，，，则a+b的最小值为A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B2. 若一条直线与一个平面成720角，则这条直线与这个平面内不经过斜足的直线所成角中最大角等于()A. 720B. 900C. 1080D. 1800参考答案：B略3. 随机变量服从正态分布，且函数没有零点的概率为,则A．B．C．D．参考答案：A略4. 类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，，其中，且，下面正确的运算公式是（）①；②；③；④.A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④参考答案：D5. 命题“，总有”的否定是（）A．“，总有”B．“，总有”C．“，使得”D．“，使得”参考答案：D6. 下列命题中,真命题（）A．B．C．的充要条件是D．是的充分条件参考答案：D7. 若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（）A．a2＞b2 B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．a﹣c＞b﹣c参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】把不等式两边同时加上同一个实数﹣c，不等号不变．【解答】解：∵a＞b且c∈R，不等式两边同时加上﹣c 可得，a﹣c＞b﹣c．故选D．【点评】本题主要考查不等式的性质的应用，利用了不等式两边同时加上同一个实数，不等号不变．8. 用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n﹣1=2n﹣1（n∈N+）”的过程中，第二步n=k时等式成立，则当n=k+1时，应得到（）A．1+2+22+…+2k﹣2+2k﹣1=2k+1﹣1B．1+2+22+…+2k+2k+1=2k﹣1+2k+1C．1+2+22+…+2k﹣1+2k+1=2k+1﹣1D．1+2+22+…+2k﹣1+2k=2k+1﹣1参考答案：D【考点】RG：数学归纳法．【分析】把n=k+1代入等式即可．【解答】解：当n=k+1时，等式左边为1+2+22+…+2k，等式右边为2k+1﹣1，故选D．9. 复数的值为A. B. C.D.参考答案：B略10. 设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B．C．24 D．48参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，由双曲线的性质知，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等比数列｛a n｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛a n｝的前n项和S n= _______。
【北师大高二下】河南省郑州市2021-2022学年高二下学期期末考试英语试题(解析版)
郑州市2021-2022学年下学期期末考试高二英语试题卷注意事项：本试卷分四部分，考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What will Jane drink?A. Tea.B. Water.C. Juice.2. How does Linda feel?A. Happy.B. Satisfied.C. Upset.3. What does the woman usually do on Sunday evenings?A. She goes to the market.B. She works in the garden.C. She reads the newspaper.4. What does the man mean?A. He will be busy later.B. He won’t help the woman.C. The woman doesn’t need his help.5. When will the plane from London arrive?A. At 9:20.B. At 9:35.C. At 9:55.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独自前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
高中数学 2021-2022学年河南省南阳市高二(下)期中数学试卷(文科)
（VIP&校本题库）2021-2022学年河南省南阳市南召第一高级中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1．（5分）已知复数z =i3+i，则复数z 在复平面中对应的点在（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i =1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为̂y =0.85x -85.71．①y 与x 具有正的线性相关关系；②回归直线过样本点的中心（x ，y ）；③若该大学某女生身高增加1cm ,则其体重约增加0.85kg ；④若该大学某女生身高为170cm ,则其体重必为58.79kg .则上述判断不正确的个数是（ ）A ．0.02B ．0.28C ．0.72D ．0.983．（5分）甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ）A ．160B ．162C ．166D ．1704．（5分）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为̂y =̂b x +̂a ．已知10i =1x i =225，10i =1y i =1600，̂b =4．该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（ ）A ．-1B ．12C ．−12D ．15．（5分）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x n ，y n ），（n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i =1，2，⋯，n ）都在直线y =−12x +3上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数6．（5分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）7．（5分）目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女的政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（ ）A ．12B ．23C ．34D ．67A ．使得ni =1[y i -（a +bx i ）]最小B ．使得ni =1[y i -（a +bx i ）2]最小C ．使得ni =1[y i 2-（a +bx i ）2]最小D ．使得ni =1[y i -（a +bx i ）]2最小8．（5分）最小二乘法的原理是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）下列四个命题：①在线性回归分析中，相关系数r 的取值范围是（-1，1）；②在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强；③在线性回归分析中，相关系数r >0时，两个变量正相关；④在对两件事进行独立性检验时，用χ2作为统计量，χ2越大，则能判定两件事有关联的把握越大．其中真命题的个数是（ ）A ．9B ．16C ．23D ．3010．（5分）定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2]=2，[3.6]=3，执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）11．（5分）研究发现，任意一个三次函数f （x ）=ax 3+bx 3+cx +d （a ≠0）的图象必有一个对称中心，一般地，判断点（x 0，f （x 0））是否是三次函数f （x ）图象的对称中心的流程如图所示，则对于函数f （x ）=x 3-32x 2+34x +18，其图像的对称中心以及f（12021）+f （22021）+f （32021）+…+f （20202021）的值分别是（ ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）三、解答题（本大题共6小题，共70分。
2021-2022学年河南省许昌市文殊中学高二数学文下学期期末试题含解析
2021-2022学年河南省许昌市文殊中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 有一个长方体容器,装的水恰好占其容积的一半；表示水平的桌面,容器一边紧贴桌面，沿将其翻转使之倾斜，最后水面(阴影部分)与其各侧棱的交点分别是（如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是，翻转过程中水和容器接触面积为,则下列说法正确的是（）A．是棱柱，逐渐增大B．是棱柱，始终不变C．是棱台，逐渐增大D．是棱台，始终不变参考答案：B2. 到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（）A．两条射线B．线段C．双曲线D．椭圆参考答案：A3. 集合M={x|x=i n+i﹣n，n∈N}中元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】虚数单位i及其性质．【分析】利用i的周期性及复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵i4=1，i3=﹣i，i2=﹣1，∴①当n=4k（k∈N）时，x=i4k+i﹣4k=2；②当n=4k﹣1时，x=i4k﹣1+i1﹣4k=i﹣1+i==﹣i+i=0；③当n=4k﹣2时，x=i4k﹣2+i2﹣4k=i﹣2+i2==﹣2；④当n=4k﹣3时，x=i4k﹣3+i3﹣4k==i﹣i=0．综上可知M={0，﹣2，2}．共有3个元素．故选C．4. 若函数在内有极小值，则（）（A）0 <（B）b不存在（C）（D）参考答案：A略5. 