投影与直观图!
投影与直观图
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
请同学们看下面常见的自然现象， 考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
想 一 想 ？
通过观察和自己的 认识 , 你是怎样来理解 投影的含义的?
投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投
影面)投射,并在该面上得到图形的方法.
平行投影规律：
1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 3.平行于投射面得线段，它的投影与这条线 段平行且等长； 4.与投射面平行的平面图形，它的投影与 这个图形全等； 5.在同一直线或平行直线上，两条线段平行 投影的比等于这两条线段的比。
中心投影虽然可以显示空间图形
2. 在主视图、左视图上都体现形体的高 度，且高度在水平方向上是平齐的，我们称之 为高平齐。
3. 在左视图、俯视图上都体现形体的宽 度，且是同一形体的宽度，是相等的，我们称 之为宽相等。
三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出主视图，主 视图反映了物体的长和高及前后两个面的实 形。
2、用斜二测画法画边长为4cm的正方形的
直观图。 •3、教材16页，练习第3、4题。
练习
1. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（C ）
A . 正视图反映物体的长和宽 B . 俯视图反映物体的长和高
C . 侧视图反映物体的高和宽 D . 正视图反映物体的高和宽
2 . 若某几何体任何一种视图都为圆，那 球体 么这个几何体是___________
Y X ¹ âÔ´
平行投影
Y
X
平行投影:投射线相互平行的投影 可以分为:斜投影 正投影
投影与直观图
A`
O`
C`
B` x`
A`
B`
图1 1 29
例2 画棱长为2cm 正方体的直观图 .
z` D` A` B` C`
解 画法按如下步骤完成 .
第一步 作水平放置的正方形的 直观图 ABCD, 使BAD 450 , AB 2cm, AD 1 cm. 第二步 过A作z`轴, 使BAz` 900.分别 过点B, C , D作z`轴的平行线, 在z`轴及这 组平行线上分别截取AA` BB` CC ` DD` 2cm.
投影与直观图
皮影戏表演
皮影戏表演
手影表演
手影表演
手影表演
物体的灯光或日光的照 射下, 就会在地面或墙壁上产 生影 子, 这是一 种自然 现象 .投影 ( project ) 就 是由这类自然现 象抽象出来的.生活中有许多 利用投影的例子 .如手影表演 皮影戏等.
由于光的照射，在不透 明物体后面的屏幕上可 以 留下这个物体的影子， 这种现象叫做投影
投射线交于一点的投影 称为中心投影 如图1 1 20所示.
投影面 投射线 投射线 投影
投射中心 Байду номын сангаас影面
视点
投影
图1 1 20 中心投影
中心投影形成的直观图 能非常逼真地反映原来 的物体, 因此主要运用于绘画邻 域 , 也常用来概括地描绘一 个结 构或一个产品的外貌 .由于中心投影的投影中 心、投影 面和物体的相对位置改 变时, 直观图的大小和形状也 将 改变,因此工程制图或技术图 样一般不采用中心投影 ,而 采用平行投影方法 ,
平行投影的性质：
y
C
例1 画水平放置的正三角形 的 直观图.
B
投影与直观图
A
P
B
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
C
B
A
D
C
A
B
总结
1. 平行投影的性质; 2.斜二测画法步骤 (1)平面图形的斜二测画法, (2)简单几何体的斜二测画法； 3.坐标系的选取是画直观图的关 键，选取不同的坐标系，画出的 直观图可能不一样.
