二项式定理(一)

二项式定理练习题[1]

二项式定理练习题

一、选择题：1．在103x的展开式中，6x的系数为（）

A．610C27 B．410C27 C．610C9 D．410C9

2．已知a4b,0ba， nba的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于（）A．4 B．9 C．10 D．11

3．已知（naa)132的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（）

A．10 B．11 C．12 D．13

4．5310被8除的余数是（） A．1 B．2 C．3 D．7

5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（）

A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34

6．二项式n4x1x2 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（） A．1 B．2 C．3 D．4

7．设(3x31+x21)n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x2项的系数是（）A．21 B．1 C．2 D．3

8．在62)1(xx的展开式中5x的系数为（）A．4 B．5 C．6 D．7

9．nxx)(5131展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是

A．330 B．462 C．680 D．790

10．54)1()1(xx的展开式中，4x的系数为（） A．－40 B．10 C．40 D．45

二项式定理(一)教案

二项式定理教案（一）

一、教学目标：

1．知识技能：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理

2．过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式

3．情感、态度、价值观

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨

二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析3)(ba的展开式得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

三、教学过程

（一）提出问题：

引入：二项式定理研究的是nba)(的展开式。如2222)(bababa，那么：

3)(ba=? 4)(ba=? 100)(ba=? 更进一步：nba)(=？

（二）对2)(ba展开式的分析

))(()(2bababa 展开后其项的形式为：22,,baba

考虑b，每个都不取b的情况有1种，即02c ,则2a前的系数为02c

恰有1个取b的情况有12c种，则ab前的系数为12c

恰有2个取b的情况有22c 种，则2b前的系数为22c

所以 222122022222)(bcabcacbababa

类似地 3332232133033223333)(bcabcbacacbabbaaba

思考：))()()(()(4bababababa=?

问题：

1)．4)(ba展开后各项形式分别是什么？

4a ba3 22ba 3ab 4b 2)．各项前的系数代表着什么？

各项前的系数就是在4个括号中选几个取b的方法种数

3)．你能分析说明各项前的系数吗？

每个都不取b的情况有1种，即04c,则4a前的系数为04c

二项式定理与多项式

1 1．二项工定理

nkkknknnnbaCba0*)()(N

2．二项展开式的通项

)0(1nrbaCTrrnrnr它是展开式的第r+1项.

3．二项式系数

).0(nrCrn

4．二项式系数的性质

（1）).0(nkCCknnkn

（2）).10(111nkCCCknknkn

（3）若n是偶数，有nnnnnnnnCCCCC1210，即中间一项的二项式系数2nnC最大.

若n是奇数，有nnnnnnnnnnCCCCCC1212110，即中项二项的二项式系数212nnnnCC和相等且最大.

（4）.2210nnnnnnCCCC

（5）.21531420nnnnnnnCCCCCC

（6）.1111knknknknCknCnCkC或

（7）).(nkmCCCCCCmmknmknmkmnmnmkkn

（8）.1121nknnknnnnnnnCCCCC

例1：求7)11(xx的展开式中的常数项.

【解】由二项式定理得

77)]1(1[)11(xxxx 2 77772271707)1()1()1()1(xxCxxCxxCxxCCrr ①

其中第)70(1rr项为rrrxxCT)1(71 ②

在rxx)1(的展开式中，设第k+1项为常数项，记为,1kT

则)0(,)1(2,1rkxCxxCTkrkrkkrkrk ③

由③得r－2k=0，即r=2k，r为偶数，再根据①、②知所求常数项为

.39336672747172707CCCCCCC

【评述】求某一项时用二项展开式的通项.

例2：求62)321(xx的展开式里x5的系数.

二项式定理典型例题

例1 在二项式nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中有理项．

解：二项式的展开式的通项公式为：

4324121C21)(CrnrrnrrnrnrxxxT

前三项的.2,1,0r

得系数为：)1(8141C,2121C,123121nntnttnn，

由已知：)1(8112312nnnttt，

∴8n

通项公式为

1431681,82,1,021CrrrrrTrxT为有理项，故r316是4的倍数，

∴.8,4,0r

依次得到有理项为228889448541256121C,83521C,xxTxxTxT．

例2 已知7722107)21(xaxaxaax，求：（1）7321aaaa；（2）7531aaaa；（3）6420aaaa．

分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．

解：（1）取0x可得10a，

取1x得1)1(7710aaa．

∴27321aaaa.