下列关于命题的说法正确的是（）A．若是真命题，则也是真命题B．若是真命题，则也是真命题C.“若则”的否命题是“则”D．“”的否定是“”参考答案：B6. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1的中点为M，CD的中点为N，则异面直线AM与D1N 所成角为 ( )A． 300 B． 450 C． 600 D．900参考答案：D7. 设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）A. (－2,0)∪(0,2)B. (－∞,－2)∪(2,+∞)C. (－2,0)∪(2,+∞)D. (－∞,－2)∪(0,2)参考答案：D【分析】构造函数，可得在上为减函数，可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，原不等式等价于或,从而可得的值范围.【详解】根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，或，解可得或，则的取值范围是，故选D.【点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.8. 过抛物线(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，且，那么直线l的斜率为A. B. C. D.参考答案：D略9. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，则取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D10. 设命题p：?x0∈（0，+∞），lnx0=﹣1．命题q：若m＞1，则椭圆+y2=1的焦距为2，那么，下列命题为真命题的是（）A．￢q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧q D．p∧（￢q）参考答案：C【考点】2E：复合命题的真假．【分析】命题p：取x0=，则lnx0=﹣1．即可判断出真假．命题q：利用椭圆的标准方程及其性质即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假．【解答】解：命题p：取x0=，则lnx0=﹣1．因此p是真命题．命题q ：若m ＞1，则椭圆+y 2=1的焦距为2，是真命题．那么，下列命题为真命题的是p∧q． 故选：C ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正三棱锥底面的三个顶点A 、B 、C 在球的同一个大圆上，点P 在球面上，如果，则球的表面积是参考答案：略12. 已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 .参考答案：x-y+1=013. P 为抛物线y 2=4x 上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点M （7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为 ．参考答案：9【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】抛物线焦点为F （1，0），准线方程为x=﹣1，于是|PQ|=|PF|﹣1，【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），准线方程为：直线x=﹣1，∴|PQ|=|PF|﹣1 连结MF ，则|PM|+|PF|的最小值为|MF|==10．∴|PM|+|PQ|的最小值为10﹣1=9．故答案为：9．14.参考答案：6 ，0.4515. 若数列{a n }是等差数列，则数列也是等差数列；类比上述性质，相应地，{b n }是正项等比数列，则也是等比数列 ．参考答案：16. 若函数f （x ）=x 2n ﹣1﹣x 2n +x 2n+1﹣…+（﹣1）r ?x 2n ﹣1+r +…+（﹣1）n ?x 3n ﹣1，其中n∈N *，则f′（1）= ．参考答案：【考点】二项式定理的应用．【分析】先化简函数f （x ）的解析式，再求出f′（x ），从而求得f′（1）的值． 【解答】解：f （x ）=x 2n ﹣1[C n 0﹣C n 1x+C n 2x 2﹣+C n r （﹣1）r x r +C n n x n ]=x 2n ﹣1（1﹣x ）n ，f′（x ）=（2n ﹣1）x 2n ﹣2（1﹣x ）n ﹣x 2n ﹣1?n （1﹣x ）n ﹣1=x 2n ﹣2（1﹣x ）n ﹣1[2n ﹣1﹣（3n ﹣1）x]． ∴f′（1）=0， 故答案为：0．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求函数的导数，属于基础题．17. 直线是曲线的一条切线，则实数b ＝ ．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学理科试题及答案
郑州市2020—2021学年下期期末考试高二数学（理）试题卷注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数2z i =-，则z =（）A B ．3C D ．52．已知函数()f x 的导函数是()f x '，且满足()()22ln 1f x x x f '=+，则()1f '=（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．已知随机变量X 的分布列如右表．则实数a 的值为（）A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r 就越接近于1； （2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量2K 的观测值k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．45．校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有______种不同的站法． A ．2B ．6C ．12D ．246．用反证法证明命题：若()2110x y -+-=，则1x y ==，应提出的假设为（） A ．x ，y 至少有一个不等于1 B ．x ，y 至多有一个不等于1C ．x ，y 都不等于1D ．x ，y 只有一个不等于17．“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第x 年（2016年为第一年）捐赠现金y （万元）的数据情况．由表中数据得到了y 关于x 的线性回归方程为ˆ295y bx =+．，预测2021年该商会捐赠现金______万元．A ．4.25B ．5.25C ．5.65D ．4.758．2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布()296,5N ．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（） A ．132 B ．1532 C ．164 D ．15649．九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A ．12B ．18C ．24D ．3010．如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．依次类推，第n 个图形是由正()2n +边形“扩展”而来，其中*n ∈N ，那么第8个图形共有______个顶点．A ．72B ．90C ．110D ．13211．若函数()33f x x x =-在区间()22,3a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,1-B ．()2,1-C ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(]2,1--12．已知函数()18,,212,2x x m x f x xe mx m x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩（e 是自然对数）在定义域R 上有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(),e +∞B ．(),4eC ．(],4eD ．[],4e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面内一点()00,P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离为：d =．由此类比，空间中一点()1,1,1M 到平面a ：30x y x +++=的距离为______．14．已知m ，n 是不相等的两个实数，且m ，{}1,1,5,8n ∈-．在方程221mx ny +=所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x 轴上的双曲线的概率为______．15．2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成______个不同的六位数．16．已知关于x 的方程22ln 1xx a e x x+-=在()0,+∞上有解，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知复数631mz i i=++-()m ∈R ． （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是纯虚数；（Ⅱ）当实数m 取什么值时，复平面内表示复数z 的点位于第一、三象限．18．在二项式2mx ⎛ ⎝()*m ∈N 的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的18． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项． 19．已知数列{}n a 满足：125a =，1122n n n n a a a a +++=，()*n ∈N ． （Ⅰ）计算2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 20．