一道高考题引发的关于齐次化应用的思考
齐次化思想在解题中的应用探索
龙源期刊网 齐次化思想在解题中的应用探索作者：蓝云波张刚来源：《教育实践与研究·中学课程版》2018年第01期摘要：齐次化是数学解题的重要方法，通过在教学中对齐次化方法的深入探究，引导学生挖掘出齐次化的本质其实就是化两元为一元，减少代数字母数量，从而使齐次化方法上升为一类解题思路。
这种转化思路在解决三角函数问题、求取值范围问题、解析几何问题、证明不等式、证明数列不等式、函数综合问题等方面都可以得到广泛的应用。
教师应当通过设置不同角度的问题引领学生自主探究，促进学生理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向，将数学运算这个学科素养的发展落到实处。
关键词：齐次化；优化解题；解题思想；学科素养中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2018）02-0009-05齐次式各项的次数相同，因而具有对称美和结构美的特征，这使得运算的处理往往会更容易、更简洁、更容易发现规律。
同时，对于一些涉及非齐次式的数学问题，如果学生能够结合题设条件，将其转化为齐次式问题来处理，则往往能化繁为简，优化解题过程，起到事半功倍的效果。
齐次化方法的本质是消参思想，齐次化运算步骤是各类考试中普遍热点，是对学生数学运算这个学科素养的具体考察——要求学生“理解运算对象”，合理构造满足题干条件的算式；“掌握运算法则”，能够正确运用所学的数学概念、公式、定理；“探究运算方向”——消除待求算式中与题干无关的参数。
笔者以近年来的各类试题为例，包括三角函数、代数式取值范围、解析几何、证明代数不等式、证明数列不等式、函数与导数等方面的齐次化解法，供广大一线数学教师作为授课参考。
一、三角函数问题考点是源于教材，如人教A版必修④第一章《三角函数》中的一道习题：已tanα=2知，求的值.解题思路是将该分式转化为只关于tanα的式子。
以下这道高考试题就可以看作本例题的一个变式。
【例1】（2015年高考广东卷）已知tanα=2.（1）求tanα+的值；（2）求的值.【解析】（1）tanα+=-3（略）；。
“齐次化”思想在求解数学问题中的应用
“齐次化”思想在求解数学问题中的应用
作者：***
来源：《中学生理科应试》2022年第06期
在许多问题解决的过程中，经常利用一些定理、公式等本身有“比值”这一基本特征来构造相关数学元素的“齐次”结构解答问题，这就是数学解题中的“齐次化思想”，运用“齐次化”思想，可以较快地寻找到解决问题的思路或使问题得到较好地解答，
点评由题意化简所给的三角函数式，然后利用关于sinθ，cosθ的“齐二次”式后，利用同角的“商数关系”分子、分母同時除以cos2θ转化为tanθ的式子代人求值.齐次化思想在求解本题中得到了很好地体现.
点评本题（ I）首先利用正弦定理将条件3csinB= 4asinC化为关于边长a、b的“齐一次”式，进而得到a，b，c的比例关系，然后利用余弦定理得到关于a，b，c的“齐二次”式，代入求得cosB的值，充分体现了“齐次化”思想的应用.
点评本题（I）直接利用余弦定理的“齐二次”结构建立边c的方程求解;（Ⅱ）利用正弦定理的“齐一次”结构变形后，利用三角恒等变换和诱导
点评该解法首先进行“1”的代换：1 =2a +b.化为关于a，b的二次齐次分式后变形为基本不等式的结构形式，利用基本不等式求得最值.
通过以上几个方面的应用可以看到，这些可以借助“齐次化”解决的问题的一个共同背景是：某个目标值的取值并不依赖于哪个变量，而是依赖于这些变量的“比值”，这样，构造齐次式以后，可以让这些比值“显现”出来，从而解决问题.
