数学能力解读

新课程标准下的数学能力内涵解读及数学能力的培养数信学院潘园园课程与教学论新课程数学更加重视对能力的要求，强调“能力立意”而非“知识立意”。

提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力是“标准”对基本能力认识的一个发展，是课程目标对数学能力的基本要求。

1．空间想象能力几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，发展空间想象能力，这种能力是非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。

搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。

“标准”对空间想象能力的发展是：更加关注通过对整体图形的把握去培养和发展空间想象能力；关注在空间想象能力培养中人的认识规律，概括了人们认识和探索几何图形的位置关系和有关性质的规律，建议通过“直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算”等学习过程，培养和发展空间想象能力，这对几何课程的学习应该是有帮助的。

例如在立体几何的学习中，建议从对空间几何体的整体观察入手，认识整体图形，再以长方体为载体，直观认识空间点、线、面的位置关系，抽象出有关概念，用数学语言表述有关性质与判定。

事实上，相关研究表明，个体的认识是先从对整体的认识开始的。

大家知道，在立体几何的学习中，异面直线和异面直线之间的距离是比较难理解的两个概念，如果先讲平行平面，那么，异面直线就是两个平行平面中的两条不平行的直线，而异面直线之间的距离问题，也会因为平行平面间距离的确定性而变得容易理解了。

而且从几何学的发展来看，对整体微分几何的研究也受到越来越大的关注。

在生活中，我们在做事的时候也一样，你首先要有一个整体的安排，你才能把握各个方面在其中的作用和地位。

2．抽象概括能力抽象概括能力是这次“标准”中新加的一个基本能力，这不仅是数学本身、数学学习的需要，也是现代社会对未来公民基本素养的要求。

数学高度抽象的特点，要求我们能从具体事物中区分、抽取研究对象的本质特征，即抽象概括，通过抽象概括的过程，认识和理解研究对象。

没有抽象概括的过程，就不会很好地认识和理解数学概念和结论。

如果我们从中学生熟悉的图形入手，提出问题，把他们的区别用数学语言表达，引导他们一步一步抽象概括出概念，这样，从具体的、生动的实例出发，加上恰当的问题，让学生在经历抽象概括的过程中，去发现研究对象本质的东西，不仅能使学生能较好地认识和理解数学，更重要的是学会了怎样进行抽象概括，怎样学习数学，进而还可促进其他方面的学习。

抽象概括能力不仅在数学学习中，在对数学概念和结论的认识和理解中是必需的，而且在这个现代社会里，由于人际之间广泛的交流和交往，加上多种多样的传媒途径，我们会获得很多的信息，这就需要我们能从大家的交谈中、从信息中，概括出一些观点性的东西、结论性的东西，帮助我们去思考问题，作出判断。

因此，抽象概括能力也是未来公民所需要的一种基本素养。

3．推理论证能力“标准”对推理论证能力的要求既包括了原来的演绎推理（或逻辑推理），而且还包括了数学发现、创造过程中的合情推理，如归纳、类比等合情推理，这是数学的基本思考方式，也是做数学的基本功。

过去说到推理论证，关注的是已建立的公理体系，想到的只是逻辑推理，但是，忽视了公理体系的来源，他的形成过程，从特殊到一般的归纳过程，或者从特殊到特殊的类比过程，这是形成命题和猜想的过程，数学发现、创造的过程，数学正是运用这样两种推理不断发展前进的。

回忆我们自己的学习过程，证明问题的过程，也正是在想想、猜猜、证证的过程中完成的，很多时候是先猜后证，运用合情推理去猜想，再运用逻辑推理去证明。

“标准”对教师教学和学生的学习提出的这样一个要求是一个进步，不仅体现了数学产生、发展的本来面目，体现了数学学习的客观过程，而且对于培养学生的创新意识和创造能力等都是十分重要的。

4．运算求解能力“标准”对运算求解能力赋予了更为丰富的内涵。

除了原先对运算求解能力的一些要求之外（但是要避免繁杂的运算和过于人为的、技巧性过强的运算），还应包括对估算能力、使用计算器和计算机的能力、还有求近似解的能力等方面的要求，此外，我们更加关注对运算求解过程中的算理能不能搞清楚，算法能不能搞清楚。

因为面对一些实际问题，有时并不需要你求出精确的值，很多时候也求不出精确的值，事实上，在中学数学所学的解方程内容中，只有一些很特殊的方程才能求出精确解，就拿方程来说，看起来很简单，实际上要求出三个解也是不容易的，这时就需要你去作一些估计，需要你利用计算器或计算机去求出近似值，有时还需要有算法的帮助。

“标准”在“函数与方程”中就安排了借助信息技术用二分法求方程近似解的内容，在“导数及其应用”的阅读材料中也建议安排用切线法求方程近似解的内容。

此外，一些繁杂的计算可以让计算器或计算机去做，这时，我们的重点应该是搞清算法和算理，还应特别注意的是，我们应认识到：运算过程也是一个推理过程，这样的认识会有助于我们去分析和解决学生在运算中所产生的一些问题。

5．数据处理能力这是“标准”新提出来的一个基本能力。

在信息社会、数字化时代中，人们经常需要与数字打交道。

例如，产品的合格率、商品的销售量、电视台的收视率、就业状况、能源状况，等等。

都需要我们具有收集数据、处理数据、从数据中提取信息作出判断的能力，进而具有对一堆数据的感觉能力，这是现代社会公民应具备的一种基本素养。

为此“标准”加强了这方面的学习和训练，在“统计”和“统计案例”的内容中，都强调必须通过典型案例的处理，让学生经历收集数据、处理数据、分析数据、从数据中提取信息作出判断的全过程，并在经历过程中学会运用所学知识、方法去解决实际问题。