已知的数()()242ln f x x a x a x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）讨论函数()y f x =的单调性．21．2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？（Ⅱ）为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望()E ξ．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++22．已知函数()22ln f x x x a =+，()2ln xg x ae x =，其中0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为0，求a 的值；（Ⅱ）若对任意的()0,1x ∈，不等式()()0g x f x -<恒成立，求实数a 的取值范围．郑州市2020-2021下期高二数学考试理科评分参考一、解答题二、填空题13． 14．14； 15．150； 16．[)1,+∞三、解答题17．解：66(1)33(33)(13)1(1)(1)m m i z i i m m i i i i +=++=++=+++--+（1）当复数z 是纯虚数时，有33=0130m m +⎧⎨+≠⎩，解得1m =-．所以当实数1m =-时，复数z 是纯虚数．（2）当表示复数z 的点位于第一、三象限时，有(33)(13)0m m ++>，解得1m <-或13m >-，所以当实数()1,1,3m ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，表示复数z 的点位于第一、三象限．18．解：（1）展开式的通项为：()152222122rm r m r rr r r mm T C x x C x---+⎛⎫ ⎪==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 依题可得：222212=28m m m m C C --⋅⋅⋅， 7m =解得.（2）由（1）知，展开式中的第1，3，5，7项为有理项，且001414172T C x x =⋅⋅=，22145937284T C x x -=⋅⋅=，4414104572560T C x x -=⋅⋅=， 6614151772448.T C x x --=⋅⋅=19．解：（1）213a =，327a =，414a =． （2）猜想：24n a n =+．证明：①当1n =时，12=251+4a =，猜想成立； ②假设当n k =()*k ∈N 时猜想成立，即24k a k =+． 那么，依题可得1222224225(1)424k k k a k a a k k k +⋅+====++++++． 所以，当1n k =+时猜想成立．根据①和②，可知猜想对任何*n ∈N 都成立．20．解：（1）当1a =时，()252ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，22252(21)(2)()25x x x x f x x x x x-+--'=-+==． 令()0f x '=，解得12x =，或2x =． 当x 变化时，()f x ， ()f x '的变化情况如下表：∴当12x =时，()f x 有极大值，且极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；当2x =时，()f x 有极小值，且极小值为(2)62ln 2f =-+． （2）函数()f x 定义域为(0,)+∞，222(4)2(2)(2)()=2(4)a x a x a x a x f x x a x x x -++--'-++==．令()=0f x '得2ax =或2x =． ①若0a ≤，则当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(2+)x ∈∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增．②若04a <<，即022a <<，则当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当,22a x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(2+)x ∈∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增，③若4a =，即=22a，则当(0+)x ∈∞，时，()0f x '≥，()f x 单调递增， ④若4a >，即22a>，则当(0,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当+2ax ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是(2+)∞，，单调递减区间是(0,2)；当04a <<时，()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2+)∞，，递减区间是,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当4a =时，()f x 的单调递增区间是(0+)∞，，无单调递减区间；当4a >时，()f x 的单调递增区间是(0,2)，+2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是22a ⎛⎫⎪⎝⎭，．21．解：（1）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的有60人 故列联表为：∴2()160(20404060)3210.6677.879()()()()1006080803n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯====>++++⨯⨯⨯． 故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．2464610151(2)21014C C P C ξ⋅====，3364610808(3)21021C C P C ξ⋅====，4264610903(4)2107C C P C ξ⋅====，5164610244(5)21035C C P C ξ⋅====，60646101(6)210C C P C ξ⋅===． ∴ξ的分布列为 ∴18381()=2+3+4+5+6=3.61421770210E ξ⨯⨯⨯⨯⨯． 22．解：（1）依题可得()4ln f x x a '=+且(1)0f '=，∴4+ln 0a =． ∴41a e=． （2）有题设()()0g x f x -<即22ln (2ln )0x ae x x x a -+<， 整理得()22222ln ln 2ln ln ln =x xxxxa e x x a eaxa ea ea e ⋅++<=⋅⋅⋅，设ln ()x h x x=，则上式即为()2()xh x h ae <． ∵21ln ()x h x x-'=，令21ln ()=0x h x x-'=得x e =．∴当(0,)x e ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减． 又当(0,1)x ∈时，ln ()0xh x x=<，∴()2()xh x h ae<只需2x x ae <，即2x xa e>， 设2()xx H x e=，则212()xx H x e-'=．令212()=0xx H x e -'=得12x =． ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x '>，()H x 单调递增；当112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0H x '<，()H x 单调递减． ∴21()2xx H x ee =≤． ∴12a e>．。
河南省郑州市十校2021-2022学年高二下学期期中联考理科数学试题
2021-2022学年下期高二年级期中联考试题理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数i2i3i z 2022+-=，则复数z 的虚部为（）A．1-B．1C．i-D．i2．4sin π的导数是（）A．4cosπB．4cos41πC．4cos41-πD．03．已知,,0a b c >，则,,b c aa b c的值（）A．都大于1B．都小于1C．至多有一个不小于1D．至少有一个不小于14．有如下的演绎推理：“因为对数函数log a y x =,当1a >时在(0,)+∞上是增函数；已知22log (2)y x x =-是对数函数，所以22log (2)y x x =-在(0,)+∞上是增函数”的结论是错误的，错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．大小前提都错误D．推理形式错误5．(1212sin x x dx -=⎰（）A．52B．12C．2πD．22π+6．在平面几何里，有勾股定理：设ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则有222AB AC BC +=，扩展到空间，类比平面几何的勾股定理，设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC ，ACD ，ABD 两两互相垂直，则可得（）A．222222AB AC AD BC CD BD ++=++B．222222AB AC AD BC CD BD⨯⨯=⨯⨯C．2222ABC ACD ABD BCDS S S S ++= D．2222ABC ACD ABD BCDS S S S ⨯⨯=△△△△7．用数学归纳法证明“不等式1111251233124n n n n ++++>++++ 对一切正整数n 恒成立”的第二步中，已经假设n k =时不等式成立，推理1n k =+成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（）A．1110323334k k k +->+++B．1120323433k k k +->+++C．1120313332k k k +->+++D．1110323433k k k +->+++8．