（收稿日期：2022 -03 -03）。
齐次化解定点定值问题
齐次化联立解决定点定值问题广东省英德中学（513000）陈国宗一、概述 圆锥曲线是历年高考命题的重点与难点，而定点定值问题又始终在圆锥曲线的问题中占有一席之地，该问题对学生分析问题能力，知识综合运用能力，数学运算能力与技巧要求较高.学生普遍存在计算不完或者计算不对的现象.为此，本文将介绍齐次化联立的方法解决一类定点定值问题，以提高运算的效率与准确率. 二、例题分析例1.已知,A B 为抛物线24x y =上异于原点O 的两点，设,OA OB k k 分别为直线,OA OB 的斜率且2OA OB k k +=.证明：直线AB 的斜率为定值. 解：设直线AB 与抛物线的交点11(,)A x y ，22(,)B x y 设直线AB 的方程为1mx ny +=.由241x y mx ny ⎧=⎨+=⎩ 联立得：24()x y mx ny =+ 即22440ny mxy x +-= 变形得：24410y y n m x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭又2OA OB k k +=，即12122y y x x +=424m n ∴-=即2m n-= ∴直线AB 的斜率2mk n=-=. 点评：①上述解法的巧妙之处在于将条件中11OA y k x =与22OB y k x =的关系转化为关于y x（视为整体）的一元二次方程的两根关系.②将直线AB 的方程设为1mx ny +=是为了联立抛物线方程后方便将方程中的各项补齐为二次式，进而转化为关于yx的一元二次方程.例 2.如图1所示，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，点,A B 及点(2,1)P -都在椭圆C 上，若直线PA 与直线PB 的倾斜角互补.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：直线AB 的斜率为定值.解：（1）依题意22411a b c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得4211240a a -+= 解得28a =或23a =（舍去）∴2222b a c =-=故椭圆C 的标准方程为22182x y +=. （2）分别平移,x y 轴，建立以(2,1)P -为原点的直角坐标系x Py ''，如图2所示在直角坐标系x Py ''下：已知(0,0)P ，设()1122,,(,)A x y B x y '''' 设直线AB 方程为1mx ny ''+=易知椭圆C 的方程为()()2221182x y ''-++=变形得：224480x y x y ''''+-+=由2244801x y x y mx ny ''''⎧+-+=⎨''+=⎩ 联立得：()()224480x y x mx ny y mx ny ''''''''+-+++=化简变形得：()()24884140y y n m n m x x ''⎛⎫++-+-= ⎪''⎝⎭直线PA 与直线PB 的倾斜角互补，故0PA PB k k +=即12120y y x x ''+=''84048m n n -∴-=+ ∴12m n -=-∴直线AB 的斜率为12k =-.易知直线在平移前后斜率不变，综上所述：直线AB 的斜率为定值12-. 点评：1.上述解法的核心在于对坐标轴进行平移，联立直线与椭圆方程齐次化，最后转化为关于yx的一元二次方程的两根关系问题.故我们称上述方法为平移齐次化. 2.一般地，设000(,)(0)P x y x ≠为圆锥曲线:(,)0C f x y =上一点，由点P引倾斜角互补的两弦,PA PB ，利用平移齐次化方法证明直线AB 斜率为定值的基本步骤为： ①平移坐标轴，建立以000(,)(0)P x y x ≠为原点的新平面直角坐标系x Py ''.②在直角坐标系x Py ''下，求得圆锥曲线C 的方程为00(,)0f x x y y ''++=，并将直线AB 方程设为1mx ny ''+=.③联立直线与椭圆方程齐次化，将问题转化为关于yx 的一元二次方程两根关系问题.3.