对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
高考试题的探究(一)安徽高考数学试题的压轴题的解答与反思-数学通讯
安徽高考数学试题的压轴题的解答与反思2014年安徽省理科试题第21题的确让考生和教师费尽思考，第（I ）问为大家所熟悉的待证式即为伯努利不等式的特例，运用导数可简单证明，而（II ）的论证则要困难得多，绝大部分考生都会觉得束手无策！面对高考的参考答案大都感到“想不到”或“突兀”，自然“不知从何入手”．本文结合本校理科高考学生的答题情况，对今后的高三复习教学提出一些思考，仅供同仁参考.1.考题设实数0c >，整数1p n N *>∈，.（Ⅰ）证明；当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+；（Ⅱ）数列{}n a 满足11111p pn n np c a c a a a p p-+->=+，.证明：11p n n a a c +>>. 2.审题本题第（Ⅰ）问的待证式即为伯努利不等式的特例，其求解思路可以构造函数，进行常规处理；如果注意到“整数1p >”，即整数2p ≥，自然应该想到数学归纳法的灵活应用，只不过是条件给出的多变；如果注意到待证式左右两侧的结构特征，或许会联想到二项式定理的灵活应用.第（Ⅱ）问是复杂的一阶递推数列的单调性与有界性的证明问题，有较大的难度与区分度，在考查基础知识、基本技能的同时考查分析问题、解决问题的能力，有利于高校选拔人才.3.第（Ⅱ）问的处理思路3.1 数列的单调性的研究的通法是比较法，其次是构造函数法本问要证1n n a a +>，即数列{}n a 单调递减，只需证明111,n pn n a p ca p pa +-=+< 即1pn c pa p<，只需证1.p p n n a c a c >⇔>自然先证1.pn a c > 3.2数列不等式的证明的通法是归纳法 当1n =时，11pa c>成立；假设当n k =时，1pk a c>成立，则当1n k =+时，111,pk k k p c a a a p p-+-=+ 要证明1111,pp k k kp c a a a c p p-+-=+>势必要证111,p pk k p c a a c p p --+>即11,pk k ca p a p p -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭3.3 分步设问，层层递进，上问结果，用于下问11111,p p pk k k ca ca ca p p p p p p-----+=+-=+ 由第（Ⅰ）问可知：()1(1)1,px px +>+则：111111,p p ppk kk k ca ca a a p c p p --⎛⎫⎛⎫--+>+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.根据思路 规范书写4.1 数学归纳 绝招应用 先证1pn a c>.当1n =时，11pa c>成立；假设当n k =时，1pk a c >成立，此时11p k ca p-->-，则当1n k =+时，1111()pp kk k k k ca p c p a a a a p p p p--+--=+=+1111(1)(1)p p pp k k k k ca ca a a p c p p----=+>+⋅=（利用Ⅰ式），所以由归纳法原理可知1pn a c >；再证1n n a a +>． 