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奧会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装相同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）A．8B．10C．12D．149．给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(())x f x ，为函数()y f x =的“拐点”．已知函数()=43sin 4cos f x x x x +-的拐点是00(())M x f x ，，则点M （）A．在直线3y x =-上B．在直线3y x =上C．在直线4y x =-上D．在直线4y x =上10．设点P 是函数()()()201xf x e f x f ''=-+图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭11．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象特征，则函数2ln x x y x=的图象大致是（）A．B．C．D．12．已知函数()2sin f x x x =+，若()ln 10a f x f x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭对(]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为()A．[)1,+∞B．[)2,+∞C．[]1,2D．∞(1,+)二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知()2022202201202212x a a x a x -=++⋅⋅⋅+，则32022122320222222a a a a +++⋅⋅⋅+=_______．14．设复数12,z z 满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________．15．某工程队有5项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这5项工程的不同的排法种数是____.16．若函数321()3f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ()12x x <，()11f x x =，则关于x 的方程()2f x ⎡⎤⎣⎦+()20af x b +=的不同实数根的个数是_______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17．（10分）已知复数()2211+32z x x x i =-++，()232,z x x i x R=+-∈（1）若1z 为纯虚数，求实数x 的值；（2）在复平面内，若1z 对应的点在第四象限，2z 对应的点在第二象限，求实数x 的取值范围.18．（12分）已知n 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512.(1)求展开式的所有有理项（指数为整数）；(2)求234(1)+(1-)(1)(1)(1)n x x x x x -+-+-++- 展开式中2x 项的系数．19．（12分）设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为5240x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线2y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.20．（12分）（1）已知0x >，0y >，21x y +=，求证：121125x y⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）用分析法证明：对于任意(,a b ∈时，有3ab b -≥-.21．（12分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC θ∠=，木梁的体积为V （单位：3m ），表面积为S （单位：2m ）．（1）求V 关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V 最大；22．（12分）设函数2()ln af x x x=+，32()2+1g x x x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）如果对于任意的121,[,2]2x x ∈，都有112()()x f x g x ≥成立，试求a 的取值范围．2021-2022学年下期高二年级期中联考试题理科数学参考答案一、选择题123456789101112ADDBCCBADBDA二、填空题13．-11415．2016．3三、解答题17．【解析】（1）∵1z 为纯虚数，∴2210+320x x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =..................4分（2）∵1z 对应的点在第四象限，∴2210+320x x x ⎧->⎨+<⎩，解得：-2-1x <<.∵2z 对应的点在第二象限，∴0320x x <⎧⎨->⎩，解得：0x <.综上得，实数x 的取值范围为：-2-1x <<..................10分18．【解析】（1）由题意知：02412512n n n n C C C -+++⋅⋅⋅==∴19n -=，从而10n =.故20106+11010=((1)r r rrrr r T C C x+-=-，其中0,12,,10r =⋅⋅⋅，∵20Z 6r+∈，∴4,10r =∴展开式的所有有理项为4444510=(1)=210T C x x -，1010551110=(1)=T C x x -..............6分（2）∵11r r r n n n C C C -++=，∴-1+1=-r r rn n nC C C ∴2x 项的系数为2222333333323410343541110++++=+()+()++()C C C C C C C C C C C ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-311==165C ..................................................12分19．【解析】（1）将点(2,(2))f 的坐标代入直线5240x y --=的方程，得(2)3f =.()b f x ax x =-，则2()b f x a x'=+.又直线5240x y --=的斜率为52，于是(2)42(2)2325b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎩'⎪，解得22a b =⎧⎨=⎩，故2()2f x x x =-；...................................4分（2）设点00(,y )P x 为曲线()y f x =上任意一点，由（1）知2()2f x x x=-，∴22()2f x x '=+，又()00022f x x x =-，∴曲线()y f x =在点00(,y )P x 的切线方程为()002002222y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即200242y x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，...................................8分令0x =，得04y x =-，从而得出切线与y 轴的交点坐标为040,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立2002242y xy x x x =⎧⎪⎛⎫⎨=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得0024x x y x =⎧⎨=⎩，从而切线与直线2y x =的交点坐标为()002,4x x ......................................10分∴曲线()y f x =在点00(,y )P x 处的切线与直线0x =、2y x =所围成的三角形的面积为0014242S x x =⋅-⋅=故曲线()y f x =上任一点00(,y )P x 处的切线与直线0x =，2y x =所围成的三角形的面积为定值且此定值为4...................................................12分20．【解析】（1）证明：（1）∵0x >，0y >，21x y +=，∴124241112133x y x y y x x yx y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123131325x y y x =++≥+..................................................4分当且仅当4x y y x =，即1142x y ==，时，等号成立，∴121125x y⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得证........................................................6分（2）证明：要证3ab b -≥-，即证()()2233ab a b -≥-，即证2222693630a b ab a ab b -+-+-≥，即证()()22330a b --≥，.........................9分∵(,a b ∈，∴230a -≤，230b -≤，∴()()22330a b --≥成立，即原不等式成立...........................................12分21．【解析】（1）如右图：梯形ABCD 的下底2AB =梯形ABCD 的高为sin θ，梯形ABCD 的上底=2cos CD θ∴梯形ABCD 的面积2cos 2sin 2ABCD S q q +=⋅=sin cos sin θθθ+，体积()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈pq q q q q ．...................................................6分（2）2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V q q q q q '=+-=-+．