初三数学证明题(含答案)

（2010哈尔滨）5.如图，、是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°,那么∠等于（ ） DA.60°B.90°C.120°D.150°(2010台州市)如图，正方形边长为4，以为直径的半圆O 交对角线于E ．则直线与⊙O 的位置关系是 ▲ ，阴影部分面积为(结果保留π) ▲ ．答案：相切（2分），-6π（桂林2010）25．（本题满分10分）如图，⊙O 是△的外接圆，是⊙O 的切线，切点为F ，∥，连结交于E ，∠的平分线交于D ，连结．（1）证明：平分∠；（2）证明：＝；（3）若＝4，＝3，求的长．25．(本题10 分)证明（1）连结 ∵是⊙O 的切线∴⊥ ……………1分∵∥ ，∴垂直平分 ………2分∴BF FC =∴平分∠ …………3分（2）证明：由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分 ∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ∠∠∴ ………………6分（3）解： 在△和△中∵∠5=∠2=∠1，∠∠F∴△∽△ ………………7分∴BF AFFE BF=， ……………8分 ∴2BF FE FA =⋅∴2BF FA FE= ……………………9分A B C D EOA BCDE O12345ABCD EO 12A BD OE （第15题）∴274944 FA==∴4974-214…………………10分（2010年兰州）6.已知两圆的半径R、r分别为方程0652=+-xx的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是A．外离 B．内切 C．相交D．外切答案 B（2010年兰州）10.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为A．2 B．3 C．3 D．23答案 D（2010年无锡）6．已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满足（▲）A．9d>B．9d=C．39d<<D．3d=答案 D（2010年无锡）27．（本题满分10分）如图，已知点(63,0),(0,6)A B，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作⊥于C,过C作⊥x轴于D,问：t为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线相切？并说明此时P与直线的位置关系．BAOPDClxy答案解：⑴作⊥于H ﹙如图1﹚，∵＝6，＝36，∴∠＝30°∵＝t ，∠＝30°，∴＝12t ，＝t 23 ; ∴＝t t t 236216-=--，∴P ﹙t 23，t 236-﹚⑵当⊙P 在左侧与直线相切时﹙如图2﹚， ∵＝t -6，∠＝30°∴＝)6(21t -t 213-= ∴t t t 233213-=--=由1233=-t ，得34=t ﹙s ﹚,此时⊙P 与直线相割．当⊙P 在左侧与直线相切时﹙如图3﹚，323)6(21-=--=t t t由1323=-t ，得38=t ﹙s ﹚，此时⊙P 与直线相割． 综上，当s t 34=或s 38时，⊙P 与直线相切，⊙P 与直线相割．（2010年兰州）26.（本题满分10分）如图，已知是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与的延长线交于点P ，，∠2∠. （1）求证：是⊙O 的切线；（2）求证：21；（3）点M 是弧的中点，交于点N ，若4，求·的值. 答案（本题满分10分）解：（1）∵,∴∠∠∵∠2∠A ,∠2∠∴∠∠∠ ……………………………………………………1分∵是⊙O 的直径∴∠∠90° …………………………………………………2分∴∠∠90°,即⊥ …………………………………………3分∵是⊙O 的半径∴是⊙O 的切线 …………………………………………………4分（2）∵ ∴∠∠P ∴∠∠∠∠P ∵∠∠∠,∠∠∠∴∠∠ ……………………………………………5分∴∴21………………………………………………………6分(3)连接 ∵点M 是弧的中点∴弧弧 ∴∠∠ ………7分 ∵∠∠ ∴∠∠∵∠∠∴△∽△∴BM MNMC BM =∴2· ……………………8分∵是⊙O 的直径，弧弧 ∴∠90°∵4 ∴22 ………………………………………………………9分∴·2=8 ……………………………………………………10分（2010宁波市）6．两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离13. （2010年金华） 如果半径为3的⊙O 1与半径为4的⊙O 2内切，那么两圆的圆心距O 1O 2＝ ▲ . 答案：1；6．（2010年长沙）已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是 B A ．2 B ．4C ．6D ．8（2010年成都）8．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ） （A ）相交 （B ）外切 （C ）外离 （D ）内含 答案：A（2010年眉山）4．⊙O 1的半径为3，⊙O 2的半径为5，圆心距O 1O 2=2，这两圆的位置关系是A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含 答案：C 毕节24．（本题12分）如图，已知是△中边上的高，以为直径的⊙O 分别交、于点E 、F ，点G 是的中点．求证：是⊙O 的切线．