解题过程中应注意到圆锥曲线C ：00(,)0f x x y y ''++=的常数项为0，以及直线平移前后斜率不变的一般规律.事实上，利用平移齐次化方法我们还可以得到一个更为的结论：设000(,)(0)P x y x ≠为有心二次曲线（圆、椭圆、双曲线）221x y m n+=上一点，由点P 引倾斜角互补的两弦,PA PB ，则直线AB 的斜率为定值nx my ，证明留给读者. 例3（2017全国I 卷理科20题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点12(1,1),(0,1),P P34(1,(1,)22P P -中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于,A B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点. 解：（1）因为34(P P -关于y 轴对称，所以34,P P 两点在椭圆C 上. 故221314a b +=又2222111314a b a b +>+= ∴1P 不在椭圆上，2P 在椭圆上. ∴222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）平移x 轴，建立以2(0,1)P 为原点的直角坐标系2x P y ''，如图3所示在直角坐标系x Py ''下：已知2(0,0)P ，设()1122,,(,)A x y B x y '''' 设直线AB 方程为1mx ny ''+=易知椭圆C 的方程为()22114x y ''++= 变形得：22480x y y '''++=由224801x y y mx ny '''⎧++=⎨''+=⎩ 联立得：()22480x y y mx ny '''''+++=化简变形得：()248810y y n m x x ''⎛⎫+++= ⎪''⎝⎭又221P A P B k k +=-，即12121y y x x ''+=-''. 8148m n ∴-=-+即212n m +=. ∴直线AB 的方程为2()20n x y x '''++-=，∴直线AB 过定点(2,2)-故在原坐标系xoy 下直线AB 过定点(2,1)-.点评：利用平移齐次化方法证明定点问题时应注意平移前后定点坐标的关系.事实上，利用平移齐次化的方法我们还可以得到一个更为一般的结论：设00(,)P x y 为有心二次曲线221x y m n+=上一点，若动弦AB 相对点P 张角为直角时，则弦AB 所在的直线经过定点220022,22e x e y e e ⎛⎫⎪--⎝⎭，其中e 有心二次曲线的离心率.证明留给读者. 三、结束语 以上是本人对平移齐次化方法在定点定值问题中的一些见解，通过文中的几则实例，我们可以感受到该方法摒弃常规、独辟蹊径、解法高效.这也启发我们学习数学应该要有敢于创新、勇于突破的精神，而非墨守成规、千篇一律.。
例谈齐次化思想方法在高中数学解题中的应用
破口．
3． 2 齐次化思想方法在解三角形中的应用
例 2 （ 2017 年全国Ⅰ卷文科第 11 题） ΔABC 的 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． 已知 sinB + sinA·
若上述函数 p（ x，y，…，z） = 0，则这样的方程称为 关于 x，y，…，z 的 n 次齐次方程； 若上述函数 p（ x，y， …，z） ＞ 0，则这样的不等式称为关于 x，y，…，z 的 n 次 齐次不等式． 现将齐次多项式、齐次方程、齐次不等式 统称为齐次式．
基金项目： 甘肃 省 教 育 科 学“十 三 五”规 划 课 题“基 于 核 心 素 养 的 高 中 数 学 章 起 始 课 教 学 研 究 ”（ 项 目 编 号： GS［2018］ GHB0759） ； “基于教师视角的民族地区高中数学有效教学策略研究： 以甘肃省 S 县为例”（ 项目编号： GS［2018］GHB1848） ．
作者简介： 严天珍（ 1990 － ） ，男，甘肃天水人，教育硕士，中学一级教师，研究方向： 学科教学（ 数学） ； 李平（ 1987 － ） ，男，甘肃会宁人，本科，中学一级教师，研究方向： 学科教学（ 数学） ．