（2）取1x得77632103aaaaaa，

记75316420,aaaaBaaaaA．

∴73,1BABA．

可得1094)31(21,1093)13(2177BA 从而10947531aaaa．

（3）从（2）的计算已知10936420aaaa．

例3 （1）求103)1()1(xx展开式中5x的系数；（2）求6)21(xx展开式中的常数项．

解：（1）103)1()1(xx展开式中的5x可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

用3)1(x展开式中的常数项乘以10)1(x展开式中的5x项，可以得到5510Cx；用3)1(x展开式中的一次项乘以10)1(x展开式中的4x项可得到54104410C3)C)(3(xxx；用3)1(x中的2x乘以10)1(x展开式中的3x可得到531033102C3C3xxx；用 3)1(x中的3x项乘以10)1(x展开式中的2x项可得到521022103CC3xxx，合并同类项得5x项为：

【高中数学】秒杀秘诀MS06二项式定理1

第1页共5页二项式定理（一）

1．二项式定理：

011()()nnnrnrrnn

nnnnabCaCabCabCbnN，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r

nC(0,1,2,,)rn.

③项数：共(1)r项，是关于a与b的齐次多项式

④通项：展开式中的第1r项rnrr

nCab

叫做二项式展开式的通项。用

1rnrr

rnTCab

表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项增到n，是升幂排列。各项的次数和等

于n.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rn

nnnnnCCCCC项的系数是a与

b的系数（包括二项式系数）。

题型一：利用通项公式求nx的系数

例1：在二项式32

41

()nx

x的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x的项的系数？

解：由条件知245n

nC，即245

nC，2900nn，解得9()10nn舍去或，由

21021

103434

11010()()r

r

rrrr

rTCxxCx





，由题意102

3,6

43r

rr

解得，

则含有3x的项是第7项633

6110210TCxx

,系数为210。

例2：求291

()

2x

x展开式中9x的系数？

解：29182183

1999111

()()()()

222rrrrrrrrrr

rTCxCxxCx

x

，令1839r,则3r

故9x的系数为33

9121

()

22C。

题型二：利用通项公式求常数项

例3：求二项式2101

()

2x

x的展开式中的常数项？解：5

20

210

2

1101011

()()()

22r

rrrrr

二项式定理

二次项定理

1 / 1

1. (16Ⅰ卷14)(2𝑥+ 𝑥)5的展开式中，𝑥3的系数是 .（用数字填写答案）

2. (16天津10)(𝑥2−1𝑥)8的展开式中𝑥7的系数为 .（用数字作答）

3. (16山东12)若(𝑎𝑥2+1 𝑥)5的展开式中𝑥5的系数是−80，则实数𝑎= .

4. (16北京10)在(1−2𝑥)6的展开式中，𝑥2的系数为（用数字作答）

5. (16四川2)设𝑖为虚数单位，则(𝑥+𝑖)6的展开式中含𝑥4的项为

A.−15𝑥4 B.15𝑥4 C.−20𝑖𝑥4 D.20𝑖𝑥4

6. (15Ⅰ卷10)(𝑥2+𝑥+𝑦)5的展开式中，𝑥5𝑦2的系数为（）

A. 10 B. 20 C. 30 D. 60

7. (15Ⅱ卷15) 𝑎+𝑥 (1+𝑥)4的展开式中𝑥的奇数次幂项的系数之和为32，则𝑎=

8. (15天津12)在(𝑥−14𝑥)6的展开式中，𝑥2的系数为

9. (15安徽11)(𝑥3+1𝑥)7的展开式中𝑥5的系数是。（用数字填写答案）

10. (15四川11)在(2𝑥−1)5的展开式中，含𝑥2的项的系数是（用数字填写答案）

11. (15广东9)在( 𝑥−1)4的展开式中，𝑥的系数为 .

12. (15重庆12)(𝑥3+12 𝑥)5的展开式中𝑥8的系数是（用数字做答）

13. (15陕西4)二项式 𝑥+1 𝑛(𝑛∈𝑁+)的展开式中𝑥2的系数为15，则𝑛= ( )

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

06二项式定理1(经典题型+答案)

二项式定理（一）

1．二项式定理：

011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rnC(0,1,2,,)rn.