令()0V θ'=，得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍去）．∵(0,2πθ∈，∴3πθ=．当(0,3πθ∈时，1cos 12θ<<，()0,()V V '>q q 为增函数；当(,32ππθ∈时，10cos 2θ<<，()0,()V V '<q q 为减函数．∴当3πθ=时，体积V 最大．..........................................12分22．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，233212()a x af x x x x -=-+='，........2分当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当0a >时，若x >，则()0f x '>，函数()f x 单调递增；若0x <<()0f x '<，函数()f x 单调递减；∴函数()f x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增．综上得：当0a ≤时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增．...................................................6分（2）∵2()343(43g x x x x x ==-'-，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当1423,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥，()g x 在区间1423,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，当,243x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≤，()g x 在区间,243x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，而5281((2)1g g =<=，所以()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1.......................8分依题意，需要有当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1xf x ≥恒成立，即ln 1a x x x+≥恒成立，亦即2ln a x x x ≥-；令221()ln (,2)h x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()12ln h x x x x =--'，显然(1)0h '=，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，10x ->，ln 0x x <，()0h x '>，即()h x 在区间1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增；当(]1,2x ∈时，10x -<，ln 0x x >，()0h x '<，即()h x 在区间(]1,2上单调递减；所以，当=1x 时，函数()h x 取得最大值(1)1h =，故1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞...........................................12分。
2021-2022学年河南省南阳市高二年级下册学期第三次考试数学(文)试题【含答案】
2021-2022学年河南省南阳市高二下学期第三次考试数学（文）试题一、单选题1．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为.由以上信息，得到下表中的值为（ ）0.850.25y x =-c 天数（天）x 34567繁殖个数（千个）y 2.5344.5cA ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】根据已知数据求得，根据点(在回归直线上，求得，进而根据表格中数据，利用x ,x y y 平均数的定义求得的值c 【详解】, ,3456755x ++++==0.850.250.8550.254y x =-=⨯-=()2.534 4.54520,6,c c ∴++++=⨯=∴=故选B.【点睛】本题考查线性回归方程的性质：点(在回归直线上，涉及平均数的计算，属基础题.)x y 2．关于相关关系，下列说法不正确的是（ ）A ．相关关系是一种非确定关系B ．相关关系越大，两个变量的相关性越强r C ．当两个变量相关且相关系数时，表明两个变量正相关0r >D ．相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强r 【答案】B【分析】根据相关系数的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可得结果.【详解】对于A ，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，A 正确；对于B ，只有两个变量为正相关时，相关关系越大，两个变量的相关性越强，B 错误；r 对于C ，当两个变量相关且相关系数时，说明两个变量正相关，C 正确；0r >对于D ，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，D 正确，r 故选：B.3．为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取x y 10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y x ，已知，，，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为 ˆˆˆy bx a =+101220i i a ==∑1011610i i y ==∑ˆ4b =()A ．165B ．168C ．173D ．178【答案】C【解析】由已知求得，的值，结合求得，可得线性回归方程，取求得值即可．x y ˆ4b =ˆa25x =y 【详解】解：，，10112202210i i x x ====∑1011161016110i i y y ====∑又，，ˆˆˆy bx a =+ˆ4b =．∴ˆˆ16142273a y bx =-=-⨯=关于的线性回归方程为．y ∴x ˆ473yx =+取，得（厘米）．25x =42573173y =⨯+=故选：．C 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．4．祖冲之是中国古代数学家、天文学家，他将圆周率推算到小数点后第七位.利用随机模拟的方法也可以估计圆周率的值，如图程序框图中rand 表示产生区间上的随机数，则由此可估计的[]0,1π近似值为（ ）A ．B ．C ．D ．0.001n 0.002n 0.003n 0.004n【答案】D 【解析】在上产生1000对随机数得到点，当时将点的个数累加得到输出[]0,1,x y (,)x y 221x y +≤值，即可类比为在一个边长为1的正方形中随机产生点，点在以正方形的两边为半径的扇形内的n 概率等于扇形面积与正方形面积之比即可求的近似值；π【详解】由程序框图可知，落在正方形内的1000个点，其中落在圆内有(如图)，n所以，故，故选：D .41000nπ≈0.004n π≈【点睛】本题考查了程序流程图、概率，由程序流程图理解应用随机数的几何含义，结合概率与几何图形的面积关系求的近似值；π5．如图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分321000->n nn 别填入A ．和B ．和1000>A 1=+n n 1000>A 2=+n nC ．和D ．和1000≤A 1=+n n 1000≤A 2=+n n 【答案】D【详解】由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入321000->n n，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选1000>A 1000≤A n 2=+n n D.点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.6．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（ ）60︒A ．三个内角都不大于60︒B ．三个内角都大于60︒C ．三个内角至多有一个大于60︒D ．三个内角至多有两个大于60︒【答案】B【分析】根据反证法的知识确定正确选项.【详解】反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设“三角形三个内角都大60︒于.”60︒7．如图，第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来，(n =1、2、3、…)，则在第n 个图形中共有（ ）个顶点．A ．(n +2)(n +3)B ．(n +1)(n +2)C ．D ．n2n【答案】A【分析】根据图形总结规律：第n 个图形对应的是以正n +2边形的每个边再作正n +2边形．【详解】第n 个图形对应的是以正n +2边形的每个边再作正n +2边形∴第n 个图形中共有顶点个数为：()()()()()22223n n n n n ++++=++故选：A ．8．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5【答案】D【解析】根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率．【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件A B “小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C 则，，()0.4P A =()0.5P B =()0.2P AB =()0.2(|)0.5()0.4P AB P B A P A ===故选D.