八年级数学下册 1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆
北师大版数学八年级下册 角平分线的性质定理及逆定理教案与反思
4 角平分线
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举世不师，故道益离。柳宗元
第1课时 角平分线的性质定理及逆定理
【知识与技能】
会证明角平分线的性质定理及其逆定理
【过程与方法】
经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.
【情感态度】
经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法.
【教学重点】
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.
【教学难点】
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.
一.情景导入，初步认知
让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用.
【教学说明】高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力.尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励.提高学生的积极性.
二.思考探究，获取新知
探究1：角平分线定理
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
【教学说明】请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导.
【归纳结论】角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
探究2：角平分线的判定定理.
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∴PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP，PD=PE，
∴Rt△ODP ≌Rt△OEP(HL定理)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
∴点P在∠AOB的角平分线上.
【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
八年级下册数学1.4角平分线的性质2
1.4角平分线的性质
授课人 郴州市五中 陈光华 授课时间 2017年3月10日
一、教学目标：1、了解平分角的仪器的制作方法
2、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．
3、会用尺规作一个已知角的平分线．
4、掌握角的平分线的性质及其应用。
二、教学重点：
利用尺规作已知角的平分线，角的平分线的性质及其运用。
三、教学难点：
作角的平分线的方法；运用角平分线的性质解决相关的实际问题。
四、教学过程：
（一）想一想。
1、如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗？（学生讨论，老师巡视）
分析：根据SSS, 可知两个三角形全等： ∴∠1=∠2
2、从上面的探究你能得出作一个角的角平分线的方法吗？
已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N；
（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C；
（3）作射线OC，射线OC即为所求．(教师引导学生思考完成)
3、做P108页的练习，并回答问题。
（二）做一做
1、你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗
分析：将∠AOB对折
2、再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜边，OA与OB为直角边）观察两次折出的三条折痕，你能得出什么结论？
分析： 第二次折出的两条折痕的长度相等
3、你能说明其中的道理吗？
分析：根据AAS
4、从上面的实验中，你能得到什么结论？
角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（三）议一议
1、定理应用应具备哪些条件？
（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。
2、果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个真命题吗？
八年级数学角的平分线的性质及其逆定理通用版知识精讲
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初二数学角的平分线的性质及其逆定理通用版
【本讲主要内容】
角的平分线的性质及其逆定理
【知识掌握】
【知识点精析】
1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
2. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
以上两个定理互为逆定理，要正确加以区分，性质1是指如果一个点在一个角的平分线上，可以得出它到角的两边的距离相等；
而性质2却与它恰好相反，如果一个点到角的两边距离相等，那么它的位置一定在这个角的平分线上。
通俗地说，性质1是先知点的位置，得到它的性质；性质2先由点满足某个性质，再确定它的位置。
【解题方法指导】
例1. 已知：如图所示，E是AD上一点，BADCADEBABECAC，，。
求证：DBEDCE
分析：欲证DBEDCE，只要证DBE≌DCE即可。
由于DE是它们的公共边，只要证出BE=CE，BEDCED即可，或证出BD=CD。
已知AE是BAC的平分线，EBABECAC，，可得出EBEC，由AEBAEC，可得BEDCED。至此思路已通。
证明：∵ACECABEBCADBAD，，
EBEC（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵ABEBAEBED，CEDCAEACE（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）
DEDECEDBED又
BDE≌）（SASCDE
DCEDBE word
2 / 8 评析：如果由两次三角形全等来解决此题，实际上是把角平分线的性质又重新证了一遍，走了一个弯路，因此可直接由角平分线的性质，得出EB=EC。
例2. 已知：如图所示，△ABC中，D是BC的中点，FACDFEABDE于，于，BE=CF。
求证：AD平分∠BAC。
A
E F
B D C
数学北师大版八年级下册角平分线的性质定理及其逆定理
§1.4.1 角平分线的性质定理及其逆定理
鸣沙九年制学校 乔红强
一、 教学目标
1、 知识与技能
会证明角平分线的性质定理及其逆定理。
2、 过程与方法
（1）经历探究、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。
（2）体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。
3、 情感态度与价值观
（1） 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
（2） 在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
二、 教学重点：正确表述角平分线的性质定理及其逆定理。
三、 教学难点：运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题。
四、 教学用具：多媒体课件
五、 教学方法：探究法、讲练结合法、启发法 六、 教学流程
（一）复习引入
同学们，你们还记得角平分线有
什么性质吗？
（二）探究新知
1、(1)角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
(2)请同学们自己尝试着证明上述结论
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
2、（1）你能写出这个定理的逆命题吗?