因为11111p n n n a p c p c a c a p p p p--+--=+<+=，所以1n n a a +>成立； 综上11.pn n a a c +>> 4.2 构造函数 灵活处理令()111,p p p c g x x x x c p p--=+≥，则,px c ≥ 且()()11110,p p p c p c g x p x p p p x ---⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭所以()g x 在1,p c ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭上单调递增，因而，当1p x c ≥时，()11.pp g x g c c ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭①当1n =时，1110,,p pa c a c >>>则12111111111,pp p c c a a a a a p p p a -⎡⎤⎛⎫-=+=+-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦且()121,pa g a c =>故112pa a c >>成立；②假设当()1n k k =≥时，不等式11pk k a a c +>>成立；则当1n k =+时，()()11,p k k g a g a g c +⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭即112.p k k a a c ++>>所以1n k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，对于一切自然数，不等式11pn n a a c +>>均成立.5.反思此题旨在考察学生的创造性、综合性和灵活性.此题的得分率很低，完全正确解答此题的考生非常少，是一道选拔性极强的试题.今年的高三老师和考生都普遍感到：高三的数列复习不到位，特别与此压轴题相差甚远.此题综合了数列、函数和不等式等知识，学生必须对函数的单调性和数列单调性的联系和区别要特别清楚,对学生思维的灵活性和观察问题的能力要求高,对今后的高三复习教学有何指导意义呢？5.1 夯实基础 理解概念的数学本质 理解概念的数学本质，不是机械地、僵化地理解，而是理解概念的强大的生命力，譬如：数学归纳法是研究关于自然数“n ”的有关命题，其中“n ”只是自然数的表述的一种形式，当然也可以自然数“p ”，“t ”，……； 二项式定理中“n ”，当然也可以自然数“p ”，“t ”，……；夯实基础，理解概念的数学本质是我们高三第一轮复习的重中之重，不能有丝毫的懈怠. 高考题的百分之七十左右是中低档题；综合性的问题都能分解为基础题，最终是概念的理解；只有概念理解了概念的数学本质，解题的基础打牢了，随着能力的提升，综合性试题就能循序渐进地去解决.5.2淡化技巧 强化解题的通性通法技巧只是雕虫小技，通法才是阳光大道.我们的高三复习应该强调通性和通法，不能介绍太多的技巧.可以说，高三的解题教学中，客观题的解题训练中，在常规方法的基础上，可以强化利用一些特殊的方法：特殊值法、排除法等.解答题的解题教学务必以常规的通性通法为主.在教学中经常会出现如下情况：解析几何的问题，用代数方法解决问题是通法，但我在督导中有的老师常用平面几何的方法玩技巧，快速解决，而不讲代数的方法.这就有悖于学生解析几何的本质.本题是复杂的一阶递推数列的单调性与有界性的证明问题，数列的单调性的研究的通法是比较法与构造函数法.如果运用比较法，只需证明11n na a +<或10n n a a +-<；如果运用构造函数法，因为111,p n n np c a a a p p -+-=+势必要研究()11pp c g x x x p p--=+的单调性； 函数与数列的综合性试题的一个特点是：分步设问，层层递进，上问结果，用于下问.因此，运用数学归纳法证明的第二个环节的一“凑”归纳假设，二“凑”结论时要想方设法地应用第（Ⅰ）问的伯努利不等式的特例．5.3 分层教学 摈弃机械的题海战术学生的认知的基础和能力有差异，我们只能因材施教；一刀切的难题教学只会挫伤中、差学生的积极性，他们会感到学习是件非常痛苦的事.我们的高三复习教学中要分层教学，对不同层次的学生提出不同的要求.我们应该让不同认知结构和能力的学生得到不同的思维锻炼，给他们提出切合实际的要求.