【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题．9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；1A 2A 3A 再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是①；②；③事件B 与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件.()25P B =()1511P B A =1A 1A 2A 3A A ．②④B ．①③C ．②③D ．①④【解析】根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断.【详解】由题意，，是两两互斥的事件，1A 2A 3A ，，；()151102P A ==()221105P A ==()3310P A =，由此知，②正确；()11552111112P B A ⨯==，；()2411P B A =()3411P B A =而()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++.1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=由此知①③不正确；，，是两两互斥的事件，由此知④正确；1A2A 3A 对照四个命题知②④正确；故选：A.【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.10．曲线的中心在231sin 4πρθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】先将曲线极坐标方程化为直角坐标方程,再将其化为标准形式,找到圆心,即可得出答案.【详解】,即,231sin 4πρθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭212sin 2cos ρρθρθ+=-+将代入上式,得,cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩22122x y y x ++=-+因此曲线的标准方程为:,22(1)(+1)1x y -+=故其中心为,在第四象限,(1,1)-故选:D.【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程,结合了圆的相关知识,属于基础题.11．已知中，，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，由Rt ABC 90A ∠=A B C a b c r ，又，可得.类比上述方法可得：三楼锥12ABC S bc =△111222ABC S ar br cr =++△bcr a b c =++中，若，平面，设的面积为，的面积为，-P ABC 90BAC ∠= PA ⊥ABC ABC 1S PAB2S 的面积为，的面积为，则该三棱锥内切球的半径是（ ）PAC △3S PBC 4S A BCD【答案】B【分析】设，，，则，PA a =AB b =AC c =1136P ABC ABC V S PA abc -=⋅⋅=△12abc =，化简得到答案.123412abc R S S S S =+++【详解】设，，，则，PA a =AB b =AC c =1136P ABC ABC V S PA abc-=⋅⋅=△又，∴.123411113333p ABC V S R S R S R S R-=+++12341234132P ABCabc V R S S S S S S S S -==++++++又∵，，.∴.∴，112=S bc 212S ab =312S ac =22212318S S S a b c=12abc =∴R =故选：B.【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的计算能力和推理能力.二、填空题12．已知复数，则___________52i i 1i z =++||z =【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可.【详解】由题知，，()()()52i 1i i 12i i 2ii 1i 11i z -=+=+-++=+所以||z ==13．已知点A 是曲线上任意一点，则点A 到直线的距离的最小值是2sin ρθ=πsin(43ρθ+=_______．【答案】##52 2.5【分析】求得曲线、直线的直角坐标方程，利用点到直线距离公式，结合2sin ρθ=πsin(43ρθ+=圆的几何性质求得正确答案.【详解】曲线，化为直角坐标方程为，2sin ρθ=22sin ρρθ=222x y y +=，圆心为，半径为，22+(1)1x y -=()0,11直线，，πsin(43ρθ+=1sin 42ρθθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭80y +-=圆心到直线的距离为，()0,172d ==则圆上的点到直线的最小距离为，75122-=即点A 到直线的最小距离为．πsin(43ρθ+=52故答案为：5214．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．()x af x e x =+[]1,2a 【答案】(],e -∞【分析】求出导函数，利用，用分离参数法即可求出a 的范围.()0f x '≥【详解】因为，所以，()x f x e ax =+2()x a f x e x '=-又函数在上单调递增，()x af x e x =+[]1,2所以在恒成立，2()0x af x e x '=-≥[]1,2x ∈分离参数可得在恒成立，2x a x e ≤[]1,2x ∈令，，()2xg x x e =()()2220x x x g x xe x e xe x '=+=+>所以在上单调递增，()2xg x x e =[]1,2x ∈所以，所以，()()1g x g e≥=a e ≤故答案为：.(],e -∞15．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是___________.【答案】740【分析】设表示从第箱取到的零件是次品，表示从第一箱中取零件，表示从第二箱中取零i A i B B 件，结合全概率公式，即可求解.【详解】设（，2）表示从第箱取到的零件是次品，表示从第一箱中取零件，表示从第i A 1i =i B B 二箱中取零件，由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是：.()()()()()12P A P A B P B P A B P B =+2131710220240=⨯+⨯=故答案为：.740三、解答题16．设，i 为虚数单位，复数在复平面对应的点为，已知为实数．()i ,z x y x y R =+∈z (),Z x y 2i z z +-（1）求的轨迹方程；(),Z xy （2）求的取值范围．1z -【答案】（1），点除外；（2）．220x y -+=()0,1⎫+∞⎪⎪⎭【分析】（1）由，根据为实数得到关于，的方程，即可得到的轨迹方程；i z x y =+2i z z +-x y (,)Z x y （2）求出，利用二次函数的性质求出范围即可．|1|z -【详解】解：（1）()()()()2i 1i 22i i i i 1i 1i x y x y z x y z x y x y x y ++--⎡⎤+++⎣⎦==-+-+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()222121i1x x y y xy x y x y ++-+-+-⎡⎤⎣⎦=+-因为为实数，所以2i z z +-()()210xy x y -+-=所以的轨迹方程为，点除外(),Z x y 220x y -+=()0,1（2==≥所以的取值范围1z -⎫+∞⎪⎪⎭17．我校筹办高中生排球比赛，设计两种赛事方案：方案一和方案二、为了了解参赛学生对活动方案是否支持，对全体参赛学生进行简单随机抽样，抽取了名参赛学生，获得数据如表：100方案一方案二支持不支持支持不支持男生人20人40人40人20女生人30人10人20人20假设所有参赛学生对活动方案是否支持相互独立．（1）根据所给数据，判断是否有的把握认为方案一的支持率与参赛学生的性别有关？99.5%（2）在抽出的名参赛学生中，按是否支持方案二分层抽样抽出了人，从这人中随机抽取10055人，求抽取的人中“恰有人支持，人不支持”的概率．2211附：，．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0050.0010k 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）有的把握认为方案一的支持率与参赛学生的性别有关；（2）．99.5%35【分析】（1）计算的观测值，结合临界值表可得出结论；2K（2）分析可知所抽取的人中，支持方案二有人，分别记为、、，不支持方案二有人，53A B C 2分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽取的人中“恰有人支持，人不支持””a b 211所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1），()22100201030405016.6677.879505040603K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以，有的把握认为方案一的支持率与参赛学生的性别有关；99.5%（2）由表中数据可得，抽取人中，支持方案二的有人，不支持方案二的有人，1006040所以采用分层抽样抽出的人中，支持方案二有人，不支持方案二有人，56053100⨯=4052100⨯=支持方案二的人记为、、，不支持方案二的人记为、，3A B C 2a b 从这人中随机抽取人，所有可能情况有：52、、、、、、、、、共种，(),A B (),A C (),A a (),A b (),B C (),B a (),B b (),C a (),C b (),a b 10其中抽取的人中“恰有人支持，人不支持”的有种，2116所以所求的概率．63105P ==18．