x
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
2 画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4
cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5 cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
y
F A
M
E D
O'
y'
O
x
B N C
x'
y
F
M
E D
y
A
B
O
x
A
B
F M E
N
O
D
C
x
N
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF D
y
A
B
O
x
A
B
当投射线和投射面成适当的角度或改 变图形相对于投射面的位置时，一个空 间图形在投射面上的平行投影（平面图 形）可以形象地表示这个空间图形。像 这样用来表示空间图形的平面图形，叫 做空间图形的直观图。 依据平行投影的性质画直观图的方法， 国家规定了统一的标准，一种较为简单 的画图标准是斜二侧画法。
投影与直观图
一、平行投影
1、点的平行投影
点M′叫做点M在平面内关于直线l的平行投影(或象)
M I
M’
一、平行投影
2、图形的平行投影
如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构 成图形F′，则F′叫做图形F在平面内关于直线l的平行投影
I 投射线 斜投影 投射面
一、平行投影
正投影
二、平行投影的性质
问题1：直线或线段的平行投影是什么图形？ 1.当直线或线段不平 行于投射线时，直线 或线段的平行投影仍 是直线或线段 2.当直线或线段平行 于投射线时，直线或 线段的平行投影是一 个点
第二步 在x`轴上取O`A` OA, O`B` OB, O`C ` 1 / 2OC. 第三步 连结A`C`, B`C`, 所得 的 三 角 形A`B`C`就是正三角形 ABC的直观图.
A`
O`C`B` x`源自A`B`图1 1 29
例2：画水平放置的正六边形的直观图 思考：如何画出正六棱柱的直观图？
y D C D′ A
O
y′ C′
B x
A′
B′
x′
平面图形的直观图画法
（1）画轴.
y
y’
o
x
o’
( 450或1350 )
x’
（2）确定平行线段. 平行x轴的线段平行于x’ 轴 平行y轴的线段平行于y’ 轴
（3）确定线段长度. 平行x轴的线段的长度保持不变.
确定点位置的画法: 在斜坐标系里横坐 标保持不变,纵坐 标变为原来的一半.
二、平行投影的性质
问题4：平行于投射面的图形的平行投影是什么 图形，具有什么性质？ 与原图全等
二、平行投影的性质
问题5：当图形中的直线或线段不平行于投射线时, 在同一直线（或平行直线）上的两条线段，它们 的平行投影的比还等于原来这两条线段的比吗？ 投影比等于原线段比 A B C C’
投影与直观图
一、平行投影
上述窗框的投影图形与原窗框图比较， 上述窗框的投影图形与原窗框图比较，哪些几何关系或几何 量发生了变化？哪些没有发生变化？ 量发生了变化？哪些没有发生变化？
l
A
F
M P
B
已知图形F，直线l与平面 已知图形 ，直线 与平面 α 相交， 上任意一点M作 相交， 过F上任意一点 作 上任意一点 直线MM’平行于 ，交平面 平行于l， 直线 平行于 α 于点M’， 叫做点M在 于点 ，则点M’叫做点 在 叫做点 内关于直线l的平行投 平面α 内关于直线 的平行投 或象） 影（或象）.
二、中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平 中心投影：
面上，这个图形的影子就是它在这个平面的中心投影 面上，这个图形的影子就是它在这个平面的中心投影. 注意：投射线交于一点. 注意：投射线交于一点 A
B C B’
D D’ C’
太阳光线（假定太阳光线是平行的） 太阳光线（假定太阳光线是平行的） 把一个长方形形状的窗框投射到地 板上，变成了什么图形？ 板上，变成了什么图形？
课件2：1.1.4 投影与直观图
y
y'
O
x
y
O'
y'
x'
O
x O'
x'
变式2：用斜二测法画出水平放置的任意三角形直观图
y
y'
O
x
O'
x'
总结：
平行于 x 轴的线段，仍平行 x，轴，且长度不变 平行于 y 轴的线段，仍平行 y’ 轴，且长度变为原来的0.5
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是5cm、4cm、 3cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.
1.1.4 投影与直观图
请看下面几个常见的自然现象,考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
一、投影的概念 在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做
投影．其中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕 叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角 度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影.
斜投影：投射线 倾斜于投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便， 在作图中应用最广泛．
斜投影在实际中用得比较少，其特点是直观性强，但作图比 较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种 辅助图样．
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.