当然，具有高思维的学生，应该有高要求，也不能因为其它学生而降低他们的学习需求，给优等生的高要求也是分层教学的目的之一.数学教学的本质是发展学生的智慧，而不是为了做题.我们的老师为了取得高考的好成绩，每种题型反反复复的练习，学生成为了解题的机器，学生的思维机械、僵化，并且是具有条件反射功能的机器.一旦如此，“见了试卷，首先把脑子抠出来，朝裤腰带上一别：我要做题了！”造成平时做成题、成卷时，成绩优异，真正高考时，却成绩平平．5.4高屋建瓴 延伸适度的数学背景 因为高考试题的命制有两个有利于，第一个就是有利于高校选拔人才，而高考的命题专家大多是高校教授.作为大学的教师当然希望考生具有一定的高等数学的启蒙.从全国大部分高考试题中发现，许多考题具有一定的高等数学背景.当然，此类题的解答原则上是不需要高等数学的知识的.如果考生具有高等数学的简单知识，高观点下的初等解法就简单.在学生能够接受的前提下，高三的复习可以适度的延伸.也符合“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念.延伸的关键是适度，一定要按照学生的接受能力作介绍和补充.。
对高考数学压轴题应试策略的几点思考
对高考数学压轴题应试策略的几点思考摘要：在整个高考数学试卷中，压轴题是一道综合题型，对于学生的综合分析能力有着较高的要求，就如何应对高中数学压轴题来展开详细分析。
关键词：高考数学压轴题；应试策略；选择题在高考结束后，有很多考生反映，对于数学试卷中的最后一道题，不知道如何解，有的甚至反映，没有时间去看。
通过调查，我们发现，这种现象不是个别现象，在很多考生中都存在着这样的问题。
学生寒窗苦读12年，在高考的时刻，竟然连压轴题都没有看，我们有必要对其进行思考。
思考一：事出有因自从1978年恢复高考，直到现在，数学命题一直是数学教师关注的重点。
不可否认，压轴题是整个高考数学试卷中最难的题目。
之前，数学考题一般是对基础知识、基本技能、基本方法等三基的考查，会在选择题型和填空题型安排一些比较容易得分的题目，即使是前两个解答题也是比较容易的题型。
高考作为一个选拔性的考试，需要难易结合。
考生在解答前半部分的试题时较容易得分，在后面几个具有选拔性题型时，就会布置一些较难的题目。
但经过实践证明，有些压轴题会超出大纲范围，考生在解答这部分的题型时，不仅会耗到大部分的时间，而且成功率很低，所以考生在这部分的得分会很少。
针对于这样的高考数学试题的结构特点，大部分教师会在教学过程中采用“确保一、二题，稳拿三、四题，力争五、六、七，不理压轴题”的应考策略。
通过放弃这种高难度的试题，从而有更多的时间去解答容易得分的考题。
这样有的放矢，也同样可以获得不错的成绩。
“避难就易”的指导策略，有时确实会让学生得到不错的优惠效果。
但是，现在的时代不同了。
思考二：形势有变高考数学命题者已经充分认知到这一问题，与大部分考生实际掌握的知识水平有很大的差距，这样的难题设置就如形同虚设。
这样的试卷结构不仅不利于选拔优秀的学生，而且会在一定程度上干扰中学的教学秩序，从而会违背命题者最开始的想法。
所以，命题者在试题的设置上做了一定的调整。
1.降低压轴题的难度在降低压轴题的难度时，命题者采用了这样的措施。
高考数学压轴题分析
高考数学压轴题分析高考数学压轴题是很多学生最为关注的题型之一，因为它涉及高考数学的复杂程度和难度，也影响着学生的最终分数。
在这篇文章中，我们将分析高考数学压轴题的特点和解答方法，以帮助学生更好地应对这一难点。
一、高考数学压轴题的特点高考数学压轴题通常是考察数学要点的综合运用。
具体来说，它经常涉及多个单元的知识点，需要做到沉着应对、灵活思考。
因此，我们需要从以下几个方面去了解高考数学压轴题的特点：1.复杂程度高。
高考数学压轴题的难度通常较高，需要考生拥有扎实的数学基础，能够遇到困难情况下快速反应、准确分析。
2.知识点涉及广。
高考数学压轴题不同于其他题型，经常涉及多个单元的知识点。
它要求考生在短时间内对比多种知识点，综合运用知识点来解决整个问题。
3.语言难度较大。