下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量（单位∶亿吨）的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（系数精确到）y t y t 0.01，并预测2022年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：．77119.32,40.17i i i i i y t y ====∑∑参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：ˆˆˆy a bt =+()()()1122211ˆˆˆn ni i i ii i n n ii i i t t y y t y nt y b ay bt t t t nt ====---⋅==⋅=---∑∑∑∑【答案】，预测2022年我国生活垃圾无害化处理量约为亿吨.0.1002ˆ.9yt =+ 2.12【分析】由折线图中数据和参考数据及公式求得，，进而得关于的回归方程，将2022年对b a y t 应的代入回归方程可以预测2022年我国生活垃圾无害化处理量.12t =【详解】由折线图中数据和参考数据得，，12747t +++== 9.327y =所以，.7172219.32740.1774 2.8970.103140716287i i i i i t y t y bt t ==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-∑∑ 9.32 2.89 6.4340.927287a y b t =-⋅=-⨯=≈ 所以，关于的回归方程为：.y t 0.100.92y t =+将2022年对应的代入回归方程得，12t =0.10120.92 2.12y =⨯+=所以预测2022年我国生活垃圾无害化处理量约为亿吨.2.1219．某公司为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.x y u821()i i x x =-∑81()()i i i x x y y =-⋅-∑821()i i u u =-∑81()()i i i u u y y =-⋅-∑15.25 3.630.2692085.5230.3-0.7877.049表中，1i i u x =8118i i u u ==∑（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y 与印刷y a bx =+dy c x =+数量x 的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(结果精确到0.01)；（3）若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计1122(,),(,,,),()n n v v v ωωω⋯ v αβω=+ 分别为，.121()()()n i i i n i i v v ωωβωω==--=-∑∑ˆˆv αβω=-【答案】（1）更适合；（2）；（3）至少印刷11120册才能使销售利润不d y c x =+ 8.961.22y x =+低于80000元.【分析】(1)由散点图可知成反比例函数模型,故更适合;d y c x =+(2) 令,根据表中的数据计算即可得y 关于u 的线性回归方程为,进而得y 关于1u x = 1.228.96y u =+x 的回归方程为; 8.961.22y x =+(3)根据题意只需解不等式即可得答案.8.969.22 1.2280x x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭【详解】（1）由散点图判断，更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量d y c x =+(单位：千册)的回归方程.x （2）令，先建立y 关于u 的线性回归方程，1u x =由于，81821()()7.0498.9578.960.787()i i i ii u u y y du u ==-⋅-==≈≈-∑∑所以， 3.638.9570.269 1.22c y d u =-⋅=-⨯≈ 所以y 关于u 的线性回归方程为，1.228.96y u =+所以y 关于x 的回归方程为8.961.22y x =+（3）假设印刷千册，依题意得，x 8.969.22 1.2280x x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭解得，11.12x ≥所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元.【点睛】本题考查非线性回归方程及其应用，考查将非线性回归问题转化为线性回归问题求解，考查运算能力，数据分析处理能力，属于中档题.其中在解题的过程中，要注重回归方程的公式的正确计算，注意所给数据的正确应用.20．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【答案】（1）；（2）.31012【分析】（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典A B 概型公式代入求解出与；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.()P A ()P AB 【详解】解：（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，A B 则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为.()131535C P A C ==()11321154310C C P AB C C ==（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.()()()3110325P AB P B A P A ===21．在数列中，， ，且，，成等比数列．{}n a 11a =()101n n n a a c ca +=>+1a 2a 5a (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a (2)设数列满足，其前n 项和为，证明：．{}n b ()2141n n n b n a a +=+n S 1nS n <+【答案】(1)证明见解析，121n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）由两边取倒数，化简即可得出，根据已知与等差数列的定义11n n n a a ca +=+111n n c a a +-=证明数列是等差数列，即可求出通项公式，结合，，成等比数列，转化求解即可；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2a 5a （2）根据已知结合小问1化简通项，即可利用裂项相消法，求解数列之和，即可根据函数值{}n b 域证明结论.【详解】（1），11n n n a a ca +=+ ，1111n n n n ca c a a a ++∴==+，111n n c a a +∴-=，11a = ，111a ∴=数列是首项为1，公差为的等差数列，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭c ，即，()111n n c a ∴=+-()111n a n c =+-，，成等比数列，1a 2a 5a ，2215a a a ∴=，解得或（舍），2111114c c ⎛⎫∴=⨯ ⎪++⎝⎭2c =0故；121n a n =-（2）由小问1可得，，121n a n =-1121n a n +=+，()()2221211414141212141n n n n b n a a n n n n ++∴=+=+⨯⨯=-+-，2224122111141412121n n n n n -+==+=+----+，12n n S b b b ∴=+++ ，1111111113352121n n =+-++-+++--+ ，1121n n =+-+，1021n >+ .1n S n ∴<+。
2021-2022学年高等数学期末考试卷(含答案)
2021-2022学年高等数学期末考试一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1．极限(,)lim y x y →= 。
2．已知函数22ln(1)z x y =-+，则(1,2)|dz = 。
3．设:L 22(1)4x y -+=，则ds y x x L )2(22+-⎰= 。
4．判断级数21(1)1nn n +∞=-+∑ 。
（填绝对收敛，条件收敛，发散）5．点)3,1,2(-M 到平面 0332=+--z y x 的距离为 。
二、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数(,)z f x y =在点),(00y x 处连续是它在该点偏导数存在的（ ）（A ）必要而非充分条件； （B ）充分而非必要条件；（C ）充分必要条件； （D ）非充分又非必要条件。
7．曲面2223z x y =+在点(1,2,14)处的切平面方程为（ ） （A ）41242x y z ++=； （B ）12144121x y z ---==-； （C ）41214x y z +-=； （D ）12144121x y z ---==。
8．幂级数11(21)n n x n ∞=+∑的收敛域为（ ） （A ）(1,1)-； （B ）[1,0)-； （C ）(1,0]-； （D ）[1,0]-。
9．直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角是（ ）。
（A ）2π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）6π。
10．将函数()1f x x =+，[0,]x π∈展开为正弦级数1()sin n n f x b nx ∞==∑，则级数的系数4b =（ ）（A ） 12-； （B ）13； （C ）13-； （D ）12。
三、计算题(本题8分)11. 直线l 过点M(1,2,3)且与两平面02=-+z y x 和6432=+-z y x 都平行，求直线l 的方程。