24．证明：（证法一）连接OE DE ，． 1分 ∵CD 是⊙O 的直径，∴90AED CED ∠=∠=．2分∵G 是AD 的中点，∴12EG AD DG ==． 4分∴12∠=∠． 6分 ∵34OE OD =∴∠=∠，． 8分 ∴1324∠+∠=∠+∠．即90OEG ODG ∠=∠=． 10分 ∴GE 是⊙O 的切线．12分（证法二）连接OE OG ，． 1分 ∵AG GD CO OD ==，， ∴OG AC ∥．2分 ∴1234∠=∠∠=∠，． 4分∵．∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3．6分又OE OD OG OG ==，，∴OEG ODG △≌△． 8分 ∴90OEG ODG ∠=∠=． 10分 ∴GE 是⊙O 的切线．12分15．(10重庆潼南县)如图，在矩形中，6 ，4，⊙O 是以为直径的圆，则直线与⊙O 的位置关系是．相离1、（2010年杭州市）如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向移动，已知台风移 动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位 于点P 的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处. (1) 说明本次台风会影响B 市；（2）求这次台风影响B 市的时间.答案：(1) 作⊥于点H , 在△中,由条件知, = 320, ∠ = 30°, 得 = 32030° = 160 < 200,∴ 本次台风会影响B 市. (2) 如图, 若台风中心移动到P 1时, 台风开始影响B 市, 台风中心移动到P 2时, 台风影响结束.由（1）得 = 160, 由条件得12 = 200,∴所以P 1P 2 = 222160200 =240, ∴台风影响的时间t =30240= 8(小时). （2010陕西省）23．如图，在△中∠90°，斜边的垂直平分线交与D点，交与E 点，连接（1）若是△的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当12是求△外界圆的半径解：（1）∵ 垂直平分∴∠90°∴ 为△外接圆的直径 ∴的中点 O 即为圆心 连结又知是圆O 的切线 ∴∠∠90°在△ 中 E 斜边 的中点 ∴ ∴∠∠C 又∵∠2∠C ∴∠2∠90°∴∠30°（2）在△中= ∴12 ∵∠∠90° ∴△∽△ ∴AC BC DC EC =∴54△ 外接圆半径为58（2010年天津市）（22）（本小题8分）已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C . （Ⅰ）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.解：（Ⅰ）∵ AB 是⊙O 的直径，AP 是切线，∴ 90BAP ∠=︒.在△PAB 中，2AB =，30P ∠=︒， ∴ 2224BP AB ==⨯=.由勾股定理，得AP ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (Ⅱ)如图，连接OC 、AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ 90BCA ∠=︒，有90ACP ∠=︒. 在△APC 中，D 为AP 的中点， ∴ 12CD AP AD ==. ∴ DAC DCA ∠=∠. 又 ∵OC OA =， ∴OAC OCA ∠=∠.A图①AD图②第（22）题AD∵ 90OAC DAC PAB ∠+∠=∠=︒， ∴ 90OCA DCA OCD ∠+∠=∠=︒. 即 OC CD ⊥.∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（2010山西22．（本题8分）如图，四边形是平行四边形，以为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠＝45º．（1）试判断与⊙O 的关系，并说明理由．（2）若⊙O 的半径为3，＝5 cm ．求∠的正弦值．1.（2010宁德）．如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A 的 半径为1，⊙B 的半径为2，将⊙A 由图示位置向右平移1个单位长后， ⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是（ ）．DA.内含B.内切C.相交D.外切2.（2010黄冈）6分）如图，点P 为△的内心，延长交△的外接圆于D ，在延长线上有一点E ，满足2＝·，求证：是⊙O 的切线.ABE（第22题）O第9题图 ABO 第22题图x yA B P C D第20题图证明：连结，并延长交⊙O 于F ，连结.∵2＝·，∠＝∠，∴△∽△，∴∠＝∠E. 又∵∠＝∠，∴∠＝∠E ，∥，∴∠＝∠＝∠＝∠，又∵∠＝∠，∴∠＝∠∠＝∠∠＝∠＝90°，故是⊙O 的切线1．（2010山东济南）如图所示，菱形的顶点A 、B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，∠60°，点A 的坐标为(－2，0)．⑴求线段所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线相切？