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． （2）它是真命题吗? 你能证明它吗?
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．
2022年数学精品初中教学设计《角平分线的性质定理及其逆定理》特色教案
1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
【知识与技能】
让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.
【过程与方法】
经历探究角的平分线的性质的过程, 领会其应用方法.
【情感态度】
激发学生的几何思维, 启迪他们的灵感, 使学生体会到几何的真正魅力.
【教学重点】
领会角的平分线的两个互逆定理
【教学难点】
两个互逆定理的实际应用
一、创设情境, 导入新课
拿出课前准备好的折线与剪刀, 剪一个角, 把剪好的角对折, 使角的两边叠合在一起, 再把纸片展开, 看到了什么？把对折的纸片再任意折一次, 然后把纸片展开, 又看到了什么？
【教学说明】
通过折纸动手操作, 观察得出结论, 感受生活中的数学无处不在, 让他们很快投入到学习中.教师讲课前, 先让学生完成预习.
二、思考探究, 获取新知
问题1 角平分线的性质定理
思考 教材第22页“探究〞
【教学说明】
让学生明确角平分线的性质定理利用“HL〞证明两直角三角形全等得出来的, 既稳固了所学知识, 又得出新的结论.
问题2 角平分线的判定定理
思考 教材第23页“动脑筋〞
【教学说明】
角平分线的判定定理与性质定理是互逆定理, 让学生明白各自生成的条件, 并加深了它们之间的区别与联系.
问题3 角平分线的性质及其判定的应用
例 教材第23~24页例1
【教学说明】
体会角平分线上的点与这一点到角两边距离相等可以相互转化, 加深对知识的理解和运用.
三、运用新知, 深化理解
1.如图, 点P、D、E分别在OC、OA、OB上, 以下推理
①∵OC平分∠AOB, ∴PD=PE；
②∵OC平分∠AOB, PD⊥OA, PE⊥OB, ∴PD=PE；
③∵PD⊥OA, PE⊥OB,
∴PD=PE.其中正确的个数有〔 〕
2.如图, 在△ABC中, ∠B=90°, AD平分∠BAC交BC于D, BC=10cm,
CD=6cm, 那么点D到AC的距离是.
北师版八年级下册数学角平分线的性质定理及其逆定理教案
1．4 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
1．探索并理解角平分线的性质和判定．
2．能灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问题．
自学指导：阅读教材P28～29，完成下列问题．
知识探究
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2．角平分线的性质定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
自学反馈
1．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是(A)
A．PD＝PE B．PE＝OE
C．∠DPO＝∠EOP D．PD＝OD
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝20 cm，那么M到AB的距离是(C)
A．10 cm B．15 cm
C．20 cm D．25 cm
3．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为(C)
A．60° B．45° C．30° D．75°
活动1 小组讨论
例1 已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：
(1)CF＝EB；
(2)AB＝AF＋2EB.
证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE.
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
DC＝DE，DF＝DB，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)．∴CF＝EB.
(2)由(1)得DC＝DE.
在Rt△ADC和△ADE中，
DC＝DE，AD＝AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)．
∴AC＝AE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
湘教版数学八年级下册第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理教案与反思
1.4角平分线的性质
物以类聚，人以群分。《易经》
原创不容易，【关注】，不迷路！
第1课时角平分线的性质定理及其逆定理
【知识与技能】
让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.
【过程与方法】
经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法.
【情感态度】
激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力.
【教学重点】
领会角的平分线的两个互逆定理
【教学难点】
两个互逆定理的实际应用
一、创设情境，导入新课
拿出课前准备好的折线与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
【教学说明】
通过折纸动手操作，观察得出结论，感受生活中的数学无处不在，让他们很快投入到学习中.教师讲课前，先让学生完成预习.
二、思考探究，获取新知
问题1角平分线的性质定理
思考教材第22页“探究”
【教学说明】 让学生明确角平分线的性质定理利用“，CD=6cm，则点D到AC的距离是.
3.如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论.
【教学说明】
让学生独立完成，加深对知识的理解与运用，根据学生掌握情况，及时查漏补缺.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.