高考数学压轴题不仅考察数学知识，还包含语言文化的考验。
所以，它更加适合思维逻辑清晰、思辨敏捷的考生。
二、高考数学压轴题的解答方法1.提高基础知识。
高考数学压轴题通常需要运用多个知识点来解决问题。
所以，考生需要提前准备好、充分掌握基础知识点，才能更好地应对难题。
2.培养综合思考能力。
高考数学压轴题要求考生进行多元思考，不仅需要我们熟悉数学知识点，还需要我们拥有独立思考、形成完整思维体系的能力。
3.重视复习。
在准备高考数学压轴题的过程中，合理进行复习非常重要。
通过反复练习习题，考生可以更好地掌握知识点，深化对题目的理解，并不断更新自己的知识体系。
4.留下时间进行总结。
高考数学压轴题要求考生在短时间内进行综合解答，因此，完成压轴题后，考生可以适当地留下时间总结分析，以便更好地理解复杂的问题并提高自己的应对能力。
以上是高考数学压轴题的解答方法，希望能够对广大考生有所帮助。
总之，高考数学压轴题是高考数学中的重要考察内容。
准备压轴题需要考生有扎实的数学知识基础，综合思考能力和优秀的解题策略、考试思路。
在这个过程中切不可忽视平时基础的积累和思维训练，不断扩充自己的知识体系。
对一道2021年全国卷压轴题的深度思考
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考试
对一道#(#!年全国卷压轴题的深度思考"
# 浙江省宁波市镇海中学 ! 董昊雷
函数与导数及其应用是高考考查的焦点!极值点
偏移问题更是命题专家们的偏爱!多次在高考数学中
压轴出场!无独有偶!#(#!年全国新高考 ! 卷的压轴
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" 基金项目本文系浙江 省宁波 市基础 教 育 规 划 教 研 课 题 基 于 学 科 核 心 素 养 水 平 的 高 考 数 学 命 题 研 究课题编号VM#(#!!!'的阶段性研究成果之一1
解法构造一元对称函数
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对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思高考数学卷压轴题一直是备受关注的热点话题，往往在考后引起广大考生和家长的热烈讨论。
一道好的压轴题可以检验学生对数学知识的掌握和运用能力，也可以促使学生进行深入思考和探索。
本文将对一道高考数学卷压轴题进行研究与反思，探讨其对学生的启发和影响。
我们来看一道真实的高考数学卷压轴题：某市举行一次全民参与的环保活动，活动开始一小时内，2/5的居民参与了环保活动；过了两个小时，又有1/6的居民参与了环保活动；到活动结束时，参与环保活动的居民人数占该市总人口的1/4。
如果在活动的最后一个小时内，有5280 名居民参与了环保活动，那么该市的总人口数是多少？这是一道典型的压轴题，题目结合了比例与代数的知识，考查了考生的解决问题的能力和思维逻辑。
对于许多考生来说，这道题目可能是具有挑战性的，但它也确实是一个能够激发学生思考的好题目。
这道题目考查了考生对比例和代数的理解和运用能力。
解这道题目的关键在于建立起关于居民参与环保活动的数量与时间的比例关系，并通过代数的方法求解出总人口数。
这样的题目不仅仅是简单的计算题，更是要求考生将所学的知识进行整合和运用，从而提升其对知识的理解和应用能力。
这道题目也能够激发考生对实际问题的思考和分析能力。
通过这道题目，考生可以了解到环保活动的参与情况与时间的关系，从而引发他们对环保意识的思考。
这样的题目有助于培养学生的整体思维能力，让学生在考试中不仅仅是把题做对，更要引发他们对实际问题的关注和思考。
对于这样的压轴题，教师在备课时也需要进行充分的准备和思考。
教师需要将课堂上所学的知识与实际问题进行结合，给学生提供足够的案例和实例，引导学生思考和探索问题的解决方法。
只有这样，学生才能在考试中更好地运用所学的知识解决问题。
对于这样的压轴题，教师的备课工作也非常重要。
