模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法
隶属函数法
吕国利
不同植物和品种适应胁迫的方式是多种多样的，如一些植物具有综合 的、几种机理共同起作用的抗旱特征，任何单项机理的研究都有一定 的局限性，都不能有效准确地评价作物抗旱性。 没有一项抗旱指标能单独运用从而达到筛选的目标，需从植物抗旱性 的整体上进一步阐明。 利用多个指标综合评价的抗旱性，使单个指标对评定抗旱性的片面性 受到其他指标的弥补与缓和，从而使评定出的结果与实际结果较为接 近。
隶属函数评估法是根据模糊数学的原理，利用隶属函 数进行综合评估。 隶属函数在模糊控制系统中所起的作用是将普通的清 晰量转化为模糊量，以便进行模糊逻辑运算和推理。 实际上，隶属函数分析提供了一条在多指标测定基础 上，对各植物特性进行综合评价的途径。抗旱性隶属 函数法为目前应用最广的林木抗旱综合分析方法。
求出各抗旱指标 在各品种中的具 体隶属值
累加指定品种各 指标的抗旱隶属 值
求其平均值以评 定抗逆性
根据各品种平均 值的大小确定其 抗旱性强弱
隶属函数及其确定方法
美国加利福尼亚大学控制论教授扎得（L、A、Zadeh）经过多年的琢磨，终于在1965年首先发表了题为《模糊集》的论文。
指出：若对论域（研究的范围）U中的任一元素x，都有一个数A（x）∈[0，1]与之对应，则称A为U上的模糊集，A（x ）称为x对A的隶属度。
当x在U中变动时，A（x）就是一个函数，称为A的隶属函数。
隶属度A（x）越接近于1，表示x属于A的程度越高，A（x）越接近于0表示x属于A的程度越低。
用取值于区间[0，1]的隶属函数A（x）表征x 属于A的程度高低，这样描述模糊性问题比起经典集合论更为合理。
隶属度属于模糊评价函数里的概念：模糊综合评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。
隶属度函数及其确定方法分类隶属度函数是模糊控制的应用基础,正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。
隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。
隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。
对于同一个模糊概念,不同的人会建立不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同,只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
下面介绍几种常用的方法。
(1)模糊统计法：模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素vo是否属于论域上的一个可变动的清晰集合A3作出清晰的判断。
对于不同的试验者,清晰集合A3可以有不同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。
模糊统计法的计算步骤是:在每次统计中, v o是固定的,A3的值是可变的,作n次试验,其模糊统计可按下式进行计算v0对 A 的隶属频率= v0∈A 的次数/ 试验总次数n随着n的增大,隶属频率也会趋向稳定,这个稳定值就是vo对A 的隶属度值。
隶属函数及确定方法
隶属函数正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。
隶属函数是对模糊概念的定量描述。
我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。
隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。
一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。
例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。
对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
事实上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观来描述客观事物的概念外延的模糊性。
可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。
2.5.1 隶属函数的几种确定方法这里仅介绍几种常用的方法，不同的方法结果会不同，但检验隶属函数建立是否合适的标准，看其是否符合实际及在实际应用中检验其效果。
1．模糊统计法在有些情况下，隶属函数可以通过模糊统计试验的方法来确定。
这里以张南组等人进行的模糊统计工作为例，简单地介绍这种方法。
图2－5－1 27岁对“青年”隶属频率的稳定性张南纶等人在武汉建材学院，选择129人作抽样试验，让他们独立认真思考了“青年人”的含义后，报出了他们认为最适宜的“青年人”的年龄界限。
由于每个被试者对于“青年人”这一模糊概念理解上的差异，因此区间不完全相同，其结果如表2-5-1所示。
现选取0u =27岁，对“青年人”的隶属频率为）调查人数（）岁的区间数（隶属次数包含n 27=μ （2-5-1）用μ作为27岁对“青年人”的隶属度的近似值，计算结果见表2-5-2。
78.027）＝（青年人μ按这种方法计算出15～36岁对“青年人”的隶属频率，从中确定隶属度。
确定隶属函数的方法
7
其中mi是第i位专家的估计值，并请每个人标出各自对
所做估计值的信任度，记为 e1,e2, ,en, 这里ei表示第i
位专家对自己的估计的把握程度，并且规定 ei [0,1],第 有绝对把握时， ei＝１；毫无把握时，取ei＝０； 其
它情形，取 0 ei 1.