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理科考试研究·数学版
2019 年 10 月 1 日
齐次式不仅能体现数学的对称美与和谐美，并且
参考文献： ［1］曾建国． 数学解题策略选讲［M］． 哈尔滨： 哈尔滨工业 大学出版社，2011． ［2］蔡小雄． 更高更妙的高中数学［M］． 杭州： 浙江师范大 学出版社，2016． ［3］刘沛松． 联想方法在高中数学解题思路的分析［J］． 文 理导航，2017（ 09） ： 50．
（ 收稿日期： 2019 － 05 － 03）
2019 年 10 月 1 日
齐次化思想在解题中的应用
一
② 当 ≠０时，则 Ｓ≠３时，方程 （Ｓ一３）ｖ ＋Ｓｘｙ＋ （ｓ一３） 。＝０，可化为 （ｓ一３）（ ） ＋ ． ＋（ｓ一３）＝ ０．视此
式为关于 ｙ 的一元二次方程，则有 △ ＝Ｓ。一４（Ｓ一３） ≥０，
即 Ｓ 一 ８Ｓ＋ １２≤ ０．结合 ｓ ≠ ３，可解 得 ２≤ Ｓ ≤ ６且
ｓｉｎ２ａ
ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ａ ＣＯＳＱ — ＣＯＳ２ａ 一 １
２ ｓｉｎ ＯｔＣＯＳＯｇ
—
ｓｉｎ ＋ ｓｉｎａＣＯＳ＆ 一 ２ ＣＯＳ２ Ｏｔ
２ ｓｉｎ ＯＬ ＣＯＳＯＬ
ＣＯ Ｓ２
—
—
ｓｉｎ。 ＋ ｓｉｎＱＣＯＳ 一 ２ＣＯＳ。＆
ＣＯ Ｓ２ ＯＬ
２ｔａｎ
ｔａｎ２ ＯＺ＋ ｔａｎＯｔ一 ２ ＝ ２２ ２ ２ ＝ 一
在高 中数学 中，在教材 中明显体现 出齐次 化思想 的是人 并设法实现齐次化，问题便 能实现较 为快捷 的解决 ．
教 Ａ版必 修 ４第一 章 《三 角函数 》中的第 ２２页 Ｂ组习题里 的一道习题：已知 ｔａｎ ： ２，求 ±旦 的值 此 题所
．
求 的分 式 中的分子 和分 母是一个 关于 ｓｉｎ ，ＣＯＳ 的一次齐 次式．结合已知条件，我们 可以在分子和分母 中同除以 ＣＯＳ ， 转化为一个关 于 ｔａｎ ＯＬ的式子，通过这样的处理，问题便迎刃 而解 ．这说 明，齐次化思 想是 源于课本 的一种 重要 的思想方
非齐次 式问题转化为齐次式 问题的思想叫做齐次化 思想．齐 除以 ＣＯＳ 之后 ，便转化成只含有 ｔａｎ 的式子．因此，齐次化
次化思想 是数学 中的重要思想 方法，在解题 中具有举足轻重 以后 的处理方法本质上其实是数学 中的消参思想．
齐次化思想在解题中的应用探索
齐 次式 各 项 的次 数相 同 ， 因而 具 有 对 称美 和结构美 的特征 ，这使得运算的处理往往会更 容易 、更 简 洁 、更 容 易发 现 规律 。同时 ，对 于 一些 涉及 非 齐 次式 的数 学 问题 ，如果 学 生 能 够结 合 题设条件 ，将其转化为齐次式问题来处理 ，则往 往能化繁为简 ，优化解题过程 ，起到事半 功倍 的 效果。齐次化方法的本质是消参思想 ，齐次化运 算 步 骤是 各 类 考 试 中普 遍 热 点 ，是 对 学 生 数 学 运算 这 个学 科 素养 的具 体考 察——要 求学 生 “理解运算对象”，合理构造满足题干条件 的算 式 ；“掌握运算法则”，能够正确运用所学 的数学 概 念 、公 式 、定 理 ；“探 究 运 算 方 向 ”—— 消 除 待 求算式 中与题干无关 的参数。笔者 以近年来 的 各类试题为例 ，包括三角函数 、代数式取值 范 围 、解析几何 、证 明代数 不等式 、证明数列不等
【解析 】设 Ｓ＿ｘ２＋ｙ２，则华 ＝１，
然后利用整体思想将原题转化为关于 的一元
二次方程有解 问题 ，使问题 的思路清晰 ，直接套 用 公 式求 取 答 案 。
三 、解 析几 何 问题 众所 周 知 ，在各 类 考 试 中 ，解 析 几 何 解 答 题 通常 以运算量大著称 ，解题的最核心 的方法是 设而不求 ，在涉及直线与圆锥 曲线 的位置关系 的问题 中，常见 的做法是曲线方程组进行 消元 。 然而笔者发现 ，构造齐次式是解答解析几何题 的一 大 利 器 ，具有 一 定 的通 性 通 法 ，视 角 独 特 。 令人耳 目一新 ！由椭 圆与双曲线的离心率公式