我们还需要意识到，压轴题并不是因为它们难而受到关注，而是因为它们对学生的启发和影响。
一道好的压轴题可以激发学生对知识的兴趣和对实际问题的思考，促使他们进行深入探索和思考。
对一道高考数学压轴题的几点思考——以2019年江苏数学高考卷第19题为例
为
犕 ，求证：犕
４ ≤２７．
不难发现，前两 问 比 较 常 规，所 以 下 面 我 们 重 点
谈谈对于第 （３）问 的 思 考．分 析 问 题，我 们 发 现：目 标
是要证明 “犕
≤
４”，要 ２７
达
到
目
标，必
须
先
研
究
函
数
犳（狓）的极大值；要研究函数犳（狓）的极大值，必须知 道函数犳（狓）的单调性；要知道函数犳（狓）的单调性， 必须先研究犳（狓）的导函数的零点．接着，我们就执行 这个分析思路．
３
．
因为犳（狓１）＝狓３ １ － （犫＋１）狓２ １ ＋犫狓１，所以犳（狓１）
（ ） ＝狓３ １
－
（犫
＋ １）狓２ １
＋犫狓１
＝犳′（狓１）狓３１
犫＋１ －９
－
２（犫２ －９犫＋１）狓１
＋
犫（犫＋１） 犫（犫＋１）
９
＝
２７
－
２（犫－１２）７２（犫＋１）＋２２７（槡犫（犫－１）＋１）．
因为０＜犫≤１，所以犳（狓１）≤２２７＋０＋２２７≤２４７．
解：因为犳（狓）＝狓（狓 －犫）（狓 －１）＝狓３ － （犫＋ １）狓２ ＋犫狓，所以犳′（狓）＝３狓２ －２（犫＋１）狓＋犫．
因 为Δ ＝４（犫＋１）２ －１２犫＝（２犫－１）２ ＋３＞０，所 以犳′（狓）有２个不同的零点，设为狓１，狓２，不妨令狓１ ＜
狓２． 当狓 ＜狓１ 时，犳′（狓）＞０，当狓１ ＜狓 ＜狓２ 时，
（ ） （２）要证ｌｎ狓＋狓犪－１＞１犪 ≥ １ ２，狓 ＞１ 成立，
（含有狓 和犪两个未知量，考虑消元）即证ｌｎ狓＋狓犪－１ ≥ｌｎ狓＋２（狓１－１）＞１．（利用不等关系消犪）即证２（狓 －１）ｌｎ狓＋１＞２（狓－１）当狓 ＞１时成立．
精彩纷呈的解题思路——一道高考压轴题多种解法的探究和反思
已知犪为常数，函数犳（狓）＝
狓
槡犪－狓２ － 槡１－狓２
的最小值为 － ２ ３，则犪 的所有可能值为
．
二、核心素养下的解读
本题貌似为一道平淡无奇的函数最值题，却有着 令人无法想象的“高贵”与“新奇”之处，是对学生的数 学核心素养的有效考查．
１．知识背景熟 在全国各地的高 考试卷中，绝大 多 数 的 压 轴 题 是 基 于 数 学 思 想 的 深 度 探 究 ，又 或 是 热 点 问 题 考 查 ， 尤其突出对数学 学 科 思 维 能 力 的 考 查．本 题 以 函 数 最 值 为 话 题 ，灵 活 性 和 综 合 性 较 强 ，命 题 者 命 题 于 学 生 知 识 的 交 汇 处 ，从 设 计 上 来 看 简 洁 明 了 ，剖 析 其 构 思 也 尽 显 新 颖 ，高 三 学 生 已 熟 知 函 数 最 值 问 题 ，对 其 中涉及的数学思 想 也 有 所 认 识，这 样 的 题 型 也 屡 见 不 鲜 ，因 此 ，学 生 在 接 触 此 类 问 题 时 大 多 是 亲 切 多 于 恐惧． 从函数最值问题出发进行问题展开的高考题并 不稀罕，但 大 多 具 有 独 到 精 巧 之 处，而 本 题 虽 为 一 道 填空题却以“一题 多 解 ”对 学 生 不 同 能 力 与 知 识 结 构 进行了考查，在优化解题路径中可以彰显出学生的学 科素养和思维能力．
２．思维含量高 从问题设计上来看，有思维深刻性的试题才能称
得上一道 品 质 高、思 维 强 的 优 题．函 数 最 值 问 题 的 综 合性较强，几 乎 牵 涉 到 高 中 数 学 的 各 个 分 支，只 有 学
好每个分支的知识和技能，并透彻领悟题目的深刻内
涵，才 能 掌 握 解 题 方 法．本 题 看 似 普 通 却 蕴 含 了 丰 富 的思想方 法，尽 管 解 题 方 法 众 多，但 是 命 题 者 却 在 每
面对高考数学试卷反思总结
时光荏苒，转眼间高考已经结束，回首那段紧张而充实的备考时光，我不禁感慨万分。
在这场人生重要的考试中，数学试卷无疑是我面临的最大挑战。