（６）计算
m
1 M
n
mi ,
iM
其中 M {iei;i1 ,2,...,n },
③中间型 A ( x ) 1, a x b
1
e
(
x
b
)
2
,x
b
a
编辑ppt
15
其它常见模糊分布还有 (3) 半梯形分布与梯形分布；
m21,m22, ,m2n
（４）重复２、３步，直至离差值小于或等于预先
给定的标准 0. 设重复k次后，有 d k , 这里 d k 为重复k次后的离差。
(5)将第k次得到的对
A (u 0 )的平均估计值
m
k
和d再交k给各位专家，请他们做最后的“判断”，给出估计
值
m1,m2, ,mn
编辑ppt
对于 m11,m12, ,m1n计算平均值 m 1 和离差 d 1 :
m1
1 n
n i 1
m1i ,
d1
1 n
n i1
m1i
m1
2
编辑ppt
6
（３）不记名将全部数据 m 11,m 12, ,m 1n,m 1,d 1送交 每位专家，同时附上进一步的补充资料，请每位
专家在阅读和思考之后，给出新的估计值：
可暂时使用m , 但要特别注意信息反馈，不断通过
“学习过程”，完 A(u0)m
隶属函数法
求出各抗旱指标 在各品种中的具 体隶属值
累加指定品种各 指标的抗旱隶属 值
求其平均值以评 定抗逆性来自根据各品种平均 值的大小确定其 抗旱性强弱
吕国利
不同植物和品种适应胁迫的方式是多种多样的，如一些植物具有综合 的、几种机理共同起作用的抗旱特征，任何单项机理的研究都有一定 的局限性，都不能有效准确地评价作物抗旱性。 没有一项抗旱指标能单独运用从而达到筛选的目标，需从植物抗旱性 的整体上进一步阐明。 利用多个指标综合评价的抗旱性，使单个指标对评定抗旱性的片面性 受到其他指标的弥补与缓和，从而使评定出的结果与实际结果较为接 近。
隶属函数评估法是根据模糊数学的原理，利用隶属函 数进行综合评估。 隶属函数在模糊控制系统中所起的作用是将普通的清 晰量转化为模糊量，以便进行模糊逻辑运算和推理。 实际上，隶属函数分析提供了一条在多指标测定基础 上，对各植物特性进行综合评价的途径。抗旱性隶属 函数法为目前应用最广的林木抗旱综合分析方法。
对模糊隶属函数确定方法的进一步探讨
对模糊隶属函数确定方法的进一步探讨隶属函数的确定不应只侧重于对信息自身模糊性的识别和描述,还应该正确描述主体的心理测度,重视主体认识水平的缺陷。
探讨了用简便可行的隶属函数度量方法来测量人们进行决策时心理测度上的模糊性,给出了具体不同情况下的描述函数,在一定程度上可以更准确地描述信息的模糊性,从而使决策更具有合理性。
标签：隶属函数;模糊分布;心理测度一、引言客观事物均不同程度地存在着不确定性,这种不确定性蕴涵在客观表现及其主观识别之中。
从本质上看,不确定性是主观对于客观而言的,即对客观信息的识别与刻画无不受到主观因素的影响,受到主体心理因素的影响,进而表现为认知水平和描述方法的差异。
而一般的隶属函数确定的方法多从下面两个角度;或侧重于描述信息自身的模糊性、识别和刻画方法的模糊性,或从如何消除减少主观任意性成分来进行研究,而忽视了起决定作用的主体想心理思维模式和判断尺度,使得隶属函数的确定不够完善。
另一方面,随着生产系统、社会系统的大规模化和复杂化,使得人们进行预测与决策变得十分困难。
由于决定预测的准确性及决策成败的关键是人,所以应能正确描述人的心理测度上的模糊性。
对于此类问题,当今决策理论是从理性决策的行为决策两分支进行研究,但在现实实际操作生活中,出现了理性决策与行为决策不相一致的情况。
正是基于这两方面因素考虑,力图应用理性决策与行为决策相结合的思想,通过定性与定量相结合的方法,找到一种能反映主体心理测度的方法,从能够描述存在的现象和避免不应发生的现象出现两个角度进行研究,使信息的模糊隶属描述更具有合理性,使人们在模糊的状态下进行的预测和决策偏差更小。
二、分类描述1.当主体参考事态进行判断时,往往由于过于自信而出现偏差,当事件发生的客观概率在0.5上,而人们又认为或希望它发生,则判断出的隶属度往往高于凭他们的知识和事实本应判断出的值;另一方面,当客观概率小于0.5,而人们又不认为或不希望它会发生,则往往估计偏低。
模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法
主观经验法主要依赖于专家的专业知识和经验，通过专家对模糊概念的深入理 解和主观判断，来确定隶属函数的形状、参数和阈值等。这种方法简单易行， 但受限于专家知识和经验的局限性。
统计学习法
总结词
基于数据样本和统计学习理论来确定隶属函数的方法。
详细描述
统计学习法利用已知数据样本，通过统计学习理论和方法，如回归分析、决策树、支持向量机等，来拟合和优化 隶属函数。这种方法客观、科学，但需要足够的数据样本和计算资源。
VS
详细描述
连续性是指隶属函数在定义域内的任何一 点都存在明确的隶属度值，没有跳跃或中 断。连续的隶属函数能够更好地描述模糊 现象，因为模糊现象本身也是连续变化的 。
单调性
总结词
隶属函数应该是单调的，以反映模糊集合的 单调性质。
详细描述