我们要从“标准”的理念和课程的总目标出发，去认识上述几个基本的数学能力，认识他们的丰富内涵、新的发展和进步，并且努力在教学中贯彻实施。

那么如何进行数学相关能力的培养呢？1、培养学生的数学抽象能力在数学概念、原理的教学中, 教师应创设教学情境, 为学生提供具有典型性的、数量适当的具体材料, 并要给学生的抽象活动提供适当的台阶, 做好恰当的铺垫, 以引导学生猜想、发现并归纳出抽象结论。

这里, 教师铺设的台阶是否适当, 主要看它是否能让学生处于一种似懂非懂、似会非会、半生不熟的状态。

抽象的过程实际上是在新旧知识相互作用中, 学生对新知识的尝试性掌握的过程。

教师设计教学情境时, 首先, 应当在分析新旧知识间的本质联系与区别的基础上, 紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的, 设置抽象空间, 促使学生发现内在规律; 其次, 应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系, 从而确定抽象的主要内容; 第三, 要尽量设计多种启发路线, 在关键步骤上放手让学生猜想、假设, 使学生的思维真正经历抽象过程。

2、培养学生的数学概括能力（1）在数学概念教学中提高概括能力数学概念具有高度的概括性, 数学概念的教学, 对培养学生的抽象概括能力有很大的作用。

数学概念的教学不应是一个简单的结论问题, 而是一个过程问题。

例如,讲解周期函数的观念时, 先给出一些图形, 通过比较、分析这些图形的异同, 抓住周期性重复出现的本质特征,自变量增加或减少一定值时, 函数值不变, 然后进行概括抽象, 得出对于函数f ( x ) ( 定义域为D)来说, 只要存在某个非零常数T , 使得对任意的x 属于D , 都有f ( x + T ) = f ( x ) ，函数值重复出现, 则f( x ) 为周期函数; 至于函数f ( x ) 是否连续、常数T 是否为正数则无关紧要。

可见, 概念的教学是培养学生抽象概括能力的重要途径。

（2）重视引导学生进行知识技能的归纳总结对知识、技能的归纳总结过程, 是将书本由厚变薄的过程, 即将零乱无章、各显纷呈的知识条理化, 概括为体现本质的、带有规律性的结论。

比如, 对于三角函数的诱导公式, 通过分析概括可归纳为: 函数同名、象限定号。

又如, 函数概念的定义通过集合、映射精确地刻划出来, 较深刻地揭示了函数概念的内涵, 而对于函数概念的外延作较多举例, 如从指数函数到对数函数、三角函数到任意角以及反三角函数, 通过对比分析可使学生对函数概念的形成和发展、函数概念的本质有较完整的认识, 这一过程无疑会极大地促进学生数学概括能力的形成与提高。

（3）重视化归思想的教学化归思想有两个方面的含义,转化和归一, 两者是相辅相承的。

化归思想包括: 化繁为简、化难为易、化未知为已知、化陌生为熟悉等等。

对于解题过程而言, 化归思想无处不在。

如无理方程、高次方程转化为有理方程、低次方程, 指数、对数不等式和方程化为不含指数幂和对数符号的不等式和方程。

而空间解析几何中证明线面垂直、面面垂直或平行, 最后都归结为证明线线垂直或平行。

微积分中的三重积分、二重积分化归为一次积分。

从本质上而言, 化归是一种正向迁移, 而要实现这种迁移, 就离不开对知识、对技能的概括, 没有概括就没有迁移。

可以这样说, 概括是迁移的基础, 迁移和概括联系紧密, 不可分割。

3、培养学生数学语言的转换与应用能力娴熟的数学语言是数学思维顺利进行的保证。

学生在解决数学问题时, 对解题信息的分析与加工,大量是在进行数学语言的表达与转换。

同一个概念往往可以用不同的数学语言进行表达。

如复数可以用代数、向量、坐标等不同领域的语言进行表达, 每类语言都有自己的结构、模式, 然而它们又是互相沟通的, 这种转换与沟通也正是数形结合、一题多解等等思想的重要来源。

学生在解( 证) 题过程中要尽量学会用数学语言、数学符号进行表达。

因为, 数学语言的应用能力是数学能力尤其重要的表现。

4、培养学生的数学推理能力现代教育观点认为, 数学教学是数学活动的教学, 即思维活动的教学。

在数学学习中要使学生思维活跃, 就要教会学生分析问题的基本方法, 这样有利于培养学生的正确推理方式。

要学生善于推理, 必须重视基础知识和基本技能的学习, 没有扎实的双基,推理能力是得不到提高的。

数学概念、定理是推理论证和运算的基础。

在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力; 在例题课中要把解( 证) 题思路的发现过程作为重要的教学环节, 仅要学生知道该怎样做, 还要让学生知道为什么要这样做, 是什么促使你这样做的; 在数学练习中, 要认真审题, 细致观察, 对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力, 会运用综合法和分析法, 并在解( 证) 题过程中尽量学会用数学语言、数学符号进行表达。

此外, 提高学生的逻辑推理能力, 还应加强分析、综合、类比等方法的训练。

培养推理能力当然要从正向推理入手, 但必须注意迂回推理、逆向推理的作用。

加强逆向应用公式和逆向思考的训练, 提高逆向推理能力; 通过错、漏解题的剖析, 提高辨识推理能力; 通过一题多解( 证) 的训练, 提高发散推理能力等。