通过这次考试，我对自己的数学学习有了更深刻的反思和总结。
首先，基础知识是数学学习的基石。
在备考过程中，我发现自己在基础知识方面存在很大的漏洞。
对于一些基本概念、公式和定理，我并未做到熟练掌握，导致在解题过程中出现错误。
这次高考数学试卷中，有许多题目都是基于基础知识的考察，而我在这方面的失分较为严重。
因此，在今后的学习中，我要加强对基础知识的复习，做到烂熟于心。
其次，解题技巧和策略的掌握对提高数学成绩至关重要。
在高考数学试卷中，有许多题目需要运用不同的解题方法和策略。
然而，我在面对一些复杂问题时，往往束手无策，导致解题过程繁琐，耗时过长。
通过这次反思，我认识到自己在解题技巧和策略方面的不足。
在今后的学习中，我要多总结、多归纳，提高自己的解题能力。
再次，时间管理对数学考试至关重要。
在高考数学考试中，时间紧张是普遍存在的问题。
我发现自己常常在解答一些简单题目时耗时过长，导致后续的难题没有足够的时间去思考。
针对这一问题，我要在平时的练习中注重时间管理，提高自己的解题速度。
此外，心态调整对数学考试也有着重要影响。
在备考过程中，我时常感到焦虑、紧张，甚至出现过失眠的情况。
这些负面情绪严重影响了我的学习效果。
通过这次高考，我意识到心态调整的重要性。
在今后的学习中，我要学会调整自己的心态，保持平和、积极的心态面对挑战。
最后，合作学习对提高数学成绩有着显著作用。
在备考过程中，我发现与同学合作学习可以互相启发、取长补短。
然而，我在合作学习方面做得不够，导致自己的一些疑惑未能得到及时解决。
在今后的学习中，我要加强与其他同学的交流与合作，共同进步。
总之，面对高考数学试卷，我深刻反思了自己的不足。
在今后的学习中，我要从以下几个方面进行改进：加强基础知识的学习，提高解题技巧和策略，注重时间管理，调整心态，加强合作学习。
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对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
我们先来看一下压轴题的特点。
压轴题通常是一道较为复杂、综合性较强的数学题目，需要运用多种数学知识和技巧进行综合运用。
压轴题往往要求考生运用数学知识解决现实
生活中的问题，具有较强的实际应用性。
压轴题的解题过程常常需要一定的创新和思维深度，考查考生的数学建模能力和问题解决能力。
压轴题在一定程度上能够较全面地反映考
生的数学素养和综合运用能力。
对于高考数学卷压轴题，教育部门和评卷人员通常会根据题目难度和考生答题情况对
分数进行适当调整，以保证公平公正。
这也使得压轴题成为一种重要的教育评估工具。
通
过对压轴题的考查，可以全面评估考生的数学能力和素养，促进教学质量的提高和学生数
学素养的全面发展。
压轴题的设置也对教学有着积极的意义和影响。
一方面，压轴题的综合性和实际应用
性能够激发学生学习数学的兴趣。
学生在解决复杂问题的过程中，不仅能够提升数学技能，更能够培养解决问题的能力和信心，促进学生的全面发展。
教师在备课和教学过程中，也
可以通过研究压轴题的设置和解题方法，引导学生掌握数学知识，提高数学思维能力，提
升教学质量。
压轴题也存在一些问题和挑战。
由于压轴题的综合性和难度较大，一些学生在面对这
类题目时可能会感到困惑和沮丧，甚至影响考试发挥。
一些教师可能会为了迎合考试需求，过度注重压轴题的应试技巧和解题方法，忽略了对基础知识和思维能力的培养。
压轴题的
设计和评分标准可能存在一定的主观性和不确定性，需要进一步完善和规范。
针对以上问题和挑战，我们可以从以下几个方面进行改进和完善。
教师在教学过程中
应更加关注学生的数学基础知识和数学思维能力的培养，引导学生通过多样化的学习方式
和实际应用，提升数学解决问题的能力。
教育部门和评卷人员应该在压轴题的设计和评分
标准上加强规范和公正，确保对考生数学能力的全面评估。
学生本身也应该树立正确的学
习态度，培养自主学习和解决问题的能力，以更加从容地应对高考数学卷压轴题。