数列经典例题

（2010·广东·4）已知数列为等比数列，是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则（）A、35B、33C、3lD、29答案： C（2010·江西·5）等比数列中，，=4，函数，则（）A、B、C、D、答案： C2010·湖南·15）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则_______，____________．答案：2，（2010·辽宁·16）已知数列满足则的最小值为__________．答案：（2010·陕西·9）对于数列，“”是“为递增数列”的（）A、必要不充分条件B、充分不必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件（2011·北京·20）若数列：，，…，满足（，2，…，），则称为E数列．记．（Ⅰ）写出一个满足，且的E数列；（Ⅱ）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是；（Ⅲ）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由．答案及评分标准：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列A5．（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A n是递增数列，所以．所以A n是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000=12+（2000—1）×1=2011．充分性，由于a2000—a1999≤1，A1999—a1998≤1……a2—a1≤1所以a2000—a1≤1999，即a2000≤a1+1999．又因为a1=12，a2000=2011, ∴a2000=a1+1999．故是递增数列．综上，结论得证．（Ⅲ）令∴,……∴∵∴为偶数,∴要使为偶数,即4整除．当时，数列的项满足= =0，时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列A n，使得答案： B（2011·四川·20）设为非零实数，．（Ⅰ）写出并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．答案及评分标准：（Ⅰ）,因为为常数，所以当是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）（2）（1），2011·四川·8）数列的首项为，为等差数列且．若则，，则（）A、0B、3C、8D、11答案： B（2011·天津·4）已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（）A、-110B、-90C、90D、110答案： D（2012·全国·理22）函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{x n}如下：x1＝2，x n＋1是过两点P(4,5)，Q n(x n，f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n＜x n＋1＜3；(2)求数列{x n}的通项公式．答案及评分标准：(1)用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为，令y ＝0，解得，所以2≤x 1＜x 2＜3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k ＜x k ＋1＜3.直线PQ k ＋1的方程为，令y ＝0，解得，由归纳假设知；x k ＋2－x k ＋1＝，即x k ＋1＜x k ＋2.所以2≤x k ＋1＜x k ＋2＜3，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n ＜x n ＋1＜3.(2) {x n }的通项公式为.（2012·四川·文12）设函数f(x)＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝（ ） A 、0B、7C、14D、21答案： D（2012·四川·文20）已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n＝S1＋S n对一切正整数n都成立．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设a1＞0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？答案及评分标准：(1)当a1＝0时，a n＝0；当a1≠0时，.(2)当n≥7时，b n≤b7＝＜lg 1＝0，故数列的前6项的和最大．（2012·四川·理12）设函数f(x)＝2x－cosx，{a n}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝（）A、0B、C、D 、答案： D（2012·四川·理20）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1＞0，数列的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值． 答案及评分标准： (1) a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝＋1，a 2＝＋2；或a 1＝1－，a 2＝2－.(2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝＋1，a 2＝＋2.当n≥2时，有(2＋)a n ＝S 2＋S n ，(2＋)a n －1＝S 2＋S n －1，所以(1＋)a n＝(2＋)a n －1，即a n ＝a n －1(n≥2)，所以a n ＝a 1()n －1＝(＋1)·()n －1.令，则b n ＝1－lg()n －1＝1－(n －1)lg 2＝.所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝＞lg1＝0，当n≥8时，，故n＝7时，T n取得最大值，且T n的最大值为.一、问答题1、（2012·陕西·文16）已知等比数列{a n}的公比.(1)若，求数列{a n}的前n项和；(2)证明：对任意k∈N＋，a k，a k＋2，a k＋1成等差数列．2、（2012·陕西·理17）设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{a n}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．3、（2012·湖北·理18）已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．4、（2012·江苏·20）已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足：，n∈N*.(1)设b n＋1＝1＋，n∈N*，求证：数列是等差数列；(2)设，n∈N*，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．5、（2012·重庆·文16）已知{a n}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k＋2成等比数列，求正整数k的值．6、（2012·广东·理19）设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.7、（2012·广东·文19）设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．8、（2012·浙江·文19）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋n，n∈N*，数列{b n}满足a n＝4log2b n＋3，n∈N*．(1)求a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n．9、（2012·安徽·理21）数列{x n}满足x1＝0，x n＋1＝－x n2＋x n＋c(n∈N*)．(1)证明：{x n}是递减数列的充分必要条件是c＜0；(2)求c的取值范围，使{x n}是递增数列．10、（2012·安徽·文21）设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n}．(1)求数列{x n}的通项公式；(2)设{x n}的前n项和为S n，求sinS n．11、（2012·湖南·理19）已知数列{a n}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋a n，B(n)＝a2＋a3＋…＋a n＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋a n＋2，n＝1,2，….(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{a n}的通项公式；(2)证明：数列{a n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．12、（2012·湖南·文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．(1)用d表示a1，a2，并写出a n＋1与a n的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．答案：1、(1) .(2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)， 由，得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0，即2a k ＋2＝a k ＋a k ＋1，所以，对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．2、(1)设数列{a n }的公比为q(q≠0，q≠1)，q ＝－2.(2)证法一：对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k )＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2)＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．证法二：对任意k ∈N ＋，，S k ＋2＋S k ＋1＝ ＝，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝ ＝[2(1－q k )－(2－q k ＋2－q k ＋1)] ＝(q 2＋q －2)＝0，因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．3、(1)设等差数列{|a n |}的公差为d ， a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)4、(1)证明：由题设知，所以，从而(n∈N*)，所以数列是以1为公差的等差数列．(2) a1＝b1＝.5、(1)设数列{a n}的公差为d，a n＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)6.6、1．(2) a n＝3n－2n．(3)∵a n＝3n－2n＝3·3n－1－2n＝3n－1＋2(3n－1－2n－1)≥3n－1，∴．∴．7、(1) 1．(2)a n＝3·2n－1－2．8、(1) a n＝4log2b n＋3，b n＝2n－1，n∈N*．(2)由(1)知a n b n＝(4n－1)·2n－1，n∈N*．所以T n＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1,2T n＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n －1＋(4n－1)·2n，所以2T n－T n＝(4n－1)2n－［3＋4(2＋22＋…＋2n－1)］＝(4n－5)2n＋5．故T n＝(4n－5)2n＋5，n∈N*．9、(1)先证充分性，若c ＜0，由于x n ＋1＝＋x n ＋c≤x n ＋c ＜x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2＜x 1可得c ＜0．(2) (0，］．10、(1)x n ＝2nπ－(n ∈N *)． (2)11、(1) a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q.由a n ＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是，， 即.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q 的等比数列． ②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q 的等比数列，则B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)．于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得a n ＋2－a 2＝q(a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1.由n ＝1有B(1)＝qA(1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n ＞0，所以.故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q 的等比数列．12、(1)a n＋1＝a n(1＋50%)－d＝a n－d.(2)由(1)得a n＝a n－1－d＝(a n－2－d)－d＝()2a n－2－d－d＝…＝()n－1a1－d[1＋＋()2＋…＋()n－2]．整理得a n＝()n－1(3 000－d)－2d[()n－1－1]＝()n－1(3 000－3d)＋2d.由题意，a m＝4 000，即()m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.解得，故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．。