1.正投影：投影线与投影面垂直 2.斜投影：投影线与投影面斜交
中心投影后的图形与原图形相比，虽然 改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉 效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时， 经常使用这种方法，但在立体几何中很少用 中心投影原理来画图．
三、平行投影
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平 行，这种投射线为平行线时的投影称为平行投影．
第一章 1.1.4 投影与直观图
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随堂即时巩固
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基础知识梳理
课堂互动讲练
思维误区警示
第 一 章 立 体 几 何 初 步
法二：(1)如图(3)所示，以BC边所在的直 线为y轴， 以BC边上的高AO所在的直线为x轴．
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
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1．平行投影 (1)有关概念 ①点的平行投影 如右图，已知图形F、直线l与平面α相 交，过F上任一点M作直线MM′平行于l ，交 平面α于点M′，则点M′叫做点M在平面α内关 于直线l的平行投影(或象)．
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
2．直观图 (1)空间图形的直观图：用来表示空间图 形的平面图形，叫做空间图形的直观图． (2)斜二测画法：一种画直观图的方法， 其规则是： ①在已知图形中建立直角坐标系xOy， 画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两 轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的 平面表示 水平 平面；
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
(2) 画 下 底 面 ， 在 xOy 平 面 上 画 △ABC 的直观图， 3 3 在 y 轴上量取 OC＝ cm， OD＝ 3 6 cm. 过 D 作 AB∥x 轴，且 AB＝2 cm， 以 D 为中点，则△ABC 为下底面三角形 的直观图．
1.1.4 投影与直观图
张喜林制1.1.4 投影与直观图考点知识清单1．如图1-1-4 -1所示，已知图形F ，直线L 和平面α．过F 上任意一点M 作直线MM /平行于L ，交平面α于点M /，则点M ’叫做点M 在平面α内关于直线Z 的 (或 )．如果图形F 上的所有点在平面α 内关于直线L 的平行投影构成图形,/F 则/F 叫做图形F 在α内关于直线L 的____，平面α叫做____，L 叫做____2．用来表示空间图形的平面图形，叫做____，空间图形的直观图的画法标准是 ． 3．一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的要点核心解读1．平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有下列性质：(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段； (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；(3)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长，图1-1-4 -2中，;//,//////CD D C AB B A(4)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，如图1-1-4 -3所示，事实上，如果线段AB 在平面α内关于直线L 的平行投影是AB （如图1-1-4 -3所示），点M 在AB 上，且.::n m MB AM =，则点M 的平行投影M 在AB 上，由平行线分线段成比例定理得.::////n m B M M A =2．空间图形的直观圈的画法(1)空间图形的直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． (2)斜二测画法：一种画直观图的方法，其规则是：①在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox 、Oy ，再取Oz 轴，使;90,90o yOz xOz =∠=∠②画直观图时，把它们画成对应的轴,//////z O y O x O 、、使 45///=∠y O x （或//////,90),135y O x z O x =∠所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于茹轴、y 轴或=轴的线段，在直观图中分别画成平行于/x //z y 轴或轴、轴的线段； ④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半．(3)正等测画法．正等测画法的依据也是平行投影，不过这时投影线和人的视线平行，并且投影线与投影面垂直，它一般用于画圆、圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体． 3．中心投影与平行投影的区别与联系中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法，但应注意的是：(1)画实际效果图时，一般用中心投影法，如人的视觉、照片、美术作品等都具有中心投影的特点； (2)中心投影和平行投影的区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线交于同一点，如图1-1_4 -4所示；(3)中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和下节将要学习的三视图，经中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体；(4)画实际效果图时，一般用中心投影法；匦立体几何中的图形时，一般用平行投影法．