答案：1 解：⑴∵点A 的坐标为(－2，0)，∠60°，∠90°，∴·60°=23∴点D 的坐标为（0，3， ················································ 1分 设直线的函数表达式为y kx b =+，2023k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得323k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴直线的函数表达式为323y x +. ····································· 3分 ⑵∵四边形是菱形， ∴∠∠60°，∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°， 4， ················································································· 5分第22题图 如图所示：①点P 在上与相切时， 1=22， ∴t 1=2. ·············································································· 6分②点P 在上与相切时，2=22，∴2=6，∴t 2=6. ······························ 7分③点P 在上与相切时，3=22， ∴3=10，∴t 3=10. ······························ 8分④点P 在上与相切时， 4=22， ∴4=14， ∴t 4=14，∴当2、6、10、14时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线相切. ···············································9分1．（2010四川宜宾）若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上C ．点A 在圆外D ．不能确定 2．（2010山东德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情 况是(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，53．（2010山东德州）如图，在△中，，D 是中点，平分∠交于点E ，点O 是上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交于点G ，交于点F ． （1）求证：与⊙O 相切； （2）当∠120°时，求∠的度数．第20题图答案：1．A 2、C 3．（1）证明：连接，1分∵且D 是中点， ∴⊥． ∵平分∠， ∴∠∠．3分 ∵， ∴∠∠． ∴∠∠． ∴∥． ∴⊥．∴是⊙O 的切线．6分 （2）∵，∠120°，∴∠∠30°．7分 ∴∠ =60°．8分 ∴∠ =∠ =30°．9分 ∴∠ =30°．10分（2010年常州）6.若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为A.外离B.外切C.相交D.内切 （2010株洲市）15．两圆的圆心距5d =，它们的半径分别是一元二次方程2540x x -+=（2010河北省）23．（本小题满分10分）观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以 左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆也随之运动，并且 带动连杆绕固定点O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P 在以为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O 作 ⊥l 于点H ，并测得 =4分米， = 3分米， = 2分米．解决问题图14-1（1）点Q 与点O 间的最小距离是 分米；点Q 与点O 间的最大距离是 分米；点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米． （2）如图14-3，小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位置时，与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？（3）①小丽同学发现：“当点P 运动到上时，点P 到l的距离最小．”事实上，还存在着点P 到l 距离最大 的位置，此时，点P 到l 的距离是 分米；②当绕点O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．解：（1）4 5 6；（2）不对．∵ = 2， = 3， = 4，且42≠32 + 22，即2≠2 + 2， ∴与不垂直．∴与⊙O 不相切． （3）① 3；②由①知，在⊙O 上存在点P ，P '到l 的距离为3，此时，将不能再向下转动，如图3．在绕点O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P '．连结P 'P ，交于点D ．∵，P 'Q '均与l 垂直，且 =P '3Q '=，∴四边形Q 'P '是矩形．∴⊥P P '， P '． 由 = 2， = - = 1，得∠ = 60°．∴∠P ' = 120°．∴°．（2010河南）11．如图，切⊙O 于点A ，交⊙O 于点C ，点D 是⌒CmA 上异于点C 、A 的一点，若∠32°，则∠的度数是． 29°OmDCBA（第11题）l图14-3lQ图14-2l图3（2010广东中山）14．如图，与⊙O 相切于A点，弦⊥，垂足为C ，与⊙O 相交于D 点，已知2，4。