③项数：共(1)r项，是关于a与b的齐次多项式

④通项：展开式中的第1r项rnrrnCab叫做二项式展开式的通项。用1rnrrrnTCab表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项增到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。

题型一：利用通项公式求nx的系数

例1：在二项式3241()nxx的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x的项的系数？

解：由条件知245nnC，即245nC，2900nn，解得9()10nn舍去或，由

2102110343411010()()rrrrrrrTCxxCx，由题意1023,643rrr解得，

则含有3x的项是第7项6336110210TCxx,系数为210。

例2：求291()2xx展开式中9x的系数？

解：291821831999111()()()()222rrrrrrrrrrrTCxCxxCxx，令1839r,则3r

故9x的系数为339121()22C。

题型二：利用通项公式求常数项

例3：求二项式2101()2xx的展开式中的常数项？

解：52021021101011()()()22rrrrrrrTCxCxx，令52002r，得8r，所以88910145()2256TC

二项式定理(1)

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二项式定理

作者：赵攀峰

来源：《数学金刊·高考版》2014年第02期

二项式定理是中学数学的一个重要定理，不仅在初等数学学习中有着广泛应用，而且又是学习概率、微积分等有关高等数学知识的重要基础.

重点难点

重点：二项式定理的通项公式和二项式系数的性质.

难点：二项式定理的应用.

方法突破

（1）二项式定理是恒等式，要注意公式的正用和逆用：从左往右用，可解决如整除性问题、余数问题、近似计算等；从右往左用，是把一个多项式合并，或者是一个求和公式，利用它可解决某些求和的问题.

（2）二项式系数、系数、常数项、项数等概念，需在平时加以对比分析，结合通项公式进行重点训练.

（3）在熟练掌握二项式系数的所有性质的基础上，要进一步掌握二项式系数有关性质的证明方法，其中最重要的方法是赋值法. 赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可利用赋值法解决.

二项式定理及经典练习

1 二项式定理及经典练习

知识点一：二项式定理

二项式定理:

①公式右边的多项式叫做的二项展开式；

②展开式中各项的系数叫做二项式系数；

③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用1rT表示；二项展开式的通项公式为.

知识点二：二项展开式的特性

①项数：有n+1项；

②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式；

③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n；

④系数：依次为.

知识点三：二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等

②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.

③二项式系数之和为，即

其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，

即

经典例题

1、“nba)(展开式

例1．求4)13(xx的展开式=

2.求展开式中的项

例2.已知在331()2nxx的展开式中，第6项为常数项.

（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.

.

2 3.二项展开式中的系数

例3.已知223()nxx的展开式的二项式系数和比(31)nx的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nxx的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项

.

4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数

例4．72)2)(1xx（的展开式中，3x项的系数是；

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数

例5.3)21(xx的展开式中，常数项是

二项式定理(一)-学生版

二项式定理（一）

第1页共8页知识点部分：

1.二项式定理

公式011222*()()nnnnknkknn

nnnnnabCaCabCabCabCbnN



叫做二项式定理，其中

(0,1,2,,)k

nCkn叫做二项式系数，

1knkk

knTCab



叫做二项展开式的通项，它表示第1k项.

其中：

①公式右边的多项式叫做n

ba)(的二项展开式；

②展开式中各项的系数

),,2,1,0(nrCr

n叫做二项式系数；

③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，公式为

1rnrr

rnTCab



.

2.二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.

②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，

当n

为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2n

nC最大；当n为奇数时，二项展开式中间

两项的二项式系数21n

nC，

21n

nC相等，且最大.

③二项式系数之和为2n

，即0122nn

nnnnCCCC

其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，

即1531420

2

n

nnnnnnCCCCCC

【例1】在6

2)1

2(

xx的展开式中，求：

（1）第4项的二项式系数；

（2）第4项的系数；

（3）常数项。

【解析】展开式的通项：rrrrrr

rxC

xxCT366

6

26

612)1

()2(





（1）333

642



xCT，二项式系数为203

6C；

（2）由（1）知第4项的系数为160233

6C；

（3）令630r,得2r,

∴常数项为2402262

6C.

【总结升华】解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系

数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数.二项式定理（一）

第2页共8页【例2】371

(2)x

x的展开式中常数项是（）

A.14B.－14C.42D.－42