典例分类剖析考点1 平行投影的性质 命题规律（1） 平行投影的性质：平行且等长．（2） 平行投影与实际间距相结合，[例1] 有两根木棒AB 、CD 在同一平面上竖立着，其中AB 这根木棒在太阳光下的影子如图1-1-4-5中的BE ，则CD 这根木棒的影子DF 应如何画？[解析] 要解决此题首先要知道这两个物体都是竖直立在地面上的，而且是由于太阳光即平行光照射，则可连接AE ，过点C 作CF 平行于AE ，作DF//BE ，交点为F ，则DF 即为所求CD 的影子． [答案]如图1-1-4 -6所示，画法：(1)连接AE ；，(2)过点C 作CF//AE ； (31)过点D 作DF ∥BE ，交CF 于点F ，则DF 即为所求CD 的影子．（点拨]平行投影中，光线是平行光线，若物体是互相平行的，则影子也互相平行． 母题迁移1．画出在图1-1-4 -7中沿S 方向向下平行四边形在平板内的投影．考点2斜二测画法 命题规律（1）利用斜二测画法画出直观图．（2）将直观图还原。
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§1.1.4 投影与直观图
一、学习目标
1、平行投影的性质和斜二测画法。
2、正确地把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度。
三、学习探究
【自主学习】完成下列问题：
1、太阳光线把矩形窗框投射到地面上，窗框的那些性质没有改变？
2、窗框的投影与平行投影的联系？
【探究学习一】观察下面的图形，回答以下问题：
投影：投射线通过物体，向选定的面投射，在该面上得到的图形叫做
_____________________。
这里我们涉及的是_____________投影和______________投影。
平行投影：已知图形F ，直线a 与平面α相交，过F 上任一点M 作直线O MM 平行于
a ，交平面α于0M ，则点0M 叫做点M 在平面α内关于直线a 的平行投影（或象）。
如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线a 的平行投影构成图形0F ，则0F 叫做图
形F 在平面α内关于直线a 的平行投影。
在这里，平面α叫做________________，直线a 叫做________________。
中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是
______________________.
【探究学习二】观察下面的图形，完成平行投影的性质：
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：
1)直线或线段的平行投影；
2)平行直线的平行投影；
3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段；
4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形
5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于
【思考】为什么平行投影的比例性质不变？
讨论：当图形中的直线或线段平行于投射线时，平行投影是什么图形?
巩固练习：
下列命题中正确的是（）
A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
【探究学习四】空间图形的直观图
水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
问题：阅读教材，回答下列问题：
（1）已知图形与直观图的坐标系有何区别？
（2）已知图形中的线段与轴平行关系在直观图中是否改变？
（3）已知图形中与轴平行的线段长度在直观图中是否改变？
（1）、概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的
（2）、斜二测画法：国家规定的统一的画直观图的一种方法，画出一个正方体在图中标出x、y、z轴感受一下！
例1、画出长度为2cm正方体的直观图
例2、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
[小组合作学习]：如何用斜二侧画法画出正六棱柱和正六棱锥的直观图？
斜二测画法注意点：
斜二测画法的作图规则可以简要地说成：竖直或水平方向放置的线段画出后方向、长
度___________，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成 或 ，长
度画成原长度的 （仍表示原长度）
【小组合作学习】：已知△ABC 的平面直观图△A ’B ’C ’是边长为a 的正三角形，那么原
△ABC 的面积为( )
（A ）2
3a 2 （B 2 （C 2 （D 2 通过这个例子总结一下原图形的高h 和斜二测画法之后高h 的比是
小结：
投影与直观图当堂检测
1. 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是（）
（A）直线或线段的平行投影仍是直线或线段
（B）平行直线的平行投影仍是平行的直线
（C）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等
（D）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比2. 直线的平行投影可能是（）
（A）点（B）线段
（C）射线（D）曲线
3. 如图为水平放置的△OAB的直观图，由图判断原三角形中AB、OB、OD、BD由小到大的顺序为
4. 两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）
（A）两条平行线.
（B）一点和一条直线
（C）两条相交直线
（D）两个点
5一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（）
6. 一个四边形的直观图是边长为a的正方形，则原图形的面积是。