答案：1.B2.4cm3.AD⊥EF
.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF,
∴∠ADE=∠ADF,又DE=DF，∴DA⊥EF.
四、师生互动，课堂小结
谈谈你对本节课的认识，还有什么心得体会?请与大家共同分享.
【教学说明】
引导学生回顾所学知识，加深印象，同学之间互相取长补短，达到共同提高.
1.布置作业：习题1.4中的第2、3题.
八年级下册数学1.4角平分线的性质
角平分线的性质
年级：八年级 主备人：陈建和 审核人：
班级： 班 使用人： 时间：
课堂目标导航
1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。（重难点）
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．经历探索角平分线的性质的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
自主学习方案
预习教材P22—P24的内容，试完成下面各题。
1、角平分线的性质： 。
2、角平分线的判定
角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在 。
3、如图所示，已知OQ平分∠AOB,且PM⊥OA,PN⊥OB,
M、N分别为垂足。根据角平分线的性质有 ；
反之如果PM=PN,且 ， ，那
么OP平分∠AOB。
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，
DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE的长。
课堂导学方案
教学点1 角平分线的性质
例1 如图所示，在△ABC中∠C=90°，BC=14，
∠A的平分线交BC于D，BD：DC=4：3，
DM⊥AB垂足为M;求点D到AB的距离。
A
N O M
O
B
Q
B
E
D
C A
B
M
D
C A
教学点2 角平分线的判定
例2 如图所示，BD=CD,BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，
求证：D点在∠ABC的平分线上。
学点训练
1.如图所示：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
2022年初中数学精品教案《角平分线的性质定理及其逆定理》公开课专用
1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
【知识与技能】
让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.
【过程与方法】
经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法.
【情感态度】
激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力.
【教学重点】
领会角的平分线的两个互逆定理
【教学难点】
两个互逆定理的实际应用
一、创设情境，导入新课
拿出课前准备好的折线与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
【教学说明】
通过折纸动手操作，观察得出结论，感受生活中的数学无处不在，让他们很快投入到学习中.教师讲课前，先让学生完成预习.
二、思考探究，获取新知
问题1 角平分线的性质定理
思考 教材第22页“探究”
【教学说明】
让学生明确角平分线的性质定理利用“HL”证明两直角三角形全等得出来的，既巩固了所学知识，又得出新的结论.
问题2 角平分线的判定定理
思考 教材第23页“动脑筋”
【教学说明】
角平分线的判定定理与性质定理是互逆定理，让学生明白各自生成的条件，并加深了它们之间的区别与联系.
问题3 角平分线的性质及其判定的应用
例 教材第23~24页例1
【教学说明】
体会角平分线上的点与这一点到角两边距离相等可以相互转化，加深对知识的理解和运用.
三、运用新知，深化理解
1.如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理
①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；
②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；
③∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.其中正确的个数有（ ）
2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是.
△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论.
角平分线性质定理及其逆定理
1 / 4 八年级《数学》学教案
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
周各庄中学 夏爱玲
学习目标：
知识目标： 掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用。
能力目标：
1．经历用尺规作角垂直平分线的过程，并能说明其作法的依据；
2．能够熟练的安照证明的格式和步骤对一些命题进行证明。
情感目标：培养学生步步有据的推理意识。
学习重、难点：
学习重点及难点：角直平分线的性质定理及其逆定理的灵活运用。
预习导航：通读课本141-142页，思考以下几个简单问题：
1．三角形全等的判定公理的推论是什么？
2．角直平分线的性质定理的内容是什么？
3．角直平分线的性质定理的逆定理的内容是什么？
学习过程：
一、创设情境、引入课题
二、互动学习、验证定理
（一）三角形全等的判定公理的推论的证明
推论的内容是：
。
根据推论的内容，画出图形，并结合图形写出已知、求证、给出证明。
（二）角平分线性质定理的证明
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。
求证：PD=PE。
(提示：运用三角形全等的判定公理的推论来证明)
上学期我们学习了线段垂直平分线的时候运用对称的知识证明这一性质，今天我们从另外的角度给予证明。
角平分线的性质定理及其逆定理的证明主要涉及三角形全等的证明，对于学生来说比较简单，应放手让学生独立完成。
21OBAPCED2 / 4
（三）角平分线性质定理的逆定理的证明
1．根据互逆定理的定义，写出角平分线性质定理的逆定理。
。