单调性是指随着输入值的增大或减小，隶属 度值也相应增大或减小。单调递增的隶属函 数表示随着输入值的增加，隶属度也逐渐增 加；单调递减的隶属函数则表示随着输入值 的增加，隶属度逐渐减小。
经济效益评价
在经济效益评价中，隶属函数可以用于将各 评价指标的量纲统一，通过计算隶属度来评 价项目的经济效益。
在模糊聚类分析中的应用
模糊聚类算法
隶属函数在模糊聚类算法中起到关键作用，通过计算样本点对各个聚类的隶属度，实现样本点的软分 类。
聚类效果的评估
在模糊聚类分析中，隶属函数可以用于评估聚类效果，通过计算样本点对各个聚类的隶属度分布情况 ，判断聚类的质量和稳定性。
模糊数学教程第6章确定隶属函数 的方法
目 录
• 引言 • 确定隶属函数的方法 • 隶属函数的特性 • 隶属函数的优化 • 隶属函数的应用 • 总结与展望
01 引言
模糊隶属函数
模糊隶属函数模糊隶属函数（Fuzzy Membership Function）是一种把客观事物的状态或特征描述为统一的语言形式的方法。
由于客观实体总是具有多种不同属性，而每个属性都可以在某种程度上分为若干个状态，因此，对客观实体要表达出来，就需要一种能够把多种属性状态统一描述的表达方法，而这种把多种属性状态统一描述的表达方法就是模糊隶属函数，也可以说模糊隶属函数是客观实体的属性状态的自动统一描述的方法。
模糊隶属函数实际上是一种将客观事物的状态变量映射到模糊集合中的函数，它能够将客观实体的状态、特征以及其他描述信息统一描述，这种描述有时被称为隶属度函数，它可以用来描述客观实体的属性状态，从而使客观实体的描述信息更加精确，更具有决策可操作性。
模糊隶属函数的定义如下：设X为客观事物的一个属性状态，μA(X)为X在A模糊集合中的隶属度，则μA(X)就是X的模糊隶属函数。
模糊隶属函数可以通过模糊数学理论解释，从而加深对其本质的理解，模糊数学理论主要包括模糊集合、模糊逻辑等，而模糊集合则是模糊隶属函数的基础，模糊集合是一种由元素的隶属度组成的集合，它可以用来描述客观事物的属性状态，即可以用来表示客观事物的某个属性的取值范围以及其取值的合理程度。
模糊隶属函数由模糊集合构成，具体可以分为三种：线性模糊隶属函数、非线性模糊隶属函数和多选模糊隶属函数。
线性模糊隶属函数是指将状态或特征以线性模式表示的模糊隶属函数，它适用于描述连续性属性变量，它的表达式一般为：μA(x)=ax+b，其中a,b是常数，a>0，b<0。
非线性模糊隶属函数是指将状态或特征以非线性模式表示的模糊隶属函数，它适用于描述离散性属性变量，它的表达式一般为：μA(x)=1/ (1+|x-b|^a)，其中a,b是常数，a>0，b<0。
多选模糊隶属函数是指将状态或特征以多选模式表示的模糊隶属函数，它适用于描述多个属性变量的取值范围，它的表达式一般为：μA(x)=1 / (1+ (1/p) * Σi=1n |x-xi|^ai)，其中ai,bi是常数，ai>0，bi<0，n为多选的属性变量的数量。
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模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法确定隶属函数是模糊数学中的一项重要任务，它决定了模糊集合如何
描述和应用。
本文将介绍几种常用的确定隶属函数的方法。
基于专家经验的方法是最常见的确定隶属函数的方法之一、通常，一
些领域的专家会通过自己的经验和知识来确定隶属函数的形状和参数，以
达到最佳的模糊集合描述效果。
例如，在模糊控制系统中，专家可以通过
对系统的分析和调试来确定隶属函数的形状，从而实现对系统的精确控制。
基于数据分析的方法是一种较为客观的确定隶属函数的方法，它通过
对已有数据的统计分析来确定隶属函数的形状和参数。
通常，需要收集一
定数量的数据样本，并对这些数据进行分析，确定隶属函数的形状和参数。
例如，在模糊分类问题中，可以通过对已有分类数据的统计分析来确定隶
属函数，从而实现对未知样本的分类。
基于模糊聚类的方法是一种将隶属函数与模糊聚类相结合的方法，它
通过对数据样本进行聚类分析来确定隶属函数的形状和参数。
通常，需要
先对数据进行模糊聚类，确定聚类结果，然后使用聚类结果来确定隶属函数。
例如，在模糊图像分割中，可以通过对图像像素进行模糊聚类，确定
图像的不同区域，然后使用聚类结果来确定图像的隶属函数，从而实现图
像分割。
基于优化算法的方法是一种通过优化算法来确定隶属函数的形状和参
数的方法。
通常，需要将需要确定的隶属函数作为优化目标函数，利用其
中一种优化算法来求解最优解，从而确定隶属函数的形状和参数。
例如，
在模糊最优化问题中，可以将需要确定的隶属函数作为目标函数，使用遗
传算法或粒子群算法等优化算法来求解最优解，从而确定隶属函数。
以上是一些常用的确定隶属函数的方法，不同的方法适用于不同的问题和场景。
在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的方法来确定隶属函数，以达到最佳的模糊集合描述效果。