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2021-2022学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）1.（单选题，5分）复数z满足（√3 +i）z=|1- √3 i|，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（单选题，5分）下面几种推理过程中属于类比推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°B.科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜测火星上也可能有生命存在C.由6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个质数的和D.在数列{a n}中，a1=1，a n= 12（a n-1+ 1a n−1）（n≥2），由此归纳出{a n}的通项公式3.（单选题，5分）如图所示的是一个结构图，在框① ② ③ 中应分别填入（）A.虚数，整数，分数B.复数，虚数，整数C.虚数，复数，纯虚数D.复数，虚数，纯虚数4.（单选题，5分）已知x，y，z∈R，且a=x2+2y，b=y2+2z，c=z2+2x，则a，b，c三个数（）A.都小于-1B.至少有一个不小于-1C.都大于-1D.至少有一个不大于-15.（单选题，5分）在同一平面直角坐标系中，由曲线x 2+y 2=1得到曲线4x 2+y 2=16，则对应的伸缩变换为（ ） A. {x′=12x y′=4yB. {x′=2xy′=14y C. {x′=2x y′=4y D. {x′=12x y′=14y6.（单选题，0分）已知x ，y ，z∈R +，且x+y+z=30，则lgx+lgy+lgz 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47.（单选题，5分）下列四个命题：① 在回归模型中，预报变量y 的值不能由解释变量x 唯一确定；② 若变量x ，y 满足关系y=-2x+1，且变量y 与z 正相关，则x 与z 也正相关； ③ 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； ④ 样本点可能全部不在回归直线 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 上． 其中真命题的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.（单选题，5分）已知i-1是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一个根，其中p ，q∈R ，则p+q=（ ） A.6 B.8 C.10 D.129.（单选题，5分）用模型y=me nx+2（m ＞0）拟合一组数据时，设z=lny ，将其变换后得到回归方程为 ẑ =3x+2，则n-m=（ ） A.-1B.1C.-2D.210.（单选题，5分）我们知道；在平面内，点（x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax 0+By 0+C|√A 2+B 2，通过类比的方法，则在空间中，点（1，2，4）到平面2x+2y+z+2=0的距离为（ ） A.4 B.5 C.6 D.711.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图1所示的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1=1，S 2=2，S 4=4，⋯，则S 32等于（ ）A.16B.32C.64D.12812.（单选题，5分）已知曲线 {x =cosαy =−1+√3sinα ，（α为参数）上任一点P （x 0，y 0），使得不等式a≤x 0+y 0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.（-∞，-3] B.[-3，+∞） C.[1，+∞） D.（-∞，1]13.（单选题，0分）若不等式|x-1|+| 4x +1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是（ ） A.a≥4B.a＜4C.a≥2D.a＜214.（单选题，5分）计算器是如何计算sinx，cosx，πx，lnx，√x等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如sinx=x- x 33!+x55!−x77!+…，cosx=1- x22!+x44!−x66!+…，其中n!=1×2×3×…×n，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到sin（π2 +1）的近似值为（）A.0.50B.0.52C.0.54D.0.5615.（填空题，5分）复数1−i20221+i的共轭复数为 ___ ．16.（填空题，5分）用最小二乘法得到一组数据（x i，y i）（其中i=1、2、3、4、5）的线性回归方程为ŷ = b̂ x+3，若∑5i=1 x i=25、∑5i=1 y i=65，则当x=10时，y的预报值为 ___ ．17.（填空题，5分）将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项，三项分组．得到分组序列如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），…．称（1，3）为第1组，（5，7，9）为第2组，以此类推，则原数列中的2021位于分组序列中第 ___ 组．18.（填空题，5分）已知a，b，c∈（0，1），且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，则a，b，c的大小关系是 ___ ．19.（问答题，10分）已知复数z=a+i（a＞0，a∈R），且z+ 2z∈R，其中i为虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，复数z+z2，z+1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求点D对应的复数．20.（问答题，12分）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个智慧课堂项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解智慧课堂对学生学习的促进情况该公司随机抽取了200名学生，对他们“任意角和弧度制”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如表：（Ⅰ）从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关？21.（问答题，12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），曲线C 2的方程为x+y-6=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线α= π4 分别交C 1，C 2于A ，B 两点（点A 异于极点），求|AB|．22.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+1|-m ，m∈R ，且f （x ）≤0的解集为[-2，0]． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设a ，b ，c 为正数，且a+2b+3c=m ，求a 2+b 2+c 2的最小值．23.（问答题，12分）用分析法证明：对于任意a 、b∈[-2，2]，都有|ab+4|≥2|a+b|．24.（问答题，12分）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2（1+3sin 2θ）=4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x+2y-4=0． （Ⅰ）若点M 为曲线C 1上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值；（Ⅱ）倾斜角为 π3 的曲线C 2过点P （-1，0），交曲线C 1于A ，B 两点，求 1|PA| + 1|PB| ．25.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+a|+|x+1|． （Ⅰ）当a=-1时，求f （x ）＜3x 的解集；（Ⅱ）g （x ）=x 2-2x+2+a 2，若对∃x 1∈R ，∀x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）≤g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．26.（问答题，12分）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系．刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据（x i ，y i ），i=1，2，3，4，5，…，10，x i 表示连续用药i 天，y i 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y 关于x 的两个回归模型： 模型 ① ：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： y ̂=2.50x −2.50 ；模型 ② ：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y=blnx+a 的附近，令t=lnx ，则有 ∑t i 10i=1=22.00 ， ∑y i 10i=1=230 ， ∑t i 10i=1y i =569.00 ， ∑t i 210i=1=50.92 ．（1）根据所给的统计量，求模型 ② 中y 关于x 的回归方程；（2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．（3）根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．附：样本（t i ，y i ）（i=1，2，…，n ）的最小乘估计公式为 b ̂=∑(t i −t)ni=1(y i −y )∑(t i −t)2ni=1 ， a ̂=y −b ̂t ；相关指数 R 2=1−i2n i=1∑(y −y )2n ，参考数据：ln2≈0.6931．。