例谈齐次化思想方法在高中数学解题中的应用
例谈齐次化思想方法在高中数学解题中的应用作者：严天珍李平来源：《理科考试研究·高中》2019年第10期摘;要：齐次式不仅能体现数学的对称美与和谐美，而且在解题过程中若能把非齐次式转化为齐次式就可以达到化繁为简，事半功倍的效果.因此，在高中数学解题中，应用已知条件将代数式转化为齐次式以达到化简求解、推导证明是解决一些数学问题的重要方法.关键词：齐次式;方法;解题;应用1;问题提出突出数学主线，凸显数学的内在联系和思想方法，优化课程结构，是高中数学课程的基本理念之一;同时，倡导基于数学核心素养、以思想方法为线索的方法类教学设计，亦将成为中学教师研修的重要方向.回顾现行高中数学教材体例及近年高考试题发现，除“函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论”等重要数学思想方法之外，“齐次化思想方法”在高中数学内容编排及考试评价中也多有呈现;但缘于该思想方法在高中数学内容中分布的零散性和知识本身的边缘性，致使学生不能以整体的视野去整合与该思想相关的内容，更难将该思想方法顺利迁移到相关的解题中去.为此，笔者拟在简析齐次化思想方法的基础上，以齐次化思想方法为线索，在整体思维的指导下对高中数学中与齐次化思想方法有内在关联性的内容进行示例分析，以期抛砖引玉.2;思想概述数学思想方法是思考数学问题和从数学角度思考问题的思想和方法，是长期的数学发展所积累的文化灵魂;它不仅是人们对数学理论和内容的本质认识，而且也是数学思想具体化、程序化、可操作的具体表现形式.为深入了解齐次化思想方法，我们先了解一个基本概念：若多项式函数p（x，y，…，z）=A1xk1yl1…zq1+A2xk2yl2…zq2+…+Atxktylt…zqt的所有项有相同的次数n，即k1+l1+q1=k2+l2+q2=…=kt+lt+…+qt=n，则这个函数称为n次齐次多项式.若上述函数p（x，y，…，z）=0，则这样的方程称为关于x，y，…，z的n次齐次方程;若上述函数p（x，y，…，z）>0，则这样的不等式称为关于x，y，…，z的n次齐次不等式.现将齐次多项式、齐次方程、齐次不等式统称为齐次式.齐次式不仅能体现数学的对称美与和谐美，并且在解题过程中，若能把非齐次式转化为齐次式就可以达到化繁为简、事半功倍的效果.因此，在高中数学解题中，应用已知条件将代数式转化为齐次式以达到化简求解、推导证明的具体化、程序化、可操作的过程，我们称为齐次化思想方法.3;应用举例研究发现，有关齐次式的问题经常出现在三角求值、解三角形、不等式证明、圆锥曲线综合、二元函数求值、数列综合等章节里，掌握齐次化思想方法对处理这些常见的齐次问题非常重要.3.1;齐次化思想方法在三角函数中的应用例1;已知tanθ=-13，计算：（1）（人教A版数学必修④71页第4（2）题）12sinθcosθ+cos2θ;（2）（2016年全國Ⅲ卷文科第6题）cos2θ.解;（1）因为tanθ=-13，所以12sinθcosθ+cos2θ=sin2θ+cos2θ2sinθcosθ+cos2θ=tan2θ+12tanθ+1=（-13）2+12×（-13）+1=103.（2）cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θsin2θ+cos2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-（-13）21+（-13）2=45.评析;利用同角三角函数关系sin2θ+cos2θ=1构造关于sinθ与cosθ的二次齐次式是解答本题的突破口.3.2;齐次化思想方法在解三角形中的应用例2;（2017年全国Ⅰ卷文科第11题）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB+sinA·（sinC-cosC）=0，a=2，c=2，求C.解;因为sinB+sinA·（sinC-cosC）=0，所以sinB+sinAsinC-sinAcosC=0.构造关于sinA，cosA，sinC，cosC的二次齐次式得.sin（A+C）+sinAsinC-sinAcosC=0.则sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0.即tanA=-1，故A=3π4.再由正弦定理得sinC=csinAa=2×222=12.所以C=π6.评析;三角恒等变换是解三角形问题中的核心步骤，齐次化思想无疑能为解决此类问题提供思想方法上的指引.3.3;齐次化思想方法在不等式证明中的应用例3;（第5个优美不等式）设x，y，z为正实数，且满足x+y+z=1，求证：xx+yz+yy+xz+zz+xy≤94.证明;因为x+y+z=1，故xx+yz分母齐次化xx（x+y+z）+yz=x（x+y）（x+z）;同理yy+xz=y（x+y）（y+z）;zz+xy=z（x+z）（y+z）.于是xx+yz+yy+xz+zz+xy=x（x+y）（x+z）+y（x+y）（y+z）+z（x+z）（y+z）=x（y+z）+y（x+z）+z（x+y）（x+y）（x+z）（y+z）=2（xy+xz+yz）（x+y）（x+z）（y+z）分式齐次化2（xy+xz+yz）（x+y+z）（x+y）（x+z）（y+z）.从而原不等式2（xy+xz+yz）（x+y+z）（x+y）（x+z）（y+z）≤94.9（x+y）（x+z）（y+z）≥8（xy+xz+yz）（x+y+z）y2z+x2z+yz2+x2y+xz2+xy2≥6xyzxy+yx+zx+xz+zy+yz≥6.（*）由基本不等式及不等式的同向可加性知（*）式显然成立，即原式得证.评析;根据题设对不等式中的各项局部齐次化或整体齐次化，再辅以分析法做恒等变形，即可证得上式.3.4;齐次化思想方法在圆锥曲线中的应用例4;（2017年全国Ⅰ卷理科第20题）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程;（2）设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.解;（1）x24+y2=1（过程略）;（2）作平移变换φ：x′=x，y′=y-1.则在平移变换φ：x′=xy′=y-1 下，点P2（0，1）变成点P′2（0，0），椭圆x24+y2=1变成椭圆x′24+（y′+1）2=1，直线AB变成A′B′.设lA′B′：mx′+ny′=1，联立mx′+ny′=1，x′24+（y′+1）2=1，齐次化得x′24+（y′+mx′+ny′）2=（mx′+ny′）2.即有x′2+8mx′y′+4（2n+1）y′2=0.两边同时除以x′2得，4（2n+1）（y′x′）2+8m·y′x′+1=0.根据韦达定理有，kP2 A ;+ kP2 B ;= kP′2A′ + kP′2B′=-8m4（2n + 1） =-1，即m=n+12.所以lA′B′：（n+12）x′+ny′=1.显然直线A′B′过定点（2，-2）.所以直线AB过定点（2，-1）.评析;用解析法研究圆锥曲线问题，解题思路看似简单，但运算过程对学生无疑是一种挑战.巧构二次齐次式不仅能简化运算过程，而且能为解决此类问题提供新的解题视角.3.5;齐次化思想方法在求函数值域中的应用例5;（2006年安徽省竞赛题）若x，y为实数，且x2+xy+y2=3，求x2-xy+y2的最大值和最小值.解;令t=x2-xy+y2，则x2-xy+y2t=1.因为x2+xy+y2=3，所以可得关于x，y的齐次式x2-xy+y2t=x2+xy+y23.即（t-3）y2+（t+3）xy+（t-3）x2=0.①當x=0时，则有y2=3，t=3;②当x≠0时，则有（t-3）（yx）2+（t+3）yx+（t-3）=0.因为yx∈R，所以Δ=（t+3）2-4（t-3）2≥0，即1≤t≤9.综上，tmin=1，tmax=9.评析;二元函数条件最值问题是高中数学中的常见问题，也是各类竞赛中的热点问题.在形如“已知实数x，y满足ax2+bxy+cz2=d（d≠0）条件下，求二元函数f（x，y）=ux2+vxy+wy2的值域”问题，我们首先可以构造关于x，y的二次齐次式，再恒等变形为关于yx的一元二次方程，进而根据判别式法求得此类二元函数的值域.3.6;齐次化思想方法在数列综合中的应用例6;（2012年全国Ⅱ卷理科第22题）函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2且2≤xn解;由题意可得0-5=f（xn）-5xn-4（xn+1-4）.即有xn+1xn=-2xn+1+4xn+3.作变换xn=an+3使上式局部齐次化得，an+1an=-5an+1+an.两边同除以an+1an得，1an+1-5·1an=1，即有1an+1+14=5（1an+14）.所以数列1an+14是首项为-34，公比为5的等比数列.因此1an+14=-34·5n-1，即an=-43·5n-1+1.从而解得xn=3-43·5n-1+1.评析;此题作为当年高考的压轴题不可谓不难，初看确实让考生难以入手.若能将递推公式xn+1xn=p1xn+1+p2xn+q局部齐次化为an+1an=pan+1+qan，则此题自然迎刃而解.通过思想方法引领，定能使解题做到水到渠成，深入浅出.4;一点思考数学思想方法既是数学教学的灵魂，也是数学教学的精髓.因此，在高三复习备考中，凸显数学的思想方法与特定知识的内在联系，设计以思想方法为线索的方法类教学设计，把一些看似无关处于“游离”状态的零散知识点通过思想方法有机地串联在了一起，既构建了相关知识间的结构体系，也拓宽了学生的解题视野，从而让数学思想方法有效推动具体知识内容的教学，切实助推数学核心素养的落实.参考文献：[1]马子奇.活跃在圆锥曲线的齐次化方法[J].数理化学习（高中版），2018（07）：24-25.[2]安振平.二十六个优美不等式[J].中学数学教学参考，2010（1-2）：136+143.。
齐次化解决圆锥曲线题目
齐次化解决圆锥曲线题目
圆锥曲线是高中数学中常见的一类曲线，其中包括了直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等多种类型。
在解题过程中，齐次化是一种常用的技巧，能够有效地简化计算和推导。
齐次化的基本思想是将曲线上的点表示为一个有理数向量$(x,y,z)^T$，其中 $T$ 表示转置。
对于曲线上的同一点，其坐标不唯一，但是向量 $(x,y,z)^T$ 的比例是唯一的。
因此，我们可以将向量 $(x,y,z)^T$ 乘以一个非零数 $k$，得到 $(kx,ky,kz)^T$，这两个向量代表的是同一点，因此称为等价向量。
利用齐次化，我们可以将曲线上的点表示成一个齐次坐标$(x,y,z,w)^T$，其中 $w$ 表示一个非零的参数。
这样，我们就可以将曲线上的每个点表示为一个等价的向量 $(x/w,y/w,z/w)^T$，并且可以将 $w$ 消掉，得到 $x,y,z$ 的关系式，从而得到曲线的方程。
以圆为例，设圆心坐标为 $(a,b)$，半径为 $r$，则圆的方程可以表示成 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
我们将其齐次化，得到
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2z^2$，再将 $z$ 消掉，得到
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，即圆的方程。
同样地，我们可以将其他类型的圆锥曲线进行齐次化，从而得到其方程。
在解题过程中，利用齐次化可以简化计算，推导过程也更加清晰和简单。
因此，掌握齐次化技巧对于解决圆锥曲线题目非常有帮助。
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一道高考题引发的关于齐次化应用的思考作者：董双双杨倩
来源：《中学数学杂志(高中版)》2022年第06期
【摘要】齐次化方法解题在高中数学中是一个很常见的解题技巧，它充分体现了高中数学的对称美. 对某些多元问题进行降维消元，能够把某些复杂问题简单化. 齐次化应用范围相当广阔，在三角函数问题、解三角形问题、求最值问题、数列、导数、圆锥曲线等方面都有涉及，并在近几年的高考真题和模拟题中多次出现，因此将此类题型进行总结归纳尤为必要. 本篇整理总结了齐次化在高中数学中几个方面的重要运用，供读者参考研究.
【關键词】齐次